安徽阜阳市2026届高三下学期考前预测数学练习

**基本信息** 2026年阜阳高三三模数学卷，通过充要条件判断、正四面体几何问题、“有趣的数组”探究等试题，融合逻辑推理与创新应用，全面检测数学眼光、思维与语言能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|集合、复数、函数性质、立体几何|第2题结合学业水平考试频率分布直方图，培养数据意识；第8题正四棱锥动态问题，考查空间观念| |填空题|3/15|函数单调性、双曲线离心率|第14题双曲线渐近线与焦点关系，体现几何直观| |解答题|5/77|立体几何证明、三角函数应用、椭圆方程、导数证明、数列组合|第19题“有趣的数组”探究，融合数列与组合，发展创新意识；第15题四面体体积与二面角，强化推理能力|

姓名___________ 座位号__________________ （在此卷上答题无效） 2026年阜阳市高三第三次教学质量检测 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1. 答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把对应的答案标号填涂在答题卡上。如需更改，务必用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答解答题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题的给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 设则是方程有两个不等实根的（ ）条件 A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不必要也不充分 2. 太和一中高二年级的全体学生参加学业水平考试，每个人的政治得分(单位:分)的频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是 A. B. 同学们得分的中位数约为73分 C. 该组数据的众数一定为75 D. 及格的比例大于80% 3. 已知正四面体的任一底面上有一点，过这一点做任意一个侧面的垂线，则与底面所成角的正弦值为 A. B. C. D. 4. 函数的最小值为 A. B. C. D. 5. 设集合，则的元素个数为 A. B. C. D. 6. 已知的内心为，为边上一点，且.平分若，则 的值为 A. 2 B. 3 C. D. 7. 若函数在上有最小值,则的取值范围为 A. B. C. D. 8. 设正四棱锥的边长均为2,为底面上一点.过点作平面的垂线,垂足分别为.若则的取值范围为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 设复数满足则 A. B. C. 若则为纯虚数 D. 若成等比数列，则 10. 在平面直角坐标系中,设圆直线.定义为圆上到直线距离为的点的个数,则 A. 若则 B. 若使得则的取值范围为 C. 当在变化时可取最大值时, D. 当取最大值时, 11. 已知函数满足：且时，.下列说法正确的是 A. B. 为偶函数 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 设,则的最小值为__________. 13. 若函数在上单调递增，则的最大值为________. 14. 已知双曲线C:的右顶点为A,右焦点为F,左焦点为F1.在C的渐近线上取一点P,使.设C的左顶点为A1,且满足，则C的离心率可能为_______.（写出一个即可） 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。 15. （13分） 已知四面体中,为中点，.作垂足为 (1) 证明: ; (2) 若,四面体的体积大于,求二面角的正切值的取值范围.D B C F M A 16. （15分） 在中,已知. (1) 求; (2) 设为上一点,平分,为上一点,为上一点,记当一定时, 的最小值为求的最大值. 17. （15分） 已知椭圆的右顶点为,上顶点为的面积为, (1) 求的方程; (2) 设,过的直线(不与垂直)与交于两点(在上方),与交于.作垂足为证明:平分 18. （17分） 已知函数. (1) 当时,讨论函数的单调性; (2) 若对于任意,证明: ; (3) 求证:当时,对于任意，存在 19. （17分） 从不超过的正整数中选出不同的三个数,若三个数从小到大排列后可排列为等比数列,则称数组为“有趣的”.用表示对应的“有趣的”数组个数. (1) 求并证明其中表示不超过的最大整数; (2) 若满足，求的最小值; (3) 设满足的正整数从小到大排列为,从中选出所有不超过的项从小到大排列为,求的值. 数学试题 第4页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 选择题 1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 D B C C D A B B BCD ACD ACD 5.考虑B中与A中不同的元素 若x=少则只有x=y=2,x+y=2”E4共1个 若x≠八则x+y共有C分=55种可能因x+y必有奇因子，从而x+yA若其中存在相 等元米，不妨设2+2=2+2，比较两边的2释次有mim,月=mi血k.~若i=大，则 j=L,矛盾！故x+y的55种结果中无重复.从而AUB的元素个数为55+11+1=67. AB AC 6.因为2BD=3DC,所以BD=3.由角平分线定理得BDCD故AC=4 因此A=-2历从而 五+历+c=-2D++c=-2c+j++c-五-0-c 故2厉+历+0-2， 7,设8x=xlnx-ar·由题意知8（在1，e)上要么可以取到零，要么有极值点 情形一：（在1，）上可以取到零.分离参数得 x熟知此时 情形二：8（在1，c)上有极值点求导得8=1+nx-2分离参数，得 a今-25，的=2c0=刻内上成 2x令 引4 8.由题知 %s+%w专5am+5ho四 k9owew-490w-ewe-g 3 所以QM=QN得在平行于AB且过AD中点的直线上.取PB中点为R. 由极化恒等式QP-QB=OR2-l·易知 or.0丽[] k= 9W5 10.对于C,其圆心在直线2x+y=0上运动.对于A,当5时，知 oc15 23 95 =4. 2 2要使 6 设l与0C的交点为M, 1orei度4oM5-e A正确 对于B,当C与C有公共点时，显然成立；当C内含于C2时，显然也成立； 当C与C外离时，由于G与C直径的和为6，大于5，故只需0C≤8. OC2≤8→k∈ 16W516W5 5 5 综上得 ,B错误。 对于C,2:(k,b)的最大值为8，则每个圆上都应有4个点到l的距离为d.若d≥1，显然 C上至多有2个点满足题意，矛盾，故d<1,C正确， 对干D,当2，(k,取最大值时，知loM≤1+2-2d=3-2d.从 5k<3-2d 因此， +d后8-2+d<65 2 D正确。 1取=y=0知0=0取x=y得2=fx)取=y=-x得 -2对-刘=ft刊所以易知f八为奇函数当七，y≠0时，等式两边同时除以有 xfy)f) y 8(x)=fx) xy令 '则当￥>名>0时， -g= f4、f2 得80在山，+切递指，从而4>2’结合八为 奇函数可得f4+2f-2列>0由2矿到=fr两边求导行 x)=f川到+f型， '则显然了x)>小又到女在l,+o递道，求导得 因，0i上ir<2 二、 填空题 12.4 2 2y+ ≥2y+ =2y+二≥4. Vx(y-x) 2 x+y-X y 显然 、2 等号易验证 π 13.2 (sinx-cosx)1+sin 2x f"(x)= 2 kπ 求导得 (sinxcosx)2 X丰 注意到 ,kez 结合y=sinx-cosx 的图象易 b-asa 14.2(答案不唯一) b Pm,m [PAP =(m-a)'+ =(c-a2. 不妨设 a 则 a 又 2 PA.PA=0→m2+ bm =a2. a 从而 2a3=a2c+2ac2-c3.→e3-2e2-e+2=0. →(e-l(e-2(e+1)=0→e=2. 三、解答题 3W2-V63W2+V6 3 3 15.(2) (④太简单了2油BD⊥平面ACD,显然可知∠ADM为二面角M-BD-A的平面角. 由题意知D在平面BMD内的轨迹为以BM为直径的圆，取MB中点为O,连接OD,作 >4故 sin∠DON- DN、1 OD2即30°<∠D0N<150.又 ∠DBM=∠DON,MD=BM·sin∠DBM, an∠ADM= 同时 MD tan∠ADM∈ 32-63W2+V6 有 3，3 π 5 16.(1)3(2)4 根据对称性，A关于CD的对称点在BC上.作AP⊥BC,则AP=bsin C.. AN+NM A'P bsin C sin Bsin C 从而AB+ACAB+ACb+c sin B+sinC A交 而3’故∠ACB一定时，B,C确定， sin BsinC sin B+sin c)-smCco.C V3 cos B-C -sin 2 -cos -cos 24 2 从而 s￥，A=B=C=8 ajs 3时取等. x2 1704+2s1 ②)设直线MD,MC的斜率为，kD(,,C(,)小易 81 M气55 由到角公式， 1 一k 2 k+2 只需证 24,-3+6)=4而 4kk2-3(k+k2)= 》 设CD:y=a+t.(t+2k= 由硬解定理得 -8k82t,18k,16 4kk2-3k+k2 1+4k2 1+4k251+4k251+4k2+25 4k+1-2 6 1+4k2 2 45 2k 384 25 +24+51-2刘-21-2-81+4 36 4(4-10k)2-384k2+600k+240(1-2k)-120k1-2k)-481+4k2） 4(5-2k)2-36 -400k2-320k+64-384k2+600k-480k+240+240k2-120k-192k2-48 16k2-80k+64 64k2-320k+256=4. 16k2-80k+64 故命题成立 18)f(x+a)-f(x)=a@-x-a-@e+x-al@m-@-I)zd. a=0时上式恒成立，a>0时， ew-e-a-1≥0.记8y=eo-e-a-l,g(x=ew-e>0. 故只需80)=e-a-2≥0.a<0时，同理可得80)≤0，综上ag(0)≥0，即 ae≥a2+2a.熟知a≤e故原不等式成立. ③设(4=f八s4-f八s)-f4求导得 p'(t)=sf"(st)-f"(t)=ase"-ae'-s+1>ae'(s-1)-(s-1) =ae-l(s-1)≥e1-l(s-1)≥0. )上单调递增又o(1=-f=-(ae-l≤0，注意到 s2 片}号 -ae+s s-1 e-e-e】e-fe小小。 由零点存在定理知命题成立. 19.(101,2(2)1296(3)b=30,s=16 0)易知o(4刊=，o(8=2对于不超过n的正整数，设4ak,k 成等比数列， 个-ak-1刂=氵 (2) 表示1~k中能被整除的数的个数. .- 反之为0故k有8个大于1的平方因子 情形一：k只有一个素因子易知k之26 情形二：k有两个素因子.可设k=pP,易知要使k变小，，a?为偶数 记%=2B,a,=2B,则有B+月，+BB=8→(B+(A,+1)=9. 知B=B,=2.从而k≥24×3=1296. 情形三：k有大于两个素因子.记k=Pp…p.a…均为偶数 记%，=2,1=128，则k的平方因子个数 N=∑B+∑BB,+…≥R+B,+B+B,B+B,B+B,B+BB,A≥7. Isi<jss 显然N≠8.舍去. 综上，k的最小值为1296. 3)知k≥4且无平方因子.一一列举得s=16,b,=30.