湖北省黄冈中学实验班2025-2026学年高二下学期数学期中测试1

**基本信息** 以数列知识为核心，通过基础计算（如选择1等差中项）、逻辑推理（如选择4充分必要条件）、综合应用（如解答19递推证明与恒成立问题）的递进设计，考查抽象能力、推理意识和模型观念，适配高二实验班期中能力测评。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|等差等比基本量（1-3）、充要条件（4）|基础巩固，结合逻辑推理| |多选题|3/18|等差数列单调性与前n项和最值（9）|分层赋分，考查数学思维严谨性| |填空题|3/15|周期数列求和（14(1)）、不等式恒成立（14(2)）|创新设问，体现数据意识| |解答题|5/77|递推证明等差（19(1)）、求和与恒成立（19(2)）|综合应用，发展模型观念与创新意识|

黄冈中学2027届实验班高二下学期数学 期中测试1 2026.4.25 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知为等差数列，，，则（　　） A． B． C．1 D．2 2．已知等比数列满足，，记为其前项和，则（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 3．设等差数列的前项和为，公差为，若，则（　　） A．15 B．14 C．13 D．12 4．已知等差数列的前项和为，则“”是“为递增数列”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知等差数列，的前项和分别为和，若，则满足的正整数有（　　） A．1个 B．2个 C．5个 D．6个 6．公差与首项相等的等差数列的前项和为，且．记，其中表示不超过的最大整数，如，，则数列的前65项和为（　　） A．21 B．258 C．264 D．270 7．已知等比数列的前项和为，，，数列满足：，且数列的前项和为，不等式恒成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 8．已知各项均为正数的数列的前项和，且满足，．设为非零整数，，若对任意，有恒成立，则的值是（　　） A．2 B．1 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知等差数列的前项和为，若，则（　　） A．数列是递减数列 B．当时，最大 C．使得成立的最小自然数 D．数列中的最小项为 10．已知数列的首项，且满足，下列说法正确的有（　　） A．数列为等差数列 B．若，则 C．数列为单调递减数列 D．数列的前项和大于4 11．记为数列的前项和，已知为常数），且，则下列说法正确的是（　　） A． B．是等比数列 C．设，则 D．设，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．设公差不为零的等差数列的前项和为，且，则　 ． 13．已知等差数列的前项和，数列的前项和为，且，若不等式恒成立，则实数的最小值为 ． 14．已知数列各项均不为零，，，． （1）当时，的前50项和是 ； （2）若，正整数的最小值是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 已知数列中，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 16．（15分） 已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，，成等比数列，． （1）求数列的前项和； （2）若，，求满足条件的的集合． 17．（15分） 已知数列满足，． （1）求的通项公式； （2）若，记数列的前项和为． 求； 求． 18．（17分） 已知数列是等差数列，记其前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）将数列与的所有项从小到大排列得到数列． ①求的前20项和； ②证明：． 19．（17分） 在数列中，且． （1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式． （2）记数列的前项和为，数列满足． 求及； 若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 黄冈中学2027届实验班高二下学期数学 期中测试1 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知为等差数列，，，则（　　） A． B． C．1 D．2 【解答】由等差数列的性质可得，，则， ，则，，所以． 故选：． 2．已知等比数列满足，，记为其前项和，则（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【解答】等比数列满足，，可得，故， 可得，可得，故． 故选：． 3．设等差数列的前项和为，公差为，若，则（　　） A．15 B．14 C．13 D．12 【解答】，，，，由等差数列前项和的性质可知，即，故，． 故选：． 4．已知等差数列的前项和为，则“”是“为递增数列”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】 【解答】令，此时，但，，，显然不是递增数列，所以“”不是“为递增数列”的充分条件； 若为递增数列，则，所以，即， 所以，所以“”是“为递增数列”的必要条件， 所以“”是“为递增数列”的必要不充分条件． 故选：． 5．已知等差数列，的前项和分别为和，若，则满足的正整数有（　　） A．1个 B．2个 C．5个 D．6个 【答案】 【解答】根据题意，因为等差数列，的前项和分别为和， 若，可以设，， 所以时，， 又满足上式，所以， 时，， 又满足上式，所以，， 则，若，则为整数， 又，分析可得或63符合题意，当，解得，当，解得， 所以，15符合题意，故满足的正整数有2个． 故选：． 6．公差与首项相等的等差数列的前项和为，且．记，其中表示不超过的最大整数，如，，则数列的前65项和为（　　） A．21 B．258 C．264 D．270 【答案】 【解答】设等差数列的公差为，，可得，可得， 因此，因此， 若时，； 若时，，共2项； 若时，，共4项； 若时，，共8项； 若时，，共16项； 若时，，共32项； 若、65时，，共2项． 因此数列前65项和为，因此正确，错误． 故选：． 7．已知等比数列的前项和为，，，数列满足：，且数列的前项和为，不等式恒成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【解答】等比数列的前项和为，公比设为，由，，可得， 解得，则， ， ， 由不等式恒成立，可得，解得，或． 故选：． 8．已知各项均为正数的数列的前项和，且满足，．设为非零整数，，若对任意，有恒成立，则的值是（　　） A．2 B．1 C． D． 【答案】 【解答】因为，所以当时，，又，所以， 当时，，又，所以， 当时，，相减得：，， 所以，所以，再相减得：，所以， 又，所以数列是等差数列，首项和公差均为1， 所以，，对任意，有恒成立，则恒成立， 所以，， 当是奇数时，，，所以， 当为偶数时，，，所以， 综上，．又因为是非零整数，所以． 故选：． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知等差数列的前项和为，若，则（　　） A．数列是递减数列 B．当时，最大 C．使得成立的最小自然数 D．数列中的最小项为 【解答】由，得，所以，由，得，所以， 因为数列是等差数列，所以，所以数列是递减数列，故正确； 由知数列是递减数列，且，，所以当时，最大，故正确； 因为，， 所以使得成立的最小自然数，故错误； 当时，；当时，； 当时，， ，因为，，所以， 又因为，所以，所以，所以，所以数列在时为增函数，所以数列中的最小项为，故正确． 故选：． 10．已知数列的首项，且满足，下列说法正确的有（　　） A．数列为等差数列 B．若，则 C．数列为单调递减数列 D．数列的前项和大于4 【答案】 【解答】因为，所以， 对于，因为，所以数列是以3为首项，1为公差的等差数列，故正确； 对于，由知：，，故， 即，解得，故错； 对于，因为，所以， 而，所以，则数列为单调递减数列，故正确； 对于，由可知，， 则 ，所以数列的前项和小于4， 故错误； 故选：． 11．记为数列的前项和，已知为常数），且，则下列说法正确的是（　　） A． B．是等比数列 C．设，则 D．设，则 【答案】 【解答】对于，当时，，得，所以，选项错误； 对于，，， 两式相减得，， 所以是首项为2，公比为2的等比数列，选项正确； 对于，因为，， 所以，选项正确； 对于，令，则在上恒成立， 因此在上单调递增，所以，可得当时，， 所以，即，选项正确． 故选：． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．设公差不为零的等差数列的前项和为，且，则　 ． 【答案】14 【解答】解法一：设公差不为零的等差数列的前项和为，且， ，解得． 解法二：设公差不为零的等差数列的前项和为，且，， 又，，，由等差数列性质知， 得． 13．已知等差数列的前项和，数列的前项和为，且，若不等式恒成立，则实数的最小值为 ． 【答案】 【解答】等差数列的前项和，可得，对也成立， ， 数列的前项和， 若不等式恒成立， 当为偶数时，可得，为递减数列，可得，即有； 当为奇数时，可得，为递增数列，可得，即有． 综上，可得，即实数的最小值为． 14．已知数列各项均不为零，，，． （1）当时，的前50项和是 ； （2）若，正整数的最小值是 ． 【解答】（1）由数列各项均不为零，，，， 所以当时，可得，即有， 可得， ，，所以数列是最小正周期为6的数列（此处递推最好）， 因此， 所以的前50项和为； （2）由，两边同时除以，可得， 因为，，所以，因为， 所以，或， 因为是正整数，所以，即，3，4， 当时，由， 所以数列是以为首项，公差为的等差数列， 因此，所以， 显然恒成立，所以正整数的最小值为2． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 已知数列中，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【解答】（1）由，可得， 设，且，则，可得数列是首项和公比均为的等比数列， 则，所以． （2），① ，② ①②，得 ，所以． 16．（15分） 已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，，成等比数列，． （1）求数列的前项和； （2）若，，求满足条件的的集合． 【解答】（1）设等差数列的公差为，，，成等比数列，，即， ，又，则，， ，即，解得或者 当时，，不合题意舍去； 当时，，则，； （2）由（1）得， 由题意得，化简得，即，即， 解得，又，则，3，． 17．（15分） 已知数列满足，． （1）求的通项公式； （2）若，记数列的前项和为． 求； 求． 【解答】（1）因为，所以， 累加得， 所以，即； （2）因为，所以，显然数列是以3为周期的数列． 故 所以，故． 当时，== 当时， 当时，= 故 18．（17分） 已知数列是等差数列，记其前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）将数列与的所有项从小到大排列得到数列． ①求的前20项和； ②证明：． 【解答】（1）因为数列是等差数列，其前项和为，且， 所以，所以， 又，所以，所以， 解得，，所以； （2）①由（1）知，，所以， 因为，所以， 所以； ②证明：因为，所以， 所以当时，； 当时，， 综上可得原命题成立． 19．（17分） 在数列中，且． （1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式． （2）记数列的前项和为，数列满足． 求及； 若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【解答】（1）由已知可得，， 所以数列是以1为公差的等差数列，所以，即； （2）当时，，即， 当时，由，得， 两式相减，得，即， 当时，，即，满足上式，所以； 故， 则， 两式相减得， 所以； ， 当为奇数时，由，得， 而数列递减，恒成立，则，即； 当为偶数时，由，即，而数列递减，则， 所以实数的取值范围为． 2027届实验班5.1作业答案 1 2 3 4 5 6 7 8【解答】因为，所以当时，，又，所以， 当时，，又，所以， 当时，，相减得：，， 所以，所以，再相减得：，所以， 又，所以数列是等差数列，首项和公差均为1， 所以，，对任意，有恒成立，则恒成立， 所以，， 当是奇数时，，，所以， 当为偶数时，，，所以， 综上，．又因为是非零整数，所以． 9【解答】当时，；当时，； 当时，， ，因为，，所以， 又因为，所以，所以，所以，所以数列在时为增函数，所以数列中的最小项为，故正确． 10 11 12．【答案】14 13．【答案】 14．（1）；（2）2【解答】（1）由数列各项均不为零，，，， 所以当时，可得，即有， 可得， ，，所以数列是最小正周期为6的数列（此处递推最好）， 因此， 所以的前50项和为； （2）由，两边同时除以，可得， 因为，，所以，因为， 所以，或， 因为是正整数，所以，即，3，4， 当时，由， 所以数列是以为首项，公差为的等差数列， 因此，所以， 显然恒成立，所以正整数的最小值为2． 15【解答】（1）由，可得， 设，且，则，可得数列是首项和公比均为的等比数列， 则，所以． （2），① ，② ①②，得 ，所以． 16【解答】（1）设等差数列的公差为，，，成等比数列，，即， ，又，则，， ，即，解得或者 当时，，不合题意舍去； 当时，，则，； （2）由（1）得， 由题意得，化简得，即，即， 解得，又，则，3，． 17【解答】（1）因为，所以， 累加得， 所以，即； （2）因为，所以，显然数列是以3为周期的数列． 故 所以，故． 当时，== 当时， 当时，= 故 18【解答】（1）因为数列是等差数列，其前项和为，且， 所以，所以， 又，所以，所以， 解得，，所以； （2）①由（1）知，，所以， 因为，所以， 所以； ②证明：因为，所以， 所以当时，； 当时，， 综上可得原命题成立． 19【解答】（1）由已知可得，， 所以数列是以1为公差的等差数列，所以，即； （2）当时，，即， 当时，由，得， 两式相减，得，即， 当时，，即，满足上式，所以； 故， 则， 两式相减得， 所以； ， 当为奇数时，由，得， 而数列递减，恒成立，则，即； 当为偶数时，由，即，而数列递减，则， 所以实数的取值范围为． 黄冈中学2027届实验班数学试题 第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $