精品解析：云南德宏州2026年高一年级下学期期中教学质量统一监测数学试卷

德宏州2026年高一年级春季学期期中教学质量统一监测 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知，，若，则（    ） A. B. C. D. 3. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（     ） A. 12 B. 24 C. D. 5. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，，，则（ ） A. 为锐角三角形 B. 为直角三角形 C. 为钝角三角形 D. 的形状无法确定 6. 平行四边形ABCD中，点E满足，则（ ） A. B. -1 C. 1 D. 7. 记半径为R的球体的表面积和体积分别为和，记某底面半径为R的圆锥的表面积和体积分别为和，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 在正三棱柱中，，若该正三棱柱存在棱切球（与所有棱都相切的球），则其棱切球的半径与外接球的半径之比为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 在方向上的投影向量坐标是 10. 下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 若是关于的方程的根，则 11. 已知正四棱台的体积为，，，则下列正确的有（ ） A. 此四棱台的侧面积为 B. 若M是的中点，则平面BDM截此四棱台所得截面的面积为 C. 若点P为平面截此四棱台所得截面上的动点，且，则P的轨迹长度为 D. 若点E为棱上的动点，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为虚数单位，，若，则__________. 13. 已知向量，，，的夹角为，则______. 14. 如图，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点，，处测得其顶点的仰角分别为，，，且米，则滕王阁的高度________米 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，，． （1）若，求； （2）若，求向量与的夹角． 16. 如图，在平面四边形中，，，，． （1）求线段的长度； （2）求的值． 17. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，． （1）求A的值； （2）求的值． 18. 如图，在梯形中，，，且，，在平面内过点作，以为轴将四边形旋转一周． （1）求旋转体的体积与表面积； （2）求图中所示圆锥的内切球体积． 19. 已知，，，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为． （1）求函数的单调递增区间； （2）若锐角的内角的对边分别为，且，， （ⅰ）求的值． （ⅱ）求面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 德宏州2026年高一年级春季学期期中教学质量统一监测 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】 利用复数的乘除运算法则化简复数，即可得到结论. 【详解】由题意，， 所以，复数对应的点为，即为第三象限的点. 故选：C. 【点睛】本题考查了复数与复平面对应点之间的关系，属于基础题. 2. 已知，，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，且，所以，即. 3. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】由，和正弦定理可得， 故， 故选：B 4. 如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（     ） A. 12 B. 24 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据斜二测画法的等量关系可知为直角三角形， 且，，， 所以的面积为． 5. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，，，则（ ） A. 为锐角三角形 B. 为直角三角形 C. 为钝角三角形 D. 的形状无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理求解最大角的余弦值即可求解. 【详解】由于, 故为钝角，进而三角形为钝角三角形 故选：C 6. 平行四边形ABCD中，点E满足，则（ ） A. B. -1 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理分析求解. 【详解】由题意可得：， 即，则. 故选：D. 7. 记半径为R的球体的表面积和体积分别为和，记某底面半径为R的圆锥的表面积和体积分别为和，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设该圆锥的高为，根据球体与圆锥的表面积公式与体积公式列式，结合推得，代入所求式化简计算即得. 【详解】依题意，，设该圆锥的高为，则，. 由可得，化简得， 故. 8. 在正三棱柱中，，若该正三棱柱存在棱切球（与所有棱都相切的球），则其棱切球的半径与外接球的半径之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据正三棱柱有棱切球的条件，得出棱切球半径等于底面正三角形内切圆半径，同时正三棱柱的高等于内切球直径；再找到外接球的球心位置，利用勾股定理计算出外接球半径；最后求出两者的半径之比. 【详解】设正三棱柱的下底面中心为，上底面中心为，连接. 若该正三棱柱存在棱切球，则棱切球的球心O为线段的中点. 设，的中点分别为D，E，连接，，，， 则. 因为，所以， 所以正三棱柱外接球的半径为， 故该正三棱柱棱切球的半径与外接球的半径之比为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 在方向上的投影向量坐标是 【答案】BD 【解析】 【详解】A选项：根据向量坐标的数乘和加法运算，， 则，故A选项错误； B选项：根据模长公式，故B正确； C选项：利用夹角公式： 故C错误； D选项：在方向上的投影向量利用计算，代入坐标可得： ；故D正确． 10. 下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 若是关于的方程的根，则 【答案】CD 【解析】 【详解】A选项：因为，4次为一个周期，且，故，故A错误； B选项：因为虚数不能比较大小，故B错误； C选项：设；；根据复数的模长计算公式：；故，故C正确； D选项：若是关于的方程的根，则也是方程的根，则，故；故D正确． 11. 已知正四棱台的体积为，，，则下列正确的有（ ） A. 此四棱台的侧面积为 B. 若M是的中点，则平面BDM截此四棱台所得截面的面积为 C. 若点P为平面截此四棱台所得截面上的动点，且，则P的轨迹长度为 D. 若点E为棱上的动点，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A记上、下底面的中心分别为，，取的中点为，取的中点为，连接，，，，利用棱台的体积公式可求得，进而可得，进而求解判断；B取的中点，连接，的中点设为，连接，，，分析可得平面截此四棱台所得的截面为，进而求解判断；C先证明平面，进而可得点的轨迹是以为圆心，半径为的半圆，进而求解判断；D将侧面和沿棱展开，连接交于点，分析可得的长度即为的最小值，进而求解判断. 【详解】A，如图，记上、下底面的中心分别为，，取的中点为，取的中点为， 连接，，，， 则为梯形的高，因为该正四棱台的体积，得， 而，则， 所以梯形的面积为，此四棱台的侧面积为，故A正确； B，取的中点，连接，的中点设为，连接，，， 则，，所以， 所以平面截此四棱台所得的截面为， 因为，，， 所以梯形的面积为，故B错误； C，因为，，， 所以平面，且， 因为，，所以， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的半圆，弧长，故C正确； D，由A知，则侧棱，所以， 如图，将侧面和沿棱展开，连接交于点，， 此时的长度即为的最小值，因为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为虚数单位，，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】应用复数乘法及复数相等得，即可得. 【详解】由题设，则，可得. 故答案为： 13. 已知向量，，，的夹角为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的模长公式即可求解. 【详解】， 故答案为：. 14. 如图，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点，，处测得其顶点的仰角分别为，，，且米，则滕王阁的高度________米 【答案】 【解析】 【分析】设，在，，分别根据锐角三角函数定义求出，最后利用余弦定理进行求解即可. 【详解】设塔的高， 在中，，同理可得，， 在中，，则， ， 即，解得. 所以塔的高度为米. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，，． （1）若，求； （2）若，求向量与的夹角． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量数量积公式及模长公式计算即可； （2）根据平面向量共线的充要条件及夹角的坐标表示计算即可. 【小问1详解】 因为，所以，即， 又因为，，所以，解得， 所以，所以； 【小问2详解】 由题意可得， 又因为，且，所以， 解得，所以，所以， 又因为，所以. 16. 如图，在平面四边形中，，，，． （1）求线段的长度； （2）求的值． 【答案】（1）  （2） 【解析】 【分析】（1）在中，利用已知的角度、面积和边长，结合三角形面积公式直接求解的长度； （2）先在中用余弦定理求出的长，再利用角平分线的性质在中应用正弦定理计算 . 【小问1详解】 由，得，在中，已知​，， 由三角形面积公式 可得  解得：； 【小问2详解】 由余弦定理即  ， 解得 设，在由正弦定理，得， 在中，由正弦定理 ，得. 17. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，． （1）求A的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合和差角公式即可得，可求A的值； （2）根据正弦定理求得，进而根据同角关系以及二倍角公式，最后由余弦的差角公式求解即可. 【小问1详解】 由和正弦定理得， 所以， 因为，所以，所以，又因为，所以； 【小问2详解】 由正弦定理，且，，， 得，且，则B为锐角，故， 故，且； 故． 18. 如图，在梯形中，，，且，，在平面内过点作，以为轴将四边形旋转一周． （1）求旋转体的体积与表面积； （2）求图中所示圆锥的内切球体积． 【答案】（1）旋转体的体积为，旋转体的表面积为 （2） 【解析】 【分析】（1）先分析该旋转体的组成部分，再利用圆柱与圆锥的体积公式求旋转体的体积，以及该旋转体的表面积公式计算即可； （2）设圆锥的内切球球心为，半径为，则点在直线上，设球切于点，连接，求出内切球半径代入球体积公式计算即可. 【小问1详解】 由图可知，该旋转体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的， 在直角梯形中，，过点作于点， 则四边形和四边形为矩形，，如图所示， 在中，由得：， ，所以， 因为旋转体的体积， 所以旋转体的体积， 因为旋转体的表面积， 所以. 【小问2详解】 设圆锥的内切球球心为，半径为，则点在直线上， 设球切于点，连接，如图所示： 则，， 因为，所以， 在中，，解得， 所以圆锥的内切球的体积为：. 19. 已知，，，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为． （1）求函数的单调递增区间； （2）若锐角的内角的对边分别为，且，， （ⅰ）求的值． （ⅱ）求面积的取值范围． 【答案】（1）． （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的坐标运算，结合降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，整体代入法求单调递增区间； （2）（ⅰ）由，得，由正弦定理可知； （ⅱ）由正弦定理和面积公式得，利用△ABC为锐角三角形，得角的范围，由正弦函数的性质，得△ABC面积的取值范围． 【小问1详解】 ， 由f（x）的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，有，得， 所以． 令，解得， 所以函数的单调递增区间为． 【小问2详解】 （ⅰ）已知，由，得， 由正弦定理，得，， 所以； （ⅱ）由（ⅰ）可知，， ， 由△ABC是锐角三角形，有，得，， 则，所以， 即面积的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $