精品解析：天津市滨海新区北京师范大学天津生态城附属学校2025-2026学年高二第二学期第一次月考数学试卷

北京师范大学天津生态城附属学校 2025—2026学年度高二年级第二学期第一次月考 数学试卷 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上，只交答题卡，试卷学生带走，以备讲评． 第Ⅰ卷（选择题，满分60分） 一、单选题：本题共12小题，共60分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=（ ） A. {x|2<x≤3} B. {x|2≤x≤3} C. {x|1≤x<4} D. {x|1<x<4} 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合并集概念求解. 【详解】 故选：C 【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题. 2. 已知命题：，，那么是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定方法求命题的否定即可得解. 【详解】由题可得是，. 故选：B 3. 展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n的值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式系数的性质知中间一项第4项二项式系数最大即可得解 【详解】因为只有一项二项式系数最大，所以n为偶数，故，得. 故选：C 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用分式不等式以及充分不必要条件的集合表示，可得答案. 【详解】由，可得或， 又集合是集合或的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 5. 已知，则等于（ ） A. -4 B. 2 C. 1 D. -2 【答案】B 【解析】 【分析】先求导，求出，得到，从而求出. 【详解】，令得：， 解得：， 所以， 故选：B 6. 函数在[0,3]上的最大值和最小值分别是 A. 5，-15 B. 5，-4 C. -4，-15 D. 5，-16 【答案】A 【解析】 【分析】求出，判断在[0,3]上的单调性，再进行求解． 【详解】，令，得或，所以当时，，即为单调递减函数，当时，，即为单调递增函数，所以，又，所以，故选A． 【点睛】本题考查利用导数求函数最值问题，考查计算能力，属基础题 7. 在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中，含的项的系数是 A. -15 B. 85 C. -120 D. 274 【答案】A 【解析】 【分析】本小题主要考查二项式定理展开式具体项系数问题．本题可通过选括号（即5个括号中4个提供，其余1个提供常数）的思路来完成． 【详解】的展开式中， 含项为五个括号中四个取还有一个括号取常数相乘得到， 故含的项的系数为 故选：A. 8. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】若函数在区间上单调递增， 则在上恒成立，又因为在上单调递减， 所以 . 9. 甲、乙、丙、丁、戊5名青年志愿者被分配到3个不同的岗位参加志愿者工作，每个岗位至少分配一人，丁与戊在同一岗位，则不同的分配方案有（ ） A. 18种 B. 21种 C. 24种 D. 36种 【答案】D 【解析】 【分析】根据丁与戊个人为一堆，以及选择1人与丁与戊构成一堆分为两类，再分配即可. 【详解】先把5人分成3堆，共有两类： 第一类：丁与戊个人为一堆，其它人分为一堆1人，一堆2人，所有分堆方式有：种， 再将三堆分配至3个岗位，共有：种； 第二类：从除去丁与戊的3人种，选择1人与丁与戊构成一堆，其它2人分为一堆1人，另一堆也是1人， 所有分堆方式共有：种，再将三堆分配至3个岗位，共有：种； 综上所述，所有的分配方案有：种. 故选：D. 10. 已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象判断其导数的正负情况，即可求得答案. 【详解】由函数的图象可知当或时，； 当时，， 等价于或， 故不等式的解集为， 故选：A 11. 已知函数（为自然对数的底数），若在上有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由得出，求出函数在区间上的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】由，即，得， 令，其中，，令，得，列表如下： 极小值 所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以，函数的最小值为，. 因此，实数的取值范围是. 故选：C. 【点睛】本题考查利用导数求解函数不等式能成立问题，利用参变量分离法转化为函数的最值是一种常见的解法，考查化归与转化思想的应用，属于中等题. 12. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据函数有两个极值点，求导，转化成方程有两个不同的正根.再设函数，分析其单调性即函数值的符号，数形结合，可求的取值范围. 【详解】因为（），所以. 因为函数有两个极值点，所以有两个不同的正的变号根. 由（）. 设（），则. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 且，，当时，. 所以要想方程（）有两个不同的解，须有， 即. 故选：D 第Ⅱ卷（非选择题，满分90分） 二、填空题：本题共8小题，共40分． 13. 要从5件不同的礼物中选出3件分送3位同学，不同方法的种数是_____． 【答案】60 【解析】 【分析】直接用排列数公式计算. 【详解】根据排列的定义，可知一共有5×4×3＝60种． 故答案为：60． 【点评】本题主要考查排列的应用．考查了定义法，逻辑推理能力和数学运算能力，属于容易题. 14. 曲线以点为切点的切线的倾斜角为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求得曲线在点处的切线斜率为，再根据斜率与倾斜角的关系即可求得答案. 【详解】对函数求导得， 所以，即曲线在点处的切线斜率为， 设切线的倾斜角为（），则，解得， 所以曲线以点为切点的切线的倾斜角为. 15. 函数的单调递增区间是__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的定义域，以及导函数，根据导函数的正负确定原函数的单调性，即可写出单调增区间. 【详解】因为，则其定义域为， ，令， 即可得，解得， 结合函数定义域可知，函数的单调增区间为. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用导数求解函数单调性，属基础题；本题的易错点是没有注意到函数的定义域. 16. 若展开式中的所有二项式系数和为512，则_____；该展开式中的系数为________（结果用数字表示）. 【答案】 ①. 9 ②. -84 【解析】 【分析】由二项式系数和为，即可求解的值，利用通项公式即可求得展开式中的系数． 【详解】由已知可得，解得， 则的展开式的通项为， 令，解得， 展开式中的系数为． 故答案为：9，． 17. 函数的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】解:， 函数 当且仅当，即时，上式取等号. 故答案为: . 【点睛】本题主要考查基本不等式，利用基本不等式的条件是“一正、二定、三相等”，属于基础题. 18. 如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种___________．（以数字作答） 【答案】72 【解析】 【分析】本题考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理，按照颜色的种数进行分为3种颜色和四种颜色依次讨论即可. 【详解】按照使用颜色的种类分类， 第一类：使用了4种颜色，2,4同色，或3,5同色，则共有(种)， 第二类：使用了三种颜色，2,4同色且3,5同色，则共有(种) 所以共有48+24=72(种) 故答案为：72 19. 若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为__________． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：利用导数判断函数在上的单调性，确定零点位置，求出参数,再根据函数在上的单调性确定函数最值，即可解出. 【详解】［方法一］：【通性通法】单调性法 求导得， 当时，函数在区间内单调递增，且，所以函数在内无零点； 当时，函数在区间内单调递减，在区间内单调递增． 当时，；当时，． 要使函数在区间内有且仅有一个零点，只需，解得． 于是函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，，所以最大值与最小值之和为． 故答案为：． ［方法二］： 等价转化 由条件知有唯一的正实根，于是．令，则，所以在区间内单调递减，在区间内单调递增，且，当时，；当时，． 只需直线与的图像有一个交点，故，下同方法一． ［方法三］：【最优解】三元基本不等式 同方法二得，，当且仅当时取等号， 要满足条件只需，下同方法一． ［方法四］：等价转化 由条件知有唯一的正实根，即方程有唯一的正实根，整理得，即函数与直线在第一象限内有唯一的交点．于是平移直线与曲线相切时，满足题意，如图． 设切点，因为，于是，解得， 下同方法一． 【整体点评】方法一：利用导数得出函数在上的单调性，确定零点位置，求出参数，进而问题转化为闭区间上的最值问题，从而解出，是该类型题的通性通法； 方法二：利用等价转化思想，函数在上有唯一零点转化为两函数图象有唯一交点，从而求出参数，使问题得解； 方法三：通过三元基本不等式确定取最值条件，从而求出参数，使问题得解，是该题的最优解； 方法四：将函数在上有唯一零点转化为直线与曲线相切，从而求出参数，使问题得解． 20. 已知函数，若对任意，存在，使成立，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到，从而转化为任意，有，根据二次函数性质分类求解即可. 【详解】对任意都存在使成立， 所以得到， 而，所以， 当时，，所以单调递减， 当时，，所以单调递增， 所以 即任意，使， 令 当时，即时，， 所以， 当时，即时，成立， 当时，即时，， 所以， 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题：本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 已知，求： （1）的值； （2）及的值； （3）各项二项式系数和. 【答案】（1）；（2），；（3）. 【解析】 【分析】令，利用赋值法可得： （1）； （2），； （3）各项二项式的系数和为. 进而可得解. 【详解】令. （1）； （2）由赋值法可得， 所以，， ； （3）该二项式展开式中各项系数和为. 【点睛】本题考查利用赋值法求解各项系数和以及奇数项、偶数项的系数和、二项式系数和，考查计算能力，属于中等题. 22. 有名男生、名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数. （1）选人排成一排； （2）排成前后两排，前排人，后排人； （3）全体排成一排，女生必须站在一起； （4）全体排成一排，男生互不相邻； （5）全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边； （6）全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边. 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 【解析】 【分析】（1）从人中任选人排列即可； （2）分两步，第一步先选人站前排，第二步将余下人排到后排； （3）利用捆绑法计算可得； （4）利用插空法计算可得； （5）特殊元素优先考虑，先排甲，其余人全排列； （6）利用间接法计算可得. 【小问1详解】 从人中选人排列，有（种）. 【小问2详解】 分两步完成，先选人站前排，有种方法，余下人站后排，有种方法，共有（种）. 【小问3详解】 将女生看成一个整体与名男生一起全排列，有种方法， 再将女生全排列，有种方法，共有(种). 【小问4详解】 先排女生，有种方法，再在女生之间及首尾个空位中任选个空位安排男生，有种方法， 共有（种）. 【小问5详解】 先排甲，有种方法，其余人有种排列方法， 共有（种）. 【小问6详解】 名学生全排列，只有种方法， 其中甲在最左边时，有种方法，乙在最右边时，有种方法； 其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有种方法， 故共有（种）. 23. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）已知函数，求的单调区间； （3）若对于任意，都有（为自然对数的底数），求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）的单调减区间为，单调增区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数运算及导数的几何意义求解即可； （2）根据导数的正负求解的单调区间； （3）分离参数，然后根据导数求解函数最大值，即可得出的取值范围． 【小问1详解】 由得，，，， 所以在点处的切线方程为； 【小问2详解】 ，， ，令，解得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以的单调减区间为，单调增区间为； 【小问3详解】 由题可知，， 所以，， 设，， 则，令，解得， 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增， 又，即， 所以. 24. 已知函数，． （1）求的极值； （2）讨论的单调性； （3）若且时，求证． 【答案】（1）极小值，无极大值 （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数求出函数的极值. （2）求出函数的导数，分类讨论求出函数的单调区间. （3）根据所证不等式构造函数，利用导数求出最小值即可得证. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 时，，时，， 所以函数在处取得极小值，无极大值. 【小问2详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 当时，，不等式， 令函数，求导得， 令，求导得，函数在上单调递增， 而，则存在，使，即， 此时，，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此， 所以当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京师范大学天津生态城附属学校 2025—2026学年度高二年级第二学期第一次月考 数学试卷 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上，只交答题卡，试卷学生带走，以备讲评． 第Ⅰ卷（选择题，满分60分） 一、单选题：本题共12小题，共60分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=（ ） A. {x|2<x≤3} B. {x|2≤x≤3} C. {x|1≤x<4} D. {x|1<x<4} 2. 已知命题：，，那么是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n的值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，则等于（ ） A. -4 B. 2 C. 1 D. -2 6. 函数在[0,3]上的最大值和最小值分别是 A. 5，-15 B. 5，-4 C. -4，-15 D. 5，-16 7. 在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中，含的项的系数是 A. -15 B. 85 C. -120 D. 274 8. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 甲、乙、丙、丁、戊5名青年志愿者被分配到3个不同的岗位参加志愿者工作，每个岗位至少分配一人，丁与戊在同一岗位，则不同的分配方案有（ ） A. 18种 B. 21种 C. 24种 D. 36种 10. 已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数（为自然对数的底数），若在上有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，满分90分） 二、填空题：本题共8小题，共40分． 13. 要从5件不同的礼物中选出3件分送3位同学，不同方法的种数是_____． 14. 曲线以点为切点的切线的倾斜角为______． 15. 函数的单调递增区间是__________. 16. 若展开式中的所有二项式系数和为512，则_____；该展开式中的系数为________（结果用数字表示）. 17. 函数的最小值为__________． 18. 如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种___________．（以数字作答） 19. 若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为__________． 20. 已知函数，若对任意，存在，使成立，则的取值范围是__________. 三、解答题：本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 已知，求： （1）的值； （2）及的值； （3）各项二项式系数和. 22. 有名男生、名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数. （1）选人排成一排； （2）排成前后两排，前排人，后排人； （3）全体排成一排，女生必须站在一起； （4）全体排成一排，男生互不相邻； （5）全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边； （6）全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边. 23. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）已知函数，求的单调区间； （3）若对于任意，都有（为自然对数的底数），求实数的取值范围． 24. 已知函数，． （1）求的极值； （2）讨论的单调性； （3）若且时，求证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $