浙江杭州市第二中学2025-2026学年高一下学期数学周末练6

杭州二中2025级高一下数学周末练6 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每题给出的选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1、已知向量AB=(5,1),BC=(m,9),C元=(8,5)，若A、C、D三点共线，则m= () B.-11 C.11 8 D.4 2、已知复数z(i2023+2)=10,则z的共轭复数是 A.4+2i B.-4+2i C.4-21 D.1 3、如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形 A'B'C"D',已知A'B'=4,C"D=2,则四边形ABCD的周长为（) A.8+2W5+w√6B.8+2√2 C.6+2W2+2W5D.6+√6+√2 0(A) B 4、设{©，⊙}是表示平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的 是 () A.d=d1+2e2,7=-e1+2e2 B.i=-g-或，6=}8+可 c.a=3e+2,6=-6g-g D.d=号6i+或6=+2e 5、在三棱锥A-BCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点，若EF ∩HG=P,则点P () A.一定在直线BD上 B.一定在直线AC上 C.在直线AC或BD上 D.不在直线AC上，也不在直线BD上 6、如果一个圆锥和一个半球有公共底面，圆锥的体积恰好等于半球的体积，那么这个圆 锥轴截面顶角的正弦值是 () A号 R号 c昌 7、在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bcosC+ccosB= 2 acosB,△ABC的面积为35，则a2+c2的最小值为 4 () A.3 B.3√5 C.6 D.6/5 8、已知底面半径为1，轴截面为正三角形的圆锥体内放一棱长为的正四面体，若正四 面体可以在圆锥体内任意转动，则正数的最大值是 () A.② C.√2 D.42 3 B.22 3 3 ·1 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9、已知复数z=(m2-m-2)+（m2-1)i,其中m∈R,i是虚数单位，则 () A.当m=-1时，z为纯虚数 B.当m=1时，z∈R C.当m=2时，元=-3i D.当m=-2时，z(1+√5i)川=10 10、在△ABC中，角A,B,C所对的边为a,b,c,a=6,A=否，则下列说法正 确的是 () A.若b=2√2，则c=2 B.若满足条件的△ABC有2个，则b的取值范围为（√6,2√2） C.△ABC面积的最大值为33 D.b+2c的最大值为214 11、在长方体ABCD-ABCD1中，底面ABCD是边长为4的正方形，P在棱AD上， 且PA=√10，PD=√2，则 （) A.AA=1 B.过点A、P、C的平面截该长方体，所得截面周长为5√2+2W√10 C.以点P为球心，√2为半径作一个球，则球面与底面ABCD的交线长为2π D.三棱锥P-ABD外接球的体积是36π 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12、已知复数z满足z-1=1,则|z+2+4(1是虚数单位)的最小值为 13、已知：在长方体ABCD-ABCD1中，AB=1,AD=2,AA1=3,点P是线段BC 上的一个动点，则AP+DP的最小值等于 14、已知正n边形AA2…A(n为偶数)内接于单位圆O,且满足OA+OA≤3(1=1 ,2,n)的顶点A共有元-3个，若正三角形PN的顶点M,N在圆0上，则公PA的最 大值为一 ·2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15、已知向量d,,满足d=2,=3,向量d,的夹角为60°. (1)求(d+2)（a-的值： (2)求向量2d+6与的夹角0的余弦值 16、在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b=2,且满足acosB+ bcosA=2ccosB (1)求角B的大小 (2)△ABC的内心为I,求△ACI周长的取值范围 17、如图，正方体ABCD-ABCD1中，AB=2,点E,F分别是棱BC,CC1的中点， (1)根据多面体ADD一CF的结构特征，判断该几何体是哪种多面体，并结合该类多面 体的定义给出证明： D (2)求多面体ADD一ECF的表面积和体积， B D B ·3 18、北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几 何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该 点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面 角，角度用弧度制)，多面体面上非顶点的曲率均为零， 多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例 如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是交 所以正四面体在各顶点的曲率为2x一3×交=元，故其 3 总曲率为4π. (1)求四棱锥的总曲率： (2)若多面体满足：顶点数一棱数+面数=2，证明：这类多面体的总曲率是常数 19、已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且si(A+C sin(A-C) a2+c2+ac a2-c2 (1)求B: (2)若c=1,点D在AC上，直线BD上一点P满足C.CP=C⑦.CP,在点C和点D 的变化过程中， (i)求PA+PC2的最小值： (i)当PA2+PCP最小时，求BA·BD的值， 4 杭州二中2025级高一下数学周末练6 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每题给出的选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1、已知向量AB=(5,1),BC=(m,9),C元=(8,5)，若A、C、D三点共线，则m= () B.-11 C.11 n.圣 【解析】因为AB=(5,1),BC=(m,9),所以AC=AB+BC=(5+m,10), 又A、C、D三点共线，所以AC∥C元，所以5(5+m)=8×10,解得m=11. 2、已知复数z(12023+2)=10,则z的共轭复数是 A.4+21 B.-4+2i C.4-2i D.1 【解析】因为i=1,2023=i2000+3=i×500.i3=一i, 所以2四2=2”二2力2十1号14+2，所以其共辄夏数4 2i. 3、如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形 A'B'CD',已知AB=4,C"D'=2,则四边形ABCD的周长为() A.8+2W3+√6B.8+2√2 C.6+2W2+2W5D.6+√6+√2 0(A) B 【解析】由题意知直观图为等腰梯形ABCD',A'B=4,CD'=2,∠D'O'B'=45°， 则AD=万x42-V2: 将直观图复原为原图，如图所示： 则AB=4,CD=2,AD=2√2， 作CF⊥AB于F,则FB=2,CF=2W2, 所以BC=√4+8=2W3, O(A) 故四边形ABCD的周长为4+2+2√5+2√2=6+25+22 4、设{，e2}是表示平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的 是 () A.d=d+2⊙，=-d+2e2 B.d=-g-成，i=8+d cd=3e+26,6-6e-d D.d=3d+或，6=6+2g 【解析】e,是平面内所有向量的一组基底，所以日与e2不共线 对于A,假设d=g+2e2与b=-⊙+2e共线，则存在实数1，使e+2e,= ·1 (可+2所以{22无解，所以假设不成立 所以d=®1+2e,与=-®+2e不共线，所以能作为基底，所以A错误： 对于B,假设d=-日-与6=}+8共线，则存在实数1使-日-= A分+， 所以令=，1，无解，所以假设不成立 所以d=-日-高与方=号可+不共线，所以能作为基底，所以B错误： 对于C,因为-2i=-2(3+2e)=6=-6-e, 所以i=3+号与方=6-共线，不能作为基底，所以C正确： 对于D,假设d=号+e与6=+20共线，则存在实数入，使-号6+g= 3 λ(e+2e2),所以 言，无解，所以假设不成立，所以云=-号+与6=d+20不共 21=1 线， 所以能作为基底，所以D错误， 5、在三棱锥A-BCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点，若EF ∩HG=P,则点P () A.一定在直线BD上 B.一定在直线AC上 C.在直线AC或BD上 D.不在直线AC上，也不在直线BD上 【解析】如图， .EFC平面ABC,HGC平面ACD,EF∩HG=P,∴.P∈平面ABC,P∈平面 ACD. 又平面ABC∩平面ACD=AC,∴.P∈AC. 故选：B 6、如果一个圆锥和一个半球有公共底面，圆锥的体积恰好等于半球的体积，那么这个圆 锥轴截面顶角的正弦值是 () ·2 B哥 c 【解析】设圆锥与半球的底面半径为R,圆锥的高为h,母线长为l,轴截面的顶角为U. 则由唯=#可得号Rh=2,即h=2R 3 所以圆锥的母线长1=√2+h2=√R2+(2R=√5R, ---------p- ””” 由余弦定理可得c0s0=P+P-(2RY_5R+52-4= 6R2 3 2l×l 2×5R2 10R2 5, 所以圆锥轴被面顶角的余弦值是号，放其正弦值是 5 7、在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bcosC+ecosB= 2 cB,.△MBC的面积为25，则a2+c2的最小值为 A.3 B.3√3 C.6 D.6√5 【解析】由bcosC+ccosB=2 a.cos B, 根据正弦定理得，sinBcosC+sinCcosB=2 sin AcosB, sin(B+C)=sinA=2sin AcosB, 在△ABC中，sinA>0,则1=2cosB,即cosB=2 又0<B<,则B=合， 又se-7 wesnD--9ac-8日，则ac-3, 4 所以a2+c2≥2ac=6,当且仅当a=c=√3时等号成立， 则a2+c2的最小值为6. 8、已知底面半径为1，轴截面为正三角形的圆锥体内放一棱长为的正四面体，若正四 面体可以在圆锥体内任意转动，则正数的最大值是 () A.② B.2wW② 3 C.√2 D.4v2 3 【解析】当正四面体的外接球为圆锥的内切球时，m的值最大 因为圆锥的底面半径为1，轴截面为正三角形，所以正三角形的边长为2， 如图（一），圆锥轴截面内切圆的半径即为圆锥内切球的半径，r=2y5sin30°= 3 3 即内切球的半径为停 因为正四面体的边长为m,则补全为正方体时其棱长为m，如图（二）所示， √2 ·3 D B D- 图（一） 图（二） 所以正四面体的外接球半径R=号 3×四=0≤9，所以m≤2y2 2 22 3 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共8分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9、已知复数z=(m2-m-2)+(m2-1)i,其中m∈R,i是虚数单位，则 () A.当m=-1时，z为纯虚数 B.当m=1时，z∈R C.当m=2时，z=-3i D.当m=-2时，z(1+√3i)川=10 【解析】对A:当m=-1时，z=0∈R,故A错误： 对B:当m=1时，z=-2∈R,故B正确： 对C:当m=2时，z=0+3i=3i,此时z=-3i,故C正确： 对D:当m=-2时，z=4+3i, 所以z(1+√3)=1(4+3)·(1+√i)川=|(4-3v5)+(3+4w5) =V(4-3√3+(3+4w3=√16-24wW3+27)+(9+24W3+48) =√100=10，故D正确. 10、在△ABC中，角A,B,C所对的边为a,b,c,a=6,A=号，则下列说法正 确的是 () A.若b=2√2，则c=2 B.若满足条件的△ABC有2个，则b的取值范围为（√6,2√2） C.△ABC面积的最大值为3Y5 2 D.b+2c的最大值为2W14 【解析】对于A,由余弦定理得a2=b2+c2-2 becos A,即6=8+c2-2√2c,解得c= √2，故A错误； 对于B,由正弦定理得6=am=22sinB,因为A=青，所以B∈0，否)结合 sinA 正弦函数图象， 要使角B有两个值，则sinB∈(，1，所以6=22sinB∈(V6,2w,故B正确： 对于C,因为a=V6,A=号，所以6=？+c2-bc≥2bc-bc=bc,当且仅当b=c时 ·4 等号成立， 所以△MBC面积S=号sinA=车be≤年×6=35，故C正确： 4 4 2 对于D,由正弦定理得，b =c sin B sinC -=2√2，则b=2W2sinB,c= 2 2√2sinC, +2c=2/2(sinB+2sinC)=2[sinB+2sin(B+=2(2sinB+3cosB) =2√14sin(B+p), 其中an9=汽，9e0,号》，因为B∈0，答，所以当B+g=号时，b+2的最 大值为214，故D正确. 11、在长方体ABCD-ABCD1中，底面ABCD是边长为4的正方形，P在棱AD上， 且PA=√10，PD=√2，则 () A.AA=1 B.过点A、P、C的平面截该长方体，所得截面周长为5√2+2W10 C.以点P为球心，√2为半径作一个球，则球面与底面ABCD的交线长为2元 D.三棱锥P一ABD外接球的体积是36π 【解析】设AA1=h,AP=x,在直角△AAP中，根据勾股定理得（√102=h2+x2, 在直角△DDP中，根据勾股定理得(W2=h2+(4-x2,解得x=3,h=1,故AA1= 1,故A正确， 延长AP,DD相交于点Q,连接QC交CD于点R,则截面周长为AP+PR+RC+ AC, 在△ADQ中，利用三角形相似可得QD=专，在△CDQ中，利用三角形相似可得RD, =1, .PR=√2，RC=√10，又底面ABCD是边长为4的正方形，则AC=4√2， 故截面周长为AP+PR+RC+AC=√10+√2+√10+4√2=2√10+5√W2,故B正确， A 点P到底面ABCD的距离为I,球的半径为√2，设球面与底面ABCD(正方形)的交线 为半圆， 圆心在线段AD上且与D距离为1，圆的半径m=√W2-1=1,可得交线长为号× 2r×1=元，故C错误， ·5 在△PAD中，∠PDA=∠DPD,=45,则△PAD的外接圆半径=号×PA。=√5， 2sin45° 显然AB⊥平面PAD, 因此三棱锥P一ABD的外接球的球心O在线段AB的中垂线上，球心O到平面PAD的 距离为d=2AB=2, 则球半径R=V+d=V5十4=3，故三棱锥P-ABD的外接球体积为专×xX3- 36元，故D正确 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12、已知复数z满足z-1=1,则z+2+4(1是虚数单位)的最小值为 【解析】复数z满足z-1=1,则复数z对应的点Z(x,y)在以C(1,0)为圆心，半径T= 1的圆上， 而z+2+4=z-（-2-4i)表示圆上的点Z(xc,y)到定点A(-2,-4)的距离d, 圆心C到定点A距离为：d=√(1+2)2+(0+4)2=5 所以z十2+4il(i是虚数单位)的最小值为：dmim=5-1=4. 13、己知：在长方体ABCD-ABCD中，AB=1,AD=2,AA1=3,点P是线段BC 上的一个动点，则AP+DP的最小值等于 【解析】由长方体的性质可知，AB1=CD,=√10，AC=DB1=√5，BC=√13. 将△ABC与△DCB以BC为公共边展开成一平 面四边形ABDC,如图： B1 易证四边形ABDC是平行四边形，所以当APD1 三点共线时，即AP+DP=AD时最小. 根据平行四边形对角线和四条边的性质即：AD +CB2=2(AC2+AB), 代入数据得：AD?+√132=2（√52+√102），解得 AD=V17. .AP+DP的最小值等于√17. 14、已知正n边形AA2…A(n为偶数)内接于单位圆O,且满足OA+OA≤3(1=1 ,2,m)的顶点A共有n-3个，若正三角形PN的顶点M,N在圆O上，则空PA列的最 大值为 【解析】由题知正n边形顶点为A1,A2,,A,设OA和OA夹角为0， 由题意可得，满足OA1+OA>√(i=1,2,…,n)的顶点A仅3个， 不等式两边平方可得OA+OA+2OA·OA:cos0>3, 因为正n边形A1A2…An(n为偶数)内接于单位圆O, ·6 所以OA=OA=11=1,2,,n,且OA=d, 所以1+1+2cos0>3,则c0s0>),故0≤9<号， 故满足条件的顶点只能为A1,A2,An这三个， 所以有2红<≤红，解得6<n≤12，又n为偶数，故n=8,10,12: 22 3 2PA=(+oA-2P6+oA=2元=md≤12Pd列 下面求P⑦的最大值， 如图，由正三角形PMN中，取MN中点H,连接OH,HP, 则OH⊥MN,PH⊥MN,故O,H,P三点共线，设∠ONH=0, OH=ON-sind=sin0,PH-MN=/3NH=3ON.cos0=3cos0, 所以O=sin8+V5cos9=2sin(0+号)≤2，当0=云时，等号取到， 6 故2P列≤12P可≤24，且当n=12,0=否时，公P可取到最大值24 故答案为：24. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15、已知向量d,,满足a=2,=3,向量d,的夹角为60°. (1)求(d+2(a-的值： (2)求向量2d+与的夹角0的余弦值， 【解析】(1)由题意可得，d.6=d:icos60°=2×3×号=3， 7 则(d+25·(d-=+d.6-2=4+3-2×9=-11: (2)由已知，(（2à+·=2d.+=6+9=15, 2a+=√(2à+=√4+4d-6+=√4×4+12+9=√37， 则向量à+6与的夹角0的余弦值为2a+列：6 15 _5W37 2à+： √37×3 37 16、在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,己知b=2,且满足acosB+ bcosA=2ccosB (1)求角B的大小 (2)△ABC的内心为I,求△ACI周长的取值范围， 【解析】(1)根据正弦定理，得sin AcosB+sin BcosA=2 sinCcosB,即sin(B+A)= sinC=2sinCcosB, 而sinC>0,故cosB=7,又B∈(0，，所以∠B= 3 2)由(1)可得∠B=否，即LACB+∠BAC=2受 3 设△ABC的内心为1，即∠ACI+∠CAI=亏，故LAIC= 3 设∠ACI=日0<0<否)，则∠CA1=否-，在△ACI中，由正弦定理得， ICIl lAI AC 2=4W3 sin(-) sin sin∠AIC sin夸 3 所以lo=sn5-0)=sn6, 3 3 所以△AC7的周长为4in否-)+sn9+2=yng+号）+2，因为0< 9< 所以专<0+5<答，所以sn(g-号e(9,小所以sn0+5)+2e 1.2- 故△4C的周长取值范围为，2+ 17、如图，正方体ABCD-ABC1D中，AB=2,点E,F分别是棱BC,CC1的中点 8 D D (1)根据多面体ADD一ECF的结构特征，判断该几何体是哪种多面体，并结合该类多面 体的定义给出证明： (2)求多面体ADD,-ECF的表面积和体积 【解析】(1)几何体ADD,-ECF是三棱台，证明如下： 因为点E,F分别是棱BC,CC的中点，连接BC,所以EF∥BC∥AD, 且EP=号BC=)AD,因此四边形ABPD是梯形 延长AE,DF相交于点G,因为G∈AE,AEC平面ABCD, 所以G∈平面ABCD, 又因为G∈DF,DFC平面CDDC,所以G∈平面CDDC 因为平面ABCD∩平面CDDC1=CD,所以G∈CD, 所以直线AE,DC,DF相交于同一个点G 所以几何体G-ADD是三棱锥， 由于平面ECF∥平面ADD,因为用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥， 底面和截面之间那部分多面体叫做棱台.所以几何体ADD,一ECF是三棱台 D (2)因为AB=2,所以CE=CF=1,AE=D,F=√5， 在等限院形AD,中，-V反，A0=2包，高-V-(号牙- 所以sm号+22，×8-号 又因为SE AX&=Sene=方×2+1)×2=3，Scae=S=方，Sm,=S=2, 所以三棱台ADD,-BCP的表面积是号+2+号+3+3=1B, 因为三棱台ADD-ECF的高h=CD=2, 所以棱台ADD-ECF的体积 9 V=}(S+W5s+3h=3(号+V分×2+2)×2=3 18、北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几 何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该 点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶 点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个 顶点有3个面角，每个面角是牙，所以正四面体在各顶点的曲率为2红一3×令=元，故其总 曲率为4r. (1)求四棱锥的总曲率； (2)若多面体满足：顶点数一棱数+面数=2，证明：这类多面体的总曲率是常数 【解析】(1)由题可知：四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和 可以从整个多面体的角度考虑，所有顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内 角的集合.由图可知：四棱锥共有5个顶点，5个面，其中4个为三角形，1个为四边形 所以四棱锥的表面内角和由4个为三角形，1个为四边形组成， 则其总曲率为：2元×5-（4π+2元)=4π (2)设顶点数、棱数、面数分别为n、1、m,所以有n-l+m=2 设第i个面的棱数为c,所以x1+x2十+xm=2l 所以总曲率为： 2πm-x[(-2)+(x2-2)++(xm-2)] =2πm-π(2l-2m) =2π(n-l+m)=4π 所以这类多面体的总曲率是常数 本题考查立体几何的新定义问题，能够正确读懂“曲率”的概率是解决问题的关键. ·10 19、已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sin(A+C sin(A-C) a2+c2+ac a2-c2 (1)求B: (2)若c=I,点D在AC上，直线BD上一点P满足CB·CP=CD·CP,在点C和点D 的变化过程中， (i)求PA+PC2的最小值： (i)当PA+PC最小时，求BA·BD的值. 【解析】(1)在△ABC中，因为A+B+C=元，所以sin(A+C)=sinB,代入得到 sinB a2+c2+ac sin AcosC-cos AsinC a2-c2 由正弦定理得 6 a2+c2+ac acosC-ccosA a2-c2 由余弦定理得 b =a2+c2+ac a2+-c2-o+c2-a2 a2-c2 2ab 2bc 化简得b2=a2+c2+ac, 又cosB=o2+c2=ae 2ae 2ac ,B∈(0，x, =1 所以B=2红 (2)(i)因为C.CP=CD.CP,所以D2.C示=0，所以DB⊥CP 如图，建立平面直角坐标系 此时A-1,0,B=受 设C(m,√3m),m>0 因为DB⊥CP,所以PB.PC=0 设P(c,y),代入得x2-mx+-√5my=0, 整脚得(-0-m-(e-受》≥0，解得-受≤≤ 2 PA2+PC2=(c+12++(x-m}+(y-√3m)2 =2x+4m2+1+2(x2-mc+y2-√3my)=2xc+4m2+1 ≥-m+4m2+1,当且仅当x=-0取得等号 又因为-m+m+1≥4m名-培≥贵当仅当m=专取得等号， 所以P+PC的最小值为将 〔动此时C(冬，令〉所以直线AC:y=5{红+)。 9 P叶的语》.所以直线ng- 11 y=-√3x 联立 =9(x+1) 解得(-古瓷》所以ui心-六 ·12.