精品解析：四川泸州市合江县部分学校2025-2026学年高二下学期第一学月考试数学试题

合江县部分学校高2024级高二下学期第一学月考试 数学试题 （考试时间：120分钟；试卷满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分） 1. 下列四个选项中，不正确的是（ ） A. 数列的图象是一群孤立的点 B. 数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…是同一数列 C. 数列，，，，…的一个通项公式是 D. 数列，，…，是递减数列 2. 曲线在处的切线倾斜角是 A. B. C. D. 3. 在长方体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 A. B. C. D. 4. 设函数在处存在导数为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则（ ） A. －12 B. 12 C. －26 D. 26 6. 设为正项等比数列的前项和，，，成等差数列，则的值为（ ） A. B. C. 16 D. 17 7. 已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，若点P为椭圆C上的任意一点，且P在第一象限，O为坐标原点，F（3，0）为椭圆C的右焦点，则•的取值范围为（　　） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分） 9. 近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q．已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，在时间[0，T]内供应效率（单位时间的供应量）不逐步提高的是（ ） A. B. C. D. 10. 记Sn为等差数列{an}的前n项和，则（ ） A. S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等差数列 B. ，，成等差数列 C. S9＝2S6﹣S3 D. S9＝3（S6﹣S3） 11. 已知等比数列满足：，，，则下列结论中正确的有（ ） A. B. C. 若m，，，则的最小值为是 D. 存在m，n，，且，使得 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 已知等比数列的各项均为正数，且，则_____. 13. 已知等比数列的前项和为，，，______． 14. 在数列中，已知， (n≥2，)，记数列的前n项之积为，若，则n的值为________ 四、解答题（本大题共5小题，共计77分） 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）如果曲线的某一切线与直线垂直，求切点坐标与切线的方程． 16. 已知数列的前项和为. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 17. 在数列中，，． （1）求的通项公式； （2）设bn，记数列的前n项和为，证明：． 18. 如图，在三棱台中，，，点D在棱上，且． （1）求证：D为的中点； （2）记二面角的大小为，直线与平面所成的角为，若，求的取值范围． 19. 椭圆的左顶点为，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）已知经过点的直线交椭圆于两点，是直线上一点.若四边形为平行四边形，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合江县部分学校高2024级高二下学期第一学月考试 数学试题 （考试时间：120分钟；试卷满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分） 1. 下列四个选项中，不正确的是（ ） A. 数列的图象是一群孤立的点 B. 数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…是同一数列 C. 数列，，，，…的一个通项公式是 D. 数列，，…，是递减数列 【答案】B 【解析】 【分析】根据数列的函数特征，可判断A;比较数列的项，可判断B;根据数列的前几项可验证数列的通项公式，判断C;观察数列的项的变化，可判断D. 【详解】因为数列是一类特殊的函数，其自变量 ,故数列的图象是一群孤立的点，A正确； 数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…的对应项不一样，故不是同一数列，B错误； 观察数列，，，，…的前四项规律，可知一个通项公式是，C正确； 数列，，…，的每项是越来越小，故数列是递减数列，D正确， 故选：B 2. 曲线在处的切线倾斜角是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对函数求导则，则，则倾斜角为．故本题答案选． 3. 在长方体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由，得即为异面直线与所成角，在Rt中，求出各边边长，即可求解． 【详解】因为长方体 所以，所以即为异面直线与所成角． 因为平面， 所以，即为直角三角形 由题意得，在中，，， 所以，故选C． 【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，解决的关键是转化成相交线所成的角，考查空间想象能力，计算求解能力，属基础题． 4. 设函数在处存在导数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的定义求解． 【详解】， 故选：A． 5. 已知函数，则（ ） A. －12 B. 12 C. －26 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】求出导数，令，求出，再求出. 【详解】因为函数，所以， 令则，，解得， 所以，， 所以，， 所以. 故选：C 6. 设为正项等比数列的前项和，，，成等差数列，则的值为（ ） A. B. C. 16 D. 17 【答案】D 【解析】 【分析】设等比数列的公比为q，q＞0，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比q，再由等比数列的求和公式，计算可得所求值． 【详解】正项等比数列{an}的公比设为q，q＞0，a5，3a3，a4成等差数列， 可得6a3＝a5+a4，即6a1q2＝a1q4+a1q3， 化为q2+q﹣6＝0，解得q＝2（﹣3舍去）， 则1+q4＝1+16＝17． 故选D． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，等差数列的中项性质，考查方程思想和化简运算能力，属于基础题． 7. 已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由条件可得，解出即可. 【详解】因为对于任意都有， 所以，解得 故选：C 8. 椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，若点P为椭圆C上的任意一点，且P在第一象限，O为坐标原点，F（3，0）为椭圆C的右焦点，则•的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，为椭圆的右焦点及椭圆中解方程组求得a、b、c，得到椭圆方程．设出点P，根据向量数量积转化为关于横坐标m的二次函数，即可求得取值范围． 【详解】因为椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列 所以 ，即 为椭圆的右焦点，所以c=3 在椭圆中， 所以，解方程组得 所以椭圆方程为 设 则，则 = 因为，所以当时，取得最大值为 当m趋近于0时，的值趋近于-16 所以的取值范围为 所以选C 【点睛】本题考查了椭圆性质的综合应用，向量在解析几何中的用法，属于中档题． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分） 9. 近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q．已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，在时间[0，T]内供应效率（单位时间的供应量）不逐步提高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，故函数的图象应一直上凹的，则选项B满足条件；所以在时间[0，T]内供应效率（单位时间的供应量）不是逐步提高的是ACD选项. 10. 记Sn为等差数列{an}的前n项和，则（ ） A. S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等差数列 B. ，，成等差数列 C. S9＝2S6﹣S3 D. S9＝3（S6﹣S3） 【答案】ABD 【解析】 【分析】设等差数列的公差为d，利用等差数列的求和公式分别求出S3，S6，S9，然后利用等差中项的定义判断选项A，B，利用S9＝9a1+36d，S6＝6a1+15d，S3＝3a1+3d，即可判断选项C，D. 【详解】解：因为Sn为等差数列{an}的前n项和， 设等差数列的公差为d，则S9＝9a1+36d，S6＝6a1+15d，S3＝3a1+3d， 则S3＝3a1+3d，S6﹣S3＝3a1+12d，S9﹣S6＝3a1+21d， 所以2（3a1+12d）＝（3a1+3d）+（3a1+21d）， 则S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等差数列，故选项A正确； 因为S9＝9a1+36d，S6＝6a1+15d，S3＝3a1+3d， 则， 所以， 则，，成等差数列，故选项B正确； 因为S9＝9a1+36d，S6＝6a1+15d，S3＝3a1+3d， 所以2S6﹣S3＝2（6a1+15d）﹣（3a1+3d）＝9a1+27d， 则S9≠2S6﹣S3，故选项C错误； 因为S9＝9a1+36d，S6＝6a1+15d，S3＝3a1+3d， 所以3（S6﹣S3）＝3[（6a1+15d）﹣（3a1+3d）]＝9a1+36d＝S9， 故选项D正确. 故选：ABD. 11. 已知等比数列满足：，，，则下列结论中正确的有（ ） A. B. C. 若m，，，则的最小值为是 D. 存在m，n，，且，使得 【答案】BC 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式构造首项、公比的方程组，求得首项、公比从得到通项公式，进而判断A、B是否正确；由得，利用基本不等式判断C是否正确；将变为由等式左右两边数的奇偶性判断D是否正确 【详解】由得，所以，所以A错误，B正确； 因为，所以， 所以，当且仅当，即，时取等号，所以C正确； 若，则，所以，左边为奇数，右边为偶数，上式不可能成立，所以D错误. 故选：BC. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 已知等比数列的各项均为正数，且，则_____. 【答案】10 【解析】 【分析】利用等比数列的性质以及对数运算求解即可. 【详解】因为数列为正项等比数列，则，即， 所以. 故答案为：10. 13. 已知等比数列的前项和为，，，______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等比数列前项和的分段性质：成等比数列，结合等比中项列方程求出该新数列公比为，求解即可． 【详解】设等比数列的公比为（，否则与已知矛盾）， 仍成等比数列，公比为， 设，，， 因为成等比数列，所以， 已知，代入得， 即，代入，解得或， 因为，所以同号， 因为，所以，即， 所以的公比为， 所以就是， 所以，即． 14. 在数列中，已知， (n≥2，)，记数列的前n项之积为，若，则n的值为________ 【答案】2020 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，求出数列的通项公式即可计算作答. 【详解】因，，显然，则有， 而，有，则，从而得数列是首项为1，公差为1的等差数列， 因此，，整理得，则，当时，， 所以n的值为2020. 故答案为：2020 【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助取倒数的方法探讨项间关系而解决问题. 四、解答题（本大题共5小题，共计77分） 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）如果曲线的某一切线与直线垂直，求切点坐标与切线的方程． 【答案】(1) y＝13x－32；(2)y＝4x－18或y＝4x－14. 【解析】 【详解】(1)可判定点(2,-6)在曲线y=f(x)上. ∵f'(x)=(x3+x-16)'=3x2+1, ∴在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f'(2)=13, ∴切线的方程为y=13(x-2)+(-6), 即y=13x-32. (2)∵切线与直线y=-x+3垂直, ∴切线的斜率k=4. 设切点的坐标为(x0,y0),则f'(x0)=3+1=4, ∴x0=±1, ∴或 ∴切点坐标为(1,-14)或(-1,-18), 切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18. 即y=4x-18或y=4x-14. 16. 已知数列的前项和为. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用数列的通项和前n项和的关系求解； （2）利用裂项相消法即可求解. 【小问1详解】 解：且，有， 当时，有， 两式相减得， 当时，由，适合， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以 . 17. 在数列中，，． （1）求的通项公式； （2）设bn，记数列的前n项和为，证明：． 【答案】（1）； （2）证明：由（1），， 所以...1． 当时，，则0，所以． 【解析】 【分析】（1）根据数列递推式，利用累加法求数列的通项公式； （2）利用裂项相消法求和，即可证明结论． 【小问1详解】 由，则，，…，， 累加得：，验证a1＝1成立， 所以； 【小问2详解】 略 18. 如图，在三棱台中，，，点D在棱上，且． （1）求证：D为的中点； （2）记二面角的大小为，直线与平面所成的角为，若，求的取值范围． 【答案】（1）证明： 如图，取AC的中点O，连接OD，OB，，． 因为，所以． 又，平面， 所以平面，又平面， 所以． 因为，所以． 因为，所以四边形为等腰梯形． 所以，又，， 所以，所以． 又，所以D为的中点． （2）． 【解析】 【分析】（1）由线面垂直证明线线垂直，再由等腰三角形的性质可得点D为中点； （2）建立空间直角坐标系，向量法求出线面角，二面角，根据三角函数的性质求范围即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 作平面ABC，建立如图所示的空间直角坐标系， 由（1）知，， 所以为二面角的平面角，即． 由题意知，，，， ，， 则，． 设平面的一个法向量为， 则即 取，则，，所以． 又， 所以． 所以． 因为，所以． 所以． 19. 椭圆的左顶点为，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）已知经过点的直线交椭圆于两点，是直线上一点.若四边形为平行四边形，求直线的方程. 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）直接由顶点和离心率求出椭圆方程即可； （2）设，由表示出直线的斜率，进而写出直线的方程，联立椭圆求出弦长，由求出，即可求得直线的方程. 【小问1详解】 由题意知：，则，故椭圆的方程为； 【小问2详解】 设，又，故，又直线经过点，故的方程为， 联立椭圆方程可得，显然，， 则， 又，由，可得， 解得或， 故直线的方程为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $