19.2.2.2 平行四边形的判定(2)-课件-- 2025--2026学年沪科版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦平行四边形判定，系统梳理4种判定方法，重点讲解“一组对边平行且相等”“对角线互相平分”两种新增方法。课堂导入通过复习旧知判定，结合生活图片观察、画图测量等实践操作，构建前后知识衔接的学习支架。 其亮点在于通过探究活动（测量猜想、三角形全等推导判定）培养几何直观与推理能力，分层练习（基础、提升、拓展）和易错辨析帮助学生规范数学语言表达。例题分题型且提供多种证明方法，助力学生灵活运用判定，提升数学思维，教师可利用其系统资源实施分层教学，提高教学效率。

沪科版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月4日 19.2.2.2平行四边形的判定(2) 第19章 四边形 沪科版数学八下19.2.2.2 平行四边形的判定(2) 本套内容围绕沪科版八年级下册19.2.2.2“平行四边形的判定(2)”核心知识点设计，衔接上一课时“两组对边分别平行”“两组对边分别相等”两种判定方法，重点讲解另外两种核心判定方法——“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，兼顾知识点梳理、判定方法对比、例题解析、分层练习题和易错辨析，帮助同学们熟练掌握这两种判定方法的几何语言、推导过程，能灵活运用四种判定方法（含前两课时）证明四边形是平行四边形，规范推理步骤，培养几何推理和综合应用能力，贴合课堂教学重点，适配课后巩固练习。 一、核心知识点梳理 （1）复习回顾（衔接上一课时） 上一课时我们学习了平行四边形的2种判定方法，牢记判定与性质的互逆关系： - 判定方法1（定义）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； - 判定方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 本节课将新增2种更便捷的判定方法，可结合已知条件灵活选择使用。 （2）判定方法3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 1. 判定内容：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 2. 关键说明：“平行且相等”需同时满足两个条件——① 位置关系：平行；② 数量关系：相等，缺一不可； 3. 几何语言表示（以四边形ABCD为例，AB与CD为一组对边）： ∵ AB∥CD，AB=CD，∴ 四边形ABCD是平行四边形； 4. 推导过程（结合三角形全等）： 连接四边形ABCD的对角线AC，∵ AB∥CD，∴ ∠BAC=∠DCA（两直线平行，内错角相等）； 在△ABC和△CDA中，AB=CD，∠BAC=∠DCA，AC=CA（公共边）； ∴ △ABC≌△CDA（SAS）； ∴ AD=BC（全等三角形对应边相等）； ∴ 四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。 （3）判定方法4：对角线互相平分的四边形是平行四边形 1. 判定内容：对角线互相平分的四边形是平行四边形； 2. 几何语言表示（以四边形ABCD为例，对角线AC、BD交于点O）： ∵ AO=OC，BO=OD，∴ 四边形ABCD是平行四边形； 3. 推导过程（结合三角形全等）： 在△AOB和△COD中，AO=OC，∠AOB=∠COD（对顶角相等），BO=OD； ∴ △AOB≌△COD（SAS）； ∴ AB=CD，∠OAB=∠OCD（全等三角形对应边、对应角相等）； ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）； ∴ 四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。 （4）四种判定方法汇总（对比记忆，重点） 判定方法 核心条件 几何语言表示（四边形ABCD） 适用场景 1. 定义判定 两组对边分别平行 ∵ AB∥CD，AD∥BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形 已知条件有“两组对边平行” 2. 两组对边分别相等 两组对边分别相等 ∵ AB=CD，AD=BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形 已知四条边长，或能证明两组对边相等 3. 一组对边平行且相等 一组对边平行且相等 ∵ AB∥CD，AB=CD（或AD∥BC，AD=BC），∴ 四边形ABCD是平行四边形 已知一组对边的平行关系和长度关系 4. 对角线互相平分 对角线互相平分（交于一点，且被交点平分） ∵ AO=OC，BO=OD，∴ 四边形ABCD是平行四边形 已知对角线的交点及线段平分关系 （5）易错辨析（重点区分） - 误区1：“一组对边平行，另一组对边相等”≠“一组对边平行且相等”（前者不能判定，如等腰梯形；后者可以判定）； - 误区2：“对角线相等”≠“对角线互相平分”（对角线相等不能判定平行四边形，如矩形是特殊平行四边形，对角线相等，但普通平行四边形对角线不一定相等）； - 误区3：运用“对角线互相平分”判定时，需明确“两条对角线”都被交点平分，仅一条对角线被平分不行。 二、重点例题解析（分题型） 题型1：用“一组对边平行且相等”判定平行四边形 例题1：如图，在四边形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF，AE∥CF，求证：四边形ABCD是平行四边形。 解析：∵ AE=CF，AE∥CF，∴ 四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）； ∴ AF∥EC，AF=EC（平行四边形的性质）； 又∵ AE=CF，AD=AE+ED，BC=BF+CF，可证ED=BF，且ED∥BF； ∴ 四边形EDFB是平行四边形，∴ AB∥CD，AB=CD； ∴ 四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。 题型2：用“对角线互相平分”判定平行四边形 例题2：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知AO=2cm，OC=2cm，BO=3cm，OD=3cm，求证：四边形ABCD是平行四边形，并判断AB与CD的位置关系和数量关系。 解析：∵ AO=OC=2cm，BO=OD=3cm（已知），∴ 四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）； 由平行四边形的性质得：AB∥CD，AB=CD。 题型3：多种判定方法的灵活选择 例题3：如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E、F是OA、OC的中点，求证：四边形BEDF是平行四边形（用两种方法证明）。 方法一（对角线互相平分）： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AO=OC，BO=OD（平行四边形对角线互相平分）； ∵ 点E、F是OA、OC的中点，∴ OE=½AO，OF=½OC； ∴ OE=OF（等量代换）； 又∵ BO=OD，∴ 四边形BEDF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。 方法二（一组对边平行且相等）： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AB=CD，∠BAO=∠DCO； ∵ E、F是OA、OC中点，∴ AE=CF； ∴ △ABE≌△CDF（SAS），∴ BE=DF，∠AEB=∠CFD； ∴ ∠BEO=∠DFO，∴ BE∥DF； ∴ 四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。 题型4：易错辨析与纠正 例题4：判断下列说法是否正确，并说明理由：（1）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（2）对角线相等的四边形是平行四边形；（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形。 解析：（1）正确，理由：符合平行四边形的判定方法3，“平行”和“相等”同时满足，可判定； （2）不正确，理由：对角线相等的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形的对角线相等，但不是平行四边形； （3）正确，理由：符合平行四边形的判定方法4，两条对角线互相平分，可直接判定。 三、分层练习题 （一）基础题（每题4分，共20分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 C. 对角线相等的四边形是平行四边形 D. 一组对边相等的四边形是平行四边形 2. 用“一组对边平行且相等”判定平行四边形，需同时满足的两个条件是（ ） A. 平行且垂直 B. 平行且相等 C. 相等且垂直 D. 平行或相等 3. 在四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=CD，则四边形ABCD是______，理由是______。 4. 在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若AO=OC，且______，则四边形ABCD是平行四边形（填一个条件）。 5. 已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，AO=3cm，则OC=______cm，BO=______cm（用性质填空）。 （二）提升题（每题6分，共30分） 1. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，求证：四边形ABCD是平行四边形，并证明AB=CD。 2. 在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AO=4cm，OC=4cm，BO=5cm，OD=5cm，求证：AB∥CD，AD∥BC。 3. 求证：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（结合三角形全等推导）。 4. 在▱ABCD中，点E、F分别是OB、OD的中点，求证：四边形AECF是平行四边形。 5. 判断下列说法是否正确，并说明理由：（1）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；（2）对角线互相平分且相等的四边形是平行四边形。 （三）拓展题（每题10分，共20分） 1. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点O，且AO=OC，求证：AB=CD，四边形ABCD是平行四边形。 2. 已知△ABC，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE并延长至点F，使EF=DE，连接CF、CD，求证：四边形BCFD是平行四边形。 四、易错点提醒 1. 判定条件混淆：将“一组对边平行且相等”与“一组对边平行，另一组对边相等”混淆，前者可判定，后者不可。 2. 对角线判定错误：误认为“对角线相等”“一条对角线被平分”能判定平行四边形，忽略“互相平分”的核心条件。 3. 推理不规范：运用判定方法时，未先证明所需条件（如证明“一组对边平行且相等”时，未先证明平行或相等，直接套用判定）。 4. 灵活选择能力不足：已知对角线关系时，未优先选择“对角线互相平分”的判定方法，导致推理繁琐。 5. 几何语言书写错误：书写“一组对边平行且相等”时，遗漏一个条件；书写对角线判定时，未说明“交于同一点”。 五、参考答案与解析 （一）基础题：1.B 2.B 3.平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 4.BO=OD 5.3，OD（或任意与BO相等的线段） （二）提升题： 106. 证明：∵ AD∥BC，AD=BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；∴ AB=CD（平行四边形的性质）； 107. 证明：∵ AO=OC，BO=OD，∴ 四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）；∴ AB∥CD，AD∥BC（平行四边形的性质）； 108. 证明：连接AC，∵ AB∥CD，∴ ∠BAC=∠DCA，在△ABC和△CDA中，AB=CD，∠BAC=∠DCA，AC=CA，∴ △ABC≌△CDA（SAS），∴ AD=BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形； 109. 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AO=OC，BO=OD，∵ E、F是OB、OD中点，∴ OE=OF，∴ 四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）； 110. （1）不正确，理由：等腰梯形一组对边平行、另一组对边相等，但不是平行四边形；（2）正确，理由：对角线互相平分可判定是平行四边形，相等是额外条件，不影响判定。 （三）拓展题： 113. 证明：∵ AB∥CD，∴ ∠OAB=∠OCD，在△AOB和△COD中，∠OAB=∠OCD，AO=OC，∠AOB=∠COD，∴ △AOB≌△COD（ASA），∴ AB=CD，又∵ AB∥CD，∴ 四边形ABCD是平行四边形； 114. 证明：∵ D、E分别是AB、AC中点，∴ DE∥BC，DE=½BC，∵ EF=DE，∴ DF=DE+EF=2DE=BC，又∵ DE∥BC，∴ DF∥BC，∴ 四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。 理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的定义和表示方法。​ 探索并证明平行四边形的性质定理，包括对边相等、对角相等、对角线互相平分，能运用这些性质定理解决简单的几何问题。​ 探究并掌握平行四边形的判定定理，如两组对边分别相等的四边形是平行四边形、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形等，能运用判定定理判定一个四边形是否为平行四边形。​ 通过观察、实验、猜想、验证、推理、交流等数学活动，培养学生的合情推理能力和演绎推理能力，提高学生的数学思维水平。​ 让学生在探索平行四边形性质和判定的过程中，体会数学知识之间的内在联系，感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的创新意识和合作精神。​ 二、教学重难点​ （一）教学重点​ 平行四边形的定义、性质和判定定理。​ 运用平行四边形的性质和判定定理进行计算和证明。​ （二）教学难点​ 平行四边形性质和判定定理的证明过程，尤其是添加辅助线的方法和思路。​ 灵活运用平行四边形的性质和判定定理解决综合性问题。​ 三、教学方法​ 讲授法、探究法、讨论法、练习法相结合​ 四、教学过程​ （一）导入新课（5 分钟）​ 展示生活中常见的平行四边形图片，如伸缩门、楼梯扶手、停车位等，引导学生观察这些图形的共同特征。​ 提问：同学们，你们能从这些图片中发现什么共同的几何图形吗？这些图形有什么特点呢？从而引出本节课的主题 —— 平行四边形。​ （二）讲授新课（30 分钟）​ 平行四边形的定义​ 给出平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。​ 介绍平行四边形的表示方法，如图，平行四边形 ABCD 记作 “□ABCD”，读作 “平行四边形 ABCD”。​ 让学生在练习本上画出一个平行四边形，并标注顶点字母，用符号表示出来。​ 平行四边形的性质​ 探究活动 1：让学生用直尺和量角器测量自己画出的平行四边形的边和角，猜想平行四边形的对边、对角有什么数量关系。​ 学生汇报测量结果和猜想，教师进行总结归纳：平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等。​ 证明性质定理：​ 对于 “平行四边形的对边相等”，引导学生连接平行四边形的一条对角线 AC，将平行四边形分成两个三角形△ABC 和△CDA。​ 证明：因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 AB∥CD，AD∥BC。所以∠BAC = ∠DCA，∠DAC = ∠BCA。又因为 AC = CA，所以△ABC≌△CDA（ASA）。所以 AB = CD，AD = BC。​ 对于 “平行四边形的对角相等”，由△ABC≌△CDA 可得∠B = ∠D，再利用平行四边形邻角互补，可推出∠BAD = ∠BCD。​ 总结平行四边形的性质定理 1：平行四边形的对边相等。性质定理 2：平行四边形的对角相等。​ 练习 1：在□ABCD 中，已知 AB = 5，BC = 3，求它的周长。​ 答案：因为平行四边形对边相等，所以周长为 2×(AB + BC)=2×(5 + 3)=16。 学习目标 经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，体会 类比思想及探究图形判定的一般思路. 掌握平行四边形的三个判定定理，能根据不同条件 灵活选取适当的判定定理进行推理论证. 新课导入 平行四边形的定义： 两组对边_________的四边形叫作平行四边形. 性质1 平行四边形的_________. 性质2 平行四边形的_________. 分别平行 对边相等 对角相等 性质3 平行四边形的_______________. 对角线互相平分 如图，过点A画两条线段AB，AD，以点B为圆心、AD长为半径画弧，再以点D为圆心、AB长为半径画弧，两弧相交于点C，连接BC，DC.这样画出的四边形ABCD的两组对边分别相等，它是平行四边形吗?为什么? A B C D 思考 如图，在四边形 ABCD 中，AB = CD，AD = BC． 求证：四边形 ABCD 是平行四边形． A B C D 　　证明：连接BD． ∵　AB=CD，AD=BC，BD是公共边， ∴　△ABD≌△CDB． ∴　∠1=∠2，∠3=∠4． ∴　AB∥DC，AD∥BC． ∴　四边形ABCD是平行四边形． D A B C 1 2 3 4 两组对边__________的四边形是平行四边形．　　 平行四边形判定定理 2 分别相等 如图，作两条直线l1，l2。交于点O，在直线l1上截取OA=OC，在直线l2上截取OB=OD，连接AB，BC，CD，DA.这样画出的四边形ABCD的对角线互相平分，它是平行四边形吗?为什么? 思考 A B C D l2 l1 O 如图，在四边形 ABCD 中， AC，BD 相交于点 O，且 OA = OC，OB = OD．求证：四边形 ABCD 是平行四边形． D A B C O 　　证明：∵　OA=OC，OB=OD，∠AOD=∠COB， ∴　△AOD≌△COB． ∴　∠OAD=∠OCB． ∴　AD∥ BC． 同理　AB∥ DC． ∴　四边形ABCD是平行四边形． D A B C O 对角线__________的四边形是平行四边形．　　 平行四边形判定定理 3 互相平分 　　 已知：如图，点 E，F 是□ABCD 的对角线 AC 上两点，且 AE = CF． 求证：四边形 BEDF 是平行四边形． A B C D E F 例 5 A B C D E F 证明 连接 BD 交 AC 于点 O. O ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AO = CO，BO = DO. ∵ AE = CF. ∴ OE=AO-AE=CO-CF=OF. 所以四边形 BEDF 是平行四边形. 随堂练习 1.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ） A.对角线互相平分 B.一组对角相等 C.一组对边相等 D.对角线互相垂直 A 2.如图，在△ABC中，AB=AC=15，D在BC边上，DE∥ BA交AC于点E，DF∥ CA交AB于点F，那么四边形AFDE的周长是_________。 30 1.［知识初练］如图，在四边形 中， ，，则当___ ， ___时，四边形 是平行四边形. 5 4 2.下面给出的是四边形中，，， 的长度之 比，其中能判定四边形 是平行四边形的是( ) C A. B. C. D. 中考考法 16 3.(易错题)在四边形中，有两条边相等，另两条边也相等，则这个四边形(　　) A．一定是平行四边形 B．一定不是平行四边形 C．可能是平行四边形 D．上述答案都不对 C 中考考法 17 4.如图所示，在四边形中，，， 为对角线 上的点，，，且， ， 求证:四边形 是平行四边形. 中考考法 18 证明：， ， . 在和 中， ， . 又， 四边形 是平行四边形. 中考考法 19 5.［知识初练］如图，在四边形 中， 如果， ，那么当 ___，___ 时，四边形 是平行四边形. 7 5 中考考法 20 6.嘉嘉和琪琪都在结合下面的图形证明四边形 是平行 四边形， 嘉嘉给出的条件是， ； 琪琪给出的条件是 . 则( ) 中考考法 21 A.嘉嘉可以证明，琪琪不可以证明 B.嘉嘉不可以证明，琪琪可以证明 C.两人都可以证明 D.两人都不可以证明 √ 中考考法 22 课堂小结 两组对边__________的四边形是平行四边形．　　 平行四边形判定定理 2 分别相等 对角线__________的四边形是平行四边形．　　 平行四边形判定定理 3 互相平分 $