第十章 二元一次方程组【期末复习讲义】（基础版）-2025-2026学年人教版数学七年级下册

2025-2026学年人教版新教材数学七年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第十章 二元一次方程组【期末复习讲义】-基础版 『导图+知识梳理+24个题型讲练+真题实战练 共58题』（原卷版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 已知二元一次方程组的解求参数 题型二 代入消元法 题型三 加减消元法 题型四 二元一次方程组的特殊解法 题型五 二元一次方程组的错解复原问题 题型六 构造二元一次方程组求解 题型七 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型八 方程组相同解问题 题型九 根据实际问题列二元—次方程组 题型十 根据几何图形列二元一次方程组 题型十一 方案问题（二元一次方程组的应用） 题型十二 行程问题（二元一次方程组的应用） 题型十三 工程问题（二元一次方程组的应用） 题型十四 数字问题（二元一次方程组的应用） 题型十五 年龄问题（二元一次方程组的应用） 题型十六 分配问题（二元一次方程组的应用） 题型十七 销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 题型十八 和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 题型十九 几何问题（二元一次方程组的应用） 题型二十 图表信息题（二元一次方程组的应用） 题型二十一 古代问题（二元一次方程组的应用） 题型二十二 其他问题（二元一次方程组的应用） 题型二十三 三元一次方程组的定义及解 题型二十四 三元一次方程组的应用 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 二元一次方程的概念 概念：方程中含有两个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 【易错点剖析】 （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 知识点二 二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【易错点剖析】 二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式. 知识点三 二元一次方程组的概念 概念：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数. 【易错点剖析】 （1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）． （2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组． （3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思． 知识点四 二元一次方程组的解 概念：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【易错点剖析】 （1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解. （2）方程组的解要用大括号联立； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况 知识点五 三元一次方程组的概念与解 定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 【易错点剖析】理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点： （1）方程组中的每一个方程都是一次方程； （2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组. 知识点六 解二元（三元）一次方程组 1.用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. 2.用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 3.解三元一次方程组的一般过程： ①利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； ②解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； ③将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； ④解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； ⑤将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 已知二元一次方程组的解求参数 【例1】（25-26七年级下·北京·期中）对于关于的二元一次方程，将其一组解，记作． (1)当时，若点一定位于平面直角坐标系中二四象限的角平分线上，则_________； (2)已知是该方程的一组解．当为方程的一组解时，也总是方程的一组解，求与的值． 【变式】小明在解关于x，y的二元一次方程组时，解得则表示的数为____，表示的数为____． 题型讲练二 代入消元法 【例2】（25-26七年级下·福建泉州·期中）已知关于，的方程组有下列几种说法：①一定有唯一解；②可能有无数多解；③当时方程组无解；④若方程组的一个解中的值为0，则．其中正确的是_____（写出所有正确结论的序号） 【变式】（25-26七年级下·河南南阳·期中）解下列方程组： (1) ； (2)． 题型讲练三 加减消元法 【例3】（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）解下列方程和方程组： (1)； (2) (2) (4) 【变式】（25-26七年级下·广东广州·期中）解方程： (1) (2) 题型讲练四 二元一次方程组的特殊解法 【例4】（25-26七年级下·山东泰安·月考）已知关于，的二元一次方程组的解是，则关于和的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【变式】（25-26七年级下·浙江金华·期中）【发现问题】已知，求的值． 方法一：先解方程组，得出，的值，再代入，求出的值． 方法二：将①②，求出的值． 【提出问题】怎样才能得到方法二呢？ 【分析问题】为了得到方法二，可以将①②，可得．令等式左边，比较系数可得，求得． 【解决问题】 (1)请你选择一种方法，求的值； 【迁移应用】 (2)对于方程组利用方法二的思路，求的值． 题型讲练五 二元一次方程组的错解复原问题 【例5】（25-26七年级下·重庆·期中）甲、乙两人解同一个关于，的方程组，甲正确地解出，乙因为把看错而得到的解是，求出，，的值． 【变式】（25-26七年级下·山西临汾·期中）甲、乙两人同时解关于、的方程组时，甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得，求原方程组的正确解． 题型讲练六 构造二元一次方程组求解 【例6】（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）已知x，y满足，我们可以不解这个方程组，用可整体得到的值，求a和b的值． 【变式】（25-26七年级上·福建泉州·期末）在代数学习中，常常需要对一个代数式进行变形，从而实现恒等代换、简化计算、研究性质等目的．例如：已知代数式，可将代数式进行变形，，从而建立、之间的内在联系．下列表格中利用不同的的值去探索代数式，之间的关系： 0 1 2 3 4 ① 1 3 5 ② 1 3 (1)补充表格中①、②对应的数值； (2)观察发现，当时，代数式的取值为；而当时，代数式的取值与相同，我们称代数式相对于代数式“取值右移”，此时右移值为1．若代数式相对于“取值右移”，且右移值为3，求代数式． (3)若代数式相对于代数式“取值左移”，且左移值为2，求对应，的值． 题型讲练七 已知二元一次方程组的解的情况求参数 【例7】（25-26七年级下·广东广州·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求a的值． 【变式】（25-26七年级下·北京·期中）已知关于，的二元一次方程组的解，满足，求的值． 题型讲练八 方程组相同解问题 【例8】（25-26七年级下·四川眉山·期中）已知关于的方程组和的解相同，则_____． 【变式】（25-26七年级下·河南开封·期中）已知方程组和的解相同，求代数式的值． 题型讲练九 根据实际问题列二元—次方程组 【例9】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）六一儿童节前夕，某时装店老板到厂家选购A，B两种品牌的儿童时装，若购进A品牌的时装5套，B品牌的时装6套，需要950元；若购进A品牌的时装3套，B品牌的时装2套，需要450元． (1)求A，B两种品牌的时装每套进价分别是多少元？ (2)如果该时装店老板恰好用4300元购进A，B两种品牌的儿童时装共50件，若A品牌的时装每件的售价为120元，B品牌的时装每件的售价为90元，求时装店销售完这50件时装共盈利多少元？ 【变式】《孙子算经》中记载了一道有趣的题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问：木长几何？”大意是：现在有一根木头，不知道有多长，用一段绳子去测量，拉直后绳子还多四尺五寸；将绳子对折后去量木头，木头还剩一尺，问木头多长?（一尺等于十寸），设木头长尺，绳子长尺，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 题型讲练十 根据几何图形列二元一次方程组 【例10】（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，在大长方形中放置个形状、大小都相同的小长方形，大长方形的周长为，小长方形的长比宽大4．设小长方形的长为x，宽为y，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式】（25-26七年级上·安徽安庆·月考）李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列，如图所示，测量后发现：将2个碗叠放时总高度为，将4个碗叠放时总高度为．若将10个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（    ） A． B． C． D． 题型讲练十一 方案问题（二元一次方程组的应用） 【例11】（25-26七年级下·福建福州·期中）列二元一次方程组解应用题： 为切实改善学生就餐环境，积极响应“健康校园”建设号召，某校食堂计划淘汰老旧破损的圆桌，统一新购一批结构稳固、空间利用率更高的长方形餐桌，以缓解高峰时段学生排队等候用餐的问题．后勤管理人员在模拟座位安排时发现：如果每张餐桌安排个座位，则最后会有名学生没有座位；如果每张餐桌安排个座位，则最后会多出个空座位．请问该校食堂共新购了多少张长方形餐桌？一共有多少名学生需要同时就餐？ 【变式】（25-26七年级下·河北衡水·期中）甲，乙两公司全体员工为希望小学捐款，甲公司人均捐款120元，乙公司人均捐款110元．如图是甲，乙两公司员工的一段对话． (1)甲，乙两公司各有多少人？ (2)现甲，乙两公司共同使用这笔捐款购买A，B两种套装图书，A种图书元/套，B种图书元/套．若购买B种套装图书不少于20套，并恰好将捐款用完，直接写出所有可能的购买方案（A，B两种图书均需购买） 题型讲练十二 行程问题（二元一次方程组的应用） 【例12】（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）一汽车从甲地开往乙地，途中有上坡、平路和下坡，已知上坡路10千米，汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点整 ，停留30分钟后从乙地出发，用了2.25小时返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、下坡路分别是多少千米？ 【变式】（26-27七年级上·安徽淮南·期末）苗苗同学在学习了二元一次方程组相关知识后，对汽车的轮胎磨损问题进行了探究． 根据资料显示，汽车的前轮胎比后轮胎磨损更为严重，如果只更换前轮胎，那么行驶时的安全性会下降，但是如果一起更换轮胎，汽车的维护成本将会提高．所以为了解决这个问题，我们可以定期交换前后轮胎． 某种汽车前轮胎行驶4万公里时报废，而后轮胎行驶6万公里时报废．轮胎报废的时候磨损程度为1． (1)该种汽车每行驶1万公里，前轮胎的磨损为，后轮胎的磨损为________； (2)假设该种汽车行驶x万公里之后，将前轮胎交换到了后轮的位置，然后继续行驶了y万公里后，此时轮胎的磨损程度为1．请依据上述信息，求出当前后轮胎一起报废时，汽车的行驶里程是多少万公里？ 题型讲练十三 工程问题（二元一次方程组的应用） 【例13】甲乙加工一批零件共350个，甲先单独做8小时，然后又与乙一起加工5小时完成任务．已知乙每小时比甲少加工2个零件．问甲、乙两人每小时各加工多少个零件？ 【变式】2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受大家喜爱，某工厂计划生产两种吉祥物，已知甲车间里的工人每人每天可以制作2个冰墩墩和5个雪容融，乙车间里的工人每人每天可以制作3个冰墩墩和1个雪容融，已知该工厂每天生产的两种吉祥物数量相同． (1)设甲车间有名工人，乙车间有名工人． ①完成下列表格 冰墩墩（个） 雪容融（个） 甲车间 乙车间 总计 ②若该工厂共有60名工人，则甲、乙车间的工人数分别是多少？ (2)由于市场需求旺盛，工厂决定从甲车间抽调名工人去乙车间，使得每天生产的冰墩墩数量是雪容融数量的2倍，则要抽调的工人数至少为______．（直接写出答案） 题型讲练十四 数字问题（二元一次方程组的应用） 【例14】（25-26七年级下·山东潍坊·期中）一个两位数的十位数字与个位数字之和为6，将个位数字与十位数字对调后，得到的两位数比原来的两位数小18．则原来的两位数为______． 【变式】（25-26七年级下·吉林长春·期中）一个两位数数位上的数字之和是8，将它的十位数字和个位数字交换后，得到新的两位数，若新两位数比原两位数大18，则原两位数为_____． 题型讲练十五 年龄问题（二元一次方程组的应用） 【例15】（23-24七年级下·全国·课后作业）今年父亲的年龄是玲玲的倍，年后父亲的年龄是玲玲的倍，今年父亲、玲玲的年龄各是多少岁？ 【变式】甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁，那么（   ） A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁 C．乙比甲大10岁 D．乙比甲大5岁 题型讲练十六 分配问题（二元一次方程组的应用） 【例16】（24-25七年级下·重庆南川·期末）重庆赛力斯公司生产的问界和问界两款新能源汽车深受消费者的欢迎，该公司生产汽车零部件的甲车间有工人50名，乙车间有工人60名，因接到加急生产一批新能源汽车的任务，所以该公司新增40名工人分配到甲、乙两个车间，分配后甲车间的总人数比分配后乙车间的总人数多10人．设新分配到甲车间的人数是人，新分配到乙车间的人数是人． (1)完成下列表格填空： 甲 乙 原来人数 50 60 新分配人数 分配后现有人数 ________ ________ 根据题中的数量关系有：________； (2)求新分配到甲车间、乙车间的人数各有多少人？ 【变式】（24-25七年级下·北京丰台·期末）青花瓷是中国瓷器主流品种之一，由于它具有白瓷如雪，青花似玉的特征，因此深受人们的喜爱．现某瓷器厂计划生产由1个茶壶和8个茶杯组成套装的青花瓷茶具．若一位工人一天只能生产200个茶杯或50个茶壶，该厂现有120名工人，如何安排生产茶杯或茶壶的工人人数使生产的茶具配套． 题型讲练十七 销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 【例17】（25-26七年级下·河北邢台·期中）某新能源光伏企业原计划生产A、B两种太阳能光伏板共10件，生产成本为41万元，其生产成本和利润如下表所示，现因订单增加，实际上生产A、B两种太阳能光伏板共18件，生产成本变为72万元，求订单增加后生产A、B两种太阳能光伏板的总利润比原计划生产A、B两种太阳能光伏板的总利润多多少万元？ A种产品 B种产品 生产成本（万元/件） 2 5 利润（万元/件） 1 3 【变式】25-26七年级下·云南·期中）根据以下素材，探索完成任务． 阳光体育·足球促销 素材一 某体育用品商场销售A、B两款足球，A款、B款足球的进价分别为60元、80元，售价分别为90元、120元． 素材二 该商场在3月份购进A款、B款两种足球共50个，进货共用3600元 素材三 为配合各校“阳光体育”系列活动的开展，该体育用品商场4月份推出以下两种促销方案（两种方案不可叠加使用）： ① “买五赠一”：即购买5个B款足球赠送1个A款足球； ②A款、B款足球均打九折销售 (1)求3月份该商场购进A款、B款足球各多少个？ (2)某校4月份打算在该商场购买20个B款足球和10个A款足球，请问选择上述哪种促销方案更合适？ 题型讲练十八 和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 【例18】（25-26七年级下·山东潍坊·期中）某公司计划租用甲乙两种型号的冷柜车运送80吨水果，甲型冷柜车每天运送量为6吨，乙型冷柜车每天运送量为8吨．甲型冷柜车先运送了若干天之后退出，剩余的水果由乙型冷柜车负责运送直至完成，整个运送过程总共用时12天．求甲乙两种型号的冷柜车各运送多少天？ (1)思路1：直接设未知数法．若设甲型冷柜车运送天，乙型冷柜车运送天，请根据题意直接列出方程组（无需求解）： (2)思路2：间接设未知数法．若设甲型冷柜车运送吨水果，乙型冷柜车运送吨水果，请列方程组并解答． 【变式】25-26七年级下·浙江·期中）浙（浙江篮球地区联赛）联赛现在家喻户晓，某长兴工厂计划制作两款长兴球队吉祥物玩具．已知生产每件甲款纪念玩具需要4米面料、2千克辅料，生产每件乙款纪念玩具需要3米面料、1千克辅料．现有面料1080米、辅料440千克． (1)甲、乙两款玩具各生产多少件，恰好使两种原材料全部用完？ (2)某直营店根据市场调研情况，决定每件甲款玩具售价190元，每件乙款玩具售价80元．现该店计划从该厂采购一批玩具（两种玩具都要采购），全部售出后总销售额为3600元，请帮助设计采购方案． 题型讲练十九 几何问题（二元一次方程组的应用） 【例19】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）一个大正方形和四个一模一样的小正方形按如图、两种方式摆放，则图的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是______． 【变式】（25-26七年级下·福建厦门·期中）综合与实践：探究用标准卡纸制作礼盒． 素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成6张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形． 素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作横式叠盖和竖式叠盖纸盒，如图3是横式叠盖和竖式叠盖纸盒的平面展开图． 素材3：数学实践小组一共有33张标准卡纸通过剪裁一共得到张小长方形和张小正方形，做成个横式叠盖纸盒和个竖式叠盖纸盒（其中均不为零），恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完． (1)若，求的值； (2)求和值． 题型讲练二十 图表信息题（二元一次方程组的应用） 【例20】（2026七年级下·全国·专题练习）某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员在某文体用品店购买完毕，回到学校后发现小票有几个数据不清楚，如下表所示： 单位 数量 单价 金额 篮球 个 6 100.00 600.00元 钢笔 支 15.00 元 笔记本 本 5.00 元 合计 — 46 — 900.00元 请根据现有的信息，帮助采购员复原并求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 【变式】（24-25七年级上·湖南怀化·期末）一个圆柱形容器中，现有20个单位高度的水．请根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)如果放入6个球，使水面上升到40个单位的高度，放入的大球、小球各多少个？ (2)现放入若干个（1）中的大球或小球，使得容器恰好装满，问有几种可能？请写出过程，并一一列出． 题型讲练二十一 古代问题（二元一次方程组的应用） 【例21】（25-26七年级下·山西临汾·期中）我国古代的“幻方”文化源远流长，最早记载于西汉时期的《大戴礼记》中．如图为一个三角形幻方，其中每个小三角形的三个顶点的数字之和都相等，则的值为（   ） A． B．6 C． D．4 【变式】（25-26七年级下·浙江温州·期中）李白喝酒碰到朋友，诗里藏着算术题：现在有一些酒坛，如果每个酒坛装五斗酒，就会剩下四斗酒；如果每个酒坛装六斗酒，则空出一个酒坛，且有一个酒坛里仅装三斗酒．设一共有个酒坛，斗酒，那么正确的方程组是（　　） A．B． C． D． 题型讲练二十二 其他问题（二元一次方程组的应用） 【例22】（25-26七年级下·北京房山·期中）每年的3月12日是植树节．某校七年级有183名学生参加植树节活动．在活动中男生负责挖树坑，平均每人挖3个；女生负责种树，平均每人种6棵．已知挖好的树坑数量与种下的树苗数量恰好相等．求该校七年级学生中参加植树节活动的男、女生各有多少人？ 【变式】（25-26八年级上·陕西西安·期末）甲，乙两个工厂计划合作1天，完成鲜奶的加工任务，由于人员调动，甲工厂的加工效率比原来提高了，乙工厂的加工效率比原来降低了，但最终按原计划完成了加工任务，求甲，乙两个工厂原计划一天分别加工鲜奶多少千克． 题型讲练二十三 三元一次方程组的定义及解 【例23】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）解方程组： (1) (2)． 【变式】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）综合与探究 定义：若点的坐标满足时，我们称点为“亲民点”． 【初步运用】 (1)下列各点：①，②，③，其中是“亲民点”的有_________（只填序号）； 【深入理解】 (2)若第四象限内的点是“亲民点”，且点D到两坐标轴的距离相等，求点D的坐标； 【能力提升】 (3)若点与点都是“亲民点”，求k的值． 题型讲练二十四 三元一次方程组的应用 【例24】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙、丙三种型号以马为主题的生肖玩偶，已知购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶的总价格为元，购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶的总价格为元． (1)若丙型玩偶的单价为元，求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ (2)在（1）的条件下，某班级计划用元全部购买甲、乙两种型号玩偶（两种玩偶都要有）作为班级活动的奖品，请问该班级有几种购买方案？ (3)某班级计划购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶给班级的位学生每人一只玩偶，请问该班级共需花费多少元？ 【变式】（25-26七年级下·重庆渝北·开学考试）为迎国庆，沙乡街道办摆放花盆，有塑料花盆、陶瓷花盆、木制花盆三种．其中塑料花盆由15朵红花、24朵黄花、25朵粉花组合而成，陶瓷花盆由10朵红花、12朵黄花组合而成，木制花盆由10朵红花、18朵黄花、25朵粉花组合而成．这些花盆一共用了2900朵红花，3750朵粉花，则黄花一共用了____朵． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）若是二元一次方程的一个解，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·广东广州·期中）二元一次方程的正整数解（即x、y都是正整数）有（    ）对． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）某玩具厂共有名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架个或车轮个，且车架与个车轮可配成一套，设有个工人生产车架，个工人生产车轮，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·北京·期中）写出一个解为的二元一次方程组________． 5．（25-26七年级下·湖北黄冈·期中）已知方程，是关于，的二元一次方程，则_____． 6．（25-26七年级下·江苏南京·期中）已知方程组的解为，则方程组的解为________． 7．（25-26七年级下·北京·期中）解下列方程组： (1) (2) 8．（25-26七年级下·广东广州·期中）按要求解题： (1)求式中x的值：； (2)解方程组： 9．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）某大型快递公司使用机器人进行包裹分拣，若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣700件包裹；若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣650件包裹． (1)求甲、乙两机器人每小时各分拣多少件包裹； (2)“双十一”期间，快递公司的业务量猛增，甲、乙两机器人某一天分拣包裹的总数量是2250件，并且都在4小时以上，这一天甲、乙机器人分别工作多少小时？ 10．（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约需用饲料千克；又购进一批后共有42头大牛和20头小牛，这时1天约需用饲料千克．问每头大牛1天约需饲料多少千克？每头小牛1天约需饲料多少千克？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版新教材数学七年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第十章 二元一次方程组【期末复习讲义】-基础版 『导图+知识梳理+24个题型讲练+真题实战练 共58题』（解析版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 已知二元一次方程组的解求参数 题型二 代入消元法 题型三 加减消元法 题型四 二元一次方程组的特殊解法 题型五 二元一次方程组的错解复原问题 题型六 构造二元一次方程组求解 题型七 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型八 方程组相同解问题 题型九 根据实际问题列二元—次方程组 题型十 根据几何图形列二元一次方程组 题型十一 方案问题（二元一次方程组的应用） 题型十二 行程问题（二元一次方程组的应用） 题型十三 工程问题（二元一次方程组的应用） 题型十四 数字问题（二元一次方程组的应用） 题型十五 年龄问题（二元一次方程组的应用） 题型十六 分配问题（二元一次方程组的应用） 题型十七 销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 题型十八 和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 题型十九 几何问题（二元一次方程组的应用） 题型二十 图表信息题（二元一次方程组的应用） 题型二十一 古代问题（二元一次方程组的应用） 题型二十二 其他问题（二元一次方程组的应用） 题型二十三 三元一次方程组的定义及解 题型二十四 三元一次方程组的应用 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 二元一次方程的概念 概念：方程中含有两个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 【易错点剖析】 （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 知识点二 二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【易错点剖析】 二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式. 知识点三 二元一次方程组的概念 概念：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数. 【易错点剖析】 （1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）． （2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组． （3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思． 知识点四 二元一次方程组的解 概念：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【易错点剖析】 （1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解. （2）方程组的解要用大括号联立； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况 知识点五 三元一次方程组的概念与解 定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 【易错点剖析】理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点： （1）方程组中的每一个方程都是一次方程； （2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组. 知识点六 解二元（三元）一次方程组 1.用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. 2.用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 3.解三元一次方程组的一般过程： ①利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； ②解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； ③将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； ④解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； ⑤将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 已知二元一次方程组的解求参数 【例1】（25-26七年级下·北京·期中）对于关于的二元一次方程，将其一组解，记作． (1)当时，若点一定位于平面直角坐标系中二四象限的角平分线上，则_________； (2)已知是该方程的一组解．当为方程的一组解时，也总是方程的一组解，求与的值． 【答案】(1)2 (2)， 【思路引导】（1）根据二四象限角平分线上点的横纵坐标互为相反数得到，代入方程即可求出的值； （2）利用二元一次方程解的定义，将已知解和满足条件的解分别代入原方程．联立等式即可求出和的值． 【规范解答】（1）解：当时，原方程为， ∵点在二四象限的角平分线上， ∴， 将代入方程， 得 ， ∵任意满足方程的点都满足条件， ∴， 解得； （2）解：∵是方程的解， ∴ ， ∵和都是方程的解， ∴， 由③得，， 将②代入上式得， 解得， 将代入①得，． 【变式】小明在解关于x，y的二元一次方程组时，解得则表示的数为____，表示的数为____． 【答案】 5 1 【思路引导】将已知代入方程，先求出即的值，再将与求得的代入，即可求出的值． 【规范解答】解：由题意，将代入，得， 解得，即表示的数为， 将，代入，得， 即表示的数为． 题型讲练二 代入消元法 【例2】（25-26七年级下·福建泉州·期中）已知关于，的方程组有下列几种说法：①一定有唯一解；②可能有无数多解；③当时方程组无解；④若方程组的一个解中的值为0，则．其中正确的是_____（写出所有正确结论的序号） 【答案】③④/④③ 【思路引导】通过消元法整理方程组得到关于y的一元一次方程，根据a的不同取值逐一判断四个说法即可． 【规范解答】解： 由②得 把代入①得， 整理得 当时，，方程有唯一解，因此原方程组有唯一解； 当时，方程化为，方程无解，因此原方程组无解； 不存在使得方程组有无数多解，因此①错误，②错误，③正确； 若，代入得，解得，因此④正确． 综上所述，其中正确的是③④． 【变式】（25-26七年级下·河南南阳·期中）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解：， 将②变形，得， 将③代入①，得， 解得， 将代入③，得， ∴方程组的解为； （2）解：， 将②变形，得， 将③代入①，得， 解得， 将代入③，得， ∴方程组的解为． 题型讲练三 加减消元法 【例3】（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）解下列方程和方程组： (1)； (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) 或 (3) (4) 【规范解答】（1）解：， 方程两边同除以2得， 解得； （2）解：， 移项得， 两边同除以2得， 开平方得， 或， 解得或； （3）解：， 得， 解得， 把代入①得， 解得， 因此方程组的解为； （4）解：， 得， 得， 解得， 把代入①得， 解得， 因此方程组的解为． 【变式】（25-26七年级下·广东广州·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【规范解答】（1）解：， 得，解得， 将代入得，解得， 则原方程组的解为； （2）解：， ， ， 解得或． 题型讲练四 二元一次方程组的特殊解法 【例4】（25-26七年级下·山东泰安·月考）已知关于，的二元一次方程组的解是，则关于和的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】观察两个二元一次方程组可得，解方程组即可得解． 【规范解答】解：关于，的二元一次方程组的解是， ， 得，， ， 将代入得，， ， 方程组的解是． 【变式】（25-26七年级下·浙江金华·期中）【发现问题】已知，求的值． 方法一：先解方程组，得出，的值，再代入，求出的值． 方法二：将①②，求出的值． 【提出问题】怎样才能得到方法二呢？ 【分析问题】为了得到方法二，可以将①②，可得．令等式左边，比较系数可得，求得． 【解决问题】 (1)请你选择一种方法，求的值； 【迁移应用】 (2)对于方程组利用方法二的思路，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】（1）方法一根据消元法求解即可，方法二题中提供的方法求解即可； （2）根据题中提供的方法求解即可． 【规范解答】（1）解：方法一： ， ，得：， 解得：， 将代入②，得：， 解得：， ∴； 方法二： ， 得：， 令， ∴， 解得：， ∴； （2）解：， 得：， 令， ∴， 解得：， ∴． 题型讲练五 二元一次方程组的错解复原问题 【例5】（25-26七年级下·重庆·期中）甲、乙两人解同一个关于，的方程组，甲正确地解出，乙因为把看错而得到的解是，求出，，的值． 【答案】，， 【思路引导】把甲的正确解代入方程组中可得的值，以及与的二元一次方程式，再将乙的错解代入中得到与的二元一次方程式，将两方程式联立即可求得，的值． 【规范解答】解：把代入方程组中得， ，可得， 把代入中得，， 可得新的方程组：， 由得，， 将代入得，， 解得， ， 即方程组的解为， 即，，． 【变式】（25-26七年级下·山西临汾·期中）甲、乙两人同时解关于、的方程组时，甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得，求原方程组的正确解． 【答案】． 【思路引导】将代入方程，将代入方程，求出，的值，再把，代入解方程组即可． 【规范解答】解：将代入方程，得：，解得， 将代入方程，得：，解得， 把，代入原方程组， 得， 解得， ∴原方程组的正确解为． 题型讲练六 构造二元一次方程组求解 【例6】（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）已知x，y满足，我们可以不解这个方程组，用可整体得到的值，求a和b的值． 【答案】， 【思路引导】由得出，根据可整体得到的值，从而得出，解关于a、b的方程组即可． 【规范解答】解：， 由得：， 即， 因为可整体得到的值， 所以， 得：， 解得：， 将代入③，得， 解得：． 【变式】（25-26七年级上·福建泉州·期末）在代数学习中，常常需要对一个代数式进行变形，从而实现恒等代换、简化计算、研究性质等目的．例如：已知代数式，可将代数式进行变形，，从而建立、之间的内在联系．下列表格中利用不同的的值去探索代数式，之间的关系： 0 1 2 3 4 ① 1 3 5 ② 1 3 (1)补充表格中①、②对应的数值； (2)观察发现，当时，代数式的取值为；而当时，代数式的取值与相同，我们称代数式相对于代数式“取值右移”，此时右移值为1．若代数式相对于“取值右移”，且右移值为3，求代数式． (3)若代数式相对于代数式“取值左移”，且左移值为2，求对应，的值． 【答案】(1)①；② (2) (3)， 【思路引导】（1）把代入，把代入即可求解； （2）代数式相对于“取值右移”，且右移值为3，所以，整理即可； （3）由题意可得，整理后列出二元一次方程组求解即可． 【规范解答】（1）解：①：，故填； ②：，故填； （2）解：依题意，得． （3）解：依题意，得， 则有， 解得，． 题型讲练七 已知二元一次方程组的解的情况求参数 【例7】（25-26七年级下·广东广州·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求a的值． 【答案】 【思路引导】把方程组中的两个方程相加得到，再根据题意可得，据此可得关于a的方程，解方程即可得到答案． 【规范解答】解： 得，即， ∵， ∴， ∴． 【变式】（25-26七年级下·北京·期中）已知关于，的二元一次方程组的解，满足，求的值． 【答案】 【思路引导】由得：，再由，可得，即可求解． 【规范解答】解：， 由得：， ∵， ∴， 解得：． 题型讲练八 方程组相同解问题 【例8】（25-26七年级下·四川眉山·期中）已知关于的方程组和的解相同，则_____． 【答案】 【思路引导】因为方程组有相同的解，所以只需求出一组解代入另一组，即可求出未知数的值． 【规范解答】∵关于的方程组和的解相同， 方程和的解相同， 联立方程组可得：， 得：， 解得：， ， 解得：， 方程组的解为， 根据题意可得，方程和方程的解也是， ， 化简得：， 解得：， ． 【变式】（25-26七年级下·河南开封·期中）已知方程组和的解相同，求代数式的值． 【答案】1 【思路引导】根据这四个方程的解相同，重新联立方程即可求出x和y，然后代入另外两个含a和b的方程中，即可求出a和b，最后代入即可． 【规范解答】解：联立得：， 解得 把代入 解得 ． 题型讲练九 根据实际问题列二元—次方程组 【例9】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）六一儿童节前夕，某时装店老板到厂家选购A，B两种品牌的儿童时装，若购进A品牌的时装5套，B品牌的时装6套，需要950元；若购进A品牌的时装3套，B品牌的时装2套，需要450元． (1)求A，B两种品牌的时装每套进价分别是多少元？ (2)如果该时装店老板恰好用4300元购进A，B两种品牌的儿童时装共50件，若A品牌的时装每件的售价为120元，B品牌的时装每件的售价为90元，求时装店销售完这50件时装共盈利多少元？ 【答案】(1)A品牌时装每套进价100元，B品牌时装每套进价75元 (2)860元 【思路引导】（1）设A品牌每套进价 元，B品牌每套进价 元，由5套A、6套B共950元和3套A、2套B共450元列二元一次方程组求解； （2）设购进A品牌 件、B品牌 件，由总进价4300元列方程求出 ，再用总售价减总进价求盈利． 【规范解答】（1）解：（1）设A品牌时装每套进价 元，B品牌时装每套进价 元， 由题意，得 , ，解得 ． A品牌每套进价100元，B品牌每套进价75元； （2）解：设购进A品牌 件，则购进B品牌 件， 由题意，得 ， 解得 ． 购进B品牌 件， 总售价 （元）， 总进价 （元）， 盈利 （元）． 时装店销售完这50件时装共盈利860元． 【变式】《孙子算经》中记载了一道有趣的题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问：木长几何？”大意是：现在有一根木头，不知道有多长，用一段绳子去测量，拉直后绳子还多四尺五寸；将绳子对折后去量木头，木头还剩一尺，问木头多长?（一尺等于十寸），设木头长尺，绳子长尺，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【规范解答】解：设木头长尺，绳子长尺，由题意可得，， ∴可列方程组为． 题型讲练十 根据几何图形列二元一次方程组 【例10】（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，在大长方形中放置个形状、大小都相同的小长方形，大长方形的周长为，小长方形的长比宽大4．设小长方形的长为x，宽为y，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查二元一次方程组的应用，根据图形找到两个等量关系是解决问题的关键．根据图形找到两个等量关系列出方程组即可． 【规范解答】解：设小长方形的长为x，宽为y， ∵小长方形的长比宽大4， ∴； ∵大长方形的周长为34， 即， ∴， 即； ∴方程组为． 故选：D． 【变式】（25-26七年级上·安徽安庆·月考）李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列，如图所示，测量后发现：将2个碗叠放时总高度为，将4个碗叠放时总高度为．若将10个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设一个碗的高度为，增加一个碗高度增加，根据用2只碗叠放时总高度为，用4只碗叠放时总高度为，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题． 【规范解答】解：设一个碗的高度为，增加一个碗高度增加， 由题意得：， 解得：， ∴10个碗叠成一列高度为， 即将10个碗叠成一列正好能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有． 故选：C． 题型讲练十一 方案问题（二元一次方程组的应用） 【例11】（25-26七年级下·福建福州·期中）列二元一次方程组解应用题： 为切实改善学生就餐环境，积极响应“健康校园”建设号召，某校食堂计划淘汰老旧破损的圆桌，统一新购一批结构稳固、空间利用率更高的长方形餐桌，以缓解高峰时段学生排队等候用餐的问题．后勤管理人员在模拟座位安排时发现：如果每张餐桌安排个座位，则最后会有名学生没有座位；如果每张餐桌安排个座位，则最后会多出个空座位．请问该校食堂共新购了多少张长方形餐桌？一共有多少名学生需要同时就餐？ 【答案】 该校食堂共新购了50张长方形餐桌，一共有492名学生需要同时就餐 【思路引导】先设出新购餐桌的数量和需要同时就餐的学生总人数两个未知数，再根据两种座位安排方式下学生总人数不变列出等量关系，得到二元一次方程组，求解方程组即可得到结果． 【规范解答】解：设该校食堂共新购了张长方形餐桌，一共有名学生需要同时就餐， 根据题意，可得 ， 将代入，得 ， 解得 ， 将代入，得 ， ∴方程组的解为 ， 答：该校食堂共新购了50张长方形餐桌，一共有名学生需要同时就餐． 【变式】（25-26七年级下·河北衡水·期中）甲，乙两公司全体员工为希望小学捐款，甲公司人均捐款120元，乙公司人均捐款110元．如图是甲，乙两公司员工的一段对话． (1)甲，乙两公司各有多少人？ (2)现甲，乙两公司共同使用这笔捐款购买A，B两种套装图书，A种图书元/套，B种图书元/套．若购买B种套装图书不少于20套，并恰好将捐款用完，直接写出所有可能的购买方案（A，B两种图书均需购买） 【答案】(1)甲，乙两公司各有220人，240人 (2)共有2种方案，①A种套装图书购买22套，B种套装图书购买24套；②A种套装图书购买11套，B种套装图书购买36套． 【思路引导】（1）根据人数和钱数分别列出方程得到方程组，解方程组即可； （2）根据设A种套装图书购买m套，B种套装图书购买n套，根据总钱数得到，求出整数解即可． 【规范解答】（1）解：设甲公司有人，乙公司有人， 根据已知题意，得， 解得，   答：甲，乙两公司各有220人，240人； （2）解：设A种套装图书购买m套，B种套装图书购买n套， 根据题意，得， 即， 整理得， ∵，且都是整数， ∴当时，； 当时，； 当时，； 答：共有2种方案：①A种套装图书购买22套，B种套装图书购买24套；②A种套装图书购买11套，B种套装图书购买36套． 题型讲练十二 行程问题（二元一次方程组的应用） 【例12】（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）一汽车从甲地开往乙地，途中有上坡、平路和下坡，已知上坡路10千米，汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点整 ，停留30分钟后从乙地出发，用了2.25小时返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、下坡路分别是多少千米？ 【答案】甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，下坡路是20千米 【思路引导】设平路是x千米，下坡路是y千米，构造方程求解． 本题考查二元一次方程组的应用，掌握等量关系是解题关键． 【规范解答】解：设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，下坡路是y千米， 从下午1点到下午3点共2小时，从乙地返回甲地用了2.25小时，又因为已知上坡路10千米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 答：甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，下坡路是20千米． 【变式】（26-27七年级上·安徽淮南·期末）苗苗同学在学习了二元一次方程组相关知识后，对汽车的轮胎磨损问题进行了探究． 根据资料显示，汽车的前轮胎比后轮胎磨损更为严重，如果只更换前轮胎，那么行驶时的安全性会下降，但是如果一起更换轮胎，汽车的维护成本将会提高．所以为了解决这个问题，我们可以定期交换前后轮胎． 某种汽车前轮胎行驶4万公里时报废，而后轮胎行驶6万公里时报废．轮胎报废的时候磨损程度为1． (1)该种汽车每行驶1万公里，前轮胎的磨损为，后轮胎的磨损为________； (2)假设该种汽车行驶x万公里之后，将前轮胎交换到了后轮的位置，然后继续行驶了y万公里后，此时轮胎的磨损程度为1．请依据上述信息，求出当前后轮胎一起报废时，汽车的行驶里程是多少万公里？ 【答案】(1) (2)万公里 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用． （1）根据后轮胎行驶6万公里时报废，可得出该种汽车每行驶1万公里时后轮胎的磨损为； （2）根据“原前轮胎行驶x万公里的磨损”+“交换为后轮胎后行驶y万公里的磨损”和“原后轮胎行驶x万公里的磨损”+“交换为前轮胎后行驶y万公里的磨损”，得到方程组即可求解． 【规范解答】（1）解：∵该种汽车前轮胎行驶4万公里时报废，而后轮胎行驶6万公里时报废， ∴该种汽车每行驶1万公里，前轮胎的磨损为，后轮胎的磨损为， 故答案为：． （2）解：根据题意得：， 解得：， ∴， 即前后轮胎一起报废时，汽车的行驶里程是万公里． 题型讲练十三 工程问题（二元一次方程组的应用） 【例13】甲乙加工一批零件共350个，甲先单独做8小时，然后又与乙一起加工5小时完成任务．已知乙每小时比甲少加工2个零件．问甲、乙两人每小时各加工多少个零件？ 【答案】甲每小时加工20个零件，乙每小时加工18个零件 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，先设甲每小时加工个零件，乙每小时加工个零件，再结合甲乙加工一批零件共350个，甲先单独做8小时，然后又与乙一起加工5小时完成任务．已知乙每小时比甲少加工2个零件列方程组，再解方程，即可作答． 【规范解答】解：设甲每小时加工个零件，乙每小时加工个零件， 依题意， 解得 ∴甲每小时加工20个零件，乙每小时加工18个零件． 【变式】2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受大家喜爱，某工厂计划生产两种吉祥物，已知甲车间里的工人每人每天可以制作2个冰墩墩和5个雪容融，乙车间里的工人每人每天可以制作3个冰墩墩和1个雪容融，已知该工厂每天生产的两种吉祥物数量相同． (1)设甲车间有名工人，乙车间有名工人． ①完成下列表格 冰墩墩（个） 雪容融（个） 甲车间 乙车间 总计 ②若该工厂共有60名工人，则甲、乙车间的工人数分别是多少？ (2)由于市场需求旺盛，工厂决定从甲车间抽调名工人去乙车间，使得每天生产的冰墩墩数量是雪容融数量的2倍，则要抽调的工人数至少为______．（直接写出答案） 【答案】(1)①见解析；②甲车间的工人数是24人，乙车间的工人数是36人． (2)13 【思路引导】（1）根据“已知甲车间里的工人每人每天可以制作2个冰墩墩和5个雪容融，乙车间里的工人每人每天可以制作3个冰墩墩和1个雪容融，”，然后结合工人数量，即可得出答案； （2）设甲车间有名工人，乙车间有名工人．由（1）可知，，即，接着表示出从甲车间抽调名工人去乙车间后，两个车间生产的冰墩墩与雪容融的数量，结合题意“现每天生产的冰墩墩数量是雪容融数量的2倍”，得到，结合为正整数，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：① 冰墩墩（个） 雪容融（个） 甲车间 乙车间 总计 ②设甲车间有名工人，乙车间有名工人． ， 解得， 答：甲车间的工人数是24人，乙车间的工人数是36人． （2）解：设甲车间有名工人，乙车间有名工人． 由（1）可知，，即， 当工厂决定从甲车间抽调名工人去乙车间时，两个车间生产的数量如下表所示： 冰墩墩（个） 雪容融（个） 甲车间 乙车间 总计 根据题意有，， 那么有， ∵为正整数， ∴当时，符合题意且取得最小值，此时， 故答案为：13． 题型讲练十四 数字问题（二元一次方程组的应用） 【例14】（25-26七年级下·山东潍坊·期中）一个两位数的十位数字与个位数字之和为6，将个位数字与十位数字对调后，得到的两位数比原来的两位数小18．则原来的两位数为______． 【答案】42 【思路引导】设原来两位数的十位数字与个位数字分别为未知数，根据题目给出的两个等量关系列二元一次方程组，求解后即可得到原来的两位数． 【规范解答】解：设原来两位数的十位数字为，个位数字为， 根据题意，得， 解得， 因此原来的两位数为． 【变式】（25-26七年级下·吉林长春·期中）一个两位数数位上的数字之和是8，将它的十位数字和个位数字交换后，得到新的两位数，若新两位数比原两位数大18，则原两位数为_____． 【答案】35 【思路引导】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．设原两位数的十位数字为a，个位数字为b，根据数字之和为8和新数比原数大18的条件列方程组求解． 【规范解答】解：设原两位数的十位数字为a，个位数字为b， 则原数为，数字之和，交换后新数为， 由新数比原数大18，得，化简得，即． 解方程组，解得， 故原数为． 故答案为：35． 题型讲练十五 年龄问题（二元一次方程组的应用） 【例15】（23-24七年级下·全国·课后作业）今年父亲的年龄是玲玲的倍，年后父亲的年龄是玲玲的倍，今年父亲、玲玲的年龄各是多少岁？ 【答案】今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁． 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁，根据题意列出方程，然后解出方程即可． 【规范解答】解：设今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁， 根据题意得，，解得：， 答：今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁． 【变式】甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁，那么（   ） A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁 C．乙比甲大10岁 D．乙比甲大5岁 【答案】A 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设甲现在的年龄为岁，乙现在的年龄为岁，根据“甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【规范解答】解：设甲现在的年龄为岁，乙现在的年龄为岁， 依题意，得：， 解得：． 甲现在的年龄为25岁，乙现在的年龄为20岁， 甲比乙大5岁 故选：A． 题型讲练十六 分配问题（二元一次方程组的应用） 【例16】（24-25七年级下·重庆南川·期末）重庆赛力斯公司生产的问界和问界两款新能源汽车深受消费者的欢迎，该公司生产汽车零部件的甲车间有工人50名，乙车间有工人60名，因接到加急生产一批新能源汽车的任务，所以该公司新增40名工人分配到甲、乙两个车间，分配后甲车间的总人数比分配后乙车间的总人数多10人．设新分配到甲车间的人数是人，新分配到乙车间的人数是人． (1)完成下列表格填空： 甲 乙 原来人数 50 60 新分配人数 分配后现有人数 ________ ________ 根据题中的数量关系有：________； (2)求新分配到甲车间、乙车间的人数各有多少人？ 【答案】(1)见解析，40 (2)新分配到甲车间的有30人，新分配到乙车间的有10人 【思路引导】本题主要考查了列代数式，列二元一次方程组解决实际问题，解题的关键是理解题意，找出等量关系． （1）根据题意，列出代数式即可； （2）找出等量关系，列出二元一次方程组，并进行求解即可． 【规范解答】（1）解：完成表格如下： 甲 乙 原来人数 50 60 新分配人数 分配后现有人数 ∵该公司新增40名工人分配到甲、乙两个车间， ∴； （2）解：根据题意得，， 解方程得 答：新分配到甲车间的有人，新分配到乙车间的有人． 【变式】（24-25七年级下·北京丰台·期末）青花瓷是中国瓷器主流品种之一，由于它具有白瓷如雪，青花似玉的特征，因此深受人们的喜爱．现某瓷器厂计划生产由1个茶壶和8个茶杯组成套装的青花瓷茶具．若一位工人一天只能生产200个茶杯或50个茶壶，该厂现有120名工人，如何安排生产茶杯或茶壶的工人人数使生产的茶具配套． 【答案】安排80名工人生产茶杯，40名工人生产茶壶 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的实际应用；设名工人生产茶杯，名工人生产茶壶，根据有120名工人，且1个茶壶和8个茶杯组成套装的青花瓷茶具．一位工人一天只能生产200个茶杯或50个茶壶，列出二元一次方程组求解即可． 【规范解答】解：设名工人生产茶杯，名工人生产茶壶，    根据题意，得         解方程组.得             答：安排80名工人生产茶杯，40名工人生产茶壶. 题型讲练十七 销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 【例17】（25-26七年级下·河北邢台·期中）某新能源光伏企业原计划生产A、B两种太阳能光伏板共10件，生产成本为41万元，其生产成本和利润如下表所示，现因订单增加，实际上生产A、B两种太阳能光伏板共18件，生产成本变为72万元，求订单增加后生产A、B两种太阳能光伏板的总利润比原计划生产A、B两种太阳能光伏板的总利润多多少万元？ A种产品 B种产品 生产成本（万元/件） 2 5 利润（万元/件） 1 3 【答案】18万元 【思路引导】设原计划生产A种太阳能光伏板x件，生产B种太阳能光伏板y件，根据原计划生产A、B两种太阳能光伏板共10件，生产成本为41万元建立方程组求出原计划生产A种太阳能光伏板和生产B种太阳能光伏板的数量，进而求出原计划的利润，同理求出实际的利润即可得到答案． 【规范解答】解：设原计划生产A种太阳能光伏板x件，生产B种太阳能光伏板y件， 由题意得，， 解得， ∴原计划生产A种太阳能光伏板3件，生产B种太阳能光伏板7件， ∴原计划的利润为万元； 设实际生产A种太阳能光伏板m件，生产B种太阳能光伏板n件， 由题意得，， 解得， ∴实际生产A种太阳能光伏板6件，生产B种太阳能光伏板12件， ∴实际的利润为万元， 万元， 答：订单增加后生产A、B两种太阳能光伏板的总利润比原计划生产A、B两种太阳能光伏板的总利润多18万元． 【变式】25-26七年级下·云南·期中）根据以下素材，探索完成任务． 阳光体育·足球促销 素材一 某体育用品商场销售A、B两款足球，A款、B款足球的进价分别为60元、80元，售价分别为90元、120元． 素材二 该商场在3月份购进A款、B款两种足球共50个，进货共用3600元 素材三 为配合各校“阳光体育”系列活动的开展，该体育用品商场4月份推出以下两种促销方案（两种方案不可叠加使用）： ① “买五赠一”：即购买5个B款足球赠送1个A款足球； ②A款、B款足球均打九折销售 (1)求3月份该商场购进A款、B款足球各多少个？ (2)某校4月份打算在该商场购买20个B款足球和10个A款足球，请问选择上述哪种促销方案更合适？ 【答案】(1)3月份该商场购进A款足球20个，购进B款足球30个； (2)选择促销方案①更合适 【思路引导】（1）设3月份该商场购进A款足球x个，购进B款足球y个，根据该商场在3月份购进A款、B款两种足球共50个，进货共用3600元建立方程组求解即可； （2）分别求出两种方案需要的费用，比较即可得到结论． 【规范解答】（1）解：设3月份该商场购进A款足球x个，购进B款足球y个， 由题意得，， 解得， 答：3月份该商场购进A款足球20个，购进B款足球30个； （2）解：方案①的费用为元， 方案②的费用为， ∵， ∴选择促销方案①更合适． 题型讲练十八 和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 【例18】（25-26七年级下·山东潍坊·期中）某公司计划租用甲乙两种型号的冷柜车运送80吨水果，甲型冷柜车每天运送量为6吨，乙型冷柜车每天运送量为8吨．甲型冷柜车先运送了若干天之后退出，剩余的水果由乙型冷柜车负责运送直至完成，整个运送过程总共用时12天．求甲乙两种型号的冷柜车各运送多少天？ (1)思路1：直接设未知数法．若设甲型冷柜车运送天，乙型冷柜车运送天，请根据题意直接列出方程组（无需求解）： (2)思路2：间接设未知数法．若设甲型冷柜车运送吨水果，乙型冷柜车运送吨水果，请列方程组并解答． 【答案】(1) (2)甲型冷柜车运送8天，乙型冷柜车运送4天 【思路引导】（1）根据总运送天数为12天，总运送水果重量为80吨列方程组即可； （2）根据总运送天数为12天，总运送水果重量为80吨列方程组求解即可． 【规范解答】（1）解：∵总运送时间共12天，总运送水果共80吨， ∴根据题意，得 ， （2）解：根据题意，得 ， 解得， 甲型冷柜车运送天数为 （天） ， 乙型冷柜车运送天数为 （天） ， 答：甲型冷柜车运送8天，乙型冷柜车运送4天． 【变式】25-26七年级下·浙江·期中）浙（浙江篮球地区联赛）联赛现在家喻户晓，某长兴工厂计划制作两款长兴球队吉祥物玩具．已知生产每件甲款纪念玩具需要4米面料、2千克辅料，生产每件乙款纪念玩具需要3米面料、1千克辅料．现有面料1080米、辅料440千克． (1)甲、乙两款玩具各生产多少件，恰好使两种原材料全部用完？ (2)某直营店根据市场调研情况，决定每件甲款玩具售价190元，每件乙款玩具售价80元．现该店计划从该厂采购一批玩具（两种玩具都要采购），全部售出后总销售额为3600元，请帮助设计采购方案． 【答案】(1)生产甲款纪念玩具120件，乙款纪念玩具200件 (2)共有两种采购方案：甲款8件，乙款26件；甲款16件，乙款7件 【思路引导】（1）设生产甲款纪念玩具x件，乙款纪念玩具y件，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设采购甲款纪念玩具a件，乙款纪念玩具b件，根据题意，列出方程求出正整数解即可. 【规范解答】（1）解：设生产甲款纪念玩具x件，乙款纪念玩具y件， 由题意，得，                       解得；                         答：生产甲款纪念玩具120件，乙款纪念玩具200件； （2）解：设采购甲款纪念玩具a件，乙款纪念玩具b件， 由题意，得：，                    ∴， ∵均为正整数，     或 ∴共有两种采购方案：甲款8件，乙款26件；甲款16件，乙款7件. 题型讲练十九 几何问题（二元一次方程组的应用） 【例19】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）一个大正方形和四个一模一样的小正方形按如图、两种方式摆放，则图的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是______． 【答案】 【思路引导】设大正方形的边长为，小正方形的边长为，由图①和②列出方程组求出、的值，再根据图的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积等于大正方形的面积减去四个小正方形的面积，即可求解． 【规范解答】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 由图①和②列出方程组得， 解得， 图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积， 故答案为：． 【变式】（25-26七年级下·福建厦门·期中）综合与实践：探究用标准卡纸制作礼盒． 素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成6张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形． 素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作横式叠盖和竖式叠盖纸盒，如图3是横式叠盖和竖式叠盖纸盒的平面展开图． 素材3：数学实践小组一共有33张标准卡纸通过剪裁一共得到张小长方形和张小正方形，做成个横式叠盖纸盒和个竖式叠盖纸盒（其中均不为零），恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完． (1)若，求的值； (2)求和值． 【答案】(1) (2)或 【思路引导】（1）33张标准卡纸通过剪裁得到158张小长方形，而一张可以剪裁6个小长方形，先算出总的小长方形，减去158，即为剩余的小长方形，一个小长方形可剪裁两个小正方形，再乘以2即可求解n，根据1个竖式叠盖纸盒需要4个小长方形和3个正方形，1个横式叠盖纸盒需要5个小长方形和2个小正方形，即可建立二元一次方程组求解； （2）由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要5.5个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要6个小长方形，则，求其整数解即可． 【规范解答】（1）解：由题意得，， 则， 解得：； （2）解：由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要5.5个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要6个小长方形， ∴， ∴整数解为：或． 题型讲练二十 图表信息题（二元一次方程组的应用） 【例20】（2026七年级下·全国·专题练习）某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员在某文体用品店购买完毕，回到学校后发现小票有几个数据不清楚，如下表所示： 单位 数量 单价 金额 篮球 个 6 100.00 600.00元 钢笔 支 15.00 元 笔记本 本 5.00 元 合计 — 46 — 900.00元 请根据现有的信息，帮助采购员复原并求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 【答案】购置钢笔支，金额元；购置笔记本本，金额元． 【思路引导】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 设购买钢笔支，笔记本本，根据钢笔的数量笔记本的数量 篮球的数量，购买钢笔的金额购买笔记本的金额购买篮球的金额，列出方程组，进行求解即可． 【规范解答】解：设购买钢笔支，笔记本本． 依题意得 解得 当时，（元） 当时，（元） 答：购置钢笔支，金额元；购置笔记本本，金额元． 【变式】（24-25七年级上·湖南怀化·期末）一个圆柱形容器中，现有20个单位高度的水．请根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)如果放入6个球，使水面上升到40个单位的高度，放入的大球、小球各多少个？ (2)现放入若干个（1）中的大球或小球，使得容器恰好装满，问有几种可能？请写出过程，并一一列出． 【答案】(1)大球为2个，小球为4个 (2)三种，当大球6个，小球2个，或大球3个，小球6个，或只放10个小球，过程见解析 【思路引导】本题考查了列二元一次方程组和列二元一次方程解实际问题的运用，二元一次方程组及二元一次方程的解法的运用，解答时理解图画含义是解答本题的关键． （1）由图得出一个小球使水面上升3个单位高度；一个大球使水面上升4个单位高度．设放入的大球为个，小球为个时，水面上升到40个单位的高度，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设此时需a个大球，个小球，根据题意列出方程，由、均为正整数列出所有符合条件的a、b的值即可． 【规范解答】（1）解：（1）由题意可得：一个小球使水面上升3个单位高度；一个大球使水面上升4个单位高度． 设放入的大球为个，小球为个时，水面上升到40个单位的高度． 解得： 答∶需放入大球为2个，小球为4个时，水面上升到40个单位的高度． （2）解：容器恰好装满时，水位需上涨30个单位高度，设此时需a个大球，个小球，则： ． 所以 因为、均为正整数，所以有以下三种情况， 当时，，满足条件； 当时，，满足条件； 当时，，满足条件． 即：当大球6个，小球2个或大球3个，小球6个或只放10个小球时，容器恰好装满． 题型讲练二十一 古代问题（二元一次方程组的应用） 【例21】（25-26七年级下·山西临汾·期中）我国古代的“幻方”文化源远流长，最早记载于西汉时期的《大戴礼记》中．如图为一个三角形幻方，其中每个小三角形的三个顶点的数字之和都相等，则的值为（   ） A． B．6 C． D．4 【答案】C 【思路引导】先根据左侧三角形求出每个小三角形的三个顶点上的数字之和，再依次求出x，y，z的值，最后求和即可． 【规范解答】解：由题意知，每个小三角形的三个顶点上的数字之和为：， ， ， ， ， ， ， ． 【变式】（25-26七年级下·浙江温州·期中）李白喝酒碰到朋友，诗里藏着算术题：现在有一些酒坛，如果每个酒坛装五斗酒，就会剩下四斗酒；如果每个酒坛装六斗酒，则空出一个酒坛，且有一个酒坛里仅装三斗酒．设一共有个酒坛，斗酒，那么正确的方程组是（　　） A．B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据酒的总数量不变，结合两种装酒情况分别列方程即可得到方程组． 【规范解答】解：∵共有个酒坛，每个酒坛装斗酒时剩余斗，总酒量为斗 ∴总酒量满足 ． 再根据第二种装酒情况列方程： 每个酒坛装斗酒时，空出个酒坛，且有个酒坛仅装斗，因此装满斗的酒坛数量为 个． 总酒量等于所有装满斗的酒量加上仅装的斗，因此： 移项整理得 ． 综上可得方程组 ． 题型讲练二十二 其他问题（二元一次方程组的应用） 【例22】（25-26七年级下·北京房山·期中）每年的3月12日是植树节．某校七年级有183名学生参加植树节活动．在活动中男生负责挖树坑，平均每人挖3个；女生负责种树，平均每人种6棵．已知挖好的树坑数量与种下的树苗数量恰好相等．求该校七年级学生中参加植树节活动的男、女生各有多少人？ 【答案】该校七年级参加植树节活动的男生有122人，女生有61人． 【思路引导】先设出男女生人数，再根据总人数、树坑数与种树棵数相等两个等量关系列方程组，求解即可得到结果． 【规范解答】解：设该校七年级参加植树节活动的男生有人，女生有人． 根据题意，列出方程组， 解得， 答：该校七年级参加植树节活动的男生有122人，女生有61人． 【变式】（25-26八年级上·陕西西安·期末）甲，乙两个工厂计划合作1天，完成鲜奶的加工任务，由于人员调动，甲工厂的加工效率比原来提高了，乙工厂的加工效率比原来降低了，但最终按原计划完成了加工任务，求甲，乙两个工厂原计划一天分别加工鲜奶多少千克． 【答案】甲工厂原计划一天加工鲜奶，乙工厂原计划一天加工鲜奶 【思路引导】本题考查二元一次方程组的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．设甲工厂原计划一天加工鲜奶，乙工厂原计划一天加工鲜奶，根据题意列二元一次方程组求解即可． 【规范解答】解：设甲工厂原计划一天加工鲜奶，乙工厂原计划一天加工鲜奶． 由题意，得 解得． 答：甲工厂原计划一天加工鲜奶，乙工厂原计划一天加工鲜奶． 题型讲练二十三 三元一次方程组的定义及解 【例23】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）解方程组： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1） 对二元一次方程组使用加减消元法，通过消去未知数s先求出t的值，再回代求出s即可； （2） 对三元一次方程组，先将三个方程相加整理得到的值，再结合原方程依次消元得到每个未知数的值即可； 【规范解答】（1）解：原方程组整理为， 得：， 得：， 得：， 解得， 把代入①得，解得：， 因此原方程组的解为； （2）解：， 得，整理得， 把①代入④得，解得：， 把②代入④得，解得：， 把③代入④得，解得：， 因此原方程组的解为． 【变式】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）综合与探究 定义：若点的坐标满足时，我们称点为“亲民点”． 【初步运用】 (1)下列各点：①，②，③，其中是“亲民点”的有_________（只填序号）； 【深入理解】 (2)若第四象限内的点是“亲民点”，且点D到两坐标轴的距离相等，求点D的坐标； 【能力提升】 (3)若点与点都是“亲民点”，求k的值． 【答案】(1)①②③ (2) (3) 【思路引导】（1）将点代入，进行判断即可； （2）根据题意，易得，代入，进行求解即可； （3）先把代入求出的关系，再把代入，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴当时，； 当时，； 当时，； 故①，②，③，三个点均是“亲民点”； （2）解：∵第四象限内的点，到两坐标轴的距离相等， ∴， ∴， ∵点是“亲民点”， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵点是“亲民点”， ∴， 整理，得， ∵是“亲民点”， ∴， 整理，得， ∵， ∴， 解得． 题型讲练二十四 三元一次方程组的应用 【例24】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙、丙三种型号以马为主题的生肖玩偶，已知购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶的总价格为元，购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶的总价格为元． (1)若丙型玩偶的单价为元，求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ (2)在（1）的条件下，某班级计划用元全部购买甲、乙两种型号玩偶（两种玩偶都要有）作为班级活动的奖品，请问该班级有几种购买方案？ (3)某班级计划购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶给班级的位学生每人一只玩偶，请问该班级共需花费多少元？ 【答案】(1)甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元 (2)一共有四种购买方案 (3)该班级共需花费元 【思路引导】（1）设甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设甲、乙两种型号玩偶的分别购买只，只，根据题意列出二元一次方程组，根据，都是正整数，确定方程的整数解，即可求解； （3）设甲、乙、丙三种型号玩偶的单价分别为元，元，元，根据题意得出，共需花费，消去字母，即可求解． 【规范解答】（1）解：设甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元．   由题意得 解得 答：甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元． （2）解：设甲、乙两种型号玩偶的分别购买只，只．   由题得 ， 化简得， ∴ ， 因为，都是正整数， 所以方程有4个正整数解， 分别为，，， 所以一共有四种购买方案． （3）解：设甲、乙、丙三种型号玩偶的单价分别为元，元，元．   由题意得， 解得， 共需花费 （元） ， 答：该班级共需花费元． 【变式】（25-26七年级下·重庆渝北·开学考试）为迎国庆，沙乡街道办摆放花盆，有塑料花盆、陶瓷花盆、木制花盆三种．其中塑料花盆由15朵红花、24朵黄花、25朵粉花组合而成，陶瓷花盆由10朵红花、12朵黄花组合而成，木制花盆由10朵红花、18朵黄花、25朵粉花组合而成．这些花盆一共用了2900朵红花，3750朵粉花，则黄花一共用了____朵． 【答案】4380 【思路引导】设塑料花盆、陶瓷花盆、木制花盆的数量分别为、、个，根据“这些花盆一共用了2900朵红花，3750朵粉花”列方程化简得出，，再根据黄花总数代入求解即可． 【规范解答】解：设塑料花盆、陶瓷花盆、木制花盆的数量分别为、、个， 根据题意可得红花总数量：，化简得：①， 粉花总数量：，化简得：②， 把②代入①：， 整理得：， 则黄花总数（朵）． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）若是二元一次方程的一个解，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】由二元一次方程的解的定义可得，再代入代数式计算即可求解． 【规范解答】解：∵是二元一次方程的一个解， ∴， ∴ ． 2．（25-26七年级下·广东广州·期中）二元一次方程的正整数解（即x、y都是正整数）有（    ）对． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】由，可得出，结合，均为正整数，即可求出二元一次方程的正整数解共有3对． 【规范解答】解：， ． 又，均为正整数， 或或， 二元一次方程的正整数解共有3对． 3．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）某玩具厂共有名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架个或车轮个，且车架与个车轮可配成一套，设有个工人生产车架，个工人生产车轮，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据总工人人数和配套比例关系，列出对应方程组即可判断正确选项． 【规范解答】解：共有名生产工人，个工人生产车架，个工人生产车轮， 总人数满足； 个车架需要配个车轮，即生产出的车轮总数量等于车架总数量的倍，个工人每天生产车架总数量为，个工人每天生产车轮总数量为， 可得； 因此方程组为． 4．（25-26七年级下·北京·期中）写出一个解为的二元一次方程组________． 【答案】（答案不唯一） 【思路引导】根据给定的解，构造两个满足该解的二元一次方程，联立后即可得到符合要求的二元一次方程组． 【规范解答】解：，得到方程； ，得到方程． 因此，所求二元一次方程组为． 5．（25-26七年级下·湖北黄冈·期中）已知方程，是关于，的二元一次方程，则_____． 【答案】0 【思路引导】根据二元一次方程的定义，即方程是含有两个未知数，且含有未知数的项的次数均为的整式方程，据此列出关于，的方程，求解得到，的值后代入计算即可． 【规范解答】解： 是关于，的二元一次方程． ，． 解得，． ． 6．（25-26七年级下·江苏南京·期中）已知方程组的解为，则方程组的解为________． 【答案】 【思路引导】根据方程组解的定义，先利用已知的原方程组的解求出m和n的值，再将m，n代入所求方程组，解二元一次方程组即可得到结果． 【规范解答】解：将代入原方程组， 解得， 将代入所求方程组，得 ， 整理，得 ，， 解得， 将代入①，得， ∴方程组的解是． 7．（25-26七年级下·北京·期中）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）用代入消元法解方程组； （2）用加减消元法解方程组． 【规范解答】（1）解：， 将代入可得， 解得，代入可得， 故这个方程组的解为． （2）解：， 将可得， 解得，代入可得， 故这个方程组的解为． 8．（25-26七年级下·广东广州·期中）按要求解题： (1)求式中x的值：； (2)解方程组： 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解：∵， ∴； （2）解： ，得， 解得， 把代入②，得， 解得， ∴方程组的解为． 9．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）某大型快递公司使用机器人进行包裹分拣，若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣700件包裹；若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣650件包裹． (1)求甲、乙两机器人每小时各分拣多少件包裹； (2)“双十一”期间，快递公司的业务量猛增，甲、乙两机器人某一天分拣包裹的总数量是2250件，并且都在4小时以上，这一天甲、乙机器人分别工作多少小时？ 【答案】(1)甲、乙两机器人每小时各分拣150件、100件包裹； (2)甲、乙机器人分别要工作5小时，15小时或甲、乙机器人分别要工作7小时，12小时或甲、乙机器人分别要工作9小时，9小时或甲、乙机器人分别要工作11小时，6小时． 【思路引导】（1）设甲、乙两机器人每小时各分拣x件、y件包裹，根据“若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣700件包裹；若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣650件包裹”列出方程组，求解即可； （2）设甲、乙两机器人分别工作m小时，n小时，根据“甲、乙两机器人某一天分拣包裹的总数量是2250件”列出方程，求解即可． 【规范解答】（1）解：设甲、乙两机器人每小时各分拣x件、y件包裹， 根据题意得， 解得， 答：甲、乙两机器人每小时各分拣150件、100件包裹； （2）解：设甲、乙两机器人分别工作m小时，n小时， 根据题意得 ，且， 解得，，，， 答：甲、乙机器人分别要工作5小时，15小时或甲、乙机器人分别要工作7小时，12小时或甲、乙机器人分别要工作9小时，9小时或甲、乙机器人分别要工作11小时，6小时． 10．（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约需用饲料千克；又购进一批后共有42头大牛和20头小牛，这时1天约需用饲料千克．问每头大牛1天约需饲料多少千克？每头小牛1天约需饲料多少千克？ 【答案】每头大牛1天约需饲料千克，每头小牛1天约需饲料千克 【思路引导】设每头大牛1天约需饲料千克，每头小牛1天约需饲料y千克，根据题意列出方程组，进而根据加减消元法解二元一次方程组即可求解． 【规范解答】解：设每头大牛1天约需饲料千克，每头小牛1天约需饲料y千克，根据题意得： ， 解得：， 答：每头大牛1天约需饲料千克，每头小牛1天约需饲料千克． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $