江苏省南京市秦淮区钟英中学2025-2026学年中考数学第二次模拟练习试卷

**基本信息** 立足中考二模定位，以六代机速度、航天工程等真实情境为载体，通过梯度化题型考查数学抽象、推理及模型意识，适配中考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/12|算术平方根、科学记数法等|第2题结合科技前沿考查科学记数法| |填空题|10/20|二次根式、圆锥侧面积等|第16题圆中动态中点最值问题| |解答题|11/88|解不等式组、统计概率、函数综合等|23题无人机测峡谷宽度（数学眼光），25题圆切线证明（推理能力），27题动态几何综合（创新意识）|

江苏省南京市秦准区钟英中学2025-2026学年度中考数学 第二次模拟练习试卷 (总分：120分考试时间：120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在斌卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共6小题，共12分。在每小题給出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.9的算术平方根是() A.3 B.81 C.±3 D.±81 2.第六代战斗机是一种人工智能控制的吸气式高超音速战斗机，此类战机速度预计可以突破5马赫，飞行 一小时的距离约为22100000米，将数据22100000用科学记数法表示时，正确的是(). A.2.21×108 B.2.21×107 C.221×105 D.0.221×108 3.下列运算正确的是() A.(ab)2 =ab2 B.a3.a4=a12 C.a10÷a2=a5D.(a3)2=a6 4.如图，AC和DF是边长为2的正六边形ABCDEF的对角线，则四边形ACDF的面积是() A.2V3 B.4 C.4W3 D.8 5.如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E.若BE= 2,则AB的长为() A.5 B.4y2 C.6 D.4y3 第1页，共7页 6.二次函数y=ax2-4ax+2(a<0)的图象过点A(-1,y1),B(2,y2),C(6,y3).若y1y2y3<0,则a的取值 范围是() A-a<- B.-<a<-c-a<-号D.-a<-君 二、填空题：本题共10小题，共20分。 7.如果二次根式x一5有意义，则x的取值范围是一 8已如=子则2=— 9.若x=m是一元二次方程2x2-3x-1=0的一个根，则4m2-6m+2022= 10.己知圆锥的底面半径为2cm,母线长为6cm,则该圆锥的侧面积为cm2. 11.计算(W3+√2)(W12-√⑧)的结果是· 12.如果将抛物线y=x2-3向左平移2个单位，再向上平移4个单位，那么平移后的抛物线解析式是一· 13.如图，函数y=ax2+c与y=mx+n的图象交于A(-1,p),B(4,q)两点，则关于x的不等式ax2+mx+ c>n的解集是， B 0 A 14.如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相 交于点P,则tanLAPD的值是. B D 15.如图，坐标系中四边形ABCD是正方形，若点A坐标为(-1,0)，点B坐标为(2,4)，则点C坐标为一· yA B A 第2页，共7页 16.如图，在半径为4的⊙0中，弦AC=4v2,B是⊙0上的一动点（不与点A重合），D是AB的中点，M为 CD的中点，则AM的最大值为一· B D ·O M C 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题5分) 2(x-1)+1<x+2① 解不等式组： -1>-1② 18.(本小题5分) 尺规作图：如图，点P在直线外，过点P作与直线平行的直线 P, 19.(本小题8分) 结合如图所示的数轴，比较代数式m2+2mm+n2与m2-n2的大小. n 0 m 20.(本小题8分) 某市道路改造中，需要铺设一条长为1200米的管道，为了尽量减少施工对交通的影响，实际施工时，工作 效率比原计划提高了25%，结果提前8天完成任务，那么原计划每天铺设管道多少米？ 第3页，共7页 21.(本小题8分) 中国航天科技以自主创新为核心驱动力，成为推动国家科技进步与产业升级的重要引擎在航天科技主题班 会上，同学们提议从“嫦娥探月”“天问探火”“北斗组网”“神舟飞天”这四个航天工程中，随机选择 一个主题进行介绍.下面是班长制作正面印有不同航天主题的卡片，卡片除正面图案和文字外，其余完全相 同将这4张卡片背面向上，洗匀，放好. A.嫦娥探月 B.天问探火 C.北斗组网 D.神舟飞天 (1)小梦从这4张卡片中随机摸出一张，摸到“B.天问探火”的概率是 (2)若小航从这些卡片中随机摸出一张对卡片主题进行介绍，然后将卡片放回，洗匀，小天再从这些卡片 中随机摸出一张卡片对主题进行介绍，请利用画树状图或列表的方法求他们两人介绍的航天工程主题相同 的概率（卡片名称用A,B,C,D表示即可） 22.(本小题10分) 按照国家视力健康标准，学生视力状况分为A,B,C,D四个类别为了解某校学生视力状况，调查小组随 机抽取了该校部分学生进行调查，绘制成如下不完整的统计表和统计图. 抽取的学生视力状况统计表 类别 A D 视力 视力≥5.0 4.9 4.6≤视力≤4.8 视力≤4.5 健康状况 视力正常 轻度视力不良 中度视力不良 重度视力不良 人数 160 m 56 根据以上信息，回答下列问题： (1)m=----,n=_--: (2)抽样调查数据的中位数所在类别为类； (3)已知该校共有800名学生，请估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数：为更好保 护好视力，结合上述统计数据分析，给出一条合理化的建议. 抽取的学生视力状况扇形统计图 B 16% C A 40% D 第4页，共7页 23.(本小题8分) 小明同学和爸爸去六盘水市野钟大峡谷游玩，峡谷的险峻、雄奇引起了小明的好奇心，他们想用锐角三角 函数的相关知识测量峡谷的宽度具体操作如下：他们站在岸边的点A处将无人机铅直上升30到达点M 处，再往峡谷方向水平飞行至点B处，在点B处测得点A的俯角为60°，对面同一水平线上的点C处的俯角为 40°，据此计算峡谷的宽度.（题目中所涉及的点都在同一平面内：参考数据：sn40°≈0.64，cos40°≈ 0.77,tan40°≈0.84，V2≈1.41，√3≈1.73) 60 746 -. (1)求无人机所在的位置点B与出发点A的水平距离；（结果保留根号） (2)根据题目中测量的数据计算峡谷AC的宽度.（结果精确到1m) 24.(本小题8分) 如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，反比例函数y=兰k≠0)的图象与正比例函数y=一子x的图 象交于A,B两点，其中点A的坐标为(-3，m) (1)求k的值： (2)当笺>子x时，自变量x的取值范围为一： (3)将直线AB向上平移后，与反比例函数图象交于C,D两点，与两坐标轴分别相交于E,F两点.若 SABc=12,求直线CD的函数表达式. 第5页，共7页 25.(本小题8分) 如图，锐角△ABC内接于⊙O,AF平分LBAC,交BC于点D,交⊙O于点E,BE平分LCBF,连结BO并延 长交AD于点G (1)求证：BF是⊙O的切线： (2)若BG平分LABC,AG=3,GD=2,求BG的长. G B E 26.(本小题8分) 在平面直角坐标系x0y中，已知抛物线y=x2-2mx+n. (1)若n=m2-1,求证：抛物线与x轴一定有两个交点. (2)若n=m2+m,点P(x1,y1),Q(x2,y2)在抛物线上，其中m-2<x1<m+1,x2=1-2m. ①若y的最小值是-2，求函数的表达式： ②若对于x1,x2,都有y1<y2,求m的取值范围. 第6页，共7页 27.(本小题12分) 如图1，点O是以AB为直径的半圆的圆心，AD与BC均为该半圆的切线，C,D均为直径AB上方的动点，连 接CD,且始终满足CD=AD+BC, (1)求证：CD与该半圆相切： 2 (2②)当半径r=V2时，令AD=a,BC=b,m=2。+异n=。+中5比较m与n的大小，并说明理 2 b 由： (3)在(1)的条件下，如图2，当半径r=1时，若点E为CD与该半圆的切点，AC与BD交于点G,连接EG并延 4 1 长交AB于点F,连接AE,BE,令EG=x,AEBE+元+CD=y,求y关于x的函数解析式（不考虑自变量x 的取值范围)， D O F B 图1 图2 第7页，共7页 江苏省南京市秦淮区钟英中学2025-2026学年度中考数学 第二次模拟练习试卷 （总分：120分 考试时间：120分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共6小题，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.的算术平方根是(    ) A. B. C. D. 2.第六代战斗机是一种人工智能控制的吸气式高超音速战斗机，此类战机速度预计可以突破马赫，飞行一小时的距离约为米，将数据用科学记数法表示时，正确的是    ． A. B. C. D. 3.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 4.如图，和是边长为的正六边形的对角线，则四边形的面积是(    ) A. B. C. D. 5.如图，是等边的外接圆，是的直径，过点作的切线交的延长线于点若，则的长为(    ) A. B. C. D. 6.二次函数的图象过点，，若，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，共20分。 7.如果二次根式有意义，则的取值范围是          ． 8.已知，则           9.若是一元二次方程的一个根，则           ． 10.已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为          ． 11.计算的结果是        ． 12.如果将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，那么平移后的抛物线解析式是        ． 13.如图，函数与的图象交于，两点，则关于的不等式的解集是        ． 14.如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，、相交于点，则的值是          ． 15.如图，坐标系中四边形是正方形，若点坐标为，点坐标为，则点坐标为        ． 16.如图，在半径为的中，弦，是上的一动点不与点重合，是的中点，为的中点，则的最大值为          ． 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17. 本小题分 解不等式组：． 18.本小题分 尺规作图：如图，点在直线外，过点作与直线平行的直线． 19.本小题分 结合如图所示的数轴，比较代数式与的大小． 20.本小题分 某市道路改造中，需要铺设一条长为米的管道，为了尽量减少施工对交通的影响，实际施工时，工作效率比原计划提高了，结果提前天完成任务，那么原计划每天铺设管道多少米？ 21.本小题分 中国航天科技以自主创新为核心驱动力，成为推动国家科技进步与产业升级的重要引擎在航天科技主题班会上，同学们提议从“嫦娥探月”“天问探火”“北斗组网”“神舟飞天”这四个航天工程中，随机选择一个主题进行介绍下面是班长制作正面印有不同航天主题的卡片，卡片除正面图案和文字外，其余完全相同将这张卡片背面向上，洗匀，放好． A.嫦娥探月 B.天问探火 C.北斗组网 D.神舟飞天 小梦从这张卡片中随机摸出一张，摸到“天问探火”的概率是______； 若小航从这些卡片中随机摸出一张对卡片主题进行介绍，然后将卡片放回，洗匀，小天再从这些卡片中随机摸出一张卡片对主题进行介绍，请利用画树状图或列表的方法求他们两人介绍的航天工程主题相同的概率卡片名称用，，，表示即可． 22.本小题分 按照国家视力健康标准，学生视力状况分为，，，四个类别为了解某校学生视力状况，调查小组随机抽取了该校部分学生进行调查，绘制成如下不完整的统计表和统计图． 抽取的学生视力状况统计表 类别 视力 视力 视力 视力 健康状况 视力正常 轻度视力不良 中度视力不良 重度视力不良 人数 根据以上信息，回答下列问题： ______，______； 抽样调查数据的中位数所在类别为______类； 已知该校共有名学生，请估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数；为更好保护好视力，结合上述统计数据分析，给出一条合理化的建议． 23.本小题分 小明同学和爸爸去六盘水市野钟大峡谷游玩，峡谷的险峻、雄奇引起了小明的好奇心，他们想用锐角三角函数的相关知识测量峡谷的宽度具体操作如下：他们站在岸边的点处将无人机铅直上升到达点处，再往峡谷方向水平飞行至点处，在点处测得点的俯角为，对面同一水平线上的点处的俯角为，据此计算峡谷的宽度题目中所涉及的点都在同一平面内；参考数据：，，，， 求无人机所在的位置点与出发点的水平距离；结果保留根号 根据题目中测量的数据计算峡谷的宽度结果精确到 24.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于两点，其中点的坐标为． 求的值； 当时，自变量的取值范围为          ； 将直线向上平移后，与反比例函数图象交于，两点，与两坐标轴分别相交于，两点．若，求直线的函数表达式． 25.本小题分 如图，锐角内接于，平分，交于点，交于点，平分，连结并延长交于点． 求证：是的切线； 若平分，，，求的长． 26.本小题分 在平面直角坐标系中，已知抛物线． 若，求证：抛物线与轴一定有两个交点． 若，点，在抛物线上，其中，． 若的最小值是，求函数的表达式； 若对于，，都有，求的取值范围． 27.本小题分 如图，点是以为直径的半圆的圆心，与均为该半圆的切线，，均为直径上方的动点，连接，且始终满足． 求证：与该半圆相切； 当半径时，令，，，，比较与的大小，并说明理由； 在的条件下，如图，当半径时，若点为与该半圆的切点，与交于点，连接并延长交于点，连接，，令，，求关于的函数解析式不考虑自变量的取值范围． 第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $ 答案与解析 1.【答案】  【解析】解：， 的算术平方根为． 故选：． 如果一个非负数的平方等于，那么是的算术平方根，根据此定义即可求出结果． 此题主要考查了算术平方根，其中算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误． 2.【答案】  【解析】本题考查科学记数法的表示方法．需根据科学记数法的形式其中，为整数确定和的值即可求解． 【详解】解：科学记数法的表示形式为，其中，为整数， 将转换为时，，小数点向左移动了位， ， ． 故选：． 3.【答案】  【解析】解：根据积的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方逐项分析判断如下： ，故A选项错误，不符合题意； ，故B选项错误，不符合题意； ，故C选项错误，不符合题意； ，故D选项正确，符合题意； 故选：． 根据积的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方的运算法则逐一判断选项的正误即可． 本题考查了积的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方．熟练掌握以上知识点是关键． 4.【答案】  【解析】解：连接    六边形是正六边形，  ，，  ，  ，  同法可证，  四边形是矩形，  ，，  ，    矩形的面积  故选：． 连接，证明四边形是矩形，求出可得结论． 本题考查正多边形与圆，矩形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 5.【答案】  【解析】解：连接， 是等边三角形， ， 是的直径，与相切于点，交的延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 连接，因为是等边三角形，所以，因为是的直径，与相切于点，所以，则，求得，则，所以，求得，于是得到问题的答案． 此题重点考查等边三角形的性质、圆周角定理、切线的性质、直角三角形的两个锐角互余、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 6.【答案】  【解析】解：由二次函数可知对称轴为直线，  故点为顶点坐标．  二次函数的图象还过，两点，  ，，  ，    恒为正，且，  必为负，必为正，  故有，解得：，  故选：． 先判断出对称轴为直线，故点为顶点坐标．把其余两点代入函数解析中可得，，进而可判断出因为恒为正，且，故必为负，必为正，由此可列不等式组，解不等式组即可解决问题． 本题考查了二次函数的图象和性质，函数值大小的比较，准确判断出和和的正负情况是解题关键． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 根据二次根式的意义，被开方数是非负数列出方程，解方程即可． 【解答】 解：根据题意得：， 解得． 故答案为． 8.【答案】    【解析】依据比例的性质，即可得到，再代入分式计算化简即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 9.【答案】  【解析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 先根据一元二次方程解的定义得到，进而得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， ， ． 故答案为：． 10.【答案】  【解析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：圆锥的侧面积为； 故答案为：． 11.【答案】  【解析】解： ． 故答案为：． 先利用乘法法则，再化简二次根式，最后加减． 本题考查了二次根式，掌握二次根式的乘法法则是解决本题的关键． 12.【答案】  【解析】解：依题意，得， 故答案为：． 根据平移规律“左加右减，上加下减”写出抛物线的解析式即可． 本题主要考查的了二次函数图象与几何变换，利用顶点坐标的平移确定函数图象的平移可以使求解更简便，平移规律“左加右减，上加下减”． 13.【答案】或  【解析】解：如图， 由得， ， 即抛物线对应比直线高的自变量的取值， 从图象可得：或， 故答案为：或． 由得，即抛物线对应比直线高的自变量的取值，进而得出结果． 本题考查了函数图象与不等式之间的关系，一次函数的图象之间的关系等知识，解决问题的关键是数形结合． 14.【答案】  【解析】解：如图，连接， 四边形是正方形， ，，，， ， 根据题意得：， ∽， ：：：， ：：， ， 在中，， ， ． 故答案为：． 首先连接，由题意易得，∽，然后由相似三角形的对应边成比例，易得：：，即可得，在中，即可求得的值，继而求得答案． 此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用． 15.【答案】  【解析】解：过点作轴，垂足为，过点作，垂足为，   ， ， 四边形是正方形， ，，，， ，， ， 在与中， ， ≌， ，， ，， 点， 故答案为：． 过点作轴，垂足为，过点作，证明≌，得到，，计算的长即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，坐标与图形，关键是根据证明≌解答． 16.【答案】  【解析】连接，，取的中点，连接，根据三角形中位线的性质得到，得到点在以为圆心，以为半径的圆上运动，连接，取的中点，连接，，同理得到点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，进而得到当点，，三点共线时，取得最大值，即的长度，取线段的中点，连接，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，连接，，取的中点，连接 是的中点，是的中点， 是的中位线， ， 点在以为圆心，以为半径的圆上运动， 连接，取的中点，连接， 为的中点，是的中点， 点在以点为圆心，以为半径的圆上运动， 如图所示，当点，，三点共线时，取得最大值，即的长度，取线段的中点，连接， 的半径为 ， 点是的中点，点是的中点， ，且， 在中，． 的最大值为． 故答案为：． 17.【答案】解：由得：，  由得：，  则不等式组的解集为．  【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 18.【答案】如图，直线即为所求．   【解析】解：如图，直线即为所求． 利用同位角相等，两直线平行作出图形即可． 本题考查作图复杂作图，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握五种基本作图． 19.【答案】．  【解析】解： ， 因为，，， ， 所以， 即， 所以． 作差：计算，化简得数轴分析：由数轴知，且，故判断差的正负：，因此． 本题考查了整式的加减、数轴，解决本题的关键是运用作差法解决问题． 20.【答案】原计划每天铺设管道米．  【解析】解：设原计划每天铺设管道米，则实际每天铺设管道米， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：原计划每天铺设管道米． 设原计划每天铺设管道米，则实际每天铺设管道米，根据实际施工时，工作效率比原计划提高了，结果提前天完成任务，列出分式方程，解方程即可． 本题主要考查分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 21.【答案】   【解析】解：由题意知，共有种等可能的结果，其中摸到“天问探火”的结果有种， 摸到“天问探火”的概率为． 故答案为：． 列表如下： 共有种等可能的结果，其中他们两人介绍的航天工程主题相同的结果有种， 他们两人介绍的航天工程主题相同的概率为． 由题意知，共有种等可能的结果，其中摸到“天问探火”的结果有种，利用概率公式可得答案． 列表可得出所有等可能的结果数以及他们两人介绍的航天工程主题相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 22.【答案】    估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数为人，建议：大力宣传保护视力的重要性，并加大学生的自我意识，在用眼过度时要注意休息和做做眼保健操  【解析】解：样本容量为：， 故，， 故答案为：，； 由扇形统计图可知：、两个类别的总和为，所以中位数所在的类别是类； 故答案为：； 人， 答：估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数为人，建议：大力宣传保护视力的重要性，并加大学生的自我意识，在用眼过度时要注意休息和做做眼保健操． 用的人数除以所占百分比可得样本容量，再用样本容量乘所占百分比可得的值，然后用样本容量分别减去、、的频数可得的值； 根据中位数的定义解答即可； 用成样本中“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生所占百分比即可；只要关于保护视力的建议都可以． 本题主要考查中位数、用样本估计总体，扇形统计图及调查统计，解题的关键是理解题意． 23.【答案】  峡谷的宽度约为  【解析】解：，  ，  无人机所在的位置点与出发点的水平距离；  连接，过点作于点，  是水平线，  ，  ，  四边形是矩形，  ，，，  ，  ，  ，  ，  ，  峡谷的宽度约为  在中，根据求解即可；  连接，过点作于点，先证明四边形是矩形，得到，，然后在中，根据可求出的长，即可求得答案． 本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是关键． 24.【答案】【小题】 解：把代入得，， ， 点在反比例函数的图象上， ； 【小题】 或 【小题】 解：如图，连接，， 由可知，点，点关于原点对称， ， ， ， ，即， ， ， 直线是由直线向上平移个单位得到的， 直线的表达式为．   【解析】  本题是反比例函数与一次函数的综合题，考查了反比例函数的图象和性质，函数和不等式的关系，函数和三角形面积计算相结合等知识点． 把点的横坐标代入正比例函数的表达式得到的值，进而将点的坐标代入反比例函数，得到的值．  根据函数图象以及点的坐标，通过比较对应函数值的大小，即可得到对应的取值范围． 解：由可知，反比例函数表达式为， 正比例函数与反比例函数的交于点，点， 点关于原点对称， 点， 根据函数图象可知，当反比例函数在正比例函数的上方时，， 当时，的取值范围为：或；  连接，，根据点关于原点对称，得到，进而得到，通过计算面积的面积得到的值，进而得到直线的表达式． 25.【答案】如图，平分，连接， ， 设， ， ， ， ， 半径， 是的切线   【解析】证明：如图，平分，则，连接， 设， ， ， ， ， 半径， 是的切线； 解：平分， ， 设， ， ，， ， ， ，， 设，则， ， ，， ∽， ， ， ， 解得：， 如图，过点作于点， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ∽， ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：． 连接，根据角平分线定义和圆周角定理，设，证明，进而可以解决问题； 设，证明，得，设，证明∽，对应边成比例求出，过点作于点，再证明∽，求出，根据勾股定理即可求出． 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，切线的判定与性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 26.【答案】， ， 令，， ， 抛物线与轴一定有两个交点  ；或  【解析】证明：， ， 令，， ， 抛物线与轴一定有两个交点． 解：若，则， 对称轴为直线， ，的最小值是， 当时，， 函数的表达式为． 对于，，都有， 又图象开口向上，关于对称轴的对称点为， 或， 或． 求得，即可得到结论； 求得抛物线的对称轴为直线，结合，的最小值是可知当时，，据此即可求得函数的表达式为； 由题意可知或，解得即可． 本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键． 27.【答案】解：证明：如图，连接，，并延长交的延长线于点，作， 与均为该半圆的切线， ，， ， ， ， 在与 中， ， ≌， ， ， ， ， ，即平分， 又，， ， 与该半圆相切； ，理由如下： 如图，过点作，交于点， 在中，由勾股定理可得， ，，， ， ， 代入可得； ，，均为该半圆的切线， ，， ，， ， ∽， ， ， ， ∽， ． ，， ， ， ， 同理可得， ， 由可知， ， 又在 中， ， ， ， ．  【解析】如图，连接，并延长交的延长线于点，过点作于点，根据与均为该半圆的切线，得出，，则，可得证明≌，得出，根据，得出，则，可得，即平分又，，得出，即可证明与该半圆相切； 如图，过点作，交于点，在中，由勾股定理可得，根据，，，列等式得出，代入可得； 如图，根据，，均为该半圆的切线，则，，证明∽，得出，从而得出，证明∽，得出，得出，，得出，则，即可得，同理可得，得出，由可知，得出，又在中，，得出，即可得，从而得出． 该题考查了圆综合题，熟练掌握相应的知识是解题的关键． 第20页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 $