精品解析：天津市滨海新区大港第一中学2024-2025学年高二下学期第一次考试（3月）数学试题

大港一中高二数学第二学期第一次考试 一､单选题：本大题共11小题，共55分． 1. 的值是（ ） A. 20 B. 40 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由排列、组合数公式求解即可． 【详解】． 故选：B． 2. 若直线与曲线满足下列两个条件：（1）直线在点处与曲线相切；（2）曲线在点附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线.给出下列四个命题： ①直线：在点处“切过”曲线：； ②直线：在点处“切过”曲线：； ③直线：在点处“切过”曲线：； ④直线：点处“切过”曲线：. 其中正确的命题个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据“切过”的定义以及导数的几何意义逐个选项判定即可. 【详解】①∵，， ∴， ∴曲线在点处切线为， 当时，， 当时，， 即曲线在点附近位于直线的两侧，①正确； ②设， ， 当时，，在是减函数， 当时，，在是增函数， ∴， 即在上恒成立， ∴曲线总在直线下方，不合要求，②不正确； ③∵，， ∴， ∴曲线在点处切线为， 设，， ∴是减函数， 又∵， ∴当时，，即， 曲线在切线的下方， 当，，即， 曲线在切线的上方，③正确； ④∵， ∴ ， ∴， ∴ 曲线在点处的切线为，不合要求 ④不正确．综上，正确命题有①③， 故选：B. 3. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用条件概率公式求解. 【详解】因为，， 所以， 故选：B 【点睛】本题主要考查条件概率的求法，属于基础题. 4. 在的展开式中，下列说法错误的是（ ） A. 二项式系数之和为64 B. 各项系数之和为 C. 二项式系数最大的项为 D. 常数项为 【答案】C 【解析】 【分析】对于A：根据二项式系数之和为运算求解；对于B：令即可得各项系数之和；对于C：根据二项式系数的性质结合二项展开式的通项公式分析求解；对于D：根据，令运算求解即可. 【详解】对于选项A：因为，所以二项式系数之和为，故A正确； 对于选项B：令，可得各项系数之和为，故B正确； 因为的展开式为， 对于选项C：因为，可知二项式系数最大的项为第4项，故C错误； 对于选项D：令，解得， 所以常数项为，故D正确； 故选：C. 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数法分析函数的单调性，再结合函数的零点个数，排除错误答案即可 【详解】，则函数只有两个零点，和，故排除 ，由可知函数有两个极值点，故排除 故选 【点睛】本题主要考查了函数的图像，依据函数求出零点，运用导数判断其单调性和极值，从而得到答案 6. 张、王夫妇各带一个小孩儿到上海迪士尼乐园游玩，购票后依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸 ，另外两个小孩要排在一起，则这6个人的入园顺序的排法种数是 A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】B 【解析】 【详解】分析：先安排首尾的两位家长，再将两个小孩捆绑作为一个整体，与剩下的两位家长作为三个元素安排在中间即可得到结论． 详解：先安排首尾两个位置的男家长，共有种方法；将两个小孩作为一个整体，与剩下的另两位家长安排在两位男家长的中间，共有种方法．由分步乘法计数原理可得所有的排法为种． 故选B． 点睛：求解排列、组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．” 7. 将4名大学生分配到3所学校支教，每名大学生必须去一所学校，每所学校至少有一名大学生：则不同的分配方法有（ ）种． A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意先将4名大学生分成三组，再分配给三所学校，根据分步计算原理即可求解． 【详解】解：根据题意，先从4人中选2人组成一组，有种方法，然后将3组大学生分配到3所学校，有种方法，由分步计数原理知共有种不同的分配方法， 故选:C． 8. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题可知在上恒成立.再参变分离求解函数最值即可. 【详解】由题, 在上恒成立.即在上恒成立. 又,其导函数恒成立.故的最小值为.故. 故选：C 【点睛】本题主要考查了根据函数的单调性求解参数范围的问题,需要根据题意求导,参变分离求函数的最值.属于基础题. 9. 对于函数，，下列说法正确的是（ ） A. 函数有唯一的极大值点 B. 函数有唯一的极小值点 C 函数有最大值没有最小值 D. 函数有最小值没有最大值 【答案】A 【解析】 【分析】构造新函数，并利用导数判断函数的单调性，进而得到函数有唯一的极大值点 【详解】，，则，， 令，， 则，在恒成立， 则在单调递减， 又， 则存在唯一，使得， 当时，，即，单调递增； 当时，，即，单调递减 则当时，取得极大值. 则函数有唯一的极大值点，即有最大值，最小值在区间端点处取得. 故选：A 10. 已知函数；若方程恰有三个根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合导数分析函数的性质，在同一坐标系内作出直线与函数的图象，数形结合求出范围. 【详解】当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，求导得， 由，得，由，得，即函数在上递增，在上递减， 当时，取得极大值，且当时，恒成立， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图， 观察图象知，当时，直线与函数的图象有3个公共点，即方程恰有三个根， 所以实数的取值范围是. 故选：C 【点睛】思路点睛：研究方程根的情况，可以通过转化，利用导数研究函数的单调性、最值等，借助数形结合思想分析问题，使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现. 11. 已知函数对于均有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，根据其函数图象的对称轴方程确定，令，对进行求导，利用导数研究函数的单调性及最值，从而可得，进而可求出的取值范围． 【详解】解：令， 则图象的对称轴方程为，所以， 令， 则， 令，则，对， 在上单调递减， 又因为， 所以，且在上单调递增， 所以， 所以即在恒成立， 所以，即， 解得． 故选：D． 二､填空题：本大题共10小题，共50． 12. 若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围_____. 【答案】 【解析】 【分析】讨论函数的单调性进而得出极值点，再结合零点存在定理和放缩法即可证明. 详解】，，， 令，令， 于是在单调递增，在单调递减，在单调递增， 所以时，函数有极大值为，时，函数有极小值为. 由题意函数在R上由3个不同的零点，则根据三次函数的性质知. 故答案为：. 13. 已知函数，则=__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据简单复合函数的求导法则计算可得. 【详解】因为，所以． . 故答案为：. 14. 在的二项展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的系数为__________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件求出的值，写出二项展开式的通项，即可求解. 【详解】由于的展开式只有第项的二项式系数最大， 则展开式中共有项，故，解得， 所以，的展开式通项为， 令，解得，因此所求即为. 故答案为：. 15. 若从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，组成没有重复数字的三位偶数．则这样的三位数一共有__________（用数字作答） 【答案】52 【解析】 【分析】根据给定条件，按个位数字是否为0分类，再利用排列计数问题列式求解. 【详解】求符合题意的三位数个数，有两类办法： 0在个位，有个没有重复数字的三位偶数； 0不在个位，排个位有种方法，再排百位有种方法，排十位有种方法， 此时共有个没有重复数字的三位偶数， 所以没有重复数字的三位偶数共有个. 故答案为：52 16. 某人射击8枪命中4枪，这4枪恰有3枪连中的不同种数为__________． 【答案】20 【解析】 【分析】根据捆绑法及插空法求解即可. 【详解】把连中的三枪看成1个元素（捆绑），另外命中的一枪看成1个元素，这2个元素在其余4个元素组成的5个空中插空，共有种插法． 故答案为：20 17. 如图，圆的两条弦把圆分成4个部分，用5种不同的颜色给这4个部分涂色，每个部分涂1种颜色，任何相邻（有公共边）的两个部分涂不同的颜色，那么共有__________种不同的涂色方法． 【答案】260 【解析】 【分析】分3步，第一步给涂色，第二步给涂色，第三步给和涂色，分2类：与同色或不同色，计算得解. 【详解】第一步给涂色，有5种方法； 第二步给涂色，有4种方法； 第三步给和涂色，分2类：当与的颜色相同时，涂色方法为种； 当与颜色不同时，涂色方法有种，故共有种. 由分步计数原理，总共方法数为种. 故答案为：260. 18. 设有一批同规格的产品，由三家工厂生产，其中甲厂生产，乙､丙两厂各生产，而且各厂的次品率依次为，现从中任取一件，则取到次品的概率为__________． 【答案】0.025## 【解析】 【分析】利用条件概率和全概率公式进行求解即可. 【详解】设分别表示甲，乙，丙工厂的产品，表示次品， 则， ， . 故答案为：. 19. 展开式中各项系数的和为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】令，得各项系数的和为1. 【详解】在中，令，得各项系数的和为. 故答案为：1. 20. 甲罐中有4个红球、2个白球和2个黑球，乙罐中有4个红球、3个白球和2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．以表示由甲罐取出的球是红球的事件，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则______；______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据条件求出和，再利用条件概率公式求解即得；把事件M分拆成三个互斥事件的和，计算出每个事件的概率，再用概率加法公式计算而得. 【详解】依题意，，，于是得； 事件是甲罐中分别取红球、白球、黑球放入乙罐，再在乙罐取出红球的事件B1，B2，B3的和，它们互斥， ，， 所以. 故答案为：； 21. 已知函数，若函数恰有5个零点，且：，. 求：（1）实数的范围__________； （2）的取值范围__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】将看成整体解出或，作出的大致图象，将式子化为，然后转化为的范围进行分类讨论即可判断. 【详解】当时，，显然，此时， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，且； 当时，， 作出大致图象如图所示． 函数恰有5个零点， 等价于方程有5个不同的实数根， 解得或，该方程有5个根， 且，则，． 当时，， ，故； 所以 ； 当时，， ，故； 所以 ． 综上，的取值范围是， 故实数的范围为，的取值范围是. 故答案为：； 三､解答题：本大题共3小题，共45． 22. 已知，其中. （1）若,求在处的切线方程； （2）若是函数的极小值点，求函数在区间上的最值； （3）讨论函数的单调性. 【答案】（1）； （2）最大值为5，最小值为； （3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）求出导函数，进而根据导数的几何意义求出切线的斜率，然后求出切线方程； （2）根据求出a，进而求出函数的单调区间，然后求出函数的最值； （3）先求出导函数，然后讨论a的取值范围，进而求出函数的单调区间. 【小问1详解】 当时，，， 切点坐标为，，切线的斜率为， 切线方程为，即. 【小问2详解】 ，是函数的极小值点，，即，，令，得或，令，得，的单调递增区间为，，的单调递减区间为，，函数在区间上的最大值为5，最小值为. 【小问3详解】 函数的定义域为，，令得，. ①当时，，函数在R上单调递增； ②当时，，令，得或，令，得， 的单调递增区间为，，的单调递减区间为 ； ③当时，，令，得或，令，得， 单调递增区间为，，的单调递减区间为. 综上：时，，函数在R上单调递增； 时，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 时，的单调递增区间为，，单调递减区间为. 23. 已知函数，其导函数为． （1）求函数的极值点； （2）若直线是曲线的切线，求的最小值； （3）证明：． 【答案】（1）函数的极小值点为，没有极大值点． （2）e （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数判断函数的单调性，即可求得函数的极值点. （2）设切点，求出切线方程，求得，构造函数，利用导数求函数的单调性，从而求出的最小值. （3）利用（1）的结论令，，可得， 利用累加法结合数列的裂项求和方法，即可证得结论. 【小问1详解】 定义域为，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以函数的极小值点为，没有极大值点． 【小问2详解】 令，则，， 设切点为，则，， 则切线方程为，即， 又是曲线的切线方程，则，则， 令，，，， 令，所以时，， 时，， 在单调递减，在单调递增， 所以，即的最小值为e． 【小问3详解】 证明：由（1）可知，在单调递减，单调递增， 所以，则， 因为，则，当时取等号， 令，则， 因为，所以， 又因为，所以， 则，，…，， 累加后可得， 即． 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是根据不等式，得出，利用累加法和裂项相消法证得结论. 24. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）函数在区间上有零点，求的值； （3）记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据导数几何意义求出切线斜率，由解析式求得切点坐标，从而得到切线方程；（2）由导数可得函数单调性，利用零点存在性定理可判断出在上有零点，从而得到结果；（3）整理出，可知为的两根，从而得到，；根据的范围可确定的范围后，将两式代入进行整理；构造函数，，利用导数可求得函数的最小值，该最小值即为的最大值. 【详解】（1）由题意得： ， 曲线在处切线为：，即 （2）由（1）知： 当时，；当时， 在上单调递减，在上单调递增 又，， 由零点存在定理知：在上有一个零点 在上单调递增 该零点为上的唯一零点 （3）由题意得： 为的两个极值点，即为方程的两根 ， ，又，解得： 令， 则 在上单调递减 即 即实数的最大值为： 【点睛】本题考查导数的几何意义、导数在研究函数中的应用，涉及到求解曲线在某一点处的切线方程、结合零点存在性定理讨论零点所在区间、极值点与导数之间的关系、恒成立问题的求解等；本题解题的关键是能够通过极值点与导数的关系，将不等式转化为参数与某一函数最值之间的比较问题，通过构造函数的方式来使问题得以解决，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大港一中高二数学第二学期第一次考试 一､单选题：本大题共11小题，共55分． 1. 的值是（ ） A. 20 B. 40 C. D. 2. 若直线与曲线满足下列两个条件：（1）直线在点处与曲线相切；（2）曲线在点附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线.给出下列四个命题： ①直线：在点处“切过”曲线：； ②直线：在点处“切过”曲线：； ③直线：在点处“切过”曲线：； ④直线：在点处“切过”曲线：. 其中正确的命题个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 在的展开式中，下列说法错误的是（ ） A. 二项式系数之和为64 B. 各项系数之和为 C. 二项式系数最大项为 D. 常数项为 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 张、王夫妇各带一个小孩儿到上海迪士尼乐园游玩，购票后依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸 ，另外两个小孩要排在一起，则这6个人的入园顺序的排法种数是 A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 7. 将4名大学生分配到3所学校支教，每名大学生必须去一所学校，每所学校至少有一名大学生：则不同的分配方法有（ ）种． A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 8. 已知函数在上单调递增，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 对于函数，，下列说法正确是（ ） A. 函数有唯一的极大值点 B. 函数有唯一的极小值点 C. 函数有最大值没有最小值 D. 函数有最小值没有最大值 10. 已知函数；若方程恰有三个根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数对于均有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､填空题：本大题共10小题，共50． 12. 若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围_____. 13. 已知函数，则=__________． 14. 在的二项展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的系数为__________.（用数字作答） 15. 若从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，组成没有重复数字的三位偶数．则这样的三位数一共有__________（用数字作答） 16. 某人射击8枪命中4枪，这4枪恰有3枪连中的不同种数为__________． 17. 如图，圆两条弦把圆分成4个部分，用5种不同的颜色给这4个部分涂色，每个部分涂1种颜色，任何相邻（有公共边）的两个部分涂不同的颜色，那么共有__________种不同的涂色方法． 18. 设有一批同规格的产品，由三家工厂生产，其中甲厂生产，乙､丙两厂各生产，而且各厂的次品率依次为，现从中任取一件，则取到次品的概率为__________． 19. 展开式中各项系数的和为__________． 20. 甲罐中有4个红球、2个白球和2个黑球，乙罐中有4个红球、3个白球和2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．以表示由甲罐取出的球是红球的事件，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则______；______． 21. 已知函数，若函数恰有5个零点，且：，. 求：（1）实数的范围__________； （2）的取值范围__________． 三､解答题：本大题共3小题，共45． 22. 已知，其中. （1）若,求在处的切线方程； （2）若是函数的极小值点，求函数在区间上的最值； （3）讨论函数的单调性. 23. 已知函数，其导函数为． （1）求函数的极值点； （2）若直线是曲线的切线，求的最小值； （3）证明：． 24. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）函数在区间上有零点，求的值； （3）记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $