精品解析：甘肃渭源县第三高级中学2025-2026学年高二第二学期期中考试数学试卷

2025-2026年第二学期甘肃省渭源县第三高级中学期中考试试卷高二数学 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以． 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】． 3. 若正数满足，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用指数的运算得到，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，所以，又是正数， 则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 4. 已知向量，．若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分别求出向量和的坐标，再利用两向量平行的坐标关系列方程求解. 【详解】因为，. 所以 ， 因为，所以. 所以. 5. 已知为锐角，，则（） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数的诱导公式和二倍角公式，将转化为与相关的形式，再结合为锐角确定符号. 【详解】因为，可得： . 已知，所以. 所以. 解得：. 因为为锐角，即，所以 所以. 6. 钝角的内角，，的对边分别为，，，满足，则的取值范围为（ ） A. （0，1） B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用正弦定理将条件 转化为角的关系，结合钝角三角形的限制，推出 的取值范围，再将目标式 转化为关于 的函数，最后结合函数单调性求出取值范围即可. 【详解】因为，由正弦定理得，， 即，中，故， 由及为钝角三角形可得，， 由正弦定理得， ， 由各内角大于0，即，可得，故， 对勾函数在上单调递减，且， 所以，的取值范围为. 7. 双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的离心率是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知得出渐近线的倾斜角进而得出，再根据即可求解． 【详解】∵双曲线的一条渐近线的倾斜角为， ，， ∴此双曲线的离心率为2． 8. 若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为函数在上单调递增， 函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在区间上是单调函数，所以，且， 所以． 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 如图1，与是两个等腰三角形，，.将沿着翻折到，如图2，设二面角的平面角为，，分别为和的中点，则（ ） A. B. 四面体体积的最大值为1 C. 时，过直线且与平行的平面截四面体所得截面面积为 D. 时，四面体外接球表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项，作辅助线通过证明线面垂直证明线线垂直；对于B选项，找出二面角的平面角，计算四面体体积与的关系来判断体积的最大值；对于C选项，通过取各边中点把截面作出来，结合A选项得到截面为矩形，再计算面积；对于D选项，时，四面体有两个平面互相垂直，属于垂面型外接球，找到球心，计算出半径即可. 【详解】对于A选项，取中点，连接 由于与是两个等腰三角形，， 沿着翻折到，所以，,点为中点， 所以， 故平面, ,所以A选项正确； 对于B选项，作于点，作 于点,连接,那么由可知 ,那么为二面角的平面角, 面, 所以，面,， ， 所以，四面体体积的最大值为1，故B选项正确； 对于C选项，分别取 的中点 ，连接 , 根据中位线的性质可知 ,且 所以， 且 ，四边形 为平行四边形， 所以，直线且与平行的平面截四面体的截面为.当时，由B选项可知为正三角形，, , 由可得，,为矩形， ，故C选项错误； 对于选项D，当时，平面平面,由B选项可知平面, 取的外心，取的外心，外接圆半径, 分别作平面的垂线，平面的垂线 交于一点,即四面体外接球球心，作于点 ，由于，所以为等腰直角三角形， 所以，, 所以，， ，故D正确. 10. 已知函数关于下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 直线是函数的一条对称轴 C. 将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数的图象 D. 的导函数的值域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据周期公式判断A；代入验证可判断B；利用平移变换可判断C；求导后结合余弦函数性质判断D. 【详解】对A，由题知，所以的最小正周期，错误； 对B，因为， 所以直线是函数的一条对称轴，正确； 对C，将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度得，正确； 对D，令，， 则，即， 由余弦函数性质可知，的值域为，正确. 11. 已知曲线：，则（ ） A. 曲线上任一点到原点的距离的最小值为 B. 曲线恰有八条对称轴 C. 过点的任意一条直线与曲线的公共点个数均为偶数 D. 曲线所围成的封闭图形的面积满足 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先由条件确定曲线为或，画出曲线的图象，结合双曲线的对称性和性质，直线与双曲线的交点个数问题，判断选项. 【详解】由曲线可知，或， 即或或或， 如图，分别画出曲线的图象， 这4个双曲线都关于轴，轴，和对称， 如图，还有过两个曲线交点且过原点的直线也是对称轴，所以曲线有8条对称轴，故B正确； 根据对称性可知，双曲线的顶点到原点的距离最小， 不妨研究落在轴正半轴的顶点到原点的距离，时，，即， 此时顶点到原点的距离为，所以曲线上任一点到原点的距离的最小值为，故A正确； 如图，当过点的直线与的左支相切时，此时有5个交点，分别是与有2个交点， 与有2个交点，还有1个切点，共5个交点，为奇数，故C错误； 如图，根据对称性，以原点为圆心以为半径的圆在封闭图形的内部，此时圆的面积为， 设与在第一象限的交点为，， 如图，连接与的交点，得到正八边形， 正八边形的面积为，封闭图形在正八边形的内部， 所以，故D正确. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 在二项式的展开式中，的系数为___________． 【答案】 【解析】 【详解】的展开式的通项为，， 令，解得， 则的系数为. 13. 一场三月三晚会有歌曲、舞蹈、小品、朗诵、魔术、戏曲6个节目，各表演一次排成节目单.若要求歌曲和舞蹈之间最多间隔1个节目，则不同的节目单排法总数有_____（用数字作答） 【答案】432 【解析】 【详解】相邻时，将歌曲、舞蹈捆绑，内部排列，再与其余4个节目全排列：. 恰好间隔1个节目时，先从剩余4个节目中任选1个夹在中间，再对歌曲、舞蹈换位排列， 整体连同剩余3个节目全排列： 综上，总排法：. 14. 设函数在上存在导数，对任意，都有，在上，若，则实数m的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，转化不等式为，利用函数单调性求参数范围即可. 【详解】令，则，是上的奇函数． 又当时，， 所以在上单调递减，又是上的奇函数． 所以是上的减函数． 由 故等价于， ， 所以，解得 故答案为： 四、解答题（本大题共5个小题，共77分） 15. 已知数列的首项，且满足． （1）求的通项公式； （2）证明：． 【答案】（1） （2）证明：由（1）知，，则， 所以， 因为，所以，则，因此， 故. 【解析】 【分析】（1）根据累加法及等差数列的前项和公式求解即可. （2）结合裂项相消法证明即可. 【小问1详解】 当时，， 则，，，， 所以，即. 所以. 当时，满足上式， 故的通项公式为. 【小问2详解】 略 16. 甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球． （1）从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率； （2）掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，则从甲箱随机抽出1个球；如果点数大于等于5，则从乙箱中随机抽出1个球， （i）求抽到的是红球的概率； （ii）若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率． 【答案】（1） （2）（i） ；（ii） 【解析】 【分析】（1）借助条件概率公式计算即可； （2）（i）利用全概率公式求解即可；（ii）利用贝叶斯公式计算即得. 【小问1详解】 记事件A表示“从甲箱中抽出的2个球中有红球”，事件B表示“从甲箱中抽出的2个球都是红球”， 则 故 ； 【小问2详解】 （i）设事件C表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件D表示“抽到红球”， 则 ， 则 （ii）若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率为 . 17. 如图，在四棱锥P-ABCD中，已知平面，底面为直角梯形，，.已知，. （1）若为棱的中点，求证：平面PAB； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点A到平面的距离. 【答案】（1）证明：取棱的中点N，连接. 在中，M，N分别为，的中点， 所以，且.因为，所以. 又因为底面中，且，所以，且. 所以四边形为平行四边形，从而. 又因为平面，平面，所以平面. （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）取的中点N，连接，证明四边形为平行四边形，利用线面平行的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，进而可求解； （3）利用点到平面的距离公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，， 所以以A为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴正方向， 建立空间直角坐标系. 由已知条件可得各点坐标，，，. 因为且，所以点C的坐标为. 对于平面，. 设平面的法向量为， 则， 令，则，. 所以平面PCD的一个法向量为. 对于平面，，. 设平面的法向量为， 则， 令，则，. 所以平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则， 故这两个平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）可知，平面的一个法向量为， 因为点在平面上，且点A坐标为，所以 则点A到平面的距离d为， 所以点A到平面的距离为. 18. 已知双曲线的渐近线方程为和，右焦点为． （1）求的方程； （2）过的直线交的右支于两点，与两渐近线交于两点． （i）求的取值范围； （ii）过作的平行线交于点，过作的平行线交于点，求证：． 【答案】（1） （2）（i）； （ii）过且与平行的直线可写为， 联立，解得， 过且与平行的直线可写为， 联立，解得， 当时，，此时，则直线斜率不存在， 又此时直线的斜率也不存在，且四点不共线， ， 当时， ， ， 四点不共线， ． 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的性质，利用渐近线方程和焦点坐标构造方程组求出，进而求出双曲线的方程； （2）（i）设直线方程，联立曲线方程，利用韦达定理求出进而求解比值范围；（ii）分别联立平行线与渐近线方程求出坐标，进而得出，再利用得出平行关系． 【小问1详解】 由渐近线方程知，， 由焦点坐标可知，， 联立，解得， 双曲线的方程为． 【小问2详解】 （i）经分析可知，直线的斜率不为0，故可设直线， 由于直线与双曲线的右支交于两点，故， 设，联立，整理得到， 则， 故 ， 设，联立，整理得到， 则． 故 ， 则， ，故， ，故； （ii）略 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论函数的零点个数； （3）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）当或时，1个零点；当或时，2个零点 （3） 【解析】 【分析】（1）求导，可得，，结合导数的几何意义求切线方程； （2）令，原题意转化为与的交点个数，利用导数判断的图象，即可得结果； （3）整理可得恒成立，结合反函数性质可得，整理可得，结合（2）中结论运算求解. 【小问1详解】 当时，则， 可得，， 所以曲线在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 因为， 令，可得， 令，则转化为与的交点个数， 因为， 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于0； 且，可得： 当或，即或时，与有1个交点； 当，即或时，与有2个交点； 综上所述：当或时，1个零点；当或时，2个零点. 【小问3详解】 因为恒成立，即恒成立， 当时，，因为不恒成立，所以不满足题意； 当时，由得，即恒成立， 等价于恒成立， 因为曲线与关于直线对称，所以， 等价于，可得， 由（2）可得：，则； 综上可得：的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年第二学期甘肃省渭源县第三高级中学期中考试试卷高二数学 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 若正数满足，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 4. 已知向量，．若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5. 已知为锐角，，则（） A. B. C. 或 D. 6. 钝角的内角，，的对边分别为，，，满足，则的取值范围为（ ） A. （0，1） B. C. D. 7. 双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的离心率是（ ） A. B. C. 2 D. 8. 若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 如图1，与是两个等腰三角形，，.将沿着翻折到，如图2，设二面角的平面角为，，分别为和的中点，则（ ） A. B. 四面体体积的最大值为1 C. 时，过直线且与平行的平面截四面体所得截面面积为 D. 时，四面体外接球表面积为 10. 已知函数关于下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 直线是函数的一条对称轴 C. 将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数的图象 D. 的导函数的值域为 11. 已知曲线：，则（ ） A. 曲线上任一点到原点的距离的最小值为 B. 曲线恰有八条对称轴 C. 过点的任意一条直线与曲线的公共点个数均为偶数 D. 曲线所围成的封闭图形的面积满足 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 在二项式的展开式中，的系数为___________． 13. 一场三月三晚会有歌曲、舞蹈、小品、朗诵、魔术、戏曲6个节目，各表演一次排成节目单.若要求歌曲和舞蹈之间最多间隔1个节目，则不同的节目单排法总数有_____（用数字作答） 14. 设函数在上存在导数，对任意，都有，在上，若，则实数m的取值范围为______. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分） 15. 已知数列的首项，且满足． （1）求的通项公式； （2）证明：． 16. 甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球． （1）从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率； （2）掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，则从甲箱随机抽出1个球；如果点数大于等于5，则从乙箱中随机抽出1个球， （i）求抽到的是红球的概率； （ii）若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率． 17. 如图，在四棱锥P-ABCD中，已知平面，底面为直角梯形，，.已知，. （1）若为棱的中点，求证：平面PAB； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点A到平面的距离. 18. 已知双曲线的渐近线方程为和，右焦点为． （1）求的方程； （2）过的直线交的右支于两点，与两渐近线交于两点． （i）求的取值范围； （ii）过作的平行线交于点，过作的平行线交于点，求证：． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论函数的零点个数； （3）若恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $