精品解析：广东深圳高级中学（集团）2025-2026学年第二学期期中测试题高一数学

深圳高级中学（集团）2025-2026学年第二学期期中测试题 高一数学 命题人：王会丹 阮飞燕 雷蕾 辛彦瑶 审题人：王雪冰 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并填涂相应的考号信息点. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；解答题必须使用黑色墨水的签字笔书写，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答题无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2. 设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则m，n是异面直线 D. 若m，n是异面直线，，，，，则 3. 如图所示是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且，则该圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 4. 在三棱柱中，E是棱的中点，D是棱BC上一点，，若平面ADE，则实数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 在平行四边形ABCD中，，，，，用向量，来表示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 深圳高级中学高一年级迎来了2026年春季数学活动周，同学们都积极参加各种数学活动，深圳大梅沙海滨公园以其绵长的海岸线和“愿望塔”闻名，某个数学兴趣小组计划测量愿望塔的高度，他们在愿望塔正东方向的沙滩上选取了观测点A，在点A处测得愿望塔顶端P的仰角为，又在沙滩上选择了观测点B（A，B和塔底O在同一个水平面上），愿望塔底端位于点B的北偏西，已知A，B两点的距离为100米，测得点B位于点A的南偏西，则愿望塔的高度约为（ ）（参考数据：，） A. 60米 B. 71米 C. 85米 D. 100米 7. 在中，内角所对边分别为，若，，角C的角平分线交于点D，则（ ） A. B. C. D. 8. O为平面内的定点，，，的夹角为120°，，，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设复数z的共轭复数为，为虚数单位，则下列命题正确的是（ ） A. 若复数，则在复平面内对应的点在第三象限 B. 若复数，则z的虚部为 C. 若，则的最大值为2 D. 若，则 10. 已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，以下结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 在锐角△ABC中，不等式恒成立 C. 若，，且△ABC只有一解，则b的取值范围是 D. 若，则 11. 已知圆锥顶点为S，高为1，底面圆O的直径AB长为，若C为底面圆周上不同于A，B的任意一点，则下列说法中正确的是（ ） A. 圆锥SO的侧面积为 B. 过顶点S作圆锥的截面，截面面积的最大值为 C. 若P为SB的中点，过P作平面与底面圆周交于M、N，且，则△PMN的周长的最大值为 D. 若，E为线段AC上的动点，则的最小值为 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 水平放置的的直观图如图所示，其中，，那么原周长是__________. 13. 已知向量，（），若在上的投影向量为，则与的夹角为__________. 14. 在中，角所对的边分别是，已知，.若存在最大值，则正数的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知正四棱台两底面边长分别为10和20，高为12. （1）求此棱台的侧面面积； （2）若截去三棱锥，求截去的三棱锥和剩余的几何体的体积之比. 16. 已知等腰梯形ABCD中，，，E为DC边上的中点. （1）若与共线，求k的值； （2）若P为AD边的中点，PB与AE交于F，求； （3）若P为AD边上的动点，求的最小值. 17. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且AB边上一点P满足. （1）求角A的大小； （2）若，，求的面积. 18. 如图所示，在正方体中，点分别是棱的中点，P为线段上一动点，. （1）若平面交平面于直线l，求证：； （2）当直线时，求三棱锥的体积； （3）是否存在一点P，使得直线平面？若存在，求出此时线段与的比值；若不存在，请说明理由. 19. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，. （1）求A； （2）若△ABC为锐角三角形，求的取值范围； （3）若为锐角三角形，O为△ABC的垂心，且满足（m，），求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳高级中学（集团）2025-2026学年第二学期期中测试题 高一数学 命题人：王会丹 阮飞燕 雷蕾 辛彦瑶 审题人：王雪冰 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并填涂相应的考号信息点. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；解答题必须使用黑色墨水的签字笔书写，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答题无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】复数，所以. 2. 设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则m，n是异面直线 D. 若m，n是异面直线，，，，，则 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，由，得平行、相交或者是异面直线，A错误； 对于B，由，得或，B错误； 对于C，由，得平行、相交或者是异面直线，C错误； 对于D，由，得存在过的平面，则，而， 是异面直线，则是相交直线，又，不在内，则， 又，是内的两条相交直线，因此，D正确. 3. 如图所示是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且，则该圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设圆台的上下底面圆的半径分别为. 因为扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且， 所以，，解得，， 所以该圆台的表面积为. 4. 在三棱柱中，E是棱的中点，D是棱BC上一点，，若平面ADE，则实数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】连接，利用线面平行的性质及平行线分线段成比例定理列式求解. 【详解】在三棱柱中，E是棱的中点，连接，连接， 由平面，平面平面，平面， 得，所以. 5. 在平行四边形ABCD中，，，，，用向量，来表示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的线性运算，结合共线向量定理及推论求解即得. 【详解】依题意，，由在上，得， 由在上，得，解得，则， 所以. 6. 深圳高级中学高一年级迎来了2026年春季数学活动周，同学们都积极参加各种数学活动，深圳大梅沙海滨公园以其绵长的海岸线和“愿望塔”闻名，某个数学兴趣小组计划测量愿望塔的高度，他们在愿望塔正东方向的沙滩上选取了观测点A，在点A处测得愿望塔顶端P的仰角为，又在沙滩上选择了观测点B（A，B和塔底O在同一个水平面上），愿望塔底端位于点B的北偏西，已知A，B两点的距离为100米，测得点B位于点A的南偏西，则愿望塔的高度约为（ ）（参考数据：，） A. 60米 B. 71米 C. 85米 D. 100米 【答案】B 【解析】 【详解】作出示意图如图所示：， 因为点B位于点A的南偏西，所以， 又因为愿望塔底端位于点B的北偏西，所以， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 又因为点A处测得愿望塔顶端P的仰角为，所以， 所以，所以. 7. 在中，内角所对边分别为，若，，角C的角平分线交于点D，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理及三角形面积公式列式求解. 【详解】在中，，由余弦定理得， 解得，又，由， 得，则， 所以. 8. O为平面内的定点，，，的夹角为120°，，，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的模的运算求得，利用配方法和基本不等式可求得的范围，进而可求得的最大值. 【详解】因为，，的夹角为120°， 所以 . 因为，所以， 又， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以，所以，， 所以，所以的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设复数z的共轭复数为，为虚数单位，则下列命题正确的是（ ） A. 若复数，则在复平面内对应的点在第三象限 B. 若复数，则z的虚部为 C. 若，则的最大值为2 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，在复平面内对应的点在第三象限，A正确； 对于B，复数的虚部为2，B错误； 对于C，表示复数对应点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 而圆心到原点距离为1，因此的最大值是该圆上的点到原点距离最大值，它是，C正确； 对于D，取，满足，而，D错误. 10. 已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，以下结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 在锐角△ABC中，不等式恒成立 C. 若，，且△ABC只有一解，则b的取值范围是 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正弦定理边角互化，结合二倍角余弦公式推理判断AD；利用正弦函数单调性推理判断B；利用正弦定理，结合三角形解的情况求出范围判断C. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，在锐角△ABC中，，而正弦函数在上单调递增， 因此，即，B正确； 对于C，由及正弦定理，得，而△ABC只有一解， 因此或且，解得或，C错误； 对于D，由，得，而， 则，D正确. 11. 已知圆锥顶点为S，高为1，底面圆O的直径AB长为，若C为底面圆周上不同于A，B的任意一点，则下列说法中正确的是（ ） A. 圆锥SO的侧面积为 B. 过顶点S作圆锥的截面，截面面积的最大值为 C. 若P为SB的中点，过P作平面与底面圆周交于M、N，且，则△PMN的周长的最大值为 D. 若，E为线段AC上的动点，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，直接代公式即可求解；对于B，截面为等腰三角形且腰长确定，由基本不等式即可求解；对于C，利用向量法表示出中线长，结合余弦定理，即可求解；对于D，将三角形展开，即可求解. 【详解】对于A，由勾股定理得，由侧面积公式得，故A正确； 对于B，如图截面为，， 设，的高为，则， 可得，当且仅当时取等号，故B错误； 对于C，如图，设， 而， 即，即， 又，所以可化为， 而 ，当且仅当时取得等号. 故的周长为， 即的周长的最大值为，故C正确， 对于D，将翻折到平面上，如图，的最小值即为， 如图，另作出平面图形如下， 易得，， 且， 由两角和的余弦公式得， 在中， . 可得的最小值即为，故D正确. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 水平放置的的直观图如图所示，其中，，那么原周长是__________. 【答案】6 【解析】 【详解】依据斜二测画法可知，所以， 又因为，， 所以，， 可得 ， 那么原周长是 . 13. 已知向量，（），若在上的投影向量为，则与的夹角为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，结合投影向量的意义求出，进而求出向量夹角. 【详解】由向量，，得， 由在上的投影向量为， 得，解得， 因此， 而，则， 所以与的夹角为. 14. 在中，角所对的边分别是，已知，.若存在最大值，则正数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边，并利用余弦定理求出，再利用正弦定理及三角恒等变换，结合正弦函数性质求出范围. 【详解】由及正弦定理，得， 由余弦定理，得，而，则， 由正弦定理，得， 因此 ，其中， 而，要使存在最大值，则有解，即， 因此，解得，所以正数的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知正四棱台两底面边长分别为10和20，高为12. （1）求此棱台的侧面面积； （2）若截去三棱锥，求截去的三棱锥和剩余的几何体的体积之比. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，的中点，可得四边形为直角梯形，利用勾股定理求得斜高，进而可求侧面积； （2）利用棱台的体积公式和锥体的体积公式计算求得，，进而可求三棱锥和剩余的几何体的体积之比. 【小问1详解】 在正四棱台中，， 取的中点，的中点，则为侧面底边上的高， 设分别是上、下底面的中心，，则四边形为直角梯形， 在直角梯形中，， 所以， 所以； 【小问2详解】 该正四棱台的体积为， ， 所以几何体的体积， 所以三棱锥和剩余的几何体的体积之比为. 16. 已知等腰梯形ABCD中，，，E为DC边上的中点. （1）若与共线，求k的值； （2）若P为AD边的中点，PB与AE交于F，求； （3）若P为AD边上的动点，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3）5 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，利用向量线性运算的坐标运算可求得k的值； （2）利用向量夹角的坐标运算公式可求得； （3）设，利用向量数量积的坐标运算可求得，结合二次函数的最值的求法可求得的最小值. 【小问1详解】 如图建立直角坐标系，则， ， 又因为与共线，所以，解得； 【小问2详解】 若P为AD边的中点，则，， 所以，， ， 所以； 【小问3详解】 设，， 所以，， 又，所以当时，的最小值为. 17. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且AB边上一点P满足. （1）求角A的大小； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，结合三角恒等变换可求得，进而可求得角A的大小； （2）由已知可得是等边三角形，进而可得，在中，利用正弦定理可求得，由余弦定理求得，进而可求得的面积. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 即， 所以， 所以，因为，所以， 所以，又因为，所以； 【小问2详解】 由（1）知，又，所以是等边三角形，所以， 又，所以， 在中，由正弦定理可得，即， 所以，由余弦定理可得， 所以，解得，故， 所以. 18. 如图所示，在正方体中，点分别是棱的中点，P为线段上一动点，. （1）若平面交平面于直线l，求证：； （2）当直线时，求三棱锥的体积； （3）是否存在一点P，使得直线平面？若存在，求出此时线段与的比值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 在正方体中，平面平面， 平面平面，平面平面，则， 由分别为的中点，则，所以. （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）利用面面平行的性质，结合正方体的结构特征推理得证. （2）根据给定条件，确定点的位置，再利用等体积法计算得解. （3）作出几何图形，再借助线面平行的性质确定点并求出比值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，由为中点，，得， 而，因此为中点， 点到平面的距离等于点平面的距离的一半， 即， 于是， 所以三棱锥的体积为. 【小问3详解】 如图，令直线交的延长线分别于， 直线交的延长线分别于， 连接交分别于，连接并延长交的延长线于， 则平面即为平面，由点分别是棱的中点， 得，则，又， 于是四边形是平行四边形，设， 平面平面，平面，要平面， 当且仅当，此时，，， 所以在上存在点P，使得直线平面，此时. 19. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，. （1）求A； （2）若△ABC为锐角三角形，求的取值范围； （3）若为锐角三角形，O为△ABC的垂心，且满足（m，），求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）正弦定理边化角，利用三角恒等变换即可求解； （2）由正弦定理边化角，进而利用三角恒等变换可得，利用已知求得，即可求得的取值范围； （3）利用，，结合已知可求得，可得，利用基本不等式求得，进而得，结合二次函数的单调性可求得的最小值. 【小问1详解】 由和正弦定理，得， 即， 也即， 整理得， 又因为，所以，所以， 故，即， 又因，则，故，解得. 【小问2详解】 由正弦定理， ， . 又因为△ABC为锐角三角形，且，即且， 解得，则，所以， 因，所以 则，所以的取值范围； 【小问3详解】 因O为△ABC的垂心，（m，）， 则， 所以， 则得，即①， 同理得， 所以， 则得，即②， 由①与②可得，即有，化简得， 由为锐角三角形，得， 而，解得，从而得， 函数在上单调递减，又， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $