精品解析：广东东莞市东莞中学松山湖学校2025-2026学年度第二学期期中考试高二年级数学试题

2025-2026学年度第二学期期中考试 高二年级数学试题 教学处命题中心 试卷分值：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.本卷共4页． 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上． 3.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 5.考生必须保证答题卡的整洁． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 1. 在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】当n为偶数时，展开式中第项二项式系数最大，当n为奇数时，展开式中第和项二项式系数最大. 【详解】因为只有一项二项式系数最大，所以n为偶数，故，得. 故选：B 2. 如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转到（转到角不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图像大致是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知：S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，据此确定函数的大致图像即可. 【详解】观察可知面积S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”， 对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知D符合要求. 故选D. 【点睛】本题主要考查实际问题中的函数图像，函数图像的变化趋势等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3. 函数，若在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出导数，根据题意知在上恒成立，再利用参变分离求参数即可． 【详解】由题意得函数的定义域为，， 又在上单调递减，所以在上恒成立， 即，由对勾函数性质得在单调递减， 则，所以． 4. 已知某六名同学在CMO竞赛中获得前六名（无并列情况），其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，则这六名同学获得的名次情况可能有（ ） A. 72种 B. 96种 C. 144种 D. 288种 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分别求出甲是第一，乙是第一的可能情况，再利用分类加法计数原理计算即可. 【详解】由题意，丙可能是4，5，6名，有3种情况， 若甲是第一名，则获得的名次情况可能是种， 若乙是第一名，则获得的名次情况可能是种， 所以所有符合条件的可能是种. 故选：C. 5. 某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的，学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为分，学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其它三个选项都没有把握，选择题的得分为分，则的值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可知同学正确数量满足二项分布，同学正确数量满足二项分布，利用二项分布的方差计算公式分别求得两者的方差，相减得出正确结论. 【详解】设学生答对题的个数为，则得分（分），，，所以，同理设学生答对题的个数为，可知,，所以，所以.故选A. 【点睛】本小题主要考查二项分布的识别，考查方差的计算，考查阅读理解能力，考查数学在实际生活中的应用.已知随机变量分布列的方差为，则分布列的方差为. 6. 若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题知过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离的最小，再根据导数的几何意义求解即可. 【详解】解：过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离的最小. 设切点为，， 所以，切线斜率为， 由题知得或（舍）， 所以，，此时点到直线距离. 故选：C 7. 设，分别为随机事件A，B的对立事件，已知，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. 若A，B是相互独立事件，则 D. 若A，B是互斥事件，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用条件概率的计算公式，以及相互独立事件判定方法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由，故A正确； 对于B，当是相互独立事件时，，故B错误； 对于C，因为是相互独立事件，所以， 则，故C正确； 对于D，因为是互斥事件，所以，则，故D正确. 8. 设函数，，若存在，，使得，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得，即可得到，构造函数，求导得其最值，即可得到结果. 【详解】由题意可得，即， 所以， 又，所以在上单调递增， 即，所以， 且， 令，， 则，其中， 令，则， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以当时，有极大值，即最大值， 所以，， 所以. 故选：B 【点睛】关键点睛：本题主要考查了函数同构问题以及导数求最值问题，结合同构函数，然后构造函数求导即可得到结果. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”、“环境检测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项，则下列说法正确的是（ ） A. 四名同学的报名情况共有种 B. 每个项目都有人报名的情况共有36种 C. 四名同学最终只报名了两个项目的情况共有42种 D. 恰有两名同学所报项目相同且只有甲同学一人报名“关怀老人”的情况共有12种 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理可判断A，利用分组分配方法可判断B，C，D. 【详解】对于A，由题意知每人都有3种选择，所以四名同学的报名情况共有种，故A正确； 对于B，若每个项目都有人报名，则必有两名同学报名同一项目，所以报名情况共有种，故B正确； 对于C，四名同学最终只报名了两个项目，可先选出两个项目，报名情况为这两个项目各有两名同学报名，或一名同学报名其中一个， 另外三名同学报名另一个项目，所以报名情况共有种，故C正确； 对于D，恰有两名同学所报项目相同且只有甲同学一人报名“关怀老人”的情况共有种，故D错误． 10. 已知函数在处取得极大值，的导函数为，则（ ） A. B. 当时， C. D. 当且时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据极值的定义可得，进而求出可判断A；结合函数的单调性判断B；代式计算判断C；由，可得，再结合函数的单调性可得，进而得到，再验证可得，进而判断D. 【详解】由，则， 则函数的定义域为， 则，， 则， 因为函数在处取得极大值， 所以，即， 此时， 则， 令，得或； 令，得， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 则函数在处取得极大值，符合题意，即，故A正确； 由上述可知函数在上单调递减， 当时，，则，故B错误； 由， 则， ， 所以，故C正确； 因为，，则， 又函数在上单调递增，则， 所以， 又， 则，故D正确. 故选：ACD 11. 甲、乙两个罐子均装有2个红球，1个白球和1个黑球，除颜色外，各个球完全相同.先从甲罐中随机取出2个球放入乙罐中，再从乙罐中随机取出1个球，记事件表示从甲罐中取出的2个球中含有个红球，表示从乙罐中取出的球是红球，则（ ） A. ，，两两互斥 B. C. D. 与不相互独立 【答案】AC 【解析】 【分析】结合互斥，相互独立事件的定义，以及全概率公式，条件概率公式，即可判断选项. 【详解】A.表示从甲罐中取出的2个球，没有红球，表示从甲罐中取出的2个球，有1个红球，表示从甲罐中取出的2个球，有2个红球，在一次实验中，这三个事件，任两个事件不能同时发生，所以两两互斥，故A正确； B. ，故B错误； C. ，故C正确； D.，，， 则，则与相互独立，故D错误. 故选：AC 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若的二项展开式中的系数是，则实数的值是________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用二项式展开式通项，结合对应项的值列方程求参数即可. 【详解】题设二项式展开式通项为，， 所以，即，故，则. 故答案为：2 13. 某单位有1000名职工，想通过验血的方法筛查某种病毒携带者，假设携带病毒的人占，化验费用为50元/次，如果对每个人的血样逐一化验，则该单位所需的化验费用为50000元．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次．按照这种化验方法，该单位所需的平均化验费用为______元．（参考数据：） 【答案】21310 【解析】 【分析】先平均分组，设每组需要的化验次数为，结合独立重复试验概率计算公式、对立事件概率计算公式求得，进而求得每组的费用，进一步计算即可. 【详解】1000名职工按5人一组，可分为组. 已知携带病毒的人占，即每个人呈阴性的概率为0.95. 设每组需要的化验次数为，则的可能取值为1,6， ，， . 所以该单位所需的平均化验费用为（元）. 14. 若关于x的不等式有正整数解，则实数m的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可将转化为，令，，利用导数，判断其单调性即可得到实数的最小值． 【详解】因为不等式有正整数解，所以，于是转化为， 当显然不是不等式的解； 当时，，，所以可变形为， 令，，则， 所以当时，当时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，而， 因为，， 所以， 所以当时，， 故，解得. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记等差数列的前项和为，已知. （1）求数列的通项公式； （2）证明：. 【答案】（1） （2） 由（1）知：，可得，可得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 因为，所以. 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得和，即可求得数列的通项公式； （2）由（1）求得，得到数列是等比数列，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【小问1详解】 解：设等差数列的公差为，因为 可得，解得， 所以，即数列的通项公式为. 【小问2详解】 略 16. 某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光体育活动．现有4名男教师，2名女教师报名，本周随机选取2人参加． （1）求在有女教师参加活动的条件下，恰有一名女教师参加活动的概率； （2）记参加活动的女教师人数为X，求X的分布列及期望； （3）若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男教师至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“体育明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人得分之和为Y，求Y的期望． 【答案】（1） （2） 的分布列为： 0 1 2 （3） 【解析】 【分析】（1）由条件概率的计算公式即可求解； （2）参加活动的女教师人数为，则服从超几何分布，即可写出的分布列及期望. （3）根据一名女教师和一名男教师参加活动获得分数的期望，即可得，即可求得. 【小问1详解】 设“有女教师参加活动”为事件，“恰有一名女教师参加活动”为事件， 则，，所以. 【小问2详解】 依题意知服从超几何分布，且， ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 . 【小问3详解】 设一名女教师参加活动可获得分数为，一名男教师参加活动可获得分数为， 则的所有可能取值为3,6，的所有可能取值为6,9， ，， ，， 有名女教师参加活动，则男教师有名参加活动，， 所以. 即两个教师得分之和的期望为分. 17. 甲参加围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，输的概率为，每局比赛的结果独立． （1）当时，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？ （2）比赛采用3局2胜制，为增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大． 【答案】（1）采用5局3胜制对甲更有利 （2） 时，两种方案都可以选， 当时，，应该选第二种方案， 当时，，应该选第一种方案． 【解析】 【分析】（1）分别计算采用3局2胜制和采用5局3胜制甲最终获胜的概率，比较概率大小即可求解. （2）由（1）可得采用3局2胜制甲最终获胜的概率，分别计算两种方案下甲获得积分的数学期望，通过作差比较其大小即可. 【小问1详解】 当采用3局2胜制时：记“甲最终以获胜”为事件，记“甲最终以获胜”为事件，“甲最终获胜”为事件， 于是，与为互斥事件， 由于，， 则， 即采用3局2胜制甲最终获胜的概率为． 当采用5局3胜制时，记“甲最终以获胜”为事件，记“甲最终以获胜”为事件，记“甲最终以获胜”为事件，“甲最终获胜”为事件， 于是，为互斥事件， 由于，， 则， 即采用5局3胜制甲最终获胜的概率为． 显然， 所以采用5局3胜制对甲更有利 【小问2详解】 由（1）可知，采用3局2胜制甲最终获胜的概率， 若选用方案一，记甲最终获得积分为分，则可取， ， 则的分布列为： 3 则， 若选用方案二，记甲最终获得积分为分，则可取1，0， ， 则的分布列为： 1 0 则， 所以， 由于，则， 于是时，两种方案都可以选， 当时，，应该选第二种方案， 当时，，应该选第一种方案． 18. 已知函数． （1）当时，求证：； （2）当时，求方程的解的个数； （3）设，证明：． 【答案】（1） 当时，， ，当且仅当，即时取等号， 故在上恒成立，在上单调递增， 所以，故. （2）2个 （3） 令， 则， 因为，所以，即在上单调递减， 所以，当且仅当时等号成立. 即，当且仅当时等号成立. 令，则，所以. 即， 则，，， 所以， 故. 【解析】 【分析】（1）根据导数与最值的关系证明即可. （2）根据导数与单调性、最值的关系及零点存在定理求解即可. （3）构造函数，根据导数与单调性、最值的关系得到，令，代入可得，累加法求和即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，，则方程可化为方程，即. 令，则，令，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以的最小值为， 又，， 所以在和上各有一个根，即方程有2个解. 【小问3详解】 略 19. 定义：如果函数和的图象上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有关系. （1）判断函数和是否具有C关系； （2）若函数和不具有C关系，求a的取值范围； （3）若函数和在区间上具有C关系，求m的取值范围. 【答案】（1）与具有C关系， 理由如下： 根据定义，若与具有C关系，则在与的定义域的交集上存在x，使得， 又，，，所以， 即，即得，解得，所以与具有C关系. （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）根据定义，若与具有C关系，则在与的定义域的交集上存在x，使得，计算得解； （2）根据题意，在上的值恒为负或恒为正. 若在上恒成立，由，即，利用导数判断矛盾；若在上恒成立，转化为，令，利用导数求出的最大值，得解； （3）构造函数，将问题转化为在上存在零点，分类讨论与，利用导数与函数的关系证得时，在上有零点，从而得解. 【小问1详解】 与具有C关系. 【小问2详解】 因为，， 令，， 因为与不具有C关系，又在上的图象连续不断，所以在上的值恒为负或恒为正. 若在上恒成立，则，即， 又当时，， 令，所以，令，所以， 令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 所以，与假设矛盾，所以不存在使得在上恒成立. 若在上恒成立，即， 令，所以， 又在上单调递减， 所以当时，，所以， 当时，，所以， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，即的取值范围是. 【小问3详解】 因为，， 令，则， 因为与在上具有C关系，所以在上存在零点， 因为， 当且时， 因为，，所以， 所以在上单调递增，则，此时在上不存在零点，不满足题意； 当时，当时，，所以， 当时，令，则， 所以在上单调递增，且，， 故在上存在唯一零点，设为，使得， 所以当，；当，； 又当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在上存在唯一极小值点， 因为，所以， 又因为，所以在上存在唯一零点， 所以函数与在上具有C关系. 综上，的取值范围是. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键是理解新定义，得到与具有C关系，则在与的定义域的交集上存在x，使得，从而得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中考试 高二年级数学试题 教学处命题中心 试卷分值：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.本卷共4页． 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上． 3.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 5.考生必须保证答题卡的整洁． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 1. 在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转到（转到角不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图像大致是 A. B. C. D. 3. 函数，若在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知某六名同学在CMO竞赛中获得前六名（无并列情况），其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，则这六名同学获得的名次情况可能有（ ） A. 72种 B. 96种 C. 144种 D. 288种 5. 某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的，学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为分，学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其它三个选项都没有把握，选择题的得分为分，则的值为 A. B. C. D. 6. 若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 设，分别为随机事件A，B的对立事件，已知，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. 若A，B是相互独立事件，则 D. 若A，B是互斥事件，则 8. 设函数，，若存在，，使得，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”、“环境检测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项，则下列说法正确的是（ ） A. 四名同学的报名情况共有种 B. 每个项目都有人报名的情况共有36种 C. 四名同学最终只报名了两个项目的情况共有42种 D. 恰有两名同学所报项目相同且只有甲同学一人报名“关怀老人”的情况共有12种 10. 已知函数在处取得极大值，的导函数为，则（ ） A. B. 当时， C. D. 当且时， 11. 甲、乙两个罐子均装有2个红球，1个白球和1个黑球，除颜色外，各个球完全相同.先从甲罐中随机取出2个球放入乙罐中，再从乙罐中随机取出1个球，记事件表示从甲罐中取出的2个球中含有个红球，表示从乙罐中取出的球是红球，则（ ） A. ，，两两互斥 B. C. D. 与不相互独立 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若的二项展开式中的系数是，则实数的值是________． 13. 某单位有1000名职工，想通过验血的方法筛查某种病毒携带者，假设携带病毒的人占，化验费用为50元/次，如果对每个人的血样逐一化验，则该单位所需的化验费用为50000元．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次．按照这种化验方法，该单位所需的平均化验费用为______元．（参考数据：） 14. 若关于x的不等式有正整数解，则实数m的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记等差数列的前项和为，已知. （1）求数列的通项公式； （2）证明：. 16. 某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光体育活动．现有4名男教师，2名女教师报名，本周随机选取2人参加． （1）求在有女教师参加活动的条件下，恰有一名女教师参加活动的概率； （2）记参加活动的女教师人数为X，求X的分布列及期望； （3）若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男教师至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“体育明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人得分之和为Y，求Y的期望． 17. 甲参加围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，输的概率为，每局比赛的结果独立． （1）当时，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？ （2）比赛采用3局2胜制，为增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大． 18. 已知函数． （1）当时，求证：； （2）当时，求方程的解的个数； （3）设，证明：． 19. 定义：如果函数和的图象上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有关系. （1）判断函数和是否具有C关系； （2）若函数和不具有C关系，求a的取值范围； （3）若函数和在区间上具有C关系，求m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $