精品解析：江西省赣州市兴国县第五中学2025-2026学年第二学期七年级数学期中练习

2025-2026学年第二学期七年级 数学期中练习 说明：全卷共有六大题，23小题，满分120分，考试时间120分钟；答案一律写在答题卡上，否则成绩无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 在数，，，，5中，无理数的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 点所在的象限是第（ ）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 3. 如图所示，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法不正确的是（ ） A. 的平方根是 B. 是9的一个平方根 C. 0.4的算术平方根是0.2 D. 5. 如图，先在纸上画两条直线a，b，使，再将一块直角三角板平放在纸上，使其直角顶点落在直线b上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系xOy中，对于点，我们把叫作点P的“友好点”．已知点的“友好点”为，点的“友好点”为，点的“友好点”为，……，这样依次得到各点．若点的坐标为，则点的“友好点”是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知、为两个连续的整数，且，则_____ 8. 命题“平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”是____命题（填写“真”或“假”）． 9. 兴国县竹编工艺历史悠久，被列入省级非物质文化遗产名录．某竹编合作社为支援乡村振兴，计划生产一批竹篮捐赠给当地学校，要求总产量为100个竹篮，总预算为420元．竹篮分为两种型号：大型竹篮每个5元（用于盛放书籍，尺寸约），小型竹篮每个3元（用于盛放手工艺品，尺寸约）；设大型竹篮生产个，小型竹篮生产个，则可列方程组为_____． 10. 光线在不同介质中的传播速度不同，因此，当光线从空气射向水中时，会发生折射，如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且，则的度数为__________． 11. 已知的平方根是，的立方根是，则的算术平方根是_____． 12. 如图所示的是激光位于初始位置时的平面示意图，其中，是直线上的两个激光灯，，现激光绕点以每秒3度的速度逆时针旋转，同时激光绕点以每秒2度的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，当时，的值为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算 （1） （2）解方程组： 14. 已知点，解答下列各题． （1）若点P在y轴上，则______； （2）点Q的坐标为，直线轴，求点P的坐标； 15. (创新作图)如图，在梯形中，点在上，请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图(保留作图痕迹)． （1）在图1中．以点为顶点作一个与相等的角． （2）在图2中，在的上方与的下方，作一个与相等的角． 16. 完成下面推理过程． 如图，已知：和相交于点O，，，求证：． 证明：，， 又（____________）． ______（____________）， ______（____________）． （____________）． 17. 我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？你能用二元一次方程组表示题中的数量关系并解决问题吗？ 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图：已知，于点D，于点F，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 19. 已知和是某正数的两个平方根，的立方根为2，是的整数部分． （1）求的值； （2）求的平方根． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格点上，每个小正方形边长为1个单位长度．将向右平移6个单位，再向下平移3个单位得到．（在数学中三角形常用符号“△”表示） （1）画出平移后的； （2）若点是内部一点，则平移后内的对应点的坐标为______； （3）求出的面积． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分 21. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“角平分线点”． （1）点的“长距”为______： （2）若点是“角平分线点”，求的值； （3）若点的长距为，且点在第二象限内，点的坐标为，请判断点是否为“角平分线点”，并说明理由． 22. 【课本再现】 （1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到一个大正方形． ①拼的新的大正方形的面积为______．小正方形的对角线长为______； ②如图2，把图1中其中一个小正方形放置到数轴上，以1为圆心，对角线长为半径画弧，与数轴交于点，，则点，表示的数分别为______，______． 【知识迁移】 （2）小张同学把长为5，宽为1的长方形按图3所示的方式进行裁剪，并拼成一个大正方形． ①大正方形的边长为______； ②请在下图的数轴中画出表示的点（保留作图痕迹）． 六、解答题（本大题共1小题，共12分） 23. 王老师依据各章学习情况，将七年级数学兴趣小组分别取名为平行线组、实数组、坐标系组．在一次数学探究活动中，王老师只给出题干，要求各小组依据题干进行出题，然后互相解答．现请你参加本次活动，解答各小组的问题 王老师给出的题干：如图（1），在平面直角坐标系中，，过点C作轴于点B，连接． （1）实数组：若，则______，______； （2）平行线组：如图（2）若过点B作交y轴于点D，且，分别平分，，请求的度数； （3）坐标系组在实数组的基础上提出以下思考：在y轴上是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期七年级 数学期中练习 说明：全卷共有六大题，23小题，满分120分，考试时间120分钟；答案一律写在答题卡上，否则成绩无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 在数，，，，5中，无理数的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，根据无限不循环小数即无理数判断即可． 【详解】解：3.14，，5是有理数，，是无理数，故无理数有2个； 故选：B． 2. 点所在的象限是第（ ）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是各象限内点的坐标特点、坐标轴上点的坐标特点．本题主要考查的是各象限内点的坐标特点，各象限内点的坐标特点：第一象限点的坐标为，第二象限点的坐标为，第三象限点的坐标为，第四象限点的坐标为，据此回答即可． 【详解】解：点所在的象限是第四象限， 故选：D 3. 如图所示，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行线的判定定理可证得，选项A，C，D能证得，只有选项B能证得．注意掌握排除法在选择题中的应用． 【详解】解：A．∵，本选项不能判断，故A错误； B．∵，∴，故B正确； C．∵，∴．本选项不能判断，故C错误； D．∵，∴．故本选项不能判断，故D错误． 4. 下列说法不正确的是（ ） A. 的平方根是 B. 是9的一个平方根 C. 0.4的算术平方根是0.2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根，平方根，立方根，根据各自的定义求解即可得出答案． 【详解】解：．的平方根是，说法正确，故该选项不符合题意； ．是9的一个平方根，说法正确，故该选项不符合题意； ．， ，0.4的算术平方根是，则原说法错误，故该选项符合题意； ．，说法正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 5. 如图，先在纸上画两条直线a，b，使，再将一块直角三角板平放在纸上，使其直角顶点落在直线b上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据平角的定义求出度数，再根据平行线的性质得到的度数即可． 【详解】解：如图， ∵ ∴， ∵， ∴， 故选：B 6. 在平面直角坐标系xOy中，对于点，我们把叫作点P的“友好点”．已知点的“友好点”为，点的“友好点”为，点的“友好点”为，……，这样依次得到各点．若点的坐标为，则点的“友好点”是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了规律型：点的坐标，坐标的新定义计算问题，理解新定义，确定循环节是解题的关键． 根据友好点的定义，计算前几个点的坐标，发现序列每个点循环一次，再确定的坐标，并计算其友好点. 【详解】解：∵ ∴为的友好点：； 为 的友好点：； 为的友好点：； 为的友好点：相同； ∴ 观察可知，每四次循环一次， ∵ ， ∴ ∴的友好点为． 故选： D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知、为两个连续的整数，且，则_____ 【答案】7 【解析】 【详解】∵， ∴3＜＜4， ∵a＜＜b， ∴a=3，b=4， ∴a+b=3+4=7． 故答案为：7． 8. 命题“平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”是____命题（填写“真”或“假”）． 【答案】真 【解析】 【分析】根据平行线的判定方法判断即可． 【详解】解：如图，a⊥c，b⊥c，则∠1=∠2=90°， ∴a//b， ∴“平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”是真命题， 故答案为：真． 【点睛】本题考查了命题，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，属于中考常考题型． 9. 兴国县竹编工艺历史悠久，被列入省级非物质文化遗产名录．某竹编合作社为支援乡村振兴，计划生产一批竹篮捐赠给当地学校，要求总产量为100个竹篮，总预算为420元．竹篮分为两种型号：大型竹篮每个5元（用于盛放书籍，尺寸约），小型竹篮每个3元（用于盛放手工艺品，尺寸约）；设大型竹篮生产个，小型竹篮生产个，则可列方程组为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意找出两个等量关系，一是两种竹篮的总数量为100个，二是两种竹篮的总费用为420元，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：根据大型竹篮生产个，小型竹篮生产个，总产量为100个，可得， 根据每个大型竹篮单价为5元，总费用为，每个小型竹篮单价为3元，总费用为，总预算为420元，可得， 因此可列方程组为． 10. 光线在不同介质中的传播速度不同，因此，当光线从空气射向水中时，会发生折射，如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且，则的度数为__________． 【答案】##110度 【解析】 【分析】根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：如图， ∵两条入射光线平行， ∴， ∵水面和杯底互相平行， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的性质应用，熟练掌握平行线的性质是解答的关键． 11. 已知的平方根是，的立方根是，则的算术平方根是_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查平方根，算术平方根及立方根的定义，结合已知条件求得a，b的值是解题的关键． 根据平方根及立方根的定义求得a，b的值，然后将其代入中计算，再利用算术平方根的定义即可求得答案． 【详解】解：∵的平方根是，的立方根是， ∴，， ∴，， 则， 那么原式的算术平方根是5， 故答案为：5． 12. 如图所示的是激光位于初始位置时的平面示意图，其中，是直线上的两个激光灯，，现激光绕点以每秒3度的速度逆时针旋转，同时激光绕点以每秒2度的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，当时，的值为______． 【答案】12或48或84 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程，平行线的性质，根据时，分类讨论角度之间的关系列方程是解此题的关键．分四种情况：，，，，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：设旋转时间为t秒后，， 如图1，， ∴， ， 解得：． 如图2，， 由图得： 解得： 如图3，， ∴ 解得： 如图4，， ∴ 解得：(舍去）； 综上所述：12或48或84． 故答案为：12或48或84． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算 （1） （2）解方程组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，解二元一次方程组，熟练掌握立方根定义，算术平方根定义和解二元一次方程组的方法，是解题的关键． （1）根据立方根定义，算术平方根定义，进行计算即可； （2）用加减消元法解二元一次方程组即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：， 得：， 解得：， 把代入①得， 解得：． 这个方程组的解是． 14. 已知点，解答下列各题． （1）若点P在y轴上，则______； （2）点Q的坐标为，直线轴，求点P的坐标； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查坐标轴上点的坐标特征，与坐标轴平行的直线上点的坐标特征，解题的关键是： （1）根据y轴上点的横坐标为0求出a的值即可； （2）根据与y轴平行的直线上的点的横坐标相同求出a的值，再计算出纵坐标即可． 【小问1详解】 解∶点在y轴上， ， ， 故答案为：1； 【小问2详解】 解∶，点Q的坐标为，直线轴， ， ， ， ． 15. (创新作图)如图，在梯形中，点在上，请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图(保留作图痕迹)． （1）在图1中．以点为顶点作一个与相等的角． （2）在图2中，在的上方与的下方，作一个与相等的角． 【答案】（1）如图所示， 或 （2）如图所示， 【解析】 【分析】本题主要考查了利用平行线的性质作一个角等于已知角．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）延长或，则由得到或； （2）延长，相交于点，则由得到． 【小问1详解】 解：或． 即或即为所求作的角； 【小问2详解】 解： 即即为所求作的角． 16. 完成下面推理过程． 如图，已知：和相交于点O，，，求证：． 证明：，， 又（____________）． ______（____________）， ______（____________）． （____________）． 【答案】 对顶角相等；；；等量代换；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，对顶角相等，根据已知条件和对顶角相等可得，则可证明，进而可证明． 【详解】略 17. 我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？你能用二元一次方程组表示题中的数量关系并解决问题吗？ 【答案】鸡、兔分别有23只、12只. 【解析】 【分析】设鸡有x只，兔有y只，根据等量关系：上有三十五头，下有九十四足，可分别得出方程，联立求解即可得出答案． 【详解】设鸡有x只，兔有y只，鸡有一个头，两只脚，兔有1个头，四只脚， 结合上有三十五头，下有九十四足可得： ， 解得 答：鸡有23只，兔有12只． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是仔细审题，根据等量关系得出方程组，难度一般． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图：已知，于点D，于点F，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：，， ． ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是： （1）根据垂直的定义得出，然后根据平行线的判定即可得证； （2）根据平行线的性质并结合可得出，则，然后根据平行线的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ． 19. 已知和是某正数的两个平方根，的立方根为2，是的整数部分． （1）求的值； （2）求的平方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根、立方根、无理数的估算、代数式求值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据平方根的概念求出，即可得到； （2）根据立方根的概念求出，根据无理数的估算求出 ，把, , 代入计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵和是某正数的平方根， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵的立方根是， ∴， ∴； ∵是的整数部分，， ∴， ∴， 的平方根是． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格点上，每个小正方形边长为1个单位长度．将向右平移6个单位，再向下平移3个单位得到．（在数学中三角形常用符号“△”表示） （1）画出平移后的； （2）若点是内部一点，则平移后内的对应点的坐标为______； （3）求出的面积． 【答案】（1） 如图所示，即为所求， ； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是∶ （1）分别作出A，B，C的对应点，，，然后顺次连接即可． （2）根据平移坐标变化的规律解决问题即可． （3）利用分割法求三角形面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解∶平移后的坐标为， 故答案为∶ ． 【小问3详解】 解∶ ． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分 21. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“角平分线点”． （1）点的“长距”为______： （2）若点是“角平分线点”，求的值； （3）若点的长距为，且点在第二象限内，点的坐标为，请判断点是否为“角平分线点”，并说明理由． 【答案】（1）； （2）或； （3）点是“角平分线点”， 理由如下， ∵点的长距为，且点在第二象限内， ∴点的横坐标，纵坐标， 到轴的距离为，到轴的距离为，  ∵点的长距为， ∴， 解得， ∴点的坐标为， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为， 即点到轴和轴的距离相等， ∴点是“角平分线点”． 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，理解新定义“长距”和“角平分线点”的含义，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）直接计算点到坐标轴距离的较大值； （2）根据“角平分线点”定义列方程求解； （3）先由点的长距和所在象限求出的值，再判断点的坐标是否满足“角平分线点”条件即可． 【小问1详解】 解：∵点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴较大值为， ∴点的“长距”为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵点是“角平分线点”， ∴， 即， ∴或 ， 解得或； 【小问3详解】 略 22. 【课本再现】 （1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到一个大正方形． ①拼的新的大正方形的面积为______．小正方形的对角线长为______； ②如图2，把图1中其中一个小正方形放置到数轴上，以1为圆心，对角线长为半径画弧，与数轴交于点，，则点，表示的数分别为______，______． 【知识迁移】 （2）小张同学把长为5，宽为1的长方形按图3所示的方式进行裁剪，并拼成一个大正方形． ①大正方形的边长为______； ②请在下图的数轴中画出表示的点（保留作图痕迹）． 【答案】（1）①，； ②；； （2）①； ②如图所示，点即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．同时考查了勾股定理的应用，数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． （1）①根据大正方形面积是两个小正方形的面积和，可得大正方形的面积，根据勾股定理可得可得小正方形的对角线长； ②依据图2中小正方形对角线长为，原点与之间的距离为，从而可得到点表示的数为，可得点表示的数分别为； （2）①由于大正方形的边长是小长方形的对角线，所以根据勾股定理可得大正方形的边长； ②由①可得小长方形的对角线长为，进而在数轴上以原点为圆心，为半径，即可找到表示的点． 【详解】解：（1）①拼的新的大正方形的面积为， 小正方形的对角线长为， 故答案为：，； ②如图2中小正方形对角线长为， 原点与之间的距离为， 点表示的数为； 点到圆心的距离是， 点表示的数分别为， 故答案为：，； （2）①由图可知大正方形的边长为， 故答案为：； ②略 六、解答题（本大题共1小题，共12分） 23. 王老师依据各章学习情况，将七年级数学兴趣小组分别取名为平行线组、实数组、坐标系组．在一次数学探究活动中，王老师只给出题干，要求各小组依据题干进行出题，然后互相解答．现请你参加本次活动，解答各小组的问题 王老师给出的题干：如图（1），在平面直角坐标系中，，过点C作轴于点B，连接． （1）实数组：若，则______，______； （2）平行线组：如图（2）若过点B作交y轴于点D，且，分别平分，，请求的度数； （3）坐标系组在实数组的基础上提出以下思考：在y轴上是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）根据实数的非负性求解即可； （2）过E作，根据平行线的性质得出，，则可求出．根据平行线的传递性得出则可得，得出，，然后结合角平分线的定义即可求解； （3）分两种情况：①当P在y轴正半轴上；②当P在y轴负半轴上时，根据面积公式列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：如图2中，过E作． 轴， 轴，， ． 又， ， ． ， ， ，． ∵，分别平分，， ，， ． 【小问3详解】 解：，， ，． ， ， ，， ， ①当P在y轴正半轴上时，如图3中． 设点，过点P作轴交的延长线于M，过A作轴交的延长线于N，则，，，． ， ， ， 解得，即点P的坐标为． ②当P在y轴负半轴上时，如图4，过P作轴交的延长线于M，过A作交于N． 设点，则，，． ， ， 解得， ∴点P的坐标为． 综上所述，P点的坐标为或 【点睛】此题考查平方的性质及算术平方根的性质，角平分线的性质，直角坐标系与几何图形，利用面积公式求图形的面积，三角形的面积计算公式，直角梯形的面积计算公式，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $