精品解析：重庆十八中两江实验中学校2026届高三上学期期末考试数学试题

重庆市两江新区重庆第十八中学两江实验中学高2026届 高三上学期期末考试 数学试题卷 注意事顶： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上； 2.回答选择题时，选出每小题的答案后，用0.5毫米黑色铅笔把答题卡上对应题目的答案 标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号； 3.回答非选择题时，将答案填写在答题卡对应的区域上，在试题卷上作答无效； 4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 本试卷考试时间：120分钟，试卷满分：150分 一､单选题：每小题只有一个符合题目要求的选项，本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知是定义域为的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 4. 从中任取2个数字，从中任取2个数字，一共可以组成没有重复数字四位数有（ ） A. 216个 B. 162个 C. 108个 D. 180个 5. 已知向量，若，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 设抛物线的焦点为，不经过的直线与交于、两点，与轴交于点，已知点的坐标为，且与的面积之比是，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，以其底面圆心为球心，底面半径为半径的球和圆锥表面的交线长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数有两个极值点，则的最小整数值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：每小题有至少两个符合题目要求的选项，本大题共3小题，每小题6分，共18分；每小题全部选对得6分，对而不全得部分分，有错选､不选不得分. 9. 已知等差数列的前项和为，且，，则（ ） A. 公差 B. C. D. 数列的前31项和为272 10. 在棱长为的正方体中，分别为的中点，点是正方体侧面上的一动点（含边界），则下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 当点为棱的中点时，直线与直线平行 C. 若保持，则点在侧面内运动路径的长度为 D. 过直线的平面截该正方体的内切球所得截面圆的面积的最小值为 11. 已知双曲线：的左、右焦点分别为、，、、是上的三个互不相同的动点，且与关于原点对称，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则有或 B. 若的周长为20，则的面积为 C. 的最大值为5 D. 设，的斜率分别为、，则的最小值为 三､填空题：直接写出最后结果，本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若双曲线的离心率为，则两条渐近线的方程为__________. 13. 若直线是曲线的一条切线，则__________. 14. 项数为的数列满足，当且仅当时（其中,规定：），称为“好数列”．在项数为6且的所有中，随机选取一个数列，该数列是“好数列”的概率为__________． 四､解答题：每小题必须写清楚必要的演算过程､推理过程，只写出最后答案的不给分，本大题共5小题，其中第15小题13分，第16-17小题每小题15分，第18-19小题每小题17分，共77分. 15. 某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示. （1）求的值; （2）若从高度在和中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在内的株数为，求 的分布列及数学期望； （3）以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在的条件下，至多 1株高度低于的概率. 16. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且. （1）求角的大小； （2）求的取值范围. 17. 如图，在多面体中，平面平面，底面为直角梯形，，，，，． （1）证明：； （2）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18. 已知双曲线C：（，）的一个焦点为，点在C上. （1）求C的方程； （2）已知点，，B为线段PQ上一点，且直线AB交C于D，E两点，证明：. 19. 已知函数． （1）当时，证明：有且仅有一个零点； （2）若曲线与相切． （ⅰ）求a； （ⅱ）当时，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市两江新区重庆第十八中学两江实验中学高2026届 高三上学期期末考试 数学试题卷 注意事顶： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上； 2.回答选择题时，选出每小题的答案后，用0.5毫米黑色铅笔把答题卡上对应题目的答案 标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号； 3.回答非选择题时，将答案填写在答题卡对应的区域上，在试题卷上作答无效； 4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 本试卷考试时间：120分钟，试卷满分：150分 一､单选题：每小题只有一个符合题目要求的选项，本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合中的不等式的解集，然后利用交集的定义求解即可. 【详解】因为集合， 或， 所以. 故选：D. 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算法则求出，再根据共轭复数和虚部的定义求解即可. 【详解】因为，所以， 得到，故的虚部为. 故选：A 3. 已知是定义域为的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数是奇函数，再结合指数和对数运算公式，即可求值. 【详解】因为，所以，所以， 又是奇函数，所以. 故选：B 4. 从中任取2个数字，从中任取2个数字，一共可以组成没有重复数字四位数有（ ） A. 216个 B. 162个 C. 108个 D. 180个 【答案】D 【解析】 【分析】对首位数字分类讨论并结合组合数的性质求解即可. 【详解】当选的数字包括时，共有种数字组合， 而不能放在首位，则每个组合的情况数为个， 可得总情况数共有个， 当选的数字不包括时，共有种数字组合， 此时每个组合的情况数为个， 可得总情况数共有个， 即一共可以组成没有重复数字四位数有个，故D正确. 故选：D 5. 已知向量，若，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由投影向量的公式计算得到答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以，所以， 在上的投影向量为， 故选：C. 6. 设抛物线的焦点为，不经过的直线与交于、两点，与轴交于点，已知点的坐标为，且与的面积之比是，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由点在抛物线上得的方程为，再根据，得，进而得，即可得. 【详解】由题知点在抛物线上，故，即. 所以抛物线的方程为，焦点为，准线方程为， 如图，，， 所以， 又由点知，故， 所以 故选：B 7. 已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，以其底面圆心为球心，底面半径为半径的球和圆锥表面的交线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作圆锥的球的截面图，确定球与圆锥的交线，结合交线的形状大小确定结论. 【详解】作圆锥的轴截面，该截面与半球的截面为半圆，设半圆与分别交于点， 如图，由已知，为边长为的等边三角形，的中点为球心，半圆的半径为， 因为点在半圆上，所以，，， 所以，故点为的中点，同理可得为的中点，所以， 所以由对称性可得，圆锥与球的交线为两个圆，一个为圆锥的底面圆，周长为， 另一个为所有母线的中点构成的圆，周长为， 所以交线长为． 故选：D. 8. 已知函数有两个极值点，则的最小整数值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知在内存在两个变号零点，令，可得出，构造函数，，利用导数分析函数的单调性，可得出即在内有两个不同的根，令，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出的取值范围，即可得出的取值范围，即可得解. 【详解】函数的定义域为， 问题等价于在内存在两个变号零点， 即在内有两个变号零点， 因为，令， 问题可以转化为关于的方程在内有两个不同的解， 又方程可化为，即， 令，，则在区间上恒成立， 所以函数在区间上单调递增. 又，所以，即，所以问题等价于， 即在内有两个不同的根， 令，则， 当时，，函数在区间上单调递增； 当时，，函数在区间上单调递减， 所以函数在处取得极大值， 由图象可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，且其横坐标分别为、， 又，所以，所以的最小整数值为， 故选：B. 二､多选题：每小题有至少两个符合题目要求的选项，本大题共3小题，每小题6分，共18分；每小题全部选对得6分，对而不全得部分分，有错选､不选不得分. 9. 已知等差数列的前项和为，且，，则（ ） A. 公差 B. C. D. 数列的前31项和为272 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用等差数列的基本量计算，可判断A、B；据数列的增减性，可判选项C正误；对于D，根据等差数列求和公式，结合分组求和，可得答案. 【详解】为等差数列，，， 则，解得， 所以，故A错误，B正确； 令，解得， 所以，所以，故C正确； 因为，则， 所以， 进而数列的前31项和 ，故D正确. 故选：BCD. 10. 在棱长为的正方体中，分别为的中点，点是正方体侧面上的一动点（含边界），则下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 当点为棱的中点时，直线与直线平行 C. 若保持，则点在侧面内运动路径的长度为 D. 过直线的平面截该正方体的内切球所得截面圆的面积的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】以正方体顶点为原点建立空间直角坐标系，得到顶点的坐标和中点的坐标，然后利用空间向量数量积的坐标运算求得异面直线与所成角的余弦值，判断A选项；求得与的坐标，根据平行向量的坐标关系判断直线与直线是否平行，判断B选项；由题可得点的运动轨迹，然后求得点在侧面内运动路径长，判断C选项；由空间向量投影求得球心到直线的距离，即可求得球心到过直线的平面的最大距离，从而求得截面圆的半径，然后得到其面积，判断D选项. 【详解】以正方体顶点为原点，建立如图空间直角坐标系，则. 则. 对于A，， 所以，故A正确. 对于B，若点为棱的中点，则，所以. 因为，所以不存在实数，使得，所以B错误. 对于C，因为，所以点在以点为球心的球面上. 又点是正方体侧面上的动点（含边界），所以点在侧面内运动轨迹是球的球面与侧面的交线. 因为侧面，且， 所以点在侧面内运动轨迹是以为圆心的圆与侧面内的交线，即圆心角为的圆弧，且半径为. 所以其路径长为.所以C正确. 对于D，易得正方体的内切球球心为正方体的中心，所以，半径为1. 所以，所以球心到直线的距离为， 所以球心到过直线的平面的最大距离为，此时截面圆的面积最小. 截面圆半径为，所以此时的截面圆面积为.所以D正确. 故选：ACD. 11. 已知双曲线：的左、右焦点分别为、，、、是上的三个互不相同的动点，且与关于原点对称，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则有或 B. 若的周长为20，则的面积为 C. 的最大值为5 D. 设，的斜率分别为、，则的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A，根据双曲线的定义求解判断；对B，由双曲线定义、余弦定理结合三角形面积公式求解；对C，由数量积的坐标运算求解；对D，由点差法结合重要不等式求解. 【详解】对于A：由双曲线：，可得， 所以，所以， 所以双曲线：的左、右焦点分别为、， 所以，若，则， 所以或，又在右支时，， 在左支时，， 所以或，故A对； 对于B：若的周长为20，则，又， 由对称性，不妨设，所以， 由余弦定理可得， 所以， 所以的面积为，故B正确； 对于C：设，则， 所以， 当且仅当时，取等号，故C正确； 对于D：设，由，可得， 所以，则可得， 所以，当且仅当取等号， 又时，三点共线，由题意，三点不能共线，故D错误. 故选：ABC. 三､填空题：直接写出最后结果，本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若双曲线的离心率为，则两条渐近线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将离心率用含的式子表示，解方程即可得解. 【详解】因为双曲线的离心率为， 所以，解得，所以. 所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为： 13. 若直线是曲线的一条切线，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设出直线与曲线的切点，根据曲线在点处导数的几何意义是曲线在点处切线的斜率列出方程即可求解. 【详解】设直线与曲线相切于，则； 所以，解得，所以； 又，所以，解得. 故答案为：. 14. 项数为的数列满足，当且仅当时（其中,规定：），称为“好数列”．在项数为6且的所有中，随机选取一个数列，该数列是“好数列”的概率为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据分布乘法求出所有的个数，由0出现的次数讨论数列是“好数列”的个数，利用概率公式计算即可. 【详解】由题意，因为项数为6且， 所以每一项都有两种选择，根据分布乘法计数原理， 可构成的数列个数为个， 由题意，若为“好数列”，则意味着若，其前一项与后一项相等， ①则若中没有0，则数列为，不符合题意， ②若中有1个0，不论0在那个位置，都会出现3个1相邻，不符合题意， ③若中有2个0，则，，符合“好数列”定义； ④若中有3个及以上0，若0相邻，根据定义，数列只能为， 若0不相邻，只能1和0间隔出现，会出现两个0中间出现1，不符合题意， 综上，符合题意的“好数列”只有4个， 所以数列是“好数列”的概率为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解“好数列”的定义，根据题意能列出符合条件的数列. 四､解答题：每小题必须写清楚必要的演算过程､推理过程，只写出最后答案的不给分，本大题共5小题，其中第15小题13分，第16-17小题每小题15分，第18-19小题每小题17分，共77分. 15. 某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示. （1）求的值; （2）若从高度在和中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在内的株数为，求 的分布列及数学期望； （3）以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在的条件下，至多 1株高度低于的概率. 【答案】（1）； （2）分布列见解析，； （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1，即可求解； （2）首先确定高度在和的株数，再按照超几何分布，即可求解； （3）根据独立重复概率公式，以及条件概率公式，即可求解. 【小问1详解】 依题意可得，解得； 【小问2详解】 由（1）可得高度在和的频率分别为和，所以分层抽取的5株中，高度在和的株数分别为2和3，所以可取0，1，2. 所以，， 所以的分布列为： 所以 【小问3详解】 从所有花卉中随机抽取株，记至少有株高度在为事件，至多株高度低于为事件， 则，， 所以. 16. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且. （1）求角的大小； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用同角三角函数关系计算化简，再结合正弦定理和余弦定理计算求解； （2）先应用诱导公式再应用两角和公式计算结合正弦函数值域求解. 【小问1详解】 因为， 所以. 所以. 由正弦定理，得，即. 因为， 所以. 【小问2详解】 . 因为为锐角三角形，且，所以， 所以，所以， 所以的取值范围为. 17. 如图，在多面体中，平面平面，底面为直角梯形，，，，，． （1）证明：； （2）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可证得，再根据平面平面得到平面，进而求证即可； （2）建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的空间向量公式求解即可. 【小问1详解】 因为，，， 所以，则． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以． 【小问2详解】 存在，由（1）知，平面且， 以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，， 设， 则． 设平面的一个法向量为， 则，故可取． 设点到平面的距离为， 则，解得或（舍）． 所以在线段上存在点，且． 18. 已知双曲线C：（，）的一个焦点为，点在C上. （1）求C的方程； （2）已知点，，B为线段PQ上一点，且直线AB交C于D，E两点，证明：. 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程组求出，即可得出C的方程. （2）根据四点共线，要证，即证，设出直线方程并与双曲线方程联立，利用韦达定理，结合数量积的坐标表示计算得证. 【小问1详解】 由双曲线的一个焦点为，得， 由点在双曲线上，得，解得，， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 设，，则直线AB方程为， 由，消去得， 由直线AB交C于D，E两点，得， 解得，且，且，， 当时，在A的异侧，在B的同侧；当时，在A的同侧，在B的异侧， 则总有， ， 所以. 19. 已知函数． （1）当时，证明：有且仅有一个零点； （2）若曲线与相切． （ⅰ）求a； （ⅱ）当时，证明：． 【答案】（1）证明见解析； （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据已知，根据其单调性结合零点存在性定理，即可证； （2）（i）利用导数几何意义求切线方程，由切线重合列方程求参数；（ii）设并应用导数研究函数值符号，即可证. 【小问1详解】 当时，，显然是增函数， 而，故在区间上有零点， 结合的单调性可知，在R上有且仅有一个零点． 【小问2详解】 （ⅰ）不妨记切点为，则， 由， 故切线方程为， 即， 令其与重合，故， 则， 若，显然有，这与题设条件矛盾， 若，由可知二者不在处相切，矛盾， 故，于是，经验证符合题意， 综上，； （ⅱ）设，则， 由可知，设， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增，故， 于是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $