江苏南京市2025-2026学年高一下学期数学5月份月考全真模拟练习卷

高一下学期5月份月考模拟测试卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数满足，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】由，得， 所以. 2．某班有48名学生，其中男生28人，女生20人.按性别进行分层，用分层随机抽样的方法，从该班学生中抽取12人参加跳绳比赛，如果样本按比例分配，则应抽取的男生人数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据题意结合分层抽样的性质运算求解即可. 【详解】样本按比例分配，男女比例为. 所以应抽取的男生人数为. 故选：C. 3．已知点，，，若与共线，则在上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求向量的坐标，根据向量共线的坐标表示求，结合投影向量的定义求在上的投影向量的坐标. 【详解】因为，，， 所以， 因为与共线， 所以， 所以，，， 所以在上的投影向量为， 所以在上的投影向量的坐标为. 故选：D. 4．已知l，m，n表示不同的直线，，，表示不同的平面，则下列四个命题正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，，，则 C．若，且，则 D．若，，，则 【答案】C 【分析】根据线、面位置关系逐项分析判断. 【详解】对于选项A：若，且，则l，m可能平行、相交或异面，并不一定垂直，故A错误； 对于选项B：若，，，则m，n可能平行、相交或异面，并不一定平行，故B错误； 对于选项C：若，且，根据线面垂直可得：，故C正确； 对于选项D：若，，但不能得到， 所以虽然，不能得到，故D错误； 故选：C. 5．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同角三角函数基本关系式和二倍角公式，可求出和的值，再计算即可. 【详解】，， ，， ，化简得，， . 故选：C. 6．在中，角的对边分别为，且，，若满足条件的是唯一的，则的值不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据当或时是唯一的即可判断. 【详解】由于，，由正弦定理，要使唯一，须满足以下条件之一： ①当时，即，构成一个直角三角形（），只有唯一解； ②当时，即，边长足够长，只有唯一解； 因此，要使满足条件的是唯一的，的取值范围为， 即的值不可能是，故ACD错误，B正确. 7．如图，如图1的“方斗”古时候常作为一种容器，有如图2的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台，，，现往该方斗杯里加水，当水的高度是方斗杯高度的时，水的体积为84，则该方斗杯可盛水的总体积为（    ） A．112 B． C． D．496 【答案】B 【分析】根据已知条件结合台体体积公式计算求解即可. 【详解】设水面与棱台的四条侧棱分别相交于， 过作交于点E，交于点，如下图所示： 易知四边形为等腰梯形，则四边形为平行四边形， 因为水面的高度是方斗杯高度的，则 ，因此， 设棱台的高为，设体积为V， 则棱台的高为，设体积为， 则 所以，由题意，， 则该方斗杯可盛水的总体积为 故选：B. 8．已知在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由利用余弦定理，可得，正弦定理边化角，在消去，可得，利用三角形是锐角三角形，结合三角函数的有界限，可得的取值范围． 【详解】由 及余弦定理，可得 正弦定理边化角，得 是锐角三角形， ，即． ，， 那么： 则， 故选： 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设复数，（i为虚数单位），则下列结论正确的为（    ） A．是纯虚数 B．对应的点位于第二象限 C． D． 【答案】AD 【分析】根据复数的概念判断A；算出判断B；算出判断C；求出判断D. 【详解】对于A：，其实部为零，虚部不为零，是纯虚数，A正确； 对于B：，其在复平面上对应的点为，在第四象限，B错误； 对于C：，则，C错误； 对于D：，则，D正确. 故选：AD. 10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则（    ） A． B．若D为AB边的中点，且CD＝2，c＝4，则b＝2 C．若，则 D．当取得最大值时，为直角三角形 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，利用正余弦定理、三角恒等变换，结合三角函数性质逐项分析判断作答. 【详解】对于A，由余弦定理得,， 则，A错误； 对于B，由于是的中点，有，又，即有， 则为直角，，联立，解得，B正确；    对于C，由选项A知，，由正弦定理得， 而， 整理得，又，显然， 于是，有，而，所以，C正确； 对于D，由得，， 而，有，则，，有，又， 因此，显然角都为锐角，则， 又，当且仅当时取等号，而正弦函数在上单调递增， 因此取得最大值，此时，，有， 等式成立，所以为直角三角形，D正确. 故选：BCD 11．如图，在正方体中，，，为棱的中点，以下结论正确的是（   ） A．当时，面积的最小值为 B．当时，直线与平面所成的角为 C．二面角的平面角的正弦值为 D．三棱锥外接球的表面积为 【答案】ACD 【分析】当时，点在上，分析可得是底边为的等腰三角形，当腰最小时，即点为线段的中点时，该三角形的面积最小，即可判断选项A；当时，根据及数量积的运算律可求得，进而可知即为与平面所成的角，即可判断选项B；过点作，垂足为，连接.根据线面垂直的判定定理与性质可得，从而即为二面角的平面角，即可求出即可判断选项C；设为线段的中点，线段，的中点分别为，，连接.设三棱锥外接球的球心为，分析可知球心在上.设，，根据结合勾股定理即可求出三棱锥外接球的半径为，即可判断选项D. 【详解】当时，点在上，∴. 又，，∴， ∴，即，∴， ∴是底边为的等腰三角形，当腰最小时，该三角形的面积最小. ∵，∴当， 即点为线段的中点时，的面积取得最小值，故选项A正确； ∵，， ∴，∴. ∵平面，∴为与平面所成的角. 又平面平面，∴即为与平面所成的角. ∴与平面所成角的正切值， 即直线与平面所成的角为，故选项B错误； 如图所示，过点作，垂足为，连接. ∵平面，平面，∴. 又，∴平面.∵平面，∴， ∴即为二面角的平面角. 易知，∴， ∴，， ∴，故选项C正确； 设为线段的中点，线段，的中点分别为，，连接， 如图所示.∵，∴平面. ∵为直角三角形，∴点为外接圆的圆心. 设三棱锥外接球的球心为，则球心在上，且. 设，，三棱锥外接球的半径为. ∵，∴，解得，∴， ∴三棱锥外接球的表面积为，故选项D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．如图，三角形是三角形的直观图，且，则三角形的面积是_______． 【答案】 【分析】根据直观图与原图形的面积关系即可求出． 【详解】由三角形的特点可知，，而，所以 三角形的面积是． 故答案为：． 13．若，且，则_____. 【答案】 【分析】利用降幂公式化简原式后，通过分解二倍角余弦、展开两角差正弦提取公因式，结合α的范围得到，平方后整体计算得到. 【详解】因为，所以 原等式即， 整理得：. 又，， 所以，即， 因为，所以，因此得 两边平方得， 整理得：. 14．在中，角，，所对的边分别为，，.已知向量，且，为边上一点，满足，.则_______，面积的最大值为________. 【答案】 【分析】（1）由得到，再利用正弦定理和三角恒等变换化简得解； （2）设,根据已知得到，再利用重要不等式得到，即得解. 【详解】（1）因为，所以 所以， 所以, 由正弦定理得, 所以， 所以， 因为，所以, 所以. （2）设, 因为， 所以， 由得 所以.（当且仅当时等号成立） 所以面积的最大值. 故答案为： ；. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知复数z满足． (1)求复数z； (2)若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设且，根据复数的代数形式运算及复数相等求解； （2）化简后，根据复数对应点所在象限列出不等式求解. 【详解】（1）令且，则， 所以，则解得 所以． （2）由，得， 故在复平面内对应的点位于第三象限，则 解得，即实数m的取值范围为． 16．（15分） 某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第4组，第1组，第2组的频数依次成等比数列，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)求a，b的值； (2)若根据这次成绩，学校准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？ (3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，，，…，，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差. 【答案】(1)， (2)78 (3)90；38.75 【分析】（1）由题意知，第4组，第1组，第2组的小长方形的高也成等比数列，列式可求得；根据小长方形的面积和为1求得； （2）利用频率分布直方图计算第80百分位数即可； （3）根据平均数和方差的计算公式求解即可. 【详解】（1）由题意知，第4组，第1组，第2组的小长方形的高也成等比数列， 所以，解得， 又，解得． 所以，． （2）成绩落在内的频率为：， 落在内的频率为：， 设第80百分位数为m， 则，解得，所以晋级分数线划为78分合理． （3），故：． 又，， 剔除其中的95和85两个分数，设剩余8个数为，，，…，， 平均数与标准差分别为，， 则剩余8个分数的平均数：； 方差：． 17．（15分） 如图，在正三棱柱中，已知，，D是棱AC的中点． (1)求证：平面； (2)求与BD所成角的余弦值； (3)该正三棱柱被平面截去一个棱锥，求剩余部分的体积． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）连接，使得，再连接，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）设中点为，可证，利用余弦定理可求. （3）利用柱体及锥体体积公式可求. 【详解】（1）连接，交于点，则为中点，连接，如图所示，    在中，因为分别为的中点，所以， 又因为面，且面，所以平面； （2）设中点为，连接，， ∵是棱的中点，∴且， 即四边形为平行四边形，∴， 在正三棱柱中，， ，，， , 故与所成角的余弦值. （3）在正三棱柱中，底面为等边三角形， ，， ， ， 所以剩余部分的体积. 18．（17分） 如图所示，某区有一块空地，其中，，．当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中M，N都在边AB上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在人工湖的周围安装防护网． (1)当时，求防护网的总长度； (2)若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍，试确定的大小； (3)为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？ 【答案】(1) (2) (3)时，面积取最小值为 【分析】（1）在中利用余弦定理可求得，可知为正三角形，由此可得结果； （2）设，由可得；在中，利用正弦定理可得；由此可构造方程求得； （3）设，由（2）知；在中，利用正弦定理可得，根据，结合三角恒等变换知识可化简得到，由正弦函数的最值可确定所求最小值. 【详解】（1）在中，，，，则， 在中，由余弦定理得：， 即，则，可得， 可知为正三角形，其周长为，即防护网的总长度为. （2）设， 因为，即，可得， 在中，由得：， 即，可得， 又因为，则， 则，解得，所以. （3）设，由（2）知：， 在中，由得：， 则， 当且仅当，即时，面积取最小值为. 19．（17分） 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，，，，点E，F分别为棱，的中点，G为线段上一动点（含端点）. (1)证明：平面； (2)若，点Q是三棱锥的外接球上一动点，求的取值范围； (3)设直线与平面，平面，平面所成的角分别为，，，，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，取的中点，连接，根据面面垂直的性质得到平面，即可得到，再由，即可得证； （2）确定三棱锥外接球的球心为，求出及球的半径，即可得出的范围； （3）确定直线与平面，平面，平面所成的角，再根据锐角三角函数得到，设，，利用换元法求出函数的最大值. 【详解】（1）连接，取的中点，连接， 因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，，平面， 所以平面； （2）连接，， 因为平面，所以， 所以， 又E为的中点，所以， 由平面，平面，所以， 又，， 所以, 所以为三棱锥的外接球的球心，且球的半径， 因为，所以平面，平面， 所以，又， 所以， 所以，即. （3）连接， 由平面，则为直线与平面所成的角，即，所以， 取的中点，连接，则且， 又为中点，所以，又，所以， 由平面，平面，所以，， 又，平面，所以平面，则平面， 又，平面，所以平面， 连接，，则为直线与平面所成的角，即， 所以， 为直线与平面所成的角，即， 所以， 所以， 又，设，， 所以， 所以， 令，则， 所以 ， 因为，所以， 所以当时取得最大值，且最大值为， 所以. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1 2 3 6 7 B C D C C B B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 AD BCD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.2 13.17 14. V15 95 18 4 P 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 【详解】(1)令z=a+bi且a,b∈R,则(2-i)(a-bi=(a+bi+2+2i, 所以2a-b-(a+2b)i=a+2+(b+2)i,则 o2网低 a=1, 所以z=1-i.(6分) (2)由z=1-i,0=z-m+m2-2m-2i,得o=1-m+m2-2m-3i, 1-m<0, 故在复平面内对应的点(1-m,m2-2m-3位于第三象限，则 m2-2m-3<0, 解得1<m<3,即实数m的取值范围为L,3).(13分) 16.(15分) 【详解】(1)由题意知，第4组，第1组，第2组的小长方形的高也成等比数列， 所以0.0162=0.008a,解得a=0.032, 又(0.008+0.016+0.032+0.04+b)×10=1,解得b=0.004. 所以a=0.032,b=0.004.(3分) (2)成绩落在50,70)内的频率为：0.16+0.32=0.48， 落在50,80)内的频率为：0.16+0.32+0.40=0.88， 1/6 设第80百分位数为m, 则(m-70)0.04=0.8-0.48,解得m=78,所以晋级分数线划为78分合理.(8分) (3）x=90,故：x1+x2+x3+…+x0=10×90=900. 又=+++)-0=6，+后++后=81560 剔除其中的95和85两个分数，设剩余8个数为x,x2,x,,, 平均数与标准差分别为x,S, 则剩余8个分数的平均数：万=+5+名++长_900=95-85=90： 8 8 方差：号=8+写++)-902=881360-952-85）-902=38.75(15分) 17.(15分) 【详解】(1)连接B,C,交BC于点E,则E为B,C中点，连接DE,如图所示， C B A -h D 在△AB,C中，因为D,E分别为AC,BC的中点，所以DE/1AB1, 又因为DEc面BDC,且AB,文面BDC,所以AB,/平面BDC:(4分) (2)设AC中点为D,连接DD,AD, :D是棱AC的中点，DD,I/BB,且DD,=BB,, 即四边形DDB,B为平行四边形，BD∥B,D, 在正三棱柱ABC-A,B,C,中，AB=2,B,B=3, BD=3,4B=13,AD =10, cos∠AB,D.= 3+13-10√39 V3×V1313 故AB,与BD所成角的余弦值B.(9分) 13 2/6 5B D (3)在正三棱柱ABC-A,B,C,中，底面ABC为等边三角形， 48-2,5a2x2x5-5. 2 VABC-ABG =S.A0CAA=313, %c甘3-9 h 所以剩余部分的体积V=VBC-4aG-'(-80c 55.(15分) 18.(17分) 【详解】(1)在△0AB中，0A=4,0B=4,∠A0B=120°，则∠0AB=∠0BA=30°， 在△A0M中，由余弦定理得：OM=0A+AM2-20 4.AM cos∠0AM=16+16-16=16 3 3 即OM=45,则∠0AB=∠40M=30°，可得∠0MN=60°， 3 可知AOm为正三角形，其周长为3x4V5=4N5,即防护网的总长度为4W5km·(4分 3 (2)设∠A0M=0(0°<0<60)， 因为5ow=V5。ouw,即)ON.OM sin60-5 2OA.OM sin0,可得0N=8sin0, ON OA 4 在a0AN中，由in309sin0+60°+30cos9得：ON3 cos0 1 即8sin0三c030可得sin28三27 又因为0°<0<60°，则0°<26<120°， 则20=30°，解得0=15°，所以∠A0M=15°.(9分) (3)设∠A0M=0(0°<0<60)，由(2)知：ON=2 cos0' 3/6 OM OA 2 在△AOM中， sin30°sin(0+309得：0M= in(0+30)' 则5ow-20M-ON.sn60° 5 6 sin(0+30)cos0 sin+coscos0 2W5 4V5 4V5 34v5 3sin0 cos0+cos20 3sin 20+cos20+1 2sin(20+30)+1 3, 当且仅当20+30°=90°，即0=30°时，60MN面积取最小值为45km.(17分) 3 19.(17分) 【详解】(1)连接AC,取AD的中点0，连接0C, D B- 因为AC=CD,所以OC⊥AD, 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PADO平面ABCD=AD,OCc平面ABCD, 所以OC⊥平面PAD,又PAC平面PAD,所以PA⊥OC, 又PA⊥CD,CDnOC=C,CD,OCC平面ABCD, 所以PA⊥平面ABCD;(4分) (2)连接OE,0F, 因为ADc平面ABCD,所以PA⊥AD, 所以PD=VPA2+AD2=V22+42=2V5, 又E为BC的中点，所以EP=ED=EA=V5, 由OC⊥平面PAD,OEc平面PAD,所以OC⊥OE, 又0E=PA=1,OC=AD=2, 2 所以EC=√0E2+0C2=+4=5, 所以E为三棱锥P-ACD的外接球的球心，且球的半径R=√5， 因为OEIIPA,所以OE⊥平面ABCD,FOc平面ABCD, 所以0E1OF,又OF=CD= =22, 4/6 所以FE=V0F2+0E2=V2N2+1P=3, 所以FE-R≤FQ≤FE+R,即3-V5≤FQ≤3+V5.(10分) (3)连接0G, 由0E1平面ABCD,则∠EG0为直线EG与平面ABCD所成的角，即∠EG0=8,所以sin9,=EGEG EO 1 取PA的中点M,连接ME,则MED且EM=号AD=2, 又F为BC中点，所以AF⊥BC,又ADIBC,所以AD⊥AF, 由PA⊥平面ABCD,AF,ADC平面ABCD,所以PA⊥AF,PA⊥AD, 又AFOAP=A,AF,APC平面PAF,所以AD⊥平面PAF,则EM⊥平面PAF, 又AD∩AP=A,AD,APC平面PAD,所以AF⊥平面PAD, 连接MG,AE,则∠EGM为直线EG与平面PAF所成的角，即LEGM=0,, 所以sin0,= ME 2 EGEG ∠AEG为直线EG与平面PAD所成的角，即∠AEG=02, G 所以sind=E 所以sin0,+sin02+sine3= 1+2+AG=3+AG GEG+EGEG,(14分) 又AE=√5，设AG=x,(0≤x≤23)， 所以EG=VAG2+AE2=√r2+5, 所以sin0,+sin8,+sin8,=3+46-3+x EG Vx2+5' 令1=3+x,则1e[3,3+25], 3+x t t 所以+5-3+5F-60+14 146 +1 41-3+5 144)+4 因为+可，所以[5引 1 所以当3时35取得最大值，且最大值为，√0 4i4)+14 5 5/6 所以(sim0,+sin8,+sm8,）=而.(47分) 5 6/6 高一下学期5月份月考模拟测试卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：苏教版2019必修第二册第9~14章 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数满足，则（   ） A． B．1 C． D．2 2．某班有48名学生，其中男生28人，女生20人.按性别进行分层，用分层随机抽样的方法，从该班学生中抽取12人参加跳绳比赛，如果样本按比例分配，则应抽取的男生人数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．已知点，，，若与共线，则在上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．已知l，m，n表示不同的直线，，，表示不同的平面，则下列四个命题正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，，，则 C．若，且，则 D．若，，，则 5．若，，则（   ） A． B． C． D． 6．在中，角的对边分别为，且，，若满足条件的是唯一的，则的值不可能是（   ） A． B． C． D． 7．如图，如图1的“方斗”古时候常作为一种容器，有如图2的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台，，，现往该方斗杯里加水，当水的高度是方斗杯高度的时，水的体积为84，则该方斗杯可盛水的总体积为（    ） A．112 B． C． D．496 8．已知在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设复数，（i为虚数单位），则下列结论正确的为（    ） A．是纯虚数 B．对应的点位于第二象限 C． D． 10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则（    ） A． B．若D为AB边的中点，且CD＝2，c＝4，则b＝2 C．若，则 D．当取得最大值时，为直角三角形 11．如图，在正方体中，，，为棱的中点，以下结论正确的是（   ） A．当时，面积的最小值为 B．当时，直线与平面所成的角为 C．二面角的平面角的正弦值为 D．三棱锥外接球的表面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．如图，三角形是三角形的直观图，且，则三角形的面积是_______． 13．若，且，则_____. 14．在中，角，，所对的边分别为，，.已知向量，且，为边上一点，满足，.则_______，面积的最大值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知复数z满足． (1)求复数z； (2)若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数m的取值范围． 16．（15分） 某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第4组，第1组，第2组的频数依次成等比数列，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)求a，b的值； (2)若根据这次成绩，学校准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？ (3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，，，…，，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差. 17．（15分） 如图，在正三棱柱中，已知，，D是棱AC的中点． (1)求证：平面； (2)求与BD所成角的余弦值； (3)该正三棱柱被平面截去一个棱锥，求剩余部分的体积 18．（17分） 如图所示，某区有一块空地，其中，，．当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中M，N都在边AB上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在人工湖的周围安装防护网． (1)当时，求防护网的总长度； (2)若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍，试确定的大小； (3)为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？ 19．（17分） 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，，，，点E，F分别为棱，的中点，G为线段上一动点（含端点）. (1)证明：平面； (2)若，点Q是三棱锥的外接球上一动点，求的取值范围； (3)设直线与平面，平面，平面所成的角分别为，，，，求的最大值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $