19.3.2.1菱形的性质-课件--2025--2026学年沪科版数学八年级下册

沪科版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月4日 19.3.2.1菱形的性质 第19章 四边形 沪科版数学八下19.3.2.1 菱形的性质 本套内容围绕沪科版八年级下册19.3.2.1“菱形的性质”核心知识点设计，衔接上一课时矩形的判定及平行四边形的边、角、对角线性质，重点讲解菱形的定义、菱形与平行四边形的关系、菱形的特有性质（边、对角线）及推导，以及菱形性质在几何证明、线段长度计算、角度计算中的应用，兼顾知识点梳理、例题解析、分层练习题和易错辨析，帮助同学们熟练掌握菱形的本质特征，能灵活运用菱形性质解决相关几何问题，规范推理步骤，培养几何推理和综合应用能力，贴合课堂教学重点，适配课后巩固练习。 一、核心知识点梳理 （1）复习回顾（衔接前期知识） 前期我们学习了平行四边形的性质和判定、矩形的性质和判定，为菱形性质的学习奠定基础，重点关注平行四边形与特殊平行四边形的关联： - 平行四边形的性质：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分； - 矩形的性质：继承平行四边形所有性质，特有性质为四个角都是直角、对角线相等； - 关键衔接：菱形和矩形一样，都是特殊的平行四边形，因此菱形具有平行四边形的所有性质，同时拥有自身特有的性质（区别于矩形和普通平行四边形）。 （2）菱形的定义 1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形，叫做菱形； 2. 关键说明： - ① 前提：菱形是“平行四边形”，因此必须满足平行四边形的所有条件（对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分）； - ② 特有条件：“有一组邻边相等”，只要平行四边形中有一组邻边相等，其余三组邻边必然都相等（结合平行四边形对边相等的性质）； - ③ 几何表示（以菱形ABCD为例）：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AB=AD（或任意一组邻边相等），∴ 四边形ABCD是菱形。 （3）菱形的性质（重点：平行四边形性质+特有性质） 菱形既是平行四边形，又是特殊的平行四边形，因此性质分为两类，重点掌握特有性质，区分于矩形和普通平行四边形： ① 菱形的共性（继承平行四边形的所有性质） - 对边平行且相等：AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC； - 对角相等：∠A=∠C，∠B=∠D； - 对角线互相平分：对角线AC、BD交于点O，∴ AO=OC，BO=OD。 ② 菱形的特有性质（重点，核心考点） - 性质1（边）：菱形的四条边都相等； - 几何语言：∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB=BC=CD=DA； - 性质2（对角线）：菱形的对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角； - 几何语言：∵ 四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O，∴ AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC； - 延伸结论：菱形的对角线互相垂直平分，因此对角线将菱形分成4个全等的直角三角形，可利用勾股定理求菱形的边长、对角线长度。 （4）菱形特有性质的推导 1. 性质1（四条边都相等）推导： ∵ 四边形ABCD是菱形，∴ 四边形ABCD是平行四边形，且AB=AD（菱形定义）； 由平行四边形对边相等，得AB=CD，AD=BC； ∴ AB=BC=CD=DA（等量代换）； ∴ 菱形的四条边都相等。 2. 性质2（对角线互相垂直，平分一组对角）推导： ∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB=AD，AO=OC（平行四边形对角线互相平分）； 在△AOB和△AOD中，AB=AD，AO=AO（公共边），BO=DO（平行四边形对角线互相平分）； ∴ △AOB≌△AOD（SSS）； ∴ ∠AOB=∠AOD（全等三角形对应角相等），∠BAO=∠DAO（全等三角形对应角相等）； ∵ ∠AOB+∠AOD=180°（邻补角互补），∴ ∠AOB=∠AOD=90°，即AC⊥BD； 同理可证：AC平分∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC； ∴ 菱形的对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角。 （5）菱形性质的应用场景 - 1. 线段长度计算：利用“四条边相等”“对角线互相垂直平分”，结合勾股定理求菱形的边长、对角线长度； - 2. 角度计算：利用“对角线平分一组对角”“对角相等”，求菱形中相关角的度数； - 3. 几何证明：证明线段相等、线段垂直、角相等（结合菱形性质和平行四边形性质）； - 4. 面积计算：菱形面积=底×高，或菱形面积=½×两条对角线的乘积（核心推导：对角线分成4个全等直角三角形，总面积=4×½×AO×BO=½×(2AO)×(2BO)=½×AC×BD）。 （6）易错辨析（重点区分，规避误区） - 误区1：混淆“菱形”与“平行四边形”“矩形”——菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，但平行四边形不一定是菱形（需满足“一组邻边相等”）；菱形与矩形的区别：菱形侧重“边相等”，矩形侧重“角是直角”； - 误区2：误用菱形特有性质——未确认四边形是菱形，就直接套用“四条边相等”“对角线互相垂直”的性质； - 误区3：忽略菱形对角线的“平分一组对角”——菱形的对角线不仅互相垂直平分，还能平分对角，计算角度时容易遗漏这一条件； - 误区4：面积计算错误——忘记菱形面积的两种计算方法，尤其是“½×对角线乘积”，或混淆对角线的长度（需用两条对角线的完整长度相乘）。 二、重点例题解析（分题型） 题型1：菱形定义与边的性质应用（求边长） 例题1：在菱形ABCD中，已知其中一条边长为6cm，求菱形的四条边长；若AB=5cm，周长为多少？ 解析：∵ 四边形ABCD是菱形，∴ 菱形的四条边都相等（菱形特有性质）； （1）若一条边长为6cm，则AB=BC=CD=DA=6cm； （2）若AB=5cm，则周长=4×AB=4×5=20cm。 题型2：菱形对角线性质的应用（求线段长度+角度） 例题2：在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC=8cm，BD=6cm，求菱形的边长及∠BAD的度数。 解析：（1）∵ 四边形ABCD是菱形，∴ 对角线AC⊥BD，AO=½AC，BO=½BD（菱形对角线互相垂直平分）； ∴ AO=4cm，BO=3cm； 在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=√(AO²+BO²)=√(4²+3²)=5cm； ∴ 菱形的边长为5cm； （2）∵ 菱形的对角线平分一组对角，∴ AC平分∠BAD； 在Rt△AOB中，AO=4cm，AB=5cm，∴ ∠BAO=37°（特殊角三角函数，或通过边长关系判断）； ∴ ∠BAD=2×∠BAO=74°。 题型3：菱形性质与面积计算 例题3：在菱形ABCD中，边长为10cm，一条对角线AC=16cm，求菱形的面积及另一条对角线BD的长度。 解析：（1）∵ 四边形ABCD是菱形，∴ 对角线AC⊥BD，AO=½AC=8cm； 在Rt△AOB中，AB=10cm，AO=8cm，由勾股定理得：BO=√(AB²-AO²)=√(10²-8²)=6cm； ∴ BD=2×BO=12cm； （2）菱形面积=½×AC×BD=½×16×12=96cm²（或用底×高计算，此处优先用对角线乘积法）。 题型4：菱形性质的综合证明 例题4：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，求证：AC平分∠BCD，BD平分∠ABC。 解析：∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB=BC=CD=DA，BO=DO，AO=OC（菱形的性质）； 在△BOC和△DOC中，BC=CD，BO=DO，OC=OC（公共边）； ∴ △BOC≌△DOC（SSS）； ∴ ∠BCO=∠DCO（全等三角形对应角相等），即AC平分∠BCD； 同理，在△AOB和△COB中，AB=BC，AO=OC，BO=BO（公共边）； ∴ △AOB≌△COB（SSS）； ∴ ∠ABO=∠CBO（全等三角形对应角相等），即BD平分∠ABC。 三、分层练习题 （一）基础题（每题4分，共20分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形都是菱形 B. 有一组邻边相等的四边形是菱形 C. 菱形是特殊的平行四边形 D. 菱形的对角线相等 2. 在菱形ABCD中，AB=4cm，则下列说法正确的是（ ） A. AB=BC=5cm B. BC=CD=4cm C. AD=5cm D. 对角线AC=4cm 3. 菱形的四条边都______，菱形的对角线互相______，且每条对角线平分一组对角。 4. 在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC=6cm，BD=8cm，则菱形的边长为______cm。 5. 已知菱形的周长为20cm，则它的每条边长为______cm。 （二）提升题（每题6分，共30分） 1. 在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠AOB=90°，AO=3cm，BO=4cm，求菱形的边长和周长。 2. 已知菱形的边长为13cm，一条对角线长为24cm，求另一条对角线的长度及菱形的面积。 3. 求证：菱形的四条边都相等（结合平行四边形性质推导）。 4. 在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=6cm，求对角线AC和BD的长度。 5. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，求证：OE=OF。 （三）拓展题（每题10分，共20分） 1. 如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，连接CE、CF，求证：CE=CF。 2. 已知菱形ABCD的面积为96cm²，一条对角线长为16cm，求菱形的边长及周长。 四、易错点提醒 1. 定义混淆：误认为“有一组邻边相等的四边形是菱形”，忽略“平行四边形”这一前提（普通四边形有一组邻边相等，不一定是菱形）。 2. 性质误用：未确认四边形是菱形，就直接使用“四条边相等”“对角线互相垂直”的性质，推理不严谨。 3. 计算错误：求菱形边长时，忘记结合勾股定理；计算面积时，遗漏“½×对角线乘积”中的“½”，或混淆两条对角线的长度。 4. 综合应用薄弱：不会结合菱形性质与平行四边形、直角三角形、全等三角形等知识解决复杂问题，不会利用对角线分成的直角三角形解题。 5. 几何语言书写错误：书写菱形性质的几何语言时，遗漏“四边形是菱形”这一前提条件，或遗漏对角线“平分一组对角”的条件。 五、参考答案与解析 （一）基础题：1.C 2.B 3.相等，垂直 4.5 5.5 （二）提升题： 98. ∵ 菱形对角线互相垂直平分，∴ △AOB是直角三角形，边长AB=√(AO²+BO²)=√(3²+4²)=5cm；周长=4×5=20cm； 99. 设另一条对角线为BD，AO=½×24=12cm，在Rt△AOB中，BO=√(13²-12²)=5cm，∴ BD=10cm；面积=½×24×10=120cm²； 100. 证明：∵ 四边形ABCD是菱形，∴ 四边形ABCD是平行四边形，且AB=AD，由平行四边形对边相等，得AB=CD，AD=BC，∴ AB=BC=CD=DA； 101. ∵ ∠BAD=60°，AB=AD，∴ △ABD是等边三角形，∴ BD=AB=6cm；AO=½AC，BO=3cm，在Rt△AOB中，AO=√(6²-3²)=3√3 cm，∴ AC=6√3 cm； 102. 证明：∵ 菱形ABCD中，AC平分∠ABC，OE⊥AB，OF⊥BC，角平分线上的点到角两边的距离相等，∴ OE=OF。 （三）拓展题： 105. 证明：∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB=AD=BC=CD，∠B=∠D，∵ E、F是AB、AD中点，∴ BE=½AB，DF=½AD，∴ BE=DF，△BCE≌△DCF（SAS），∴ CE=CF； 106. 设另一条对角线为BD，由面积公式得：½×16×BD=96，解得BD=12cm；AO=8cm，BO=6cm，边长=√(8²+6²)=10cm；周长=4×10=40cm。 学习目标 1.理解菱形的概念，理解菱形与平行四边形之间的关系； 2.会利用菱形的性质解决相关计算问题，会求菱形的面积； 我们已经学习了特殊的平行四边形——矩形，它是从哪个角度特殊化来进行研究的？ 角的特殊化 特殊化　 新课导入 　 平行四边形的角特殊化得到特殊的平行四边形——矩形；平行四边形的边特殊化，我们得到的特殊的平行四边形是什么，它有什么特征？ 推进新课 定义：_______________的平行四边形叫作菱形. 有一组邻边相等 A B C D D C B A 当 AB = BC 时，得到的特殊的平行四边形是什么？ 　菱形除了具有一般平行四边形的性质外，它的边、角、对角线还具有哪些特殊的性质呢? 思 考 性质1：菱形的四条边________. 因为菱形是平行四边形，所以它的对边相等，又因为菱形的一组邻边也相等，所以菱形的四条边相等.于是我们得到： 都相等 如图，连接菱形ABCD的两条对角线AC和BD，设它们相交于点O. 对角线 AC⊥DB 吗？你的理由是什么？ A B C D O A B C D O ∵ AB = AD ， BO=OD，AO=AO， ∴ △ABO≌△ADO， ∴ AC⊥BD，AC平分∠BAD. 同理: CA平分∠BCD，BD平分∠ABC，DB平分∠ADC. 性质2：菱形的对角线__________. 互相垂直 菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线都是它的对称轴. 对边相等 四个角都是直角 对角线互相 平分且相等 四边相等 对角相等 两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角 平行四边形的性质 矩形的性质 菱形的性质 对边相等 对角相等 对角线互相平分 小结 已知菱形的两条对角线分别为 a，b，求该菱形的面积. A B C D O 例 4 解：设菱形 ABCD 的两条对角线 AC，BD 相交于点 O，AC = a，BD = b. ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AC⊥BD.（菱形的对角线互相垂直） ∴ S菱形ABCD = S△ABD + S△CBD = BD · AO+ BD · OC = BD · (AO + OC) = BD · AC = ab. A B C D O A B C D O 菱形的面积 设菱形的两条对角线长分别为 a，b 则 S菱形 = ab. 设菱形的一条边长为 a，这边上的高为 h，则 A B C D h a 菱形的面积 S菱形 = ah. 随堂练习 1.已知四边形 ABCD 是菱形，O 是两条对角线的交点，AC = 8 cm，DB = 6 cm，菱形的边长是____cm. 5 2.菱形 ABCD 的周长为 40 cm，两条对角线 AC∶BD = 4∶3，那么对角线 AC =____cm，BD =____cm. 16 12 1星题 基础练 1．如图是某种菱形装饰物ABCD，它的 周长为48 cm，则AB的长是________cm. 2.(原创题)菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，若点A的坐标为(0，3)，且AB＝5，则点D的坐标为________. 12 (0，－2) 18 3．[泸州中考]如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点，且AE＝CF.求证：AF＝CE.(8分) 证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC. ∵AE＝CF，∴AB－AE＝BC－CF，即BE＝BF. ∴△ABF≌△CBE，∴AF＝CE. 19 4．[知识初练]如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O. (1)若OA＝3，OB＝4，则AB＝________； (2)若∠ADC＝70°，则∠ADB＝________°. 5 35 20 5．[六安月考]如图，菱形ABCD中，∠1＝25°，则∠D的度数为(　　) A．120° B．130° C．140° D．150° B 21 6．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连接OE.若AC＝10，BD＝24，则OE等于________. 6.5 22 7．如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，则AC的长为________. 23 3.菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角. 1.菱形的四条边都相等. 2.菱形的对角都相等. S菱形 = 对角线乘积的一半 菱形的性质： 课堂小结 在△ABF和△CBE中， $