8.6.1 直线与直线垂直 （教学设计) 数学人教A版必修第二册

8.6.1 直线与直线垂直 教学设计 教学内容 本节课是人教A版2019必修第二册第八章“立体几何初步”中的8.6节“空间直线、平面的垂直”第1课时。内容包括：基于长方体等直观载体，认识空间中直线与直线的垂直关系（含共面垂直和异面垂直）；理解异面直线所成角的定义、取值范围；掌握异面直线所成角的求法（一作二证三求）；学会证明两条异面直线垂直的常用方法。 内容解析 本节是空间几何中垂直关系的基础内容，是在学生学习了空间中直线与直线的位置关系、直线与平面平行等知识后的延伸。其核心是通过“平移转化”将异面直线问题转化为共面直线问题，体现“空间问题平面化”的转化与化归思想。 从知识关联看，本节内容既是对平面内垂直关系的拓展，也是后续学习直线与平面垂直、平面与平面垂直的重要铺垫，是构建空间垂直关系体系的关键环节。 从学习意义看，通过对异面直线所成角的定义、求法及垂直判定的学习，学生能进一步提升空间想象能力和逻辑推理能力，掌握处理空间图形问题的基本思路，为解决复杂空间几何问题奠定基础。 教学目标 1. 借助长方体模型，直观认识空间中直线与直线的垂直关系，能区分共面垂直与异面垂直。 2. 理解异面直线所成角的定义，明确其取值范围，掌握求异面直线所成角的基本步骤。 3. 学会运用定义法、平移法等证明两条异面直线垂直，能解决简单的空间直线垂直问题。 4. 体会转化与化归思想在空间几何中的应用，感受空间几何与生活的联系，提升数学核心素养。 目标解析 1. 能结合长方体实例，指出空间中互相垂直的直线（包括相交垂直和异面垂直），说明空间直线垂直与平面直线垂直的区别与联系。 2. 能准确表述异面直线所成角的定义，明确其取值范围为，并能通过平移法作出异面直线所成角，利用解三角形等知识求出角的大小。 3. 能根据题目条件，选择合适的方法（如直接平移法、中位线平移法、补形平移法）证明异面直线垂直，规范书写证明过程。 4. 能在解决问题的过程中，主动运用“空间问题平面化”的思想，将异面直线转化为相交直线进行研究，提升分析和解决空间几何问题的能力。 达成上述目标的标志是： 1. 能在正方体模型中准确找出与指定棱垂直的所有棱，并区分相交垂直和异面垂直。 2. 能独立完成异面直线所成角的求解，步骤完整（作、证、求、结论），结果正确。 3. 能规范证明两条异面直线垂直，逻辑清晰，论据充分。 4. 能总结空间直线与直线垂直的判定方法和异面直线所成角的求法，体会转化与化归的数学思想。 本节内容是在学生已经掌握空间中直线与直线的三种位置关系（平行、相交、异面），以及平面内直线垂直的定义和判定方法的基础上进行的。 从知识基础来看，学生对平面几何中的垂直关系、解三角形等知识有一定的掌握，具备了将空间问题转化为平面问题的初步意识。从能力层面来看，学生已经初步具备了观察、分析空间图形的能力，但空间想象能力和逻辑推理能力仍需进一步提升，对异面直线所成角的定义理解可能存在困难，尤其是如何通过平移法构造出异面直线所成角，是学生学习的难点。 基于以上分析，确定本节课的 教学重点：1. 异面直线所成角的定义和取值范围；2. 异面直线所成角的求法；3. 空间直线与直线垂直的判定方法。教学难点：1. 异面直线所成角的构造（平移法的应用）；2. 异面直线垂直的证明；3. 理解空间直线垂直与平面直线垂直的区别与联系。 知识点一　空间中两条直线的位置关系 1．空间两条直线的位置关系有三种：平行直线、相交直线和异面直线． 2．分类 (1)从有无公共点的角度来看，可分为两类 直线 (2)从是否共面的角度来看，可分为两类 直线 知识点二　直线与直线垂直 如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b垂直，记作a⊥b． 当两条直线a，b相互平行时，我们规定它们所成的角为0°．所以空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°． 导入新知1：校园走廊与护栏的“垂直奥秘” 校园走廊中藏着许多线条的位置关系，比如走廊地面相邻的地砖缝（横向缝AB和纵向缝AD），相交且夹角为90°，这是我们熟悉的平面内垂直关系。再看护栏的竖杆（如竖杆AA₁）和走廊另一侧地面的横向地砖缝（如横向缝B₁C₁），这两条线没有交点，属于异面直线。生活中类似的例子还有很多，比如教室墙角的棱与对面墙的窗台边，它们也都是异面直线。这些场景引发我们思考：如何判断异面直线是否存在垂直关系？该用什么方法刻画异面直线的倾斜程度？本节课，我们就来解开空间中直线与直线垂直的奥秘。 1. 走廊地面横向地砖缝AB和纵向地砖缝AD的垂直关系，属于我们熟悉的哪种垂直类型？它有什么明显特征？ 2. 护栏竖杆AA₁与走廊另一侧横向地砖缝B₁C₁是异面直线，它们之间可能存在“垂直”关系吗？我们可以通过什么直观方式初步判断？ 3. 对于教室墙角的棱与对面墙窗台边这类异面直线，无法直接测量夹角，该用什么方法刻画它们的倾斜程度，进而判断是否垂直？ 设计意图 1. 从学生每日接触的校园场景切入，将抽象的空间几何问题与生活实际紧密结合，降低学生对“空间垂直”的陌生感，让学生感受到数学源于生活。 2. 通过平面内地砖缝的垂直关系回顾旧知，再自然过渡到护栏竖杆与异面地砖缝的垂直疑问，形成“旧知—疑问—新知”的认知链条，激发学生的探究欲望。 3. 问题设计紧扣本节课核心——异面直线的垂直判定与异面直线所成角的定义，为后续“平移转化”思想的引入和异面直线所成角的学习做好铺垫，实现对整节课内容的统领。 导入新知2：折叠晾衣架的“角度变化” 折叠晾衣架是家庭常用物品，它的金属支架构成了多种直线位置关系。展开晾衣架时，两侧竖杆（如杆a和杆b）平行且不相交，顶部横杆（如杆c）与一侧竖杆（杆a）相交且夹角为90°，这是我们熟知的平面内垂直关系。缓慢折叠晾衣架时，顶部横杆（杆c）与另一侧竖杆（杆d）不再有交点，成为异面直线，且随着折叠角度的变化，这两条异面直线的倾斜程度也在不断改变。我们不禁思考：这两条异面直线何时能构成垂直关系？无法直接测量异面直线的夹角时，该如何将空间角度转化为可测量的平面角度？这种转化思想正是本节课的核心，今天我们就一起走进“空间直线与直线垂直”的课堂，找到解决问题的方法。 1.展开折叠晾衣架时，顶部横杆（杆c）与一侧竖杆（杆a）的垂直关系，属于哪种垂直类型？有什么明显特征？ 2.折叠后，顶部横杆（杆c）与另一侧竖杆（杆d）成为异面直线，随着折叠角度变化，它们何时能构成垂直关系？可通过什么直观方式初步判断？ 3.我们无法直接测量异面直线的夹角，该如何将这种空间中的角度，转化为熟悉的、可测量的平面角度来判断垂直关系？ 设计意图 1. 选取家用折叠晾衣架这一生活中常见的物品，其可动性和线条结构能直观呈现空间直线的位置关系变化（平行、相交、异面），帮助学生建立空间直观认知。 1. 通过“展开—折叠”的动态过程，让学生清晰感知异面直线的形成的过程以及“倾斜程度”的变化，自然引出“如何刻画异面直线夹角” “如何判断异面垂直”等核心问题，精准统领本节课重点内容。 1. 以“无法直接测量→需要转化”的矛盾点激发学生的求知欲，为“平移转化”的化归思想埋下伏笔，让学生在解决实际问题的需求中展开学习，提升学习主动性。 与平行关系类似，垂直也是空间直线、平面之间的一种特殊位置关系，它在研究空间图形问题中具有重要的作用．类比平行关系的研究过程，本节将研究空间直线、平面之间的垂直关系，重点研究这些垂直关系的判定和性质． 空间两条直线的位置关系有三种：平行直线、相交直线和异面直线．在初中我们已经研究了平行直线和相交直线．本节我们主要研究异面直线，首先研究如何刻画两条异面直线的位置关系． 探究 如图8.6-1，在正方体中，直线与直线，直线与直线都是异面直线，直线与相对于直线的位置相同吗？如果不同，如何表示这种差异呢？ 我们知道，平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于的角称为这两条直线所成的角（或夹角），他刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜程度．类似的，我们也可以用“异面直线所成的角”来刻画两条异面直线的位置关系． 研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线．这是研究空间图形的一种基本思路，即把空间图形问题转化为平面图形问题． 如图8.6-2，已知两条异面直线，，经过空间任意一点分别作直线，，我们把直线与所成的角叫做异面直线与所成的角（或夹角）． 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．直线与直线垂直，记作． 思考：直线，所成的角的大小与点的位置有关吗？ 当两条直线，互相平行时，我们规定它们所成的角为．所以空间两条直线所成角的取值范围是． 1、 应用新知 例1 如图8.6-3，已知正方体． （1）哪些棱所在的直线与直线垂直？ （2）求直线与所成的角的大小． （3）求直线与所成的角的大小． 解：（1）棱所在直线分别与直线垂直； （2）因为是正方体，所以，因此为直线与所成的角，又因为，所以直线与所成的角等于； （3）如图8.6-4，连接，因为是正方体，所以，从而四边形是平行四边形，所以，于是为异面直线与所成的角；连接，已知是等边三角形，所以，从而异面直线与所成的角等于． 【变式】如图，已知正方体. （1）求与所成角的大小； （2）若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：. 【答案】（1）（2）证明见解析 【知识点】证明异面直线垂直、求异面直线所成的角 【分析】（1）根据正方体的性质，证出，由此得到就是与所成的角．然后在正三角形中加以计算，可得与所成角的大小； （2）平行四边形中可得， 可证，又即可得证； 【详解】解：（1）如图，连接，由几何体是正方体，知四边形为平行四边形，所以， 从而与所成的角为与所成的角， 由，可知. 故与所成的角为. （2）如图，连接，易知四边形为平行四边形，所以， 因为为的中位线， 所以. 又， 所以， 所以. 【点睛】本题在正方体中求异面直线所成角的大小，着重考查了正方体的性质、异面直线所成角的定义及求法等知识，属于中档题． 1.异面直线所成角的求法：一作(找)、二证、三求 (1)作：根据异面直线的定义，用平移法（常利用三角形中位线、平行四边形的性质）作出异面直线所成角。 (2)证：证明作出的角就是要求的角 (3)求：求角度 (4)若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成角。 2.作异面直线所成的角的方法 作异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生，主要有三种方法： (1)直接平移法(可利用图中已有的平行线)； (2)中位线平移法； (3)补形平移法(在已知图形中，补作一个适当的几何体，以便找到平行线).　 例2 如图8.6-5（1），在正方体中，为底面的中心．求证． 分析：要证明，应先构造直线与所成的角，若能证明这个角是直角，即得 证明：如图8.6-5（2），连接．是正方体，． 四边形是平行四边形．． 直线与所成的角即为直线与所成的角．连接，，易证． 又为底面的中心，为的中点，．． 从例1与例2的解答可以看到，为了简便，求异面直线，所成的角时，点常取在两条异面直线中的一条上．例如取在直线上，然后经过点作直线，那么与所成角的角就是异面直线与所成的角（图8.6-6）． 【变式】如图，已知正方体. （1）哪些棱所在的直线与直线垂直? （2）求直线与所成的角的大小. （3）求直线与所成的角的大小. 【答案】（1）AB，AC，AD，，，BC，，CD， （2） （3） 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理即可解题； （2）先把异面直线转化为共面直线再求角； （3）连接与，证明四边形为平行四边形，即可得到，为异面直线与所成的角，在中计算出角的大小. 【详解】（1）由题意知面、面， 由线面垂直点的性质定理知与垂直的直线有：，，，，，，，， （2）此几何体为正方体， ， 与所成的角等于与所成的角， 又， 与所成的角为 与所成角等于． （3）连接与， 是正方体 ， 为平行四边形 为异面直线与所成的角， 为等边三角形 直线与所成的角为 【点睛】本题主要考查了异面直线的判定，以及异面直线及其所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题． 直线与直线垂直 1.如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b垂直，记作a⊥b. 2.注意点： 两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直和异面垂直两种情形． 1.（25-26高二上·贵州六盘水·月考）在正方体中，则直线与直线所成的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】根据异面直线所成角的定义，结合正方体的性质即可求解. 【详解】在正方体中，, 故直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角, 由于，故直线与直线所成的角为, 故选：A 2.（2025高二上·河南·学业考试）在正方体中，直线与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】根据，可得即为直线与所成角（或其补角），求出的大小即可. 【详解】因为，所以即为直线与所成角（或其补角）， 在等腰直角三角形中，， 所以直线与所成的角的大小为. 故选：B. 3.（多选题）（24-25高一下·江西南昌·期末）如图，四面体中，，，分别为的中点.若异面直线与所成角的大小为，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】由异面直线所成的角求其他量 【分析】利用异面直线所成角的定义和余弦定理求解可得. 【详解】取的中点为，连接，，如图：    在中，，且，在中，，且， 因为异面直线与所成角的大小为，所以直线PM，PN的夹角为，则或， 当时，由余弦定理得，，得. 当时，由余弦定理得，，得. 综上所述，或. 故选：CD 4.（24-25高一下·山东聊城·期末）已知正四棱锥的所有棱长均相等，则直线与其它经过该四棱锥的两个顶点的直线所成的角不可能为（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】A 【知识点】正棱锥及其有关计算、异面直线所成的角的概念及辨析 【分析】确定直线与其它经过该四棱锥的两个顶点的直线所成的角的大小，再进行判断即可. 【详解】如图： 因为四棱锥是正四棱锥，且所有棱长均相等. 所以，故C可能成立； 在中，，，所以BD可能成立； 与其余的棱或对角线都不能成，故A不可能成立. 故选：A 5.（2025高三·全国·专题练习）已知直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】把三棱柱补成四棱柱，利用余弦定理结合条件可得异面直线与所成角. 【详解】如图，把三棱柱补成四棱柱，则，异面直线与所成角为， 在中，由余弦定理得， 又， 故选：C． 6.（25-26高二上·北京·期中）已知在三棱锥中，，，两两垂直，且，点为中点，则直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求异面直线所成的角、余弦定理解三角形 【分析】将三棱锥补形为正方体，得到直线与所成的角，再利用余弦定理求解. 【详解】如图所示：    补形为正方体，直线与所成的角为， 可求，， 所以， 所以直线与所成的角的余弦值为. 故选：C 7.（2025高二上·辽宁·学业考试）已知是空间中三条不同的直线，是空间中某平面，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【知识点】线面关系有关命题的判断、判断图形中的线面关系、异面直线所成的角的概念及辨析 【分析】根据空间线线、线面之间的基本关系，结合选项依次判断看. 【详解】A：若，则，故A正确； B：若，则或或与相交，故B错误； C：若，则或，故C错误； D：若，则或，故D错误. 故选：A 8.（多选题）（24-25高一下·吉林白城·期末）已知是正方体，则下列结论正确的是（    ） A．直线与是异面直线 B．与所成的角为60° C． D．直线与所成的角为60° 【答案】ACD 【知识点】异面直线的判定、求异面直线所成的角、证明异面直线垂直 【分析】由异面直线的判定判断A；证得线线平行判断B；由异面直线垂直判断C；求出异面直线所成角判断D. 【详解】对于A，平面，点平面，，而平面， 直线，直线与是异面直线，A正确； 对于B，由，得，则，B错误； 对于C，由选项B同理得，而，则，C正确； 对于D，连接，，则或其补角为异面直线与所成的角， 又为正方体的面对角线，即，， 因此异面直线与所成的角为，D正确. 故选：ACD 9.（24-25高二上·上海·月考）若空间中四条两两不同的直线，满足   则下面结论一定正确的是（  ） A． B． C．既不垂直也不平行 D．的位置关系不确定 【答案】D 【知识点】证明异面直线垂直 【分析】将满足题意的直线放入长方体模型判断即可. 【详解】如图所示，取，，， 当取时，，当取时，，排除ABC. 故选：D. 10.（多选题）（24-25高一下·陕西咸阳·期末）如图是棱长为2的正方体的平面展开图，其中是的中点，在这个正方体中，下列结论正确的是（   ） A．与平行 B． C．直线、、中，任意两条都是异面直线 D．过，，三点的平面截该正方体所得截面的面积为 【答案】BCD 【知识点】异面直线所成的角的概念及辨析、平面的概念及其表示、判断正方体的截面形状 【分析】由题意还原正方形，根据几何性质以及异面的概念，结合共面判定与菱形性质，可得答案. 【详解】由题意还图可得 对于A，由，则，故A错误； 对于B，由，则，故B正确； 对于C，由，，则两两异面，故C正确； 对于D，取的中点为，连接，如下图： 由分别为的中点，则， 所以四边形为菱形，即共面，故菱形为所求截面， 易知，，则面积为，故D正确. 故选：BCD. 1．（2026·安徽芜湖·一模）正四棱锥的底面边长为4，且所有顶点都在半径为3的同一球面上,则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【知识点】余弦定理解三角形、多面体与球体内切外接问题、求异面直线所成的角 【分析】设外接球球心为，底面中心为，外接球半径，利用求出进而得到侧棱长，根据异面直线的概念可知即为异面直线与所成角的平面角，在中利用余弦定理求解即可. 【详解】设外接球球心为，底面中心为，外接球半径，    因为底面边长为4，所以， 易知球心在线段上，则，解得或， 当时，又，解得， 因为，所以即为异面直线与所成角的平面角， 在中，由余弦定理可得，解得， 当时，又，解得， 因为，所以即为异面直线与所成角的平面角， 在中，由余弦定理可得，解得， 故选：A 2.（2025高三·全国·专题练习）已知平行四边形，，BC=1，，E是线段CD上一动点.将沿AE所在的直线进行翻转，在翻转过程中，下列结论不正确的是（ ） A．当时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 B．当时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 C．当时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 D．当时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 【答案】A 【知识点】由异面直线所成的角求其他量 【分析】由旋转对应角相等，以及极限思想可知，要想只需要证明.设由正弦定理求出.由，得到的取值范围. 【详解】设翻折前的记为，，，则在翻折过程中，存在某个位置使得直线与垂直，只需保证， ，由极限位置知，只需保证即可． 在中，，，，则， 由正弦定理知，，则，其中； 因为为线段上的一动点，则， 故选：A． 3.（24-25高二下·浙江·月考）异面直线a，b所成的角为，过空间一点P作直线l，使l与a，b所成的角均为，这样的直线条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】求异面直线所成的角、异面直线所成的角的概念及辨析 【分析】数形结合把平移到点处，则与所成的角都为的直线有2条. 【详解】过作与平行的直线， 如图，， 直线过点且，这样的直线有两条. 又，直线为的平分线，则，其他射影落在角平分线的直线与的夹角都大于， 综上，满足条件的直线的条数为2. 故选：C. 4.（24-25高二上·上海·月考）为异面直线，且所成角为，过空间一点作直线，直线与均异面，且所成角均为，若这样的共有四条，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】异面直线所成的角的概念及辨析 【分析】设平面上两条直线分别满足，则相交，且夹角为，讨论的取值范围，从而确定c的情况以及条数，即可得答案. 【详解】设平面上两条直线分别满足， 则相交，设交点为，且夹角为， 如图示：过空间中一点作直线，若直线与均异面，且所成角均为， 则直线与直线所成角均为， 当时，不存在这样的直线， 当时，这样的直线只有一条， 当时，这样的直线有两条， 当时，这样的直线有三条， 当时，这样的直线有四条， 当时，这样的直线只有一条. 所以的范围为. 故选：A. 1.知识清单： （1）异面直线所成角的定义、取值范围； （2）异面直线所成角的求法（一作二证三求）； （3）空间直线与直线垂直的定义（共面垂直、异面垂直）及证明方法。 2.方法归纳：转化与化归（空间问题平面化）、数形结合。 3.常见误区： （1）忽视异面直线所成角的取值范围（0° < θ ≤ 90°），将钝角当作所求角； （2）构造异面直线所成角时，平移方法不当，导致角的构造错误； （3）证明异面直线垂直时，逻辑不严谨，缺少关键步骤。 课本148页练习，162页11题. 【设计意图】通过布置作业，帮助学生巩固本节课所学知识，提高学生的逻辑推理能力。 【教学建议】教师可以引导学生在课后认真完成作业，鼓励学生在遇到问题时及时向老师或同学请教。 练习（第148页） 1．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”． （1）如果两条平行线直线中的一条与已知直线垂直，那么另一条也与已知直线垂直． （ ） （2）垂直于同一条直线的两条直线平行 （ ） 1．答案：（1）√ （2）× 2．如图，在长方体的各条棱所在直线中， （1）与直线垂直的直线有 条； （2）与直线异面且垂直的直线有 条； （3）与直线和都垂直的直线有 条； （4）与直线和都垂直且相交的直线是 ． 2．答案：（1）8 （2）4 （3）4 （4） 3．如图，在长方体中，，，求： （1）直线和所成的角的大小； （2）直线和所成的角的大小． 3．解析：（1）因为，所以是异面直线与所成的角．在中， ，，所以，因此，异面直线和所成的角是． （2）因为，所以是异面直线与所成的角．在中，， ，所以，．因此，异面直线和所成的角为． 4．如图，在正三棱柱中，为棱的中点，，求证：． 4．解析：如图，取中点，连接，，为中点，，就是异面直线，所成的角．∵在正三棱柱中，，， ，，，，，即 ，． 1. 教学中应充分利用长方体、正方体等直观模型，帮助学生理解空间直线与直线的垂直关系，尤其是异面垂直，突破空间想象的难点。 1. 对于异面直线所成角的求法，应强调“作、证、求、结论”的完整步骤，通过例题和练习，让学生熟练掌握平移法的三种常用形式（直接平移、中位线平移、补形平移）。 1. 注重数学思想的渗透，在讲解例题和练习时，引导学生体会“空间问题平面化”的转化与化归思想，提升学生的数学核心素养。 1. 关注学生的个体差异，对于空间想象能力较弱的学生，可通过实物观察、动手操作等方式，帮助其理解和掌握知识；对于能力较强的学生，可适当增加综合性较强的题目，拓展其思维。 学科网（北京）股份有限公司 $