精品解析：广东中山市第一中学2025-2026学年高一下学期数学一段考试题

2025-2026学年广东中山第一中学高一下数学一段考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，，若，则（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 2. 的三边分别为1，2，，则这个三角形的最大内角为（ ） A. B. C. D. 3. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，点为的边的中点，为线段上靠近点B的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮自点A开始1min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有（ ） A. ω＝，A＝3 B. ω＝，A＝3 C. ω＝，A＝5 D. ω＝，A＝5 6. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ） A. 向左平行移动个单位长度 B. 向左平行移动个单位长度 C. 向右平行移动个单位长度 D. 向右平行移动个单位长度 7. 若非零向量，满足，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 在△中，内角的对边分别为，已知向量共线，则△的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 有一个内角是的直角三角形 D. 等腰直角三角形 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知中，，.则（ ） A. 若，则有两解 B. 若是钝角三角形，则 C. 若是锐角三角形，则 D. 的最大值是 11. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，则，且、、、四点一定构成平行四边形 B. 若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为 C. 对任意向量，，，都有 D. 是所在平面内一点，若，则的面积是的面积的2倍 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的部分图像如图所示，则________. 13. 河北省邢台市又称卧牛城，其卧牛雕像现坐落于达活泉公园．如图，为了测量卧牛雕像的高度，选取了与该雕像底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，在点C处测得点A的仰角为，，，，则卧牛雕像的高度______m．（参考数据：取，） 14. 设、分别是的边，上的点，，. 若（为实数），则的值是____ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量是同一平面内的三个向量，其中． （1）若，且，求向量的坐标; （2）若，且，求与的夹角θ． 16. （1）已知都是锐角，，，求的值； （2）已知，，求的值． 17. 已知向量，函数. （1）求函数的最小正周期及函数图象的对称轴； （2）当，且时，求的值. 18. 在中，内角A、、的对边分别为、、，（是的外接圆半径）. （1）求； （2）若，的面积为，求的周长. 19. 如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与线段分别交于点． （1）若，请用向量来表示向量； （2）若，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年广东中山第一中学高一下数学一段考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，，若，则（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】代入向量共线的坐标表示，即可求解． 【详解】，，， 则，， ， 则，解得． 故选：D 2. 的三边分别为1，2，，则这个三角形的最大内角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知三角形的最大内角为所对的角，利用余弦定理运算求解即可. 【详解】可知三角形的最大内角为所对的角，不妨设为角A， 则， 且，可得， 所以这个三角形的最大内角为. 故选：B. 3. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由同角三角函数关系中的平方关系、商数关系结合已知可得，进一步由余弦的二倍角公式即可运算求解. 【详解】因为，所以， 所以，即，解得或（舍去）， 所以． 故选：D． 4. 如图所示，点为的边的中点，为线段上靠近点B的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算结合图像将用、表示，即可得出答案. 【详解】解： . 故选：C. 5. 如图，为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮自点A开始1min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有（ ） A. ω＝，A＝3 B. ω＝，A＝3 C. ω＝，A＝5 D. ω＝，A＝5 【答案】A 【解析】 【分析】根据最大值及半径求出A，根据周期求出ω. 【详解】由题目可知最大值为5，∴ 5＝A×1＋2⇒A＝3． ，则．故选:A 6. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ） A. 向左平行移动个单位长度 B. 向左平行移动个单位长度 C. 向右平行移动个单位长度 D. 向右平行移动个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】由函数图象平移的性质可得. 【详解】， 所以为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度. 故选：A. 7. 若非零向量，满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂直关系可得数量积为零，由此构造方程可求得，进而得到结果. 【详解】，， 即，又， . 故选：D. 8. 在△中，内角的对边分别为，已知向量共线，则△的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 有一个内角是的直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】由向量，共线可得，利用正弦定理结合倍角公式分析可得，同理可得，即可判断结果. 【详解】因为向量，共线， 则，由正弦定理可得：， 则， 因为，则，可知，，，均不为， 可得，则，即； 同理由向量，共线可得：； 综上所述：. 所以的形状为等边三角形. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用二倍角公式和两角和差公式求解即可. 【详解】，A正确； ，B正确； ，C错误； ，D正确； 故选：ABD 10. 已知中，，.则（ ） A. 若，则有两解 B. 若是钝角三角形，则 C. 若是锐角三角形，则 D. 的最大值是 【答案】CD 【解析】 【分析】先由正弦定理解三角形判断A，根据钝角三角形边长关系计算判断B，应用正弦定理结合角的范围计算值域即可判断C，D. 【详解】因为中，，，， 由正弦定理得，，即， 故，所以，故有一解，故选项A错误； 因为，又因为为钝角三角形， 当为钝角时，，即，故B错误； C选项，因为为锐角三角形，所以， 所以，， 又因为即，，故C正确； 因为，当时，的最大值是，故D正确. 故选：CD. 11. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，则，且、、、四点一定构成平行四边形 B. 若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为 C. 对任意向量，，，都有 D. 是所在平面内一点，若，则的面积是的面积的2倍 【答案】BD 【解析】 【分析】根据四点共线即可判断A，根据投影向量的公式即可求解B，根据共线即可求解C，根据相似比，即可求解D. 【详解】对于A, 若，则,则、、、四点可能在一条直线上，故A错误， 对于B，向量在向量上的投影向量为，故B正确， 对于C , 表示与共线的向量，表示与共线的向量，由于，不一定共线，所以与不一定相等，故C错误， 对于D,取,故,因此,故，D正确， 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的部分图像如图所示，则________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据图象得到和，进而求出，代入特殊点坐标求出，得到答案. 【详解】由图象可得，，解得， 因为，所以，解得， 将代入解析式得，，故，， 因为，解得， 故. 故答案为： 13. 河北省邢台市又称卧牛城，其卧牛雕像现坐落于达活泉公园．如图，为了测量卧牛雕像的高度，选取了与该雕像底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，在点C处测得点A的仰角为，，，，则卧牛雕像的高度______m．（参考数据：取，） 【答案】5 【解析】 【分析】在中，利用余弦定理解得，进而在中运算求解即可. 【详解】在中，因为， 由余弦定理可得， 即， 在中，可得， 所以卧牛雕像的高度m. 故答案为：5. 14. 设、分别是的边，上的点，，. 若（为实数），则的值是____ 【答案】 【解析】 【详解】依题意，， ∴，∴，，故. 【考点定位】平面向量的加法、减法法则.分析、计算能力.中等题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量是同一平面内的三个向量，其中． （1）若，且，求向量的坐标; （2）若，且，求与的夹角θ． 【答案】（1）或； （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据向量平行关系和模长公式得到方程组，求出或； （2）根据向量垂直关系得到方程，求出，进而利用夹角余弦公式得到夹角. 【小问1详解】 设，根据，可得， 又，解得或， 当时，，当时，， 故或； 【小问2详解】 ， ，故，即， 故， ，故， 故与的夹角. 16. （1）已知都是锐角，，，求的值； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系，二倍角的正切公式，两角和的正切公式求解即可； （2）将两边同时平方，再相加即可得解； 【详解】（1）因为是锐角，，所以， 所以，则， 所以. （2）因为，， 所以，， 上述两式相加得， 即，解得. 17. 已知向量，函数. （1）求函数的最小正周期及函数图象的对称轴； （2）当，且时，求的值. 【答案】（1）最小正周期为，对称轴为 （2） 【解析】 【分析】（1）先求函数的解析式，利用性质可得答案； （2）根据条件求出，，结合角之间的关系可求答案. 【小问1详解】 因为， 所以 ，所以. 最小正周期为，令,得， 即图象的对称轴为. 【小问2详解】 由得， 因为，所以，所以； . 18. 在中，内角A、、的对边分别为、、，（是的外接圆半径）. （1）求； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）运用正弦定理直接进行求解即可； （2）根据三角形面积公式、余弦定理，结合（1）的结论分类讨论进行求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理可知，而， 所以， 又因为，于是或； 【小问2详解】 当时，因为的面积为， 所以， 又因为， 所以 ， 所以的周长为， 当时，因为的面积为， 所以， 又因为， 所以 ， 又因为， 所以此时不构成三角形， 综上所述：的周长为. 19. 如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与线段分别交于点． （1）若，请用向量来表示向量； （2）若，求的最小值． 【答案】（1）; （2） 【解析】 【分析】（1）根据图形，利用向量的加减数乘运算即可得到向量关于的表达式； （2）由推得，结合题设条件和基本不等式即可求得答案. 【小问1详解】 由图和题设条件可得： ； . 【小问2详解】 由图和可得：，即（*）， 因， 当时，点与点重合，显然不合题意，同理时，也不合题意.则， 由（*）可得：，即， 因三点共线，故， 又因， 当且仅当时，即时，等号成立， 即时，的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $