20.3.1 离差平方和与方差 课件2025-2026学年沪科版数学八年级下册

沪科版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月4日 20.3.1 离差平方和与方差 第20章 数据的初步分析 沪科版数学八年级下册 20.3.1 离差平方和与方差 练习题 一、选择题（每题3分，共15分） 1. 下列关于离差平方和的说法，正确的是（ ） A. 离差平方和是各数据与平均数差的平方的和，恒为正数 B. 离差平方和越大，数据的波动越小 C. 离差平方和为0时，所有数据都不相等 D. 离差平方和与数据的波动没有关系 2. 方差的计算公式是（ ）（其中\(\bar{x}\)为样本平均数，n为样本容量，x_i为第i个数据） A. s^2 = \(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})\) B. s^2 = \(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2\) C. s^2 = \(\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2\) D. s^2 = \(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i - \bar{x}\) 3. 已知一组数据：2、4、6、8、10，其平均数为6，则这组数据的离差平方和为（ ） A. 20 B. 40 C. 80 D. 160 4. 两组数据的样本容量相同，下列说法正确的是（ ） A. 离差平方和越大，方差越小 B. 离差平方和越小，方差越大 C. 离差平方和与方差成正比 D. 离差平方和与方差成反比 5. 已知一组数据的方差为0，则这组数据的特点是（ ） A. 所有数据都为0 B. 数据的平均数为0 C. 所有数据都相等 D. 数据的个数为0 二、填空题（每题3分，共15分） 1. 一般地，设n个数据x_1、x_2、…、x_n的平均数为\(\bar{x}\)，则各数据与平均数的差的平方的和，叫做这组数据的______，记作Q，即Q = \(\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2\)。 2. 方差是离差平方和与______的比值，它反映了一组数据的______程度。 3. 已知一组数据：1、3、5、7、9，其平均数为5，则离差平方和为______，方差为______。 4. 若一组数据的方差为2，样本容量为5，则这组数据的离差平方和为______。 5. 一组数据：4、4、4、4、4，其离差平方和为______，方差为______。 三、解答题（共70分） 11.（10分）已知一组数据：3、5、7、9、11，求这组数据的离差平方和与方差。 12.（12分）某小组5名同学的数学成绩分别为：85、90、92、88、95，求这组成绩的： （1）平均数； （2）离差平方和； （3）方差。 13.（12分）已知一组数据：2、4、x、6、8，其平均数为5，求： （1）x的值； （2）这组数据的离差平方和； （3）这组数据的方差。 14.（12分）某商店一周内每天的营业额（单位：万元）分别为：12、15、13、14、16、13、14，求这组数据的离差平方和与方差（结果保留两位小数）。 15.（12分）已知两组数据，甲组：1、2、3、4、5；乙组：11、12、13、14、15。 （1）分别计算甲组和乙组的离差平方和与方差； （2）比较两组数据的方差，说明它们的波动大小关系。 16.（12分）已知一组数据的离差平方和为40，样本容量为10，且这组数据的平均数为8，求： （1）这组数据的方差； （2）若将这组数据中的每个数据都加上2，求新数据的离差平方和与方差。 参考答案 一、选择题 1. A 2. B 3. B 4. C 5. C 二、填空题 1. 离差平方和 7. 样本容量n；波动 8. 40；8 9. 10 10. 0；0 三、解答题 1. 解：平均数\(\bar{x}\)=(3+5+7+9+11)÷5=7； 离差平方和Q=(3-7)²+(5-7)²+(7-7)²+(9-7)²+(11-7)²=16+4+0+4+16=40； 方差s²=40÷5=8。 2. （1）平均数\(\bar{x}\)=(85+90+92+88+95)÷5=90分； （2）离差平方和Q=(85-90)²+(90-90)²+(92-90)²+(88-90)²+(95-90)²=25+0+4+4+25=58； （3）方差s²=58÷5=11.6。 3. （1）由(2+4+x+6+8)÷5=5，解得x=5； （2）离差平方和Q=(2-5)²+(4-5)²+(5-5)²+(6-5)²+(8-5)²=9+1+0+1+9=20； （3）方差s²=20÷5=4。 4. 解：平均数\(\bar{x}\)=(12+15+13+14+16+13+14)÷7=14万元； 离差平方和Q=(12-14)²+(15-14)²+(13-14)²+(14-14)²+(16-14)²+(13-14)²+(14-14)²=4+1+1+0+4+1+0=11； 方差s²=11÷7≈1.57。 5. （1）甲组：平均数=3，离差平方和=(1-3)²+(2-3)²+(3-3)²+(4-3)²+(5-3)²=4+1+0+1+4=10，方差=10÷5=2； 乙组：平均数=13，离差平方和=(11-13)²+(12-13)²+(13-13)²+(14-13)²+(15-13)²=4+1+0+1+4=10，方差=10÷5=2； （2）两组数据的方差相等，说明它们的波动大小相同。 6. （1）方差s²=40÷10=4； （2）每个数据都加上2，平均数变为8+2=10，各数据与新平均数的差不变，故离差平方和仍为40，方差仍为4。 学习目标 1.理解方差的概念及统计学的意义. 2.会计算一组数据的方差. 情景导入 问题 两台机床都生产直径为（20±0.2）mm 的零件，为了检验产品质量，从产品中各抽出10个零件进行测量，结果如下（单位：mm）： 机床A 20.0 19.8 20.1 20.2 19.9 20.0 20.2 19.8 20.2 19.8 机床B 20.0 20.0 19.9 20.0 19.9 20.2 20.0 20.1 20.1 19.8 思考 如何评判哪台机床生产的零件的精度更稳定？ 我们常用平均数、中位数、众数来刻画数据的“集中水平”，但在有些情况下只有“集中水平”是不够的，如评价选手的射击水平、机器加工零件的精度、手表的走时误差，还需要用一个新的数来刻画一组数据的波动情况. 要比较零件的精度，首先想到比较两组数据的平均值： ，它们的中位数也都是 20.0 mm， 从数据的集中趋势这个角度很难区分两台机床生产零件的精度的稳定性. 这时需要考察数据的离散程度. 推进新课 数据是由一个标准基数+浮动值构成的，这样可以减小计算量 将每台机床生产的10个零件的直径用散点图表示. 零件直径的平均数所处的位置 偏离平均数0.2mm 偏离平均数0.1mm 6个 2个 2个 4个 直观上，容易看出机床 B 比机床A 生产的零件的精度更稳定. 将 称为这组数据的方差，记作 s2 . 设一组数据是 x1，x2，…，xn，它们的平均数是 . 将 称为这组数据的离差平方和，可以简记为 . 离差平方和： 方差： 当数据个数较多时，离差平方和的值将变得很大，而且当几组数据个数不相等时，不能用离差平方和衡量数据的离散程度. 在实际操作中，我们一般选用方差来衡量数据的离散程度，而离差平方和常常会出现在回归分析等多种分析方法中. 离差平方和： 方差： 离差平方和与方差都具有如下性质： （1）最小值为0； （2）数据的离散程度大，它们的值也大. 机床A 20.0 19.8 20.1 20.2 19.9 20.0 20.2 19.8 20.2 19.8 机床B 20.0 20.0 19.9 20.0 19.9 20.2 20.0 20.1 20.1 19.8 问题 离差平方和： MA = （20－20）2 + （19.8 －20）2 + … + （19.8－20）2 = 0.26. MB = （20－20）2 + （20 －20）2 + … + （19.8－20）2 = 0.12. 方差： 离差平方和0.26 > 0.12，方差0.026 > 0.012，可知机床 A 生产的 10 个零件直径比机床 B 生产的 10 个零件直径波动要大. 机床 B 生产的零件精度更稳定 操作步骤： （1）设定 SD 模式：打开计算器后，先按键 MODE 2 ，将其设定至开始状态； （2）按键 SHIFT CLR 1 （SCL）= ，清除计算器原先在 SD 模式下所储存的数据； （3）依次按键：20.0 DT 19.8 DT 20.1 DT 20.2 DT 19.9 DT 20.0 DT 20.2 DT 19.8 DT 20.2 DT 19.8 DT 输入数据； 用计算器计算 操作步骤： （4）按键 SHIFT S-VAR 2 = ，显示方差的算式平方根为 0.161 245 155 ； （5）按键 x2 = ，显示方差为 0.026 . 因此， = 0.026. 用计算器计算 用电子表格软件计算 1. 如果一组数据 a1，a2，…，an 的平均数为 ，方差为 s2，那么，另一组数据 a1+2，a2+2，…，an+2 的平均数为 ，方差为 . s2 2. 如果一组数据 b1，b2，…，bn 的平均数为 4，方差为 ，那么另一组数据 的平均数为 ，方差为 . 2 1. 将一组数据中的每一个数据都加上(或减去)同一个常数，所得的一组新数据的方差不变. 2. 将一组数据中的每一个数据都变为原来的 k倍，所得的一组新数据的方差变为原数据方差的 k2 倍. 随堂练习 1.已知一个样本的方差 ， 则这个样本的容量为 ，平均数为 . 10 26 2.甲、乙两名运动员进行了 5 次跳远的成绩测试，且知 s2甲 = 0.016，s2乙 = 0.025，由此可知 的成绩比 的成绩稳定. 甲 乙 3.九年级两名男同学在体育课上各练习 10 次立定跳远，平均成绩均为 2.20 m，要判断哪一名同学的成绩比较稳定，通常需要比较这两名同学立定跳远成绩的 （ ） A.方差 B.众数 C. 平均数 D.中位数 A 1星题 基础练 1．已知一组数据：5，6，6，6，7，这组数据的平均数是__________，离差平方和是__________，方差是________. 6 2 0.4 4 6 中考考法 18 3．[盐城三模]甲、乙两款智能手环分别对同一用户进行15次静息心率监测(单位：次/min)，监测数据的平均值均为72次/min，心率波动的方差分别为s甲2＝1.3，s乙2＝1.7，则在此次监测中，采集到更稳定心率数据的手环是________．(填“甲”或“乙”) 甲 中考考法 19 4．甲、乙、丙、丁四个旅行团的游客人数都相等，每个团游客的平均年龄都是32岁，年龄的方差分别是s甲2＝27，s乙2＝19，s丙2＝1.6，s丁2＝7，导游小明喜欢带游客年龄相近的团队，则在这四个团中，他应选________团. 丙 中考考法 20 5．油菜花不仅美化环境，还具有经济价值．某农科院培育了甲、乙、丙三个品种的油菜花，并统计了这三个品种油菜花近三年的亩产量平均数和方差，具体数据如下表： 中考考法 21 现从中选取一个亩产量高且稳定的优良品种进行大面积种植，应选择________品种(填“甲”“乙”或“丙”). 乙 中考考法 22 课堂小结 可以用__________________来衡量一组数据的离散程度. 离差平方和、方差 离差平方和： 方差： 最小值为0 数据的离散程度大，它们的值也大 2．[临沂二模改编]已知一组数据的方差为s2＝[(x1－6)2＋(x2－6)2＋(x3－6)2＋(x4－6)2]，则这组数据的样本容量是________，平均数是________. $