精品解析：新疆乌鲁木齐地区2025-2026学年高三下学期考前预测数学(问卷)

乌鲁木齐地区2026年高三年级第三次质量监测 数学（问卷） （卷面分值：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1.本试卷分为问卷（4页）和答卷（4页），答案务必书写在答卷（或答题卡）的指定位置上. 2.答题前，先将答卷密封线内的项目（或答题卡中的相关信息）填写清楚. 第I卷（选择题共分） 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 3. 在等差数列中，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 2 5. 已知，则（ ） A. “”是“”的充分条件 B. “”是“”的必要条件 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的必要条件 6. 已知，若在之间插入3个数，使这5个数构成等比数列，则（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 或2 7. 已知向量，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 为山脚两侧共线的三点，在山顶处测得三点的俯角分别为，计划沿直线开通穿山隧道，其中在山的同一侧，在山的另一侧，为求出隧道的长度，测量出，则隧道的长度为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量服从正态分布，则（ ） A. B. C. D. 当时， 10. 已知抛物线的焦点为，准线为为坐标原点，过的直线交于两点，过点作的垂线，垂足为，则（ ） A. 的最小值为3 B. 平分 C. 当时，与轴夹角为 D. 直线恒过定点 11. 已知某四棱锥底面为菱形，一条侧棱垂直于底面且八条棱的长度构成集合，则四棱锥的体积可能是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 为奇函数，若，则__________. 13. 直线经过椭圆的两个顶点，若椭圆中心到直线的距离为其长轴长的，则该椭圆的离心率为__________. 14. 地面上有一个直径的圆，一个高的电线杆的底座在点处，电线杆的顶上挂了一盏路灯，一个身高1.8m的人从点绕着圆走一圈，则人影扫过的面积为__________. 四､解答题：本大题共5小题，共计77分.解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的最大值为3. （1）求常数的值； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，求的单调递增区间. 16. 甲，乙，丙三人同时对飞机进行射击，三人击中飞机的概率都是，已知在被一人击中的条件下，飞机被击落的概率为；在被两人击中的条件下，飞机被击落的概率为；若被三人都击中，飞机必被击落. （1）设三人中击中飞机的人数为，求的数学期望； （2）求飞机被击落的概率. 17. 如图，在菱形中，，点是的中点，将沿翻折至，使得. （1）证明； （2）若平面平面，求与平面所成角的正弦值. 18. 已知双曲线，直线与有唯一的公共点，与的两条渐近线分别交于两点. （1）求和的关系； （2）证明点是的中点； （3）以线段为直径的圆与轴交于两点，与轴交于两点，当时，求双曲线的方程. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，函数有两个零点，求的取值范围； （3）若，证明对任意，函数有两个零点，且满足. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌鲁木齐地区2026年高三年级第三次质量监测 数学（问卷） （卷面分值：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1.本试卷分为问卷（4页）和答卷（4页），答案务必书写在答卷（或答题卡）的指定位置上. 2.答题前，先将答卷密封线内的项目（或答题卡中的相关信息）填写清楚. 第I卷（选择题共分） 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的运算求解即可. 【详解】，所以. 2. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，故的共轭复数为 3. 在等差数列中，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】因为为等差数列，所以. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据二倍角的余弦公式以及即可求解. 【详解】由二倍角的余弦公式，得， 由于，则，因此，， 因此，故A正确. 5. 已知，则（ ） A. “”是“”的充分条件 B. “”是“”的必要条件 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的必要条件 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，若，满足，而， 则“”不是“”的充分条件，故A错误； 对于B，若，满足，而， 则“”不是“”的必要条件，故B错误； 对于C，由，当时，， 则“”不是“”的充分条件，故C错误； 对于D，由，则且，即， 所以“”是“”的必要条件，故D正确. 6. 已知，若在之间插入3个数，使这5个数构成等比数列，则（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 或2 【答案】C 【解析】 【详解】已知，成等比数列， 根据等比数列的性质，是等比中项，则， ， ，故C正确． 7. 已知向量，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量垂直等价于数量积为0，计算出的关系，用关于的代数式表达，使用均值不等式求出最小值. 【详解】，即, ， 当且仅当即时取等号. 8. 为山脚两侧共线的三点，在山顶处测得三点的俯角分别为，计划沿直线开通穿山隧道，其中在山的同一侧，在山的另一侧，为求出隧道的长度，测量出，则隧道的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在中，利用正弦定理可得，在中，利用正弦定理可得，从而结合已知的数据可求得隧道的长度. 【详解】设，，，，，. 在中，，，. 由正弦定理， 即，所以. 在中，因为，， 所以. 由正弦定理， 所以，又因为， 所以， 所以， 所以隧道的长度为. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量服从正态分布，则（ ） A. B. C. D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正态分布的相关性质即可求解. 【详解】由题意得，随机变量服从正态分布，根据正态分布的性质，有，，正态分布曲线关于直线对称， 对于A，根据期望的线性性质，有，故A正确； 对于B，根据方差的性质，有，故B错误； 对于C，因为正态分布曲线关于直线对称，所以有，， 由于正态分布是连续分布，有， 因此，故C正确； 对于D，根据条件概率公式，有， 因为必然满足，所以，则， 由正态分布的对称性可知，同时， 因此有，解得，故D正确. 10. 已知抛物线的焦点为，准线为为坐标原点，过的直线交于两点，过点作的垂线，垂足为，则（ ） A. 的最小值为3 B. 平分 C. 当时，与轴夹角为 D. 直线恒过定点 【答案】ABD 【解析】 【详解】A：设过焦点的直线为，代入抛物线方程，得， 设，，则，， 由焦点弦长公式可得， 当时，，故A正确； B：由抛物线定义，，故为等腰三角形，， 又轴，故，因此，即平分，故B正确； C：由，得，代入抛物线方程得， 直线的斜率，故直线与轴夹角为或，不是，故C错误； D：点，直线的方程为， 代入原点验证可得左边， 结合，代入可得右边， 可验证当时，，即直线恒过原点，故D正确． 11. 已知某四棱锥底面为菱形，一条侧棱垂直于底面且八条棱的长度构成集合，则四棱锥的体积可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据四棱锥的几何性质，结合已知条件，分情况讨论得出四棱锥体积的所有可能值． 【详解】设四棱锥为，底面，已知底面为菱形，设底面棱长为， 则，设， 则， ， 当时，，若， 则，此时，故， ， ，故可能为A； 当时，， 若，则，解得， 则， ， ，故可能为C； 当时，， 若，则，解得， 则， ， ，故可能为B； 当时，，无论或2，均不在集合中，不满足题意． 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 为奇函数，若，则__________. 【答案】1 【解析】 【详解】由为奇函数，且，则. 13. 直线经过椭圆的两个顶点，若椭圆中心到直线的距离为其长轴长的，则该椭圆的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设直线经过点，得到直线的，结合题意，利用点到直线的距离公式，列出方程，求得，进而求得椭圆的离心率. 【详解】设椭圆的方程为，可得椭圆的四个顶点坐标为， 根据题意，直线必过椭圆长轴的一个顶点和短轴的一个顶点， 不妨设直线经过点，此时直线的， 因为椭圆中心到直线的距离为其长轴长的，可得， 整理得，可得，即， 所以椭圆的离心率为. 14. 地面上有一个直径的圆，一个高的电线杆的底座在点处，电线杆的顶上挂了一盏路灯，一个身高1.8m的人从点绕着圆走一圈，则人影扫过的面积为__________. 【答案】 【解析】 【详解】设电线杆为，路灯位于点，表示人的身高，设人影在地面的投影为，设， 则，所以，整理得，解得， 故，故在地面上的轨迹为圆，该圆过点，且与以为直径的圆的位似比为， 故其半径为，故人影扫过的面积为. 四､解答题：本大题共5小题，共计77分.解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的最大值为3. （1）求常数的值； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，求的单调递增区间. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）根据两角和差的正弦公式及辅助角公式对进行化简，结合正弦型函数的最值求解即可. （2）根据图形的平移变换得到的解析式，结合正弦型函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 . 又，所以的最大值为， 所以，解得. 【小问2详解】 由（1）知，. 函数的图象向右平移个单位长度得到. 再向下平移1个单位长度得到函数的图象，所以. 令，，则，， 所以的单调递增区间为. 16. 甲，乙，丙三人同时对飞机进行射击，三人击中飞机的概率都是，已知在被一人击中的条件下，飞机被击落的概率为；在被两人击中的条件下，飞机被击落的概率为；若被三人都击中，飞机必被击落. （1）设三人中击中飞机的人数为，求的数学期望； （2）求飞机被击落的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，利用二项分布的概率计算可得分布列，进而计算可求得期望； （2）利用全概率公式计算可求得飞机被击落的概率. 【小问1详解】 由题意可知，三人中击中飞机的人数的取值为， ，， ，， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 所以； 【小问2详解】 记“飞机被击落”，“飞机被人击中”， 由（1）知，，，， 根据题意得，，，， 所以 . 17. 如图，在菱形中，，点是的中点，将沿翻折至，使得. （1）证明； （2）若平面平面，求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 在菱形中，由，得是正三角形，由点是的中点，得， 则，而平面， 于是平面，平面，则平面平面， 在平面内过点作，而平面平面，则平面， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 又，则， 因此，， 即有，所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，证得平面，再以为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）求出平面与平面的法向量，进而求出直线的方向向量，再求出平面的法向量，并利用线面角的向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得， 设平面与平面的法向量， 则，取，得， ，取，得， 令直线的方向向量，则，取，得， 设平面的法向量，则， 取，得，设直线与平面所成的角为， 因此， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知双曲线，直线与有唯一的公共点，与的两条渐近线分别交于两点. （1）求和的关系； （2）证明点是的中点； （3）以线段为直径的圆与轴交于两点，与轴交于两点，当时，求双曲线的方程. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）或. 【解析】 【分析】（1）联立直线、双曲线方程，由判别式等于0即可求解； （2）联立直线和渐近线方程，求得交点坐标，进而确定中点坐标，再结合（1）即可求证； （3）由（1）（2）确定圆的方程，通过弦长公式求得，再通过面积相等构造等式求解即可. 【小问1详解】 将代入双曲线， 整理得： ，  因为直线与双曲线有唯一公共点，且（二次项系数不为0）， 故判别式，即 ，  化简可得： ； 【小问2详解】 双曲线的渐近线为， 由，可得，即， 由可得，即， 则中点坐标： ，， 即 而唯一公共点是（1）中二次方程的重根，得​，代入得​，即, 故是的中点，得证； 【小问3详解】 为直径，故圆心为， ， 结合，化简可得， 故圆的方程为， 化简得：  令得， 则 ， 高为， 故：  令得， 则 ， 高为， 故： ，​​ 由， 得， 平方得， 代入，令， 整理得： ， 解得或， 故或， 双曲线方程为：或. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，函数有两个零点，求的取值范围； （3）若，证明对任意，函数有两个零点，且满足. 【答案】（1）当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的增区间为，减区间为. （2） （3） ,令， ， 在为增函数，为减函数， . 和各存在一个零点，即， 且， 要证，即证， 即证，即证，即证， ,即. 【解析】 【分析】（1）求导后对分类讨论即可； （2）代入极大值点得到不等式，求出范围，再验证充分性即可； （3）求导后根据零点存在性定理得，再将不等式等价转化为证明，最后代入即可. 【小问1详解】 因为，，， 所以. 当时，在为增函数， 当时，令， 当， 所以在为增函数，为减函数． 综上所述，当时，在为增函数， 当时，在为增函数，为减函数． 【小问2详解】 要使得函数有两个零点， ,即, 所以， 令， 在为减函数，， 即， 令,令, 在为增函数，，则，即，解得. 下面证明充分性： 令， 在为增函数，为减函数，， 即，可得． 令, 设，则，令， 当时，，当时，， 在为减函数，为增函数， ， 在为增函数，，即， 此时， ， 当且仅当，即时取等号. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $