黑龙江哈尔滨市第三十二中学校2025-2026学年度高二下学期期中考试数学试题

**基本信息** 高二下学期期中数学试卷，以数列、排列组合、导数等核心知识为载体，通过基础题与综合题梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理及应用意识，适配期中阶段性评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|等差数列第9项、四位偶数排列等|基础概念辨析，如第4题结合0-3数字排列考查分类讨论| |多选题|3/18|二项式展开式、数列命题真假判断等|第10题通过假命题辨析强化数学语言严谨性| |填空题|3/15|相邻排列、等比数列公比、导函数图像应用|第14题结合导函数图像判断极值点，体现数学眼光| |解答题|5/77|二项式系数、数列通项与求和、导数单调性及恒成立|第19题导数恒成立问题，考查数学思维的推理与转化能力|

( 出题人：高 二 备课组 审题人：高 二 备课组 ) 哈三十二中2025～2026学年度高二下学期期中考试 数学试题 一、单选题:本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个正确选项. 1．等差数列的第9项为（   ） A．22 B．23 C．24 D．25 2．从6名男生和2名女生中选出3名，其中至少有1名女生的选法共有（   ）种． A．30 B．36 C．56 D．66 3．已知数列满足，，则（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 4．用0，1，2，3组成没有重复数字的四位偶数有（    ）个 A．8 B．10 C．12 D．16 5．设等比数列的前项和为．若，，则（   ） A．18 B．21 C．63 D．64 6．若，则正整数m的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 7． 已知函数的导函数的图象如右图所示， 则函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 8．已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分. 9．关于的展开式，下列判断正确的是（    ） A．展开式共有7项 B．展开式的各二项式系数的和为32 C．展开式的第6项的系数为 D．展开式中二项式系数最大的项是第4项 10．关于数列的命题是假命题的是（   ） A．常数列一定是等比数列 B．1和4的等比中项是2 C．等差数列中，若，则 D．等比数列中，，则 11．下列命题正确的有（   ） A．已知函数在上可导，若，则 B．已知函数，若，则 C． D．设函数的导函数为，且，则 三、填空题：本题共3个小题，每题5分，共15分. 12．若有7个人排成一排，其中甲、乙必须相邻，而丙不能站在两端，则不同的排法共有______种. 13．首项为1的等比数列中，，，成等差数列，则公比______. 14．函数的导函数的图像如图所示，给出下列命题： ①是函数的极小值点； ②是函数的最小值点； ③在区间上严格增； ④在处切线的斜率小于零. 以上所有正确命题的序号是__________. 四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15．2．已知，的二项展开式中第2项与第6项的二项式系数相等. (1)求n的值与展开式中各项的系数和； (2)求展开式中二项式系数最大的项。 16．设为等差数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 17．已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)求函数的单调区间和极值． 18．已知数列满足：，；数列的前项和． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 19．已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若不等式恒成立，求的最大值． 参考答案： 一、单选1．A 2．B 3．C 4．B 5．B 6．C 7．D 8．C 二、多选9．ACD 10．ABD 11．BD 三、填空 12．960 13．2 14．①③ 四．解答题（共6小题，满分10分） 15．解：（1）由题知，，由组合数性质可知，； 令得展开式中各项的系数和为 （2）因为，所以展开式共有7项， 由二项式系数的性质可知，第4项的二项式系数最大， 所以. 16．解：（1）设等差数列的公差为， 由条件可知， 解得，， 所以的通项公式为． （2）因为， 所以数列的前项和为. 17解：（1），， 所以，又， 所以函数在处的切线方程为，即； （2）函数的定义域为，， 令得， 则的变化入下表： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 故函数的单增区间为，，单减区间为； 函数的极大值为，极小值为. 18．解：(1)， (2) （1）推导出数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式，由可求得数列的通项公式； （2）求得，利用错位相减法可求得. 19．解：解】（1）当时，，函数定义域为， 有， 解得，解得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）不等式恒成立， 即恒成立，即恒成立. 令，则， 当时，则，函数在上单调递增， 因为，不符合题意； 当时，由，得，则函数在上单调递增， 由，得，则函数在上单调递减， 故的最大值为， 由和，解得. 综上可得，的最大值为. 第 2 页 共 3 页 第 3 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $