精品解析：2026年山西省晋中市部分学校中考二模九年级数学试卷

数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 2. 以文物为媒，以历史为脉，山西博物院中的一件件珍品，尽显三晋文化的璀璨与厚重，让千年文明变得可触可感以下为四件文物的简笔画，其文字上方的图案为轴对称图形的是（ ） A. 商代龙形觥（gōng） B. 西周晋侯鸟尊 C. 商代鹗卣（xiāo yǒu） D. 汉雁鱼铜灯 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 国务院新闻办公室于2026年1月21日举行新闻发布会，会议提到据有关机构测算，2025年我国人工智能企业数量超过6000家，核心产业规模预计突破12000亿元，数据“12000亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 印章，古称“玺”“印信”，是中国独有的传统器物与文化符号．如图是一款未雕刻的四棱台形印章的示意图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 6. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 无解 【易错点拨】在解不等式时，不等号两边同时乘或除以一个负数时，不等号的方向要改变， 7. 如图，为的直径，点C，D分别为上的点，且C为的中点，连接，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 2026年央视春晚舞台上共有4个融入机器人表演的节目，分别是武术《武BOT》、小品《奶奶的最爱》、歌曲《智造未来》和贺岁微电影《我最难忘的今宵》．为让学生感受科技与文艺的融合之美，某校将开展科技普及讲座，并计划从春晚这4个节目中随机选取2个节目片段用于校内宣传，则抽取的两个节目恰好是《武》和《智造未来》的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，把两张矩形纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形．固定一张纸条，另一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（　　） A. 四边形的周长不变 B. 四边形的面积不变 C. D. 10. 如图，已知正八边形的边长为4，连接，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画弧，得，则的长为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解： =___． 12. 为了解不同栖息地对麻雀体重的影响，生物学家对干旱草原和温带森林中的麻雀进行了研究，分别从两地随机捕捉数量相同的麻雀，测量并统计其体重的平均数与方差，已知体重越稳定，越适宜生存，数据如下表，则麻雀更适宜在_______（填“干旱草原”或“温带森林”）栖息地生存． 平均数 方差 干旱草原的麻雀 20 87.5 温带森林的麻雀 20 5.8 13. 如图是一组有规律的图案，它们由若干条长度相等的线段组成．第1个图案中有8条线段，第2个图案中有15条线段，第3个图案中有22条线段，第4个图案中有29条线段，…，按此规律，第n个图案中有_______条线段（用含n的代数式表示）． 14. 某工厂有一款自动蓄水池，其内部结构呈圆柱体形状，某次匀速注水时蓄水池内水位高度（米）与注水时间（小时）之间的关系如图所示，若该蓄水池匀速注水时，每小时的注水量为54立方米，则该蓄水池内部结构的底面圆半径为________米（注：取3）． 15. 如图，在正方形中，点E为正方形内一点，且，，若，则的长为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算与解方程组 （1）计算： （2）解方程组： 17. 如图，反比例函数的图象经过点，，直线与y轴交于点C． （1）求反比例函数的表达式，并直接写出m的值； （2）D为x轴正半轴上一点，连接，若四边形的面积为14，请直接写出点D的坐标． 解题技巧 平面直角坐标系中图形面积计算 （1）直接公式法（三角形一边在坐标轴上或平行于坐标轴） （2）转化法（三角形三边均不与坐标轴平行） ①分割法 ②补形法 18. 近年来，城市马拉松成为一道亮丽的风景线，越来越多的人走出家门，参与运动，用脚步丈量城市，以汗水诠释热爱，在沿途风景中感受城市的发展与活力．某市2025年城市马拉松报名期间，平均每天的报名人数是2024年平均每天报名人数的1.6倍，报名人数达到10万人所用的时间比2024年少6天，求2025年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数． 19. 中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》中，对学生每天的作业时间提出明确要求：“初中书面作业平均完成时间不超过90分钟”，某校为了解九年级学生的作业完成情况，随机抽取了200名九年级学生开展问卷调查，并形成了如下调查报告（不完整）． XX中学九年级学生每天完成书面作业的情况调查报告 调查主题 XX中学九年级学生每天完成书面作业的情况 调查方式 抽样调查 调查对象 XX中学九年级学生 数据的收集、整理与描述 问题一：本周你平均每天完成书面作业所用时长大约为_____________分钟． 本周平均每天完成书面作业所用时长频数分布直方图 注：平均每天所用时长x（分钟）分为5组：①；②；③；④；⑤． 数据的收集、整理与描述 若你平均每天完成书面作业所用时长超过90分钟，请回答问题二． 问题二：你完成书面作业所用时间过长的原因是（ ）（单选） A．作业量太大 B．遇到疑难时未及时向他人请教 C．用电子设备查阅资料导致分心 D．其他 完成书面作业所用时间过长的原因扇形统计图 调查结论 … 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）本次调查中，平均每天完成书面作业所用时长的中位数落在第_____________（填序号）组，因“遇到疑难时未及时向他人请教”导致所用时长超过90分钟的学生有_____________人，扇形统计图中“A．作业量太大”所在扇形的圆心角度数为_____________°； （2）若该中学九年级共有1200人，估计本周平均每天完成书面作业所用时长超过90分钟的人数； （3）请根据以上调查报告，对该中学学生完成课后作业用时情况作出评价，并提出两条合理化建议． 20. 百团大战纪念馆位于山西阳泉狮脑山，是山西人民进行爱国主义传统教育和缅怀先烈的重要场所．某班组织学生参观并利用所学知识测量百团大战纪念碑主碑的高度． 数据收集：如图1，宣宣站在点C处，用测角仪测得纪念碑顶点A的仰角，向纪念碑的方向前进到达点F处，测得纪念碑顶点A的仰角，已知测角仪． 数据应用： （1）已知图2中各点均在同一竖直平面内，，均垂直于地面，请根据上述数据，计算纪念碑的高度（结果精确到．参考数据：，，，）； （2）宣宣回家后想按（1）中纪念碑的高度利用3D打印制作一个百团大战纪念碑主碑的模型，若他将纪念碑按等比例缩小，则他打印出的模型高度为 ． 21. 阅读与思考 下面是善思小组的研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 互补三角形 【概念理解】 如果两个三角形中，有两边分别相等，且两边的夹角互补，则称这两个三角形是互补三角形；反之，若两个三角形是互补三角形，那么这两个三角形有两边分别相等，且两边的夹角互补． 例如：如图①，在与中，若，，，则与是互补三角形． 【问题解决】 问题：如图②，在矩形中，，对角线与相交于点O，则与是不是互补三角形_____________（填“是”或“否”）． 【性质探索】互补三角形的性质：互补三角形的面积相等． 已知：如图③，已知与是互补三角形，，． 求证：与的面积相等． 证明：如图③，分别过点A，D作，，分别交的延长线，于点G，H， 则， 与是互补三角形，，， ， … 任务： （1）问题中的与是不是互补三角形 （填“是”或“否”）； （2）请将【性质探索】中的证明过程补充完整； （3）如图④，已知线段，交于点B，请在图④中作与，使得与是互补三角形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 22. 综合与实践 问题情境：科研人员为了研究某弹射器的性能，进行了如下的实验：在水平地面上放置一个弹射器（高度不计），通过弹射器竖直向上弹射一颗小球（忽略空气阻力），利用无人机测量小球竖直向上运动的相关数据． 数据整理：经过实验，科研人员得到小球距离水平地面的高度与运动时间的几组数据，如下表，并发现是的二次函数： 0 1 2 4 5 6 0 25 40 40 25 0 建立模型： （1）根据表中的数据在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，用平滑的曲线连接，并求出h关于t的函数关系式； （2）问题解决：小球在运动过程中，从一开始经过多长时间可以达到最大高度，最大高度是多少米？ （3）问题解决：若该弹射器先发射出一颗小球，后立即发射出第二颗小球，经过一段时间后，两颗小球可在空中完成碰撞，请直接写出此时第二颗小球的运动时间． 23. 综合与探究 问题情境：如图，在纸片中，，点E在边上，沿折叠，得到． （1）猜想证明：如图①，当时，交于点F，连接，．判断与的数量关系，并说明理由； （2）拓展延伸：如图②，连接交于点G． ①连接，当时，判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，若，，，当与的一边垂直时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相反数的概念，直接根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：的相反数是2， 故选D． 2. 以文物为媒，以历史为脉，山西博物院中的一件件珍品，尽显三晋文化的璀璨与厚重，让千年文明变得可触可感以下为四件文物的简笔画，其文字上方的图案为轴对称图形的是（ ） A. 商代龙形觥（gōng） B. 西周晋侯鸟尊 C. 商代鹗卣（xiāo yǒu） D. 汉雁鱼铜灯 【答案】C 【解析】 【分析】轴对称图形的定义是：把一个图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】A选项：商代龙形觥既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：西周晋侯鸟尊既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：商代鹗卣是轴对称图形，故C选项符合题意； D选项：汉雁鱼铜灯既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D选项不符合题意． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方、完全平方公式分别计算各选项，判断运算是否正确． 【详解】解：A、，本选项运算正确； B、，本选项运算错误； C、，本选项运算错误； D、，本选项运算错误． 4. 国务院新闻办公室于2026年1月21日举行新闻发布会，会议提到据有关机构测算，2025年我国人工智能企业数量超过6000家，核心产业规模预计突破12000亿元，数据“12000亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：12000亿． 5. 印章，古称“玺”“印信”，是中国独有的传统器物与文化符号．如图是一款未雕刻的四棱台形印章的示意图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：这个印章的俯视图是： ． 6. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 无解 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出每个不等式的解集，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不了（无解）”确定不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴原不等式组的解集为． 【易错点拨】在解不等式时，不等号两边同时乘或除以一个负数时，不等号的方向要改变， 7. 如图，为的直径，点C，D分别为上的点，且C为的中点，连接，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接．由圆周角定理得，由为的中点，得，进而得到，即可求出． 【详解】如图，连接． 为的直径， ，即． 为的中点， ， ， ． 8. 2026年央视春晚舞台上共有4个融入机器人表演的节目，分别是武术《武BOT》、小品《奶奶的最爱》、歌曲《智造未来》和贺岁微电影《我最难忘的今宵》．为让学生感受科技与文艺的融合之美，某校将开展科技普及讲座，并计划从春晚这4个节目中随机选取2个节目片段用于校内宣传，则抽取的两个节目恰好是《武》和《智造未来》的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先列表，然后根据概率的计算公式进行计算即可． 【详解】解：将《武》、《奶奶的最爱》、《智造未来》、《我最难忘的今宵》分别用A，B，C，D表示，列表如下： 第一个 第二个 A B C D A - B - C - D - 由列表可知，共有12种等可能的结果，其中抽取的两个节目恰好是《武》和《智造未来》的结果有2种， （抽取的两个节目恰好是《武》和《智造未来》）． 9. 如图所示，把两张矩形纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形．固定一张纸条，另一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（　　） A. 四边形的周长不变 B. 四边形的面积不变 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质与判定，由矩形的性质可得，，则可满足四边形是平行四边形，得到，随着一张纸条在转动过程中，不一定等于，四边形周长、面积都会改变，据此可得答案． 【详解】解：由矩形的性质可得，， ∴四边形是平行四边形， ∴，故D符合题意， 随着一张纸条在转动过程中，不一定等于，四边形周长、面积都会改变，故A、B、C不符合题意， 故选：D． 10. 如图，已知正八边形的边长为4，连接，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画弧，得，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点E作，垂足为M，求出，再利用弧长公式即可求出答案． 【详解】解：如图，过点E作，垂足为M， 正八边形的每一个内角, 由题意可得四边形是矩形，与均为等腰直角三角形， ，，， ， 即所求弧的半径为， 的长为． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解： =___． 【答案】． 【解析】 【详解】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此， 先提取公因式a后继续应用平方差公式分解即可：． 12. 为了解不同栖息地对麻雀体重的影响，生物学家对干旱草原和温带森林中的麻雀进行了研究，分别从两地随机捕捉数量相同的麻雀，测量并统计其体重的平均数与方差，已知体重越稳定，越适宜生存，数据如下表，则麻雀更适宜在_______（填“干旱草原”或“温带森林”）栖息地生存． 平均数 方差 干旱草原的麻雀 20 87.5 温带森林的麻雀 20 5.8 【答案】温带森林 【解析】 【详解】解：由表格可得，干旱草原和温带森林的麻雀体重平均数相同，说明平均体重没有差异； 而温带森林的麻雀体重的方差小于干旱草原的麻雀的体重的方差，说明温带森林的麻雀体重波动小，体重差异小，代表麻雀在该栖息地的生存状态更稳定， 因此麻雀更适宜在温带森林栖息地生存． 13. 如图是一组有规律的图案，它们由若干条长度相等的线段组成．第1个图案中有8条线段，第2个图案中有15条线段，第3个图案中有22条线段，第4个图案中有29条线段，…，按此规律，第n个图案中有_______条线段（用含n的代数式表示）． 【答案】## 【解析】 【详解】解：第1个图案中有条线段， 第2个图案中有条线段， 第3个图案中有条线段， 第4个图案中有条线段， ∴第n个图案中有条线段． 14. 某工厂有一款自动蓄水池，其内部结构呈圆柱体形状，某次匀速注水时蓄水池内水位高度（米）与注水时间（小时）之间的关系如图所示，若该蓄水池匀速注水时，每小时的注水量为54立方米，则该蓄水池内部结构的底面圆半径为________米（注：取3）． 【答案】3 【解析】 【分析】先根据函数图像求得一小时注水高度为2米，再根据每小时的注水量为54立方米列关于r的方程求解即可． 【详解】解：由题图可知，蓄水池内水位高度h（米）与注水时间t（小时）之间满足一次函数关系，且初始时，蓄水池内水位高度为1米，注水2小时时，蓄水池内水位高度为5米，（米/小时），即一小时注水高度为2米， ∵该蓄水池匀速注水时，每小时的注水量为54立方米， ，解得（负值已舍去）， ∴该蓄水池内部结构的底面圆半径为3米． 15. 如图，在正方形中，点E为正方形内一点，且，，若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作的垂线，交的延长线于点F，证明，设，可得，先在中，利用勾股定理求出，再在中，利用勾股定理求出x即可． 【详解】解：如图，过点A作的垂线，交的延长线于点F， ∵四边形为正方形， ，， ， ， ， 在和中，， ， ， 设，则， ， 在中，， ， 在中，由勾股定理，得， ， 解得（负值已舍去）， ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算与解方程组 （1）计算： （2）解方程组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算负整数次幂，乘方，再计算乘法，最后计算加减； （2）利用加减消元法求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：由，得， 解得， 将代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为． 17. 如图，反比例函数的图象经过点，，直线与y轴交于点C． （1）求反比例函数的表达式，并直接写出m的值； （2）D为x轴正半轴上一点，连接，若四边形的面积为14，请直接写出点D的坐标． 【答案】（1）；m的值为6 （2）点D的坐标为 【解析】 【分析】（1）把代入可求出，把代入可求m的值； （2）运用待定系数法求出直线的解析式，求出点的坐标，连接，设点D的坐标为，根据列式求出的值即可． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数的表达式为； 将代入，得． 【小问2详解】 解：由（1）可知点B的坐标为， 设直线的函数表达式为， 代入，，得， 解得， ∴直线的函数表达式为， 令，得， ∴点C的坐标为， ， 如图，连接， 设点D的坐标为， ， ， 解得， ∴点D的坐标为． 解题技巧 平面直角坐标系中图形面积计算 （1）直接公式法（三角形一边在坐标轴上或平行于坐标轴） （2）转化法（三角形三边均不与坐标轴平行） ①分割法 ②补形法 18. 近年来，城市马拉松成为一道亮丽的风景线，越来越多的人走出家门，参与运动，用脚步丈量城市，以汗水诠释热爱，在沿途风景中感受城市的发展与活力．某市2025年城市马拉松报名期间，平均每天的报名人数是2024年平均每天报名人数的1.6倍，报名人数达到10万人所用的时间比2024年少6天，求2025年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数． 【答案】2025年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数为1万人 【解析】 【分析】设2024年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数为x万人，2025年为万人，根据所给数量关系列分式方程，解方程即可． 【详解】解：设2024年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数为x万人，则2025年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数为万人， 由题意得． 解得， 经检验，是原方程的解，且符合实际， ， 答：2025年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数为1万人． 19. 中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》中，对学生每天的作业时间提出明确要求：“初中书面作业平均完成时间不超过90分钟”，某校为了解九年级学生的作业完成情况，随机抽取了200名九年级学生开展问卷调查，并形成了如下调查报告（不完整）． XX中学九年级学生每天完成书面作业的情况调查报告 调查主题 XX中学九年级学生每天完成书面作业的情况 调查方式 抽样调查 调查对象 XX中学九年级学生 数据的收集、整理与描述 问题一：本周你平均每天完成书面作业所用时长大约为_____________分钟． 本周平均每天完成书面作业所用时长频数分布直方图 注：平均每天所用时长x（分钟）分为5组：①；②；③；④；⑤． 数据的收集、整理与描述 若你平均每天完成书面作业所用时长超过90分钟，请回答问题二． 问题二：你完成书面作业所用时间过长的原因是（ ）（单选） A．作业量太大 B．遇到疑难时未及时向他人请教 C．用电子设备查阅资料导致分心 D．其他 完成书面作业所用时间过长的原因扇形统计图 调查结论 … 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）本次调查中，平均每天完成书面作业所用时长的中位数落在第_____________（填序号）组，因“遇到疑难时未及时向他人请教”导致所用时长超过90分钟的学生有_____________人，扇形统计图中“A．作业量太大”所在扇形的圆心角度数为_____________°； （2）若该中学九年级共有1200人，估计本周平均每天完成书面作业所用时长超过90分钟的人数； （3）请根据以上调查报告，对该中学学生完成课后作业用时情况作出评价，并提出两条合理化建议． 【答案】（1）③，24，108 （2）估计本周平均每天完成书面作业所用时长超过90分钟的学生有360人 （3）评价：该校仍有部分九年级学生完成书面作业时间超过90分钟，未达到文件要求；①建议学校适当减少作业量；②建议学生做作业遇到疑难时，及时向他人请教，高效解决问题 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义求第一个空，根据条形统计图数据求第二个空，用360度乘以“A．作业量太大”所占百分数，可得第三个空； （2）利用样本估计总体思想求解； （3）合理即可，答案不唯一． 【小问1详解】 解：∵本次共抽取了200名九年级学生， ∴将这些学生所用时长按从小到大的顺序排列，其中第100和第101个数据的平均数即为中位数， ∵第100和第101个数据均在第③组， ∴中位数落在第③组； 由频数分布直方图可知，所用时长超过90分钟的学生有（人）， ∴因“遇到疑难时未及时向他人请教”导致所用时长超过90分钟的学生有（人）； 扇形统计图中“A．作业量太大”所在扇形的圆心角度数为． 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计本周平均每天完成书面作业所用时长超过90分钟的学生有360人； 【小问3详解】 解：评价：该校仍有部分九年级学生完成书面作业时间超过90分钟，未达到文件要求； 建议：①建议学校适当减少作业量；②建议学生做作业遇到疑难时，及时向他人请教，高效解决问题．（答案不唯一，合理即可） 20. 百团大战纪念馆位于山西阳泉狮脑山，是山西人民进行爱国主义传统教育和缅怀先烈的重要场所．某班组织学生参观并利用所学知识测量百团大战纪念碑主碑的高度． 数据收集：如图1，宣宣站在点C处，用测角仪测得纪念碑顶点A的仰角，向纪念碑的方向前进到达点F处，测得纪念碑顶点A的仰角，已知测角仪． 数据应用： （1）已知图2中各点均在同一竖直平面内，，均垂直于地面，请根据上述数据，计算纪念碑的高度（结果精确到．参考数据：，，，）； （2）宣宣回家后想按（1）中纪念碑的高度利用3D打印制作一个百团大战纪念碑主碑的模型，若他将纪念碑按等比例缩小，则他打印出的模型高度为 ． 【答案】（1）纪念碑的高度约为40米 （2）10 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质，三角函数，线段的比例．利用数形结合思想，根据三角函数定义设未知数列方程是解题关键． （1）延长交于点M，由四边形和四边形是矩形得到，，设，则，，利用列方程求解，得到，最后将和加起来即可． （2）由纪念碑按等比例缩小，利用求解即可． 【小问1详解】 解：如解图，延长交于点M，易得四边形和四边形均为矩形， ，， 设， 则，， 在中，， ，解得， ． 答：纪念碑的高度约为40米； 【小问2详解】 解：由（1）得纪念碑的高度约为40米， ∵纪念碑按等比例缩小， ∴他打印出的模型高度为． 21. 阅读与思考 下面是善思小组的研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 互补三角形 【概念理解】 如果两个三角形中，有两边分别相等，且两边的夹角互补，则称这两个三角形是互补三角形；反之，若两个三角形是互补三角形，那么这两个三角形有两边分别相等，且两边的夹角互补． 例如：如图①，在与中，若，，，则与是互补三角形． 【问题解决】 问题：如图②，在矩形中，，对角线与相交于点O，则与是不是互补三角形_____________（填“是”或“否”）． 【性质探索】互补三角形的性质：互补三角形的面积相等． 已知：如图③，已知与是互补三角形，，． 求证：与的面积相等． 证明：如图③，分别过点A，D作，，分别交的延长线，于点G，H， 则， 与是互补三角形，，， ， … 任务： （1）问题中的与是不是互补三角形 （填“是”或“否”）； （2）请将【性质探索】中的证明过程补充完整； （3）如图④，已知线段，交于点B，请在图④中作与，使得与是互补三角形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）是 （2） 证明：如图③，分别过点A，D作，，分别交的延长线，于点G，H， 则， 与是互补三角形，，， ， ， ， 在与中， ， ， ，即， 与的面积相等； （3） 如图，与即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据“互补三角形”的定义进行判断即可； （2）根据证明，得，根据三角形面积公式可得结论； （3）分别以点B，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，连接交于点D，连接，． 【小问1详解】 解：与是互补三角形： ∵四边形是矩形， ∴，且, ∴与是互补三角形;; 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 综合与实践 问题情境：科研人员为了研究某弹射器的性能，进行了如下的实验：在水平地面上放置一个弹射器（高度不计），通过弹射器竖直向上弹射一颗小球（忽略空气阻力），利用无人机测量小球竖直向上运动的相关数据． 数据整理：经过实验，科研人员得到小球距离水平地面的高度与运动时间的几组数据，如下表，并发现是的二次函数： 0 1 2 4 5 6 0 25 40 40 25 0 建立模型： （1）根据表中的数据在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，用平滑的曲线连接，并求出h关于t的函数关系式； （2）问题解决：小球在运动过程中，从一开始经过多长时间可以达到最大高度，最大高度是多少米？ （3）问题解决：若该弹射器先发射出一颗小球，后立即发射出第二颗小球，经过一段时间后，两颗小球可在空中完成碰撞，请直接写出此时第二颗小球的运动时间． 【答案】（1） 描点并用平滑的曲线连接，如图， （2）小球在运动过程中，从一开始经过可以达到最大高度，最大高度是 （3）此时第二颗小球的运动时间为 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据在坐标系中正确描点，用平滑的曲线连接可得抛物线的图象，再用待定系数法可求出抛物线的解析式； （2）求出抛物线的对称轴方程即可解决问题； （3）分别求出两颗小球运动高度关于运动时间t的函数关系式，根据“两个小球可在空中完成碰撞，即两颗小球的运动高度相同”列方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据表格数据，设h关于t的函数关系式为， 将代入，得， 解得， 关于t的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由表可知，当和时，h的值相同， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴小球在运动过程中，从一开始经过可以达到最大高度，最大高度是； 【小问3详解】 解：由题意知第一颗小球的运动高度h关于运动时间t的函数关系式为， 第二颗小球的运动高度关于运动时间t的函数关系式为， ∵两个小球可在空中完成碰撞，即两颗小球的运动高度相同， ∴令， 解得， ∴此时第二颗小球的运动时间为． 23. 综合与探究 问题情境：如图，在纸片中，，点E在边上，沿折叠，得到． （1）猜想证明：如图①，当时，交于点F，连接，．判断与的数量关系，并说明理由； （2）拓展延伸：如图②，连接交于点G． ①连接，当时，判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，若，，，当与的一边垂直时，请直接写出的值． 【答案】（1） ，理由如下： ∵四边形为平行四边形， ，，， ， ， 由折叠的性质得，，， ，，， ，E，三点共线， ， ， ， ∵在和中， ， ； （2） ①四边形是菱形，理由如下： ， ， 由折叠可得， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， 由折叠得， ∴四边形是菱形； ②或 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，，由折叠得到，，，因此，，，进而得到，从而证得，从而； （2）①先根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形是平行四边形，再由折叠得，即可得到菱形； ②分以下两种情况：（i）当时，（ii）当时，分别求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②∵四边形为平行四边形， ， ，， ， ， ， ， ． 分以下两种情况：（i）当时，如图， 设与交于点H，由折叠的性质得， ， ， ，， ， ， ， ， ， 与等高， ； （ii）当时，如图， ， ∴此时与部分重合， 过点作于点M， ，， ， ，， ，， 设，则，， ∵在中，， 即，解得， ， 同理可得， ． 综上所述，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $