2026届高考数学百分练（十九）（7+2+2+3）

**基本信息** 聚焦高考核心大题，通过青花瓶双曲线情境、概率统计摸球问题等，考查数学眼光与思维，适配三轮冲刺能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|7/35|分位数、双曲线离心率等|结合文化情境（如第3题青花瓶双曲线）| |多选|2/12|等差数列、抛物线性质|综合考查逻辑推理（如第8题等差数列前n项和）| |填空|2/10|二项式定理、球与圆台|空间观念与运算能力（如第11题球内切圆台）| |解答|3/43|概率统计、解三角形、立体几何|实际应用与综合论证（如第12题摸球概率、第14题线面平行证明与面面夹角计算）|

2026高考数学·百分卷（十九） 百分卷: 7+2+2+3，解答题为高考大题中的三角、数列、立体几何、概率统计以及较为容易的解析几何或导数大题 一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数据10，11，11，12，13，14，16，18的75%分位数为（ ） A. 16 B. 15 C. 14 D. 13 【答案】B 【解析】因为，所以这组数据的75%分位数为． 2. 函数的所有极值的和为（ ） A. -4 B. -2 C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】由题可得，令，解得：或, 当或时，,当时，, 所以的单调递增区间为：和，单调递减区间为, 所以的极大值为，极小值为, 则函数的所有极值的和为 3. 如图，这是古代的一个青花竹石芭蕉纹玉壶春瓶， 忽略花瓶的厚度， 该花瓶的轴截面的上半部分对应的曲线是双曲线(焦距为)的一部分，且该花瓶的颈部最窄处的直径为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】由题意，该双曲线的焦距为，实轴长，则， 所以该双曲线的离心率为. 4. 函数（）的最小值为（ ） A. 9 B. 12 C. D. 【答案】B 【解析】由题得， 因为，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 则函数（）的最小值为12． 5. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递增 C. 在上单调递减 D. 在上单调递减 【答案】B 【解析】若，则，结合正弦函数单调性可知函数在上有增有减，不单调；若，则，结合正弦函数单调性可知函数在上单调递增. 6. 以直线为渐近线且过点的双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由双曲线的渐近线为直线，设该双曲线方程为， 由该双曲线过点，得，解得， 所以所求双曲线方程为，即. 7. 已知向量 ，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由，得，则， 所以 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 8. 记为等差数列的前n项和．已知，则（ ） A. B. C. 等差数列 D. 为等比数列 【答案】ACD 【解析】设等差数列的公差为，由题意可得，解得，故.对于A，由通项易得，故A正确；对于B，因，而，即，故B错误； 对于C，因，则，由，可得数列为等差数列，故C正确；对于D，因，则，由，可得为等比数列，故D正确. 9. 已知抛物线：（）的焦点为，点在上，为坐标原点，为上与，不重合的动点，则（ ） A. 的最小值为 B. 当直线经过点时，点到轴的距离为 C. 当为钝角时，点纵坐标的取值范围是 D. 当点到直线距离为时，直线的斜率为或 【答案】BD 【解析】对于A，因为点在抛物线：上，所以，解得， 所以抛物线的方程为，所以焦点， 设，由焦半径公式得， 所以无最小值，故A错误； 对于B，由，，可得， 所以直线的方程为，即， 联立，解得或，即， 所以点到轴的距离为，故B正确； 对于C，设，则，， 所以，若为钝角，则， 即，解得，故C错误； 对于D，设直线的方程为，即， 因点到直线距离为，可得， 解得或，故D正确. 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分． 10. 已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则的系数为___________． 【答案】60 【解析】的展开式中第项与第项的二项式系数相等，，，则的展开式中的通项为：，令，解得，故该展开式中的系数为. 11. 已知半径为的球内切于圆台，若圆台的上、下底面半径之比为，则圆台的母线长为________． 【答案】8 【解析】依题意，球的大圆是圆台轴截面（等腰梯形）的内切圆，因此圆台的高等于球的直径，即， 由圆外切四边形对边和相等，得圆台母线长等于上下底半径之和， 设圆台上底面半径为，则母线长为， 由，得，所以圆台的母线长为8． 四、解答题：本题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 12. 有三个外观相同的箱子，编号分别为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和2个白球，3号箱装有4个红球和6个白球，这些球除颜色外完全相同． （1）某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取到红球的概率； （2）某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球取自几号箱的可能性最大． 【解析】（1）设事件表示“球取自号箱”（），事件表示“取到红球”， 则，， 可得 ，故取到红球的概率为. （2）根据（1）中数据， 由贝叶斯公式知； ； ， 因为，所以该球取自2号箱的可能性最大． 13. 已知中的内角，，所对的边分别为，，，满足. （1）求； （2）若，函数的图像经过点，求的解析式. 【解析】（1）由，得， 所以，即， 又因为，所以，所以，解得，所以； （2）由（1）知，又因为函数的图像经过点， 所以，解得 由正弦定理可得，所以. 所以，所以，又，所以， 所以，又，所以， 所以. 14. 如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，平面，是的中点，是的中点. （1）求证: 平面； （2）若，且平面与平面的夹角余弦值为，求侧棱的长度. 【解析】（1）取的中点，连接， 在中，且，又，， 所以，，所以四边形是平行四边形，则. 又平面，平面，所以平面. （2）设，过点作直线垂直于平面， 以点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，为的中点， 所以，易得， 设，由， 则，即， 所以， 设平面的法向量， 则，取，得， 设平面的法向量， 则，取，得， 设平面与平面的夹角为， 所以， 解得，则. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026高考数学·百分卷（十九） 百分卷: 7+2+2+3，解答题为高考大题中的三角、数列、立体几何、概率统计以及较为容易的解析几何或导数大题 一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数据10，11，11，12，13，14，16，18的75%分位数为（ ） A. 16 B. 15 C. 14 D. 13 2. 函数的所有极值的和为（ ） A. -4 B. -2 C. 0 D. 2 3. 如图，这是古代的一个青花竹石芭蕉纹玉壶春瓶， 忽略花瓶的厚度， 该花瓶的轴截面的上半部分对应的曲线是双曲线(焦距为)的一部分，且该花瓶的颈部最窄处的直径为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 4. 函数（）的最小值为（ ） A. 9 B. 12 C. D. 5. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递增 C. 在上单调递减 D. 在上单调递减 6. 以直线为渐近线且过点的双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量 ，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 8. 记为等差数列的前n项和．已知，则（ ） A. B. C. 等差数列 D. 为等比数列 9. 已知抛物线：（）的焦点为，点在上，为坐标原点，为上与，不重合的动点，则（ ） A. 的最小值为 B. 当直线经过点时，点到轴的距离为 C. 当为钝角时，点纵坐标的取值范围是 D. 当点到直线距离为时，直线的斜率为或 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分． 10. 已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则的系数为___________． 11. 已知半径为的球内切于圆台，若圆台的上、下底面半径之比为，则圆台的母线长为________． 四、解答题：本题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 12. 有三个外观相同的箱子，编号分别为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和2个白球，3号箱装有4个红球和6个白球，这些球除颜色外完全相同． （1）某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取到红球的概率； （2）某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球取自几号箱的可能性最大． 13. 已知中的内角，，所对的边分别为，，，满足. （1）求； （2）若，函数的图像经过点，求的解析式. 14. 如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，平面，是的中点，是的中点. （1）求证: 平面； （2）若，且平面与平面的夹角余弦值为，求侧棱的长度. 学科网（北京）股份有限公司 $