江苏省苏锡常镇四市2025-2026学年高三下学期教学情况调研（二）数学试题

2025~2026学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二) 数学（参考答案) 2026.5 一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分， 题号 1 3 4 5 6 8 答案 D D A D B 二、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 题号 9 10 11 答案 ABC AC ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.26 13.4 14.:卢（第一空3分，第二空2分） 4 四、解答题：本题共5小题，共77分 15.(13分) 解：(1)因为c0s2A=2cos2A-1=-2,所以c0S2A= P 16 因为A是锐角，所以cosA>0,所以cosA=二， …2分 4 所以血4-oV 因为a=bsinA,所以由正弦定理a b 得sinB=1, sin A sin B 又因为B∈(0，)，所以B=T, …4分 2 因为A+B+C=元，所以A+C=, 2 以由正弦定理得a+c=sT上=sinA+sin(-)=sin4+cos4=V15+ b sinB 4 …6分 (2)由余弦定理a2=b2+c2-2 becosA得20=5c2-c2,解得c=√5，…8分 所以b=2c=2W5. …9分 因为CD∥AB,所以∠CDA=∠BAD=∠CAD, 所以CA=CD=b=2N5. 11分 数学参考答案第1页（共6而） 因为cD/AB,所以∠ACD=x-A,所以s咖AcD=smk-A利=s如A= 4 所以△4CD的面积m=C,cD-s咖∠4CD=x25x25x店_5西 4 2 …13分 16.(15分) 解：(I)法一：取BC中点F,连结EF,AF. 因为E是8C的中点，所以EF∥B,B且EF=B,B. 由直三棱柱的性质知BBW4A且BB=A4,所以EF∥AA且EF=A4, 又因为D是AA的中点，所以EF∥DA且EF=DA, 所以四边形ADEF为平行四边形，所以AF∥DE,…3分 因为DE⊥平面BCCB,所以DE⊥BC,所以F⊥BC,…6分 又因为F是BC的中点，所以AB=AC.…7分 法二：由直三棱柱的性质知AA⊥平面ABC, 因为AB,ACC平面ABC,所以AA⊥AB,AA⊥AC, 又因为AB⊥AC,所以AB,AC,AA两两垂直.… …2分 D月 以A为坐标原点，AB,AC,AA所在直线分别为x,y,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O-2. 0(d) 设AB=a,AC=b,AA=c, 则B(a,0,0),C0,b,0),A(0,0c),B(a,0,c. 因为D,E分别为A4和BC的中点，所以D0,0,S,E号，，，DE=号，名，0. 、2221 2 因为DE⊥平面BCCB,所以DE⊥BC, 又因为Bc=(←a,b,0),所以DEBC=-0+ =0, …6分 22 由a>0,b>0解得a=b,即AB=AC.… …7分 (2)法-：在等腰直角△BC中，因为AB=1,所以BC=V2,A=BC-2 2 2 由(I)知，DE1平面BC,A且D6=AR= 2 设B到平面BCD的距离为d,A4=h>1, 数学参考答案第2页（共6页） 装能月-0的体队。片md4,停+今。 …9分 又因为三棱锥D-BC8的体积，cm=}Saoa3DE= 3 6 所以由等华积法%心=火4得治得牙-会解得 ,1,R_h …11分 VR2+2 因为直线BC与平面BCD所成角的正弦值为2，所以，三V2h-V么 BC2+h2-3 ,…13分 所以h2-3h+2=0,因为h>1,所以h=2,即A4的长为2.…15分 法二：因为a=b=1,所以由(1)知BC=(-1,1,0),BD=(-1,0,S),B,C=(-1,1,-c), …9分 设平面BCD的一个法向量为n=(x,y,z), 则 D=-x+2=0,取x=1,则y-12=名.即m=0,13.…1分 n.BC=-x+y=0, 设直线B,C与平面BCD所成角为0，则sin8= B.C.n …13分 IBCI-Iml 2 即 2 4 2+c22+ 4 3 化简得c+之-5， 因为c=A4>1,所以c=2,即九A的长为2.…15分 17.(15分) 解：(1)因为f)=血x2,所以=2血x …2分 当0<x<1时，∫'(x)<0,∫(x)单调递减：当x>1时，'(x)>0,f(x)单调递增， …4分 所以∫(x)的极小值为∫仙)=0，无极大值.…7分 (2)因为∫回=2，所以y=∫)在点Pc,∫》处的切线方程为y-⊙=x-c, 即y=总x-,所以8)=名x-1. 2 …9分 设h)=f)-g)=mx2-2x+1,则A时=2血x_2 设=0W=21血x_2,则r=20-血 …11分 x c 数学参考答案第3页（共6页） 当0<x<c时，t(x)>0,t(x)单调递增：当x>e时，t'(x)<0,t(x)单调递减， 所以t(x)的最大值为t(c)=0, 即h'(x)≤0，所以h(x)在(0，+o)上单调递减. … …13分 因为h(e)=0,所以当0<x<c时，h(x)>h(c)=0:当x>e时，h(x)<h(c)=0, 所以h(x)x-c)=[U(x)-g(x(x-c)≤0，不等式得证.…15分 18.(17分) 解：（1)设E的焦距为2c. 因为离心率为三=5，所以c= 2 因为15，所以+=2a-2-2d2-c=5, …2分 所以a=2,进而c3a三5，b三a-C21,4g 2 所以E的标准方程为父+y=1. …5分 (2)①当P的横坐标为1时，P0,2,M5,孕， 因为P为线段QM的中点，所以Q2-5,, 8k2有a425所议人m8分 k”k ②设M(:,y),N(k2,2),直线MN的方程为y=x+m. 由x+m:得5X+8mx+4m2-4=0, 1X+4y2=4, 所以名+x2=- 5,5=4m2-4 8m …10分 5 因为P为线段MB上的动点，直线AB的方程为y=-7x+1,所以P2-2%,): 因为P=PM,所以(4-4y-x,y),所以B亚=(4-4y-x,片-). 因为B,Q,N三点共线，所以BO∥BN, 又因为B=(:为-1)，所以xy-)=0y2-14-4y-x), 将y=x+m,为2=x2+m代入上式并化简，得6xx2+5(m-1(s+x)+4(m-1)2=0, 即6（4m-9+5m--8+4m-2=0,解得m=1.14分 5 当m=1时，M(0,),与点M在第一象限内矛盾，舍去： 数学参岁答案第4页（共6页） 当m=-1时，直线MN的方程为y=x-1,x+与=- 8m8 4m2-4」 1=0, 5 8 因为≥巧所以兮出=0 y=x-1, 又由{1 …15分 844 所以是-we,C-。-。-0_三.0 2 S:INGI IAGI IxG-x112-x 4. …17分 02-5 5 19.(17分) 解：(1)因为a。+201+a2=3,所以(a。+ai)+(a1+a2)=3, 由(a。+a)+(a1+a)=3和(a1+a2)+(an2+a)=3,得a,+a1=aa2+a3 …2分 因为a,+a,=1,所以41+43=4+a4=…=a2025+a2026=1, 所以S2=(a+a)+(%+a)+…+(a0心5+凸2o26)=1×1013=1013.…3分 (2)因为a,+2a1+a2=2n+1,所以(a。+a)+(a1+a+2)=n+(m+), 即(a1+a)-(a+1)=(a,+a)-川， 因为4+a-1=0,所以(a。+a)-n=a+a-1=0,即a,+a1=n, 所以4-2-a-20,因为4-0，所以a=20, …5分 4 4 所以又=4+a++a-知+3+…+n-明-号 …6分 因为54<4a,所以a+少<2n-1,化简得2-6m+5<0,解得1<n<5, 4 所以满足不等式S1<4a。的所有正整数n为2,3,4，…8分 (3)因为a。+2a1+a:=4cos20sin(2n+1)9, 所以(a。+a:)+(a。:+a.,2)=4cos20sin(2n+1)9=2cos0(sin2n0+sin(2n+2)8), (a+a)-2cossin(2n+2)0=-(a+a)-2cossin 2ne], 因为a,+a:=sin8+sin30=2cos0sin20,所以a,+a-2cos0sin20=0, 所以(a。+a)-2cos0sin2n0=0,即a。+a1=2cos0sin2n0,…10分 又因为a。+a.1=2cos0sin2n0=sin(2n+1)8+sin(2n-l)9, 所以a1-sin(2n+1)8=a。-sin(2n-l)0], 又因为4，-sin0=0,所以a,=in(2n-l1)9.…11分 数学秒考答案第5其（共6页) 令双=品+品+品+0 2+…+in2m-02 3”-1 因为0e0,),所以0<sin(2n-1)0≤1，又因为3≥1，所以3”-1≥2-31， 1,1 ≤，1+1+1 1 所以Z3++3-2x32x32xu+1 2 2x3m< 1- …14分 因为血9=血0s血9+血9sn30++s如9s2n-g 3-1 32-1 3”-1 ≥血9sm0+血9sin30+…+血9sim2n-l0 3”-1 3"-1 3"-1 1 1-cos20 cos20-cos40cos(2n-2)0-cos2ne 3”-12 2 2 1-cos2ne 2sin2ne sin2ne 2(3°-1) 23-可>3”，所以T>sin2n0 3"sin' 综上所述，如n2<马+马+…+，0<号 3°sin0283”-14 …17分 数学参考答案第6页（共6页）2025~2026学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二) 数学 2026.5 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合A={xx2-2x≤0，x∈Z,B={-1,0,1,2,3},则A∩B= A.{0,1 B.{-1,1,2} C.{0,1,2 D.{1,2,3} 2.设i为虚数单位，若复数z=1+bi(b∈R)满足z-z=2i,则z·z= A.1 B.2 C.5 D.10 3.某市高三年级共有男生20000人，已知他们的身高X(单位：cm)近似服从正态分布 N170,52),则身高落在区间170,175)]内的男生人数约为 (参考数据：若X~N(μ，G2),则P4-g≤X≤H+g)≈0.6827) A.3413 B.5120 C.6827 D.10328 4.在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，若AB=mAE+nAD,则 Am-= B.m-n=2 C.m+n=一 5.已知a>0,则(ax+)》关于x的展开式中各项系数之和的最小值为 A.2 B.4 C.8 D.16 6.已知a>0,b>0,0<c<1,则“a°<b<1”是“c°<c°<1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7,如图，已知圆锥的轴截面为正三角形PAB,底面圆心为O, OD⊥PB,垂足为D,线段OD绕轴PO旋转一周所得的曲面将 圆锥分割成上下两个几何体，则上下几何体的体积之比是 A. B C. (第7题图) 数学试题第1页（共4页） 8. 已知函数倒x-3x+xk>2》,8(=。点(e为自然对数的底数)，若对任意 x∈[0,2]，总存在x2∈[0,2]，使得∫(x)≤g(),则实数k的最大值为 A是 B. C.e D.25 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选顶中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知3张奖券中只有2张有奖奖券，甲、乙2名同学依次随机抽取1张奖券.记事件A 为“甲中奖”，事件B为“乙中奖”，则下列说法正确的有 A.若抽取后放回，则P(A)=P(B) B.若抽取后不放回，则P(A)=P(B) C.若抽取后放回，则P(B)=P(B|A)D.若抽取后不放回，则P(B)=P(B|A) l0.已知在△ABC中，tanA+tanB+tanC=√5 tan Atan B.设函数f(x)=sinx-sin(x+C), 则 A.C= 3 B.f在区间[-行孕上单调递增 C.f(A+3B)+f(3A+B)=0 D.f(x)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点 11.在平面直角坐标系xOy中，已知P是双曲线E:x2-y2=1上任意一点，射线OP上的 点2(x。,,)满足|OP川O2=1.记2的轨迹为2，则下列说法正确的有 A.2关于x轴、y轴、原点O都对称 B,2上的点到原点O的距离的最大值为1 C.存在2∈2，使得2到点(-√2,0)和点(N2,0)的距离之差大于2 D.任意Qen,1W≤要 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知数列{a,}是各项均为正数的等比数列，设Tn=na,+(n-1)a2++2a1+a。, 若T=1,T=11，则T=▲一 13.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C:y2=2x(p>0)的准线为1，点P1,)在 C上，以P为圆心的圆与1相切且截y轴所得的弦长为4W2,则p=▲ 14.甲、乙两人进行抽卡游戏：每一局游戏中，将编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的8张 卡片的背面朝上并搅匀，甲先从中随机抽取2张卡片，乙再从剩下的卡片中随机抽取 1张卡片.记a为甲抽取的2张卡片中较大编号者的编号，b为乙抽取的卡片的编号， 当a<b<2a时，称该局为“默契局”，则一局游戏成为“默契局”的概率为▲： 游戏规定：出现“默契局”时，乙得2分，甲得0分，否则乙得0分，甲得1分，则 三局游戏后甲、乙两人得分之和X的数学期望E(门=▲一 数学试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 记△MBC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知A是锐角，cos2M=-7 (1)若a=bsin A,求a+c的值： b (2)若a=2W5,b=2c,CD∥AB,AD平分∠BAC,求△ACD的面积. 16.(15分) 如图，在直三楼棱柱ABC-AB,C,中，AB⊥AC,D,E分别 B 为AA和BC的中点，DE⊥平面BCCB· D (1)证明：AB=AC: (2)若AB=1,4>AB,直线B,C与平面BCD所成角的 正弦值为三，求M的长 3 (第16题图) 17.(15分) 已知函数f(x)=(血x,曲线y=f(x)在点P(e,f(e》处的切线方程为y=g(x)(e为 自然对数的底数) (1)求f(x)的极值： (2)证明：[U(x)-gx)x-e)≤0. 数学试题第3页（共4页） 18、(17分) 在平面直角坐标系x0y中，已知椭圆：子+ +岁=1>b>0的离心率为5，右顶点 2 和上顶点分别为A和B,|AB=√5. (1)求E的标准方程： (2)设P为线段AB上的动点，过P作平行于x轴的直线与E在第一象限内交于点M, 点Q满足OF=PM,延长线段BQ交E于另一点N. ①当P的横坐标为1时，记直线BM和BN的斜率分别为k和，求上+上的值： k k2 ②当直线MN的斜率为1时，直线MN与线段AB交于点G,记△BGM和△AGN的 面积分别为S和3，求的值， 19.（17分) 我国北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中的隙积术，给出了二阶等差级数的求和方法， 通过“构造”来研究数列问题，体现了构造法在数列研究中的价值.例如，在数列{a}中， 已知a,+a1=n,可以通过两种思路来求解：一是构造a+2-a,=1,则数列{a,}的奇数项 和偶数项分别成等差数列：二是构造口， 2+1a2n马，则数列a-20马是等 4 4 比数列或常数列.请解决以下问题： 已知数列{a,}满足a。+2a1+a+2=(m),记Sn为{a,}的前n项和. (1)若a+a2=1,f(n)=3,求S2o26的值： 2)若4京品-是间-2+1，求满足不等式8<4，的所有正整数： (3)a =sine,a,=sin30,f(n)=4cos20sin(2n+1)0, 证明：当0e0,)时，sinine<+及++8< 3"sin028 3”-14 数学试题第4页（共4页）