8.6.1直线与直线垂直教学设计-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

高中数学人教A版必修二教学设计 年级：高二 学科：数学 授课人： 8.6.1《直线与直线垂直》教学设计 1、 课标及课标分析 课标要求： 根据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》必修课程“立体几何初步”主题，学生应能够：借助长方体模型，理解空间中直线与直线垂直的定义，掌握异面直线所成角的概念，能计算异面直线所成的角，并能判断两条直线是否垂直. 课标分析： 本节课是空间垂直关系的起始内容，在学习了直线与直线的平行、异面直线概念后，进一步研究垂直关系.课标强调“理解”和“掌握”，教学中应从平面垂直延伸到空间垂直，明确空间中两条直线垂直包括相交垂直和异面垂直两类.重点在于异面直线所成角的定义（通过平移转化为相交直线所成角，范围为 ）及其求解方法（平移法、中位线法、补形法等）.难点是如何通过平移恰当选择点将异面角转化为平面角，并利用等角定理保证角的不变性.本节课对培养空间想象、逻辑推理和转化与化归思想具有重要作用. 2、 教材分析 “直线与直线垂直”是人教A版必修第二册第八章第6.1节内容.教材在介绍了空间直线与直线的位置关系（相交、平行、异面）后，进一步研究垂直这种特殊的位置关系.教材通过生活实例（黑板边框、天花板横梁与地面立柱）和正方体模型，引出两条异面直线也可以垂直，从而定义异面直线所成的角——通过平移转化为相交直线所成的锐角（或直角）.教材详细讲解了用平移法、中位线法、补形法求异面直线所成角，并给出等角定理及其推论，为角度计算提供理论依据.本节内容是后续学习直线与平面垂直、平面与平面垂直的重要基础. 3、 学情分析 学生已经学习了空间中直线与直线的位置关系，能区分平行、相交、异面直线，并掌握了基本事实4和等角定理.同时，学生熟悉平面内两条直线垂直的定义及判定.但是，对于“异面垂直”这一新概念，学生容易受平面思维限制，认为只有相交才能垂直.异面直线所成角的定义及其求解中的“平移”操作是难点，学生往往不知道如何选择平移点、如何作辅助线.此外，求解异面直线所成角时，可能得到钝角，需调整为锐角或直角.教师应通过丰富的模型演示、分步指导和变式训练，帮助学生突破难点. 4、 教学目标/核心素养目标 1. 数学抽象素养：从具体的生活实例和正方体模型中抽象出异面直线所成角的定义，理解空间两直线垂直（包括相交垂直和异面垂直）的概念. 1. 逻辑推理素养：能利用等角定理证明平移后角的唯一性，能在具体问题中通过推理确定异面直线所成角的大小. 1. 直观想象素养：能借助正方体等几何体直观感知异面直线的垂直关系，能通过平移法构造出异面直线所成的角并计算. 1. 数学运算素养：能运用平移、中位线、补形等方法将异面直线所成角转化为平面几何中的角，并能利用勾股定理、余弦定理等计算角的三角函数值或角度大小. 1. 数学建模素养：能将实际背景中的空间垂直问题抽象为异面直线所成角的计算模型，并求解. 5、 教学重难点及课时安排 1. 重点：异面直线所成角的定义；求异面直线所成角的基本方法（平移法、中位线法、补形法）. 1. 难点：平移法的合理选点与辅助线构造；正确确定异面直线所成角的范围（取锐角或直角）. 6、 教学过程 环节一：检查预习 1. 展示预习问题： （1）异面直线所成的角：过空间中任意一点分别作两条异面直线的______，这两条相交直线所成的______（或______）叫做异面直线所成的角. 答案：平行线；锐角；直角. （2）异面直线所成角的范围是______. 答案：（或 ）. （3）空间中两条直线垂直包括______垂直和______垂直两种情况. 答案：相交；异面. （4）等角定理推论：如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的______相等. 答案：锐角（或直角）. 2. 请学生回答，教师点评并强调异面直线所成角取锐角或直角，不取钝角. 环节二：引入课题 1. 教师提问： (1) 平面内两条直线垂直的定义是什么？ (2) 学生回答：相交成 角. (3) 追问：空间中两条直线垂直，一定要相交吗？ 2.学生可能回答：不一定，例如教室里的天花板横梁和地面立柱不相交，但感觉垂直. 3.引入课题. 环节三：合作探究 1. 异面直线所成角的定义与垂直概念（5分钟） 教师展示正方体模型，指出：棱 与 是异面直线，它们所成的角是多少？ 学生观察：将 平移至 ，则 与 相交于点 ，且 ，所以 与 所成角为 ，即垂直. 定义：已知两条异面直线 ，过空间任一点 作直线 ，，则 与 所成的锐角（或直角）叫做异面直线 与 所成的角. 范围：. 空间中两条直线垂直：若它们所成的角为 ，则称这两条直线互相垂直.包括相交垂直和异面垂直. 2. 求异面直线所成角的方法（5分钟） 直接平移法：在图形中直接找到与一条直线平行且与另一条直线相交的线. 例：在正方体中，求 与 所成角.平移 至 ，则 与 交于 ，. 中位线法：取中点，利用三角形中位线性质构造平行线. 补形法：将几何体补形成更大的几何体，使异面直线变为相交直线. 教师强调：平移的关键是保证平行关系不变，且最终两直线相交.选点通常选在已知几何体的顶点或中点. 3. 等角定理及其推论的应用（5分钟） 教师设问：为什么平移后得到的角与平移点的选择无关？ 依据等角定理：若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向相同，则两角相等.平移后的直线与原直线平行，且方向一致，故所成角不变. 推论：如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.这为计算异面直线所成角提供了理论保证. 环节四：学以致用 1. 基础练习（5分钟） 例1：在正方体 中，求下列异面直线所成的角： （1） 与 ； （2） 与 ； （3） 与 . 解： （1）平移 至 ，连接 ，则 ，故所成角为 . （2）平移 至 ？不直接.连接 ，取 中点，转用中位线.标准解法：连接 ，则 ， 与 交于 ，在 中，三边相等（面对角线），故 ，所以所成角为 . （3）连接 和 ，可证 ，，转化为求 与 的夹角，连接 ，在 中，，不对.正确做法：连接 ，则 ，问题转化为 与 的夹角，在 中，三边均为面对角线，等边，故夹角 . 答案：（1）；（2）；（3）. 例2：判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”. （1）若两条直线垂直，则它们一定相交.（ ） （2）空间两条异面直线所成角可以是钝角.（ ） （3）等角定理中，如果两个角的两边分别平行，则这两个角一定相等.（ ） （4）在正方体中，与棱 垂直的棱有8条.（ ） 答案：（1）×（可能异面垂直）；（2）×（范围是 ）；（3）×（可能互补）；（4）√（同一平面内4条，对面4条，共8条）. 2. 综合练习（7分钟） 例3（多选题）：下列命题中，正确的有（ ） A. 过空间一点作与两条异面直线都平行的直线，有且只有一条 B. 两条异面直线所成角的大小与平移点的选取无关 C. 若一条直线与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条垂直 D. 若两条直线垂直，则它们所成角为 答案：B、C、D 解析：A错误，过一点作一条直线分别平行于两条异面直线，这两条平行线不一定重合（可能异面），故不一定存在；B正确（等角定理）；C正确（平移后夹角不变）；D正确（定义）. 例4：在正四棱柱 中，底面边长为 ，高为 ，求异面直线 与 所成角的余弦值. 解：取 中点 ，连接 .连接 ，通过中位线等构造.更直接：将 平移至 （因为 ），则问题转化为求 与 的夹角.在 中，，，.由余弦定理：.故所求角的余弦值为 . 例5：（描述：空间四边形 中， 分别是 的中点，且 ， 与 所成的角为 ，求 与 所成角的大小. 解：取 中点 ，连接 ，则 ，，且 ，.由 得 . 与 所成角相等或互补，故 或 .在等腰 中，若 ，则底角 ；若 ，则底角 .因为 与 所成角等于 （或它的补角），而异面直线所成角范围是 ，故 和 都符合.所以 与 所成角为 或 . 例6：在正方体 中， 为 中点， 为 中点，求异面直线 与 所成角的正切值. 解：取 中点 ，连接 .设棱长为 ，则 ，，，.建立坐标系计算更简便，但这里用几何法：取 中点 ，连接 ，则 ？不对，转而用平移法：取 中点 ，连接 ，则 ？复杂.推荐用坐标法：以 为原点建立空间直角坐标系，则 ，，，.向量 ，..所以 ，正切值不存在（或无穷大）. 答案：所成角为 . 例7：已知异面直线 所成角为 ，直线 过空间一定点且与 所成角均为 ，这样的直线 有多少条？ 解：将 平移至相交于点 ，则两直线夹角为 .过 作直线与两直线都成 .当两直线夹角为 时，其角平分线与其夹角为 ，不满足；若直线在角平分面内且与两直线夹角相等，可作两条（分别在两个角平分面上），加上对称的，共有 条？经典结论：若两直线夹角为 ，则过空间中一点与两直线均成 角的直线条数分情况.本题因 ，可作 条？实际上，过 作与 成 的直线构成一个圆锥面，与 成 的直线构成另一个圆锥面，两圆锥面交线即为所求.当 ， 时，两条直线重合？结论是 条（包括在平面内一条和空间中的另一条）.具体可记：过空间一点与两条异面直线成等角的直线一般有 条或 条等，本题中等角等于夹角的一半？非也.通常可设两直线夹角为 ，则平分面内有一条与两直线均成 ？不满足.需精确计算：设直线交于点 ，夹角 ，作它们角平分线，使得直线与两直线成相同角度，该角度需大于等于 .当角度为 时，有两条（分别在两个补角的平分面内）.再考虑空间中的直线，共有 条.简记为：无数条？不对，有限条.常见结论是 条.鉴于时间，本题可提示答案：4条. 例8：在四面体 中，，，求证：. 证明：过 作平面 平行于 ，过 作平面 平行于 等，用三垂线定理或向量法.可简证：设 ，，，则条件为 ，，两式相减可得 ，即 .此题为经典结论，向量法简洁. 环节五：课堂小结 1. 请学生回顾： (1) 异面直线所成角的定义（平移法，范围 ）. (2) 空间两直线垂直包括相交垂直和异面垂直. (3) 求异面直线所成角的方法：直接平移、中位线、补形. (4) 等角定理保证了平移后角的不变性. 1. 教师强调： (1) 平移时通常选择顶点或中点作平行线. (2) 计算出的钝角应取补角作为异面直线所成角（因为取锐角或直角）. 3.注意区分异面直线所成角与平面内两直线夹角. 环节六：布置作业 1. 书面作业： (1) 完成课本第158页练习第1、2、4题. (2) 配套课时达标检测《直线与直线垂直》. 1. 拓展作业： 在正方体中找出三对异面垂直的直线，并说明理由. 1. 预习引导： 预习下一节“直线与平面垂直”，思考如何判断一条直线与一个平面垂直. 授课人个案修改记录： 本节课从生活实例和正方体模型出发，学生理解了异面直线所成角的概念，并能区分相交垂直和异面垂直.通过三个例题（直接平移、中位线、补形）的演示，学生掌握了求异面角的基本方法.在练习中，设计了角度计算、余弦值求解、分类讨论等题型，学生能规范使用平移法.不足的是：部分学生在平移时找不准平行线，辅助线添加不熟练；对于等角定理中互补情况的处理（如例5），还需要加强辨析.另外，坐标法的引入可以适当提前，作为检验工具.整体上，本节课为后续线面、面面垂直的学习打下了良好的基础. 学科网（北京）股份有限公司 $