19.2.2.3三角形的中位线-课件2025－2026学年沪科版数学八年级下册

沪科版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月4日 19.2.2.3三角形的中位线 第19章 四边形 沪科版数学八下19.2.2.3 三角形的中位线 本套内容围绕沪科版八年级下册19.2.2.3“三角形的中位线”核心知识点设计，衔接上一课时平行四边形的四种判定方法，重点讲解三角形中位线的定义、核心性质、推导过程，以及中位线性质在几何证明、线段长度计算、图形平行关系判定中的应用，兼顾知识点梳理、例题解析、分层练习题和易错辨析，帮助同学们熟练掌握三角形中位线的本质特征，能灵活运用中位线性质解决相关几何问题，规范推理步骤，培养几何推理和综合应用能力，贴合课堂教学重点，适配课后巩固练习。 一、核心知识点梳理 （1）复习回顾（衔接上一课时） 上一课时我们学习了平行四边形的4种判定方法，灵活运用这些方法可证明四边形是平行四边形，为三角形中位线性质的推导奠定基础： - 判定方法1（定义）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； - 判定方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形； - 判定方法3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； - 判定方法4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 本节课我们将学习三角形中位线，其性质的推导核心的是利用平行四边形的判定方法，实现三角形与平行四边形的转化。 （2）三角形中位线的定义 1. 定义：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线； 2. 关键说明： - ① 前提：线段的两个端点必须是三角形两边的中点，缺一不可（若端点不是两边中点，不是中位线）； - ② 数量：一个三角形有3条中位线（三角形有3组对边，每组对边可确定一条中位线）； - ③ 区别：三角形的中位线≠三角形的中线——中线是连接三角形一个顶点和对边中点的线段，而中位线是连接两边中点的线段（无顶点参与）。 补充：几何表示（以△ABC为例）：点D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，则DE是△ABC的中位线。 （3）三角形中位线的核心性质（重点） 1. 性质内容：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半； 2. 几何语言表示（以△ABC为例，DE是中位线，D、E分别是AB、AC中点）： ∵ 点D、E分别是AB、AC的中点，∴ DE∥BC，DE=½BC； 3. 推导过程（结合平行四边形判定方法3，核心：构造平行四边形）： 延长DE至点F，使EF=DE，连接CF； ∵ 点E是AC的中点，∴ AE=CE； 在△ADE和△CFE中，DE=EF，∠AED=∠CEF（对顶角相等），AE=CE； ∴ △ADE≌△CFE（SAS）； ∴ AD=CF，∠DAE=∠FCE（全等三角形对应边、对应角相等）； ∴ AD∥CF（内错角相等，两直线平行）； 又∵ 点D是AB的中点，∴ AD=BD； ∴ BD=CF，且BD∥CF； ∴ 四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）； ∴ DF∥BC，DF=BC（平行四边形的性质）； 又∵ DE=EF=½DF，∴ DE∥BC，DE=½BC（三角形中位线性质）。 （4）三角形中位线性质的应用场景 - 1. 判定两条线段平行：利用中位线“平行于第三边”的性质，证明两条线段平行； - 2. 计算线段长度：利用中位线“等于第三边的一半”的性质，求未知线段的长度（已知第三边求中位线，或已知中位线求第三边）； - 3. 构造平行四边形：通过中位线构造平行四边形，结合平行四边形的性质解决复杂几何问题； - 4. 三角形的周长与中位线关系：三角形的三条中位线围成的三角形（中位线三角形），周长是原三角形周长的一半。 （5）易错辨析（重点区分） - 误区1：混淆“三角形中位线”与“三角形中线”——中线连接“顶点和对边中点”，中位线连接“两边中点”，二者端点不同，性质不同； - 误区2：误用中位线性质——未确认线段是三角形的中位线（即未证明两个端点是两边中点），就直接套用“平行且等于第三边一半”； - 误区3：计算错误——忽略中位线是第三边的“一半”，误将中位线长度当作第三边长度，或反之。 二、重点例题解析（分题型） 题型1：三角形中位线的定义辨析 例题1：判断下列说法是否正确，并说明理由：（1）连接三角形一个顶点和对边中点的线段是三角形的中位线；（2）连接三角形两边中点的线段是三角形的中位线；（3）三角形的中位线一定平行于三角形的一边。 解析：（1）不正确，理由：连接三角形一个顶点和对边中点的线段是三角形的中线，不是中位线；（2）正确，理由：符合三角形中位线的定义；（3）正确，理由：三角形的中位线平行于三角形的第三边，一定平行于三角形的一边。 题型2：三角形中位线性质的基础应用（求线段长度） 例题2：在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，已知DE=5cm，求BC的长度；若BC=12cm，求DE的长度。 解析：由三角形中位线性质，DE是△ABC的中位线，∴ DE=½BC； （1）BC=2×DE=2×5=10cm；（2）DE=½BC=½×12=6cm。 题型3：三角形中位线性质的应用（判定平行+求长度） 例题3：在△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，求证：DE∥BF，且DE=BF；若AB=8cm，AC=6cm，BC=10cm，求△DEF的周长。 解析：（1）证明：∵ 点D、E分别是AB、AC的中点，∴ DE是△ABC的中位线； ∴ DE∥BC，DE=½BC； 又∵ 点F是BC的中点，∴ BF=½BC； ∴ DE∥BF，且DE=BF； （2）∵ D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，∴ DE=½BC=5cm，DF=½AC=3cm，EF=½AB=4cm； ∴ △DEF的周长=DE+DF+EF=5+3+4=12cm。 题型4：中位线与平行四边形的综合应用 例题4：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形（提示：连接AC，利用三角形中位线性质）。 解析：连接AC； ∵ E、F分别是AB、BC的中点，∴ EF是△ABC的中位线； ∴ EF∥AC，EF=½AC； ∵ G、H分别是CD、DA的中点，∴ GH是△ACD的中位线； ∴ GH∥AC，GH=½AC； ∴ EF∥GH，且EF=GH； ∴ 四边形EFGH是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。 三、分层练习题 （一）基础题（每题4分，共20分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 三角形的中线就是三角形的中位线 B. 连接三角形两边中点的线段是中位线 C. 三角形的中位线平行于任意一边 D. 三角形的中位线等于第三边的长度 2. 在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，DE=4cm，则BC的长度为（ ） A. 2cm B. 4cm C. 8cm D. 16cm 3. 三角形的中位线的性质是：平行于三角形的______，且等于______的一半。 4. 在△ABC中，BC=14cm，点D、E分别是AB、AC的中点，则DE=______cm。 5. 一个三角形有______条中位线，这些中位线围成的三角形的周长是原三角形周长的______。 （二）提升题（每题6分，共30分） 1. 在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，求证：DE∥BC，且DE=½BC（结合平行四边形判定推导）。 2. 在△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，已知AB=10cm，BC=12cm，AC=14cm，求△DEF的周长。 3. 如图，在△ABC中，DE是中位线，EF∥AB，交BC于点F，求证：四边形ADEF是平行四边形。 4. 已知△ABC的周长为36cm，求它的三条中位线围成的三角形的周长。 5. 如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是CD的中点，连接AE并延长交BC于点F，求证：BF=FC（提示：过点D作DG∥AF，交BC于点G）。 （三）拓展题（每题10分，共20分） 1. 如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形，且EF=½AB。 2. 已知△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，D、E分别是AC、BC的中点，连接DE，求DE的长度及四边形ADEB的面积。 四、易错点提醒 1. 定义混淆：将三角形的中位线与中线混淆，误把“顶点和对边中点的连线”当作中位线。 2. 性质误用：未证明线段是中位线（即未确认两个端点是两边中点），就直接套用“平行且等于第三边一半”的性质。 3. 计算错误：求线段长度时，颠倒中位线与第三边的关系，误将中位线长度当作第三边，或忘记除以2、乘以2。 4. 综合应用薄弱：在复杂图形中，不会通过连接对角线构造三角形，进而利用中位线性质解决问题。 5. 推理不规范：推导中位线性质或运用性质证明时，步骤不完整，未说明“中点”“平行四边形判定”等关键条件。 五、参考答案与解析 （一）基础题：1.B 2.C 3.第三边，第三边 4.7 5.3，一半 （二）提升题： 83. 证明：延长DE至F，使EF=DE，连接CF，∵ E是AC中点，∴ AE=CE，△ADE≌△CFE（SAS），∴ AD=CF，AD∥CF，又∵ D是AB中点，∴ AD=BD，∴ BD=CF，BD∥CF，四边形BCFD是平行四边形，∴ DF∥BC，DF=BC，∴ DE∥BC，DE=½BC； 84. ∵ D、E、F是中点，∴ DE=½BC=6cm，DF=½AC=7cm，EF=½AB=5cm，周长=6+7+5=18cm； 85. 证明：∵ DE是△ABC中位线，∴ DE∥BC，又∵ EF∥AB，∴ 四边形ADEF是平行四边形（两组对边分别平行）； 86. 三条中位线围成的三角形周长=½×原三角形周长=½×36=18cm； 87. 证明：过D作DG∥AF交BC于G，∵ D是AB中点，DG∥AF，∴ G是BF中点（中位线逆用），∵ E是CD中点，AE∥DG，∴ F是GC中点，∴ BF=FG=FC，即BF=FC。 （三）拓展题： 90. 证明：∵ E、F是OA、OB中点，∴ EF是△AOB中位线，∴ EF∥AB，EF=½AB；同理，GH是△COD中位线，∴ GH∥CD，GH=½CD；又∵ 四边形ABCD中，若AC、BD相交，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD中点，∴ EF∥GH，EF=GH，∴ 四边形EFGH是平行四边形； 91. ∵ D、E是AC、BC中点，∴ DE是△ABC中位线，∴ DE=½AB；Rt△ABC中，AB=√(AC²+BC²)=√(6²+8²)=10cm，∴ DE=5cm；△ABC面积=½×6×8=24cm²，△CDE面积=½×△ABC面积=6cm²，∴ 四边形ADEB面积=24-6=18cm²。 学习目标 1.理解并掌握平行四边形的概念． 2.探索并掌握平行四边形对边相等、对角相等的性质． 新课导入 在三角形中，连接一个____和它的________的____叫作三角形的中线。 A B C 顶点 对边中点 线段 中点D 中点E 线段DE叫作什么？ 3 已知，直线 l1，l2，l3 互相平行，直线 l4和l5分别交直线 l1，l2，l3 于点A，B，C 和点A1，B1，C1，且 AB = BC. 求证：A1B1 = B1C1. l1 l2 l3 A B C A1 B1 C1 l4 l5 例 6 新课推进 4 l1 l2 l3 A B C A1 B1 C1 l4 l5 l6 证明 过点B1作l6// l4 ，分别交直线l1，l3于点E，F. E F ∴ 四边形ABB1E和四边形BCFB1都是平行四边形. ∴EB1=AB ，B1F=BC ∵ AB = BC， ∴ EB1 = B1F. 又∵ l6// l4，∴ ∠A1EB1 = ∠B1FC1，∠A1B1E =∠C1B1F， ∴ △A1B1E ≌ △C1B1F. ∴ A1B1=B1C1. 5 小 结 平行线等分线段定理： 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也_____. 相等 l1 l2 l3 A B C A1 B1 C1 6 平行线等分线段定理的推论： 经过三角形一边中点与另一边平行的直线必_____第三边. A B C 平分 7 □ ABCD的对角线交于点О，过点О的直线交BC于点E，交AD于点F. (1)如图，点O是线段EF的中点吗?说出你的理由； 点O是线段EF的中点. 可证△DOF≌△BOE 得OF=OE □ ABCD的对角线交于点О，过点О的直线交BC于点E，交AD于点F. (2)如图，若点E为边BC的中点，则线段EF与边AB有什么关系?说出你的理由. EF=AB 已知：如图，点 D，E 分别为△ABC 的边 AB，AC 的中点. 求证：DE // BC，且 DE = BC. A B C D E 例 7 10 A B C D E 证明 延长DE到点F，使得EF=DE，连接CF. 在△ADE和△CFE中，AE=CE，∠AED=∠CEF， DE=FE，∴△ADE≌△CFE ∴∠A=∠ECF，AD=CF. ∴CF∥ AB. F 又∵AD=BD，∴CF=BD. ∴四边形BCFD是平行四边形. ∴ DE∥ BC，DF=BC. ∵EF=DE，∴DE= BC. 11 三角形中位线 （1）连接三角形_________的线段叫三角形的中位线. 两边中点 （2）三角形的中位线定理：三角形两边中点连线_______第三边，并且等于第三边的一半． 平行于 A B C E F 如图，在Rt△ABC中，∠A =90°，AB=AC，BC = ，点D，E分别是BC，AC边上的中点，求线段DE的长. 例 8 A B C E D A B C E D 解 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB2+AC2=BC2. ∵AB=AC，BC= ， ∴2AB2=18. ∴AB=3. ∵点D，E分别是BC， AC边上的中点， ∴ DE是△ABC的中位线. ∴ DE= AB= ×3= . 1.如图，点 D，E，F 分别是 △ABC 三边的中点，若 AB = 10 cm，AC = 8 cm，BC = 12 cm，则 EF =_____，DF =_____，DE= _____，△DEF 的周长为______ . 5 cm 4 cm 6 cm 15 cm 随堂练习 三条中位线所围成的三角形的周长等于原三角形周长的一半，面积等于原三角形面积的四分之一. 2.已知某三角形各边长分别为6cm，9cm，10cm，求连接该三角形各边中点所组成三角形的周长. 3.如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，延长BE交AC于点D，过点E作EF//AC交BC于点F.若AB=6，AC= 10，求EF的长. 解 ∵AE平分∠BAC，BE⊥AE. ∴∠BAE=∠DAE， ∠BEA=∠DEA=90° ∴△BEA≌△DEA，∴BE=DE，AB=AD=6 3.如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，延长BE交AC于点D，过点E作EF//AC交BC于点F.若AB=6，AC= 10，求EF的长. 又∵ EF//AC ∴ BF=CF， ∴ EF是△BCD的中位线 ∴ EF= CD= (AC-AD)= ×(10-6)=2 1．[知识初练]如图是点点设计的花架示意图，已知AB∥CD∥EF，若AC＝CE，BF＝1.2 m，则BD的长度为________m. 0.6 中考考法 19 2. 下列每个图形中，已知， ， 则下列结论错误的是( ) C A.图①中， B.图②中， C.图③中， D.图④中， 中考考法 20 3. (真实情境)如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个Rt△ABC，跷跷板中间的支撑杆EF垂直于地面(E为AB的中点)，若AF＝70 cm，则CF的长度为________cm. 70 中考考法 21 4．[知识初练]如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点. (1)若BC＝8，则DE＝________； (2)若∠ADE＝35°，则∠B＝________°. 4 35 中考考法 22 5．[广东中考]如图，点D，E，F分别是△ABC各边上的中点，∠A＝70°，则∠EDF＝(　　) A．20° B．40° C．70° D．110° C 中考考法 23 6．在周长为600 m的三角形土地中修建如图所示的三条水渠，则水渠的总长为________m. 300 中考考法 24 三角形的中位线定理：三角形两边中点连线_______第三边，并且等于第三边的一半． 平行于 课堂小结 平行线等分线段定理： 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也_____. 相等 $