成对数据的统计分析考点分类 课件-2027届高三数学一轮复习

成对数据的统计分析考点分类 1.变量的相关关系 (1)两个变量有关系,但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度,这种关系称为相关关系.　　是一种非确定的关系,不是函数关系 (2)正相关、负相关 从整体上看,当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值也呈现　 　的趋势,我们就称这两个变量正相关;当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值呈现　　　　　的趋势,则称这两个变量负相关.  (3)线性相关、非线性相关 一般地,如果两个变量的取值呈现正相关或负相关,而且散点落在一条 　　　　　附近,我们就称这两个变量线性相关.  一般地,如果两个变量具有相关性,但不是线性相关,那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关. 增加 减小 直线 微点拨 由散点图判断两个变量正相关、负相关的方法:当散点图中的点散布在平面直角坐标系中从左下角到右上角的区域时,两个变量正相关;当散点图中的点散布在平面直角坐标系中从左上角到右下角的区域时,两个变量负相关. 2.样本相关系数 用样本相关系数r=来衡量两个变量间的线性相关关系. (1)当r>0时,称成对样本数据　　　　　　;当r<0时,称成对样本数据　　　　　　.  (2)当|r|越接近于1,表明两个变量的线性相关性越强;当|r|越接近于0,表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常当|r|>0.75时,认为两个变量有很强的线性相关性. 正相关 负相关 3.一元线性回归模型 (1)数学表述式:如果两个变量之间的关系可以表示为 我们称该式为Y关于x的一元线性回归模型. 其中,Y称为因变量或响应变量,x称为自变量或解释变量;a和b为模型的未知参数,a称为截距参数,b称为斜率参数;e是Y与bx+a之间的随机误差. (2)经验回归方程 我们将x+称为Y关于x的经验回归方程,也称经验回归函数或经验回归公式,其图形称为经验回归直线,其中 常用结论 1.经验回归直线过点(). 2.根据经验回归方程计算的,仅是一个预报值,不是真实发生的值. 3.经验回归方程不一定都有实际意义.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法,只有在散点图大致呈线性时,求出的经验回归方程才有实际意义. 4.列联表与独立性检验 (1)2×2列联表 如表,给出成对分类变量数据的交叉分类频数的数据统计表称为2×2列联表. X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 a b a+b X=1 c d c+d 合计 a+c b+d a+b+c+d (2)独立性检验 依据上述2×2列联表构造统计量χ2=. 利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验,读作“卡方独立性检验”,简称独立性检验. 基于小概率值α的检测规则是: 当χ2≥xα时,我们就推断H0不成立,即认为X和Y不独立,该推断犯错误的概率不超过α; 当χ2<xα时,我们没有充分证据推断H0不成立,可以认为X和Y独立. 常用的小概率值和相应的临界值表 作为判断χ2大小的标准 α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 [自主诊断] 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)散点图无法判断两个变量是否相关.(　　) (2)通过经验回归方程x+可以估计预报变量的取值和变化趋势.(　) (3)只有两个变量有相关关系,所得到的回归模型才有预测价值.(　　) (4)事件X,Y关系越密切,则由观测数据计算得到的χ2的值越小.(　　) × 解析 散点图是判断两个变量是否相关的一种重要方法和手段. √ √ × 解析 χ2的值越大,相关性越强,关系越密切. 2.(人A选三教材习题改编)下列四个散点图中,变量x与y之间具有负的线性相关关系的是(　　) A B C D D 解析 观察散点图可知,只有D选项的散点图表示的是变量x与y之间具有负的线性相关关系.故选D. 3.(多选题)(人B选二教材习题改编)下列说法正确的是(　　) A.两个具有线性相关关系的变量的相关性越强,则样本相关系数r的值越接近于1 B.当r=1时,两变量呈函数关系 C.当经验回归方程为=0.3-0.7x时,变量x和y负相关 D.在经验回归方程=0.4+0.5x中,当x每增加1个单位时,相应观测值y增加0.5个单位 BC 解析 两个具有线性相关关系的变量的相关性越强,则样本相关系数r的绝对值越接近于1,故A错误;当样本相关系数r=1时,两变量呈确定的函数关系,故B正确;因为斜率小于0,所以变量x和y负相关,故C正确;在经验回归方程=0.4+0.5x中,当x每增加1个单位时,相应观测值y约增加0.5个单位,故D错误. 4.已知变量x和y的统计数据如表: x 6 7 8 9 10 y 3.5 4 5 6 6.5 若由表中数据得到经验回归方程为=0.8x+,则当x=10时的残差为 　　　　(注:观测值减去预测值所得的差称为残差).  -0.1 解析 =8,=5,则=5-0.8×8=-1.4,所以=0.8x-1.4,当x=10时,=6.6,所以当x=10时的残差为6.5-6.6=-0.1. 5.(人A选三教材习题改编)根据分类变量x与y的观测数据,计算得到χ2=3.974.依据α=0.05的独立性检验,结论为x与y　　　　(填独立、不独立),这个结论犯错误的概率不超过　　　　.  附: α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 不独立 0.05 解析 零假设为H0:分类变量x与y相互独立,因为3.974>3.841,所以假设不成立,即认为x,y不独立,这个结论犯错误的概率不超过0.05. 6.(2025·上海长宁模拟)为了研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系,某疾病预防中心对相关调查数据进行了研究,零假设H0:患慢性气管炎与吸烟没有关系,并通过计算得到统计量χ2≈3.468,则依据小概率值α=0.1的独立性检验,可推断原零假设H0　　　　.(填“成立”或“不成立”,P(χ2≥2.706)≈0.1)  不成立 解析 已知小概率值α=0.1,P(χ2≥2.706)≈0.1,即临界值为2.706, 因为3.468>2.706,所以可推断原零假设H0不成立. 常用结论 根据χ2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度,若χ2越大,则两个分类变量有关的把握越大. 研考点•精准突破 考点一　成对数据的相关性 例1　(1)(2023·天津,7)调查某种群花萼长度和花瓣长度,所得数据如图所示,其中相关系数r=0.824 5,下列说法正确的是(　　) A.花瓣长度和花萼长度没有相关性 B.花瓣长度和花萼长度呈负相关 C.花瓣长度和花萼长度呈正相关 D.若从样本中抽取一部分,则这部分的相关系数一定是0.824 5 C 考点一 考点二 考点三 解析 因为相关系数r=0.824 5>0.75,所以花瓣长度和花萼长度的相关性较强,并且呈正相关,所以A,B错误,C正确;因为相关系数与样本的数据有关,所以当样本发生变化时,相关系数也会发生变化,所以D错误. 考点一 考点二 考点三 (2)(多选题)(2025·广东佛山三模)生活经验告诉我们,儿子的身高与父亲的身高不仅线性相关,而且还是正相关.有人调查了10名男大学生的身高y(单位:cm)及其父亲身高x(单位:cm)的数据(xi,yi)(i=1,2,…,10),已知其中一组数据为(182,185),且xi=1 750,求得经验回归方程为=0.65x+63,并绘制了如下残差图(残差=观测值-预测值),则(　　) A.这10名男大学生的身高的平均值为176.75 B.由残差图可判定儿子身高与父亲身高的关系不符合上述回归模型 C.数据(182,185)对应的残差为3.7 D.去掉数据(182,185)后,重新求得的回归直线的决定系数R2变小 AC 考点一 考点二 考点三 解析 ()满足经验回归方程,将=175代入,计算可得=176.75,故A正确; 从残差图中可以看到残差比较均匀地分布在以均值为0,横轴为对称轴的水平带状区域内,满足上述回归模型,故B错误; 代入x=182,得=181.3,因此残差为185-181.3=3.7,故C正确; 由残差图可知(182,185)是一个极端数据,去掉该数据后重新求得的回归直线拟合程度会变好,决定系数R2变大,D错误.故选AC. 考点一 考点二 考点三 规律方法　判断成对数据的相关关系的三种方法 考点一 考点二 考点三 [对点训练1](1)(2024·天津,3)下列图中,相关系数最大的是(　　) A B C D A 解析 观察4个选项可知,选项A中的散点分布比较集中,且基本接近某一条直线,线性回归模型拟合效果比较好,呈现明显的正相关.故选A. 考点一 考点二 考点三 (2)(多选题)(2025·江苏南京二模)某研究所研究耕种深度x(单位:cm)与水稻每公顷产量y(单位:t)的关系,所得数据资料如下表: 耕种深度x/cm 8 10 12 14 16 每公顷产量y/t 6.0 7.5 7.8 9.2 9.5 经计算可知每公顷产量y与耕种深度x的经验回归方程为=0.435x+,则下列说法中正确的是(　　) A.每公顷产量与耕种深度呈负相关 B.耕种深度的平均数为12 C.每公顷产量的平均数为7.8 D.=2.78 BD 考点一 考点二 考点三 解析 对于=0.435x+,0.435>0,所以每公顷产量与耕种深度呈正相关,故A错误; 由题意知,=12,故B正确; 由题意知,=8,故C错误; 将点()=(12,8)代入方程=0.435x+,得8=0.435×12+,解得=2.78,故D正确. 故选BD. 考点一 考点二 考点三 考点二　回归模型 考向1　一元线性回归模型 例2　[一题多变](2025·江西吉安模拟预测)某种昆虫的产卵数y(单位:个)与一定范围内的温度x(单位:℃)有关;科研人员随机挑选了5个不同的温度进行研究,观测得到样本数据如下: 温度x 8 10 11 12 14 产卵数y 6 11 14 m n 经计算得产卵数y与温度x的相关系数r>0.75,可以判断产卵数y与温度x线性相关性很强,又进一步通过最小二乘法求得y关于x的经验回归方程是=2.25x+. 考点一 考点二 考点三 (1)已知r=0.9,分别求样本数据中温度x及产卵数y的方差; (2)若=-11.75,分别求m,n的值. 附: 参考公式:回归直线x+a的斜率和截距的最小二乘法估计,相关系数r的公式分别为, r=. 考点一 考点二 考点三 解 (1)=11,=20, =4, 又由,得,解得sy=5,=25. (2)=2.25×11-11.75=13,由6+11+14+m+n=5×13,得m+n=34,① 又由=2.25,得xiyi=760.即6m+7n=224,② 联立①②得m=14,n=20. 考点一 考点二 考点三 AI变式 [变式](变条件与结论)本例的表格变为:其余条件不变, 温度x 8 10 11 12 14 产卵数y 6 11 14 25 29 (1)求y关于x的经验回归方程x+; (2)试预测温度为多少度时,产卵数达到100. 考点一 考点二 考点三 解 (1)=11,=17. 所以(xi-)(yi-)=83,=(-3)2+(-1)2+02+12+32=20, 所以=4.15,=17-4.15×11=-28.65. 所求经验回归方程为=4.15x-28.65. (2)产卵数达到100时,=4.15x-28.65=100,解得x=31,所以产卵数达到100时,预测温度约为31度. 考点一 考点二 考点三 规律方法　求经验回归方程的步骤 考点一 考点二 考点三 [对点训练2](多选题)研究变量x,y得到n组成对数据(xi,yi),i=1,2,…,n,先进行一次线性回归分析,接着增加一组成对数据(xn+1,yn+1),其中xn+1=xi,yn+1=yi,再重新进行一次线性回归分析,则下列说法正确的是(　　) A.相关系数不变 B.变量x与y的相关性变强 C.经验回归方程不变 D.回归系数不变 ACD 考点一 考点二 考点三 解析 设xi,yi,则=xn+1,=yn+1,所以xi=yi= 由, 同理(xi-)(yi-)=(xi-)(yi-),则相关系数r'==r, 可得相关系数不变,所以变量x与y的相关性不变,故A正确,B错误; 考点一 考点二 考点三 因为'=,且回归直线过点(),所以均不变,所以经验回归方程不变,故C和D都正确. 故选ACD. 考点一 考点二 考点三 考向2　非线性回归模型 例3　(2025·福建泉州模拟)某团队从2024年10月份以来,通过深度整合AI算法、大数据分析和自动化技术,不断优化产品与服务,显著提升了运营效率和市场竞争力,推动团队收入持续攀升.该团队在近7个月的经济收入(单位:百万元)的数据如下表: 月份编号x 1 2 3 4 5 6 7 收入y/百万元 6 11 21 34 66 101 196 考点一 考点二 考点三 (1)根据以上数据绘制散点图,并根据散点图判断,y=ax+b与y=c·dx(a,b,c,d均为大于零的常数)哪一个适宜作为该团队经济收入y关于月份编号x的回归方程模型,(给出判断即可,不必说明理由)并根据你的判断结果及表中的数据,求出y关于x的回归方程; (2)请你根据所求的回归方程,预测该团队下一个月的经济收入; (3)试从统计学角度分析,如果用所求的回归方程预测该团队接下来1年的经济收入情况是否合理. 考点一 考点二 考点三 参考数据: yi vi xiyi xivi 100.45 100.54 435 10.79 2 535 50.12 2.82 3.47 其中设v=lg y,vi=lg yi. 参考公式:. 考点一 考点二 考点三 解 (1)散点图如图所示, 根据散点图判断,y=c·dx适宜作为该团队经济收入y关于月份编号x的回归方程类型. 考点一 考点二 考点三 ∵y=c·dx,两边同时取常用对数得lg y=lg(c·dx)=lg c+xlg d, 设lg y=v,∴v=lg c+xlg d. (1+2+3+4+5+6+7)=4,vi=lg yi=10.79≈1.54, =12+22+32+42+52+62+72=140, ∴lg =0.25, 把点(4,1.54)代入=lg +lg d·x,得1.54=lg +0.25×4,∴lg =0.54, =0.54+0.25x,∴lg =0.54+0.25x, ∴y关于x的回归方程为=100.54+0.25x=3.47×100.25x. 考点一 考点二 考点三 (2)当x=8时,=3.47×100.25×8=347, 所以预测该团队下一个月的经济收入为347百万元. (3)不合理,经验回归方程一般具有时效性,解释变量越接近样本数据,预测值比较可信,否则会有显著误差. 考点一 考点二 考点三 规律方法　非线性回归问题的求解步骤 (1)作出散点图或利用已知散点图; (2)根据散点图选择恰当的拟合函数; (3)作恰当变换,将其化成线性函数,求回归方程; (4)在(3)的基础上通过变换,可得非线性回归方程. 考点一 考点二 考点三 [对点训练3]某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时,为创造更大价值,提高亩产量,积极开展技术创新活动.该农场采用了延长光照时间的方案,该农场选取了20间大棚(每间一亩)进行试点,得到各间大棚产量数据并绘制成散点图.光照时长为x(单位:h),大棚蔬菜产量为y(单位:吨/亩),记w=ln x. 考点一 考点二 考点三 参考数据: xi yi wi xiyi wiyi 290 102.4 52 4 870 540.28 137 1 578.2 272.1 参考公式:y关于x的经验回归方程x+中,. 考点一 考点二 考点三 (1)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+dln x哪一个适宜作为大棚蔬菜产量y关于光照时长x的经验回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由); (2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的经验回归方程(结果保留小数点后两位); (3)根据实际种植情况,发现上述回归方程在光照时长位于6~14 h内拟合程度良好,利用(2)中所求方程估计当光照时长为e2 h时(e为自然对数的底数),大棚蔬菜的亩产量. 考点一 考点二 考点三 解 (1)根据散点图,开始的点在某条直线旁,但后面的点会越来越偏离这条直线,因此y=c+dln x更适宜作为大棚蔬菜产量y关于光照时长x的经验回归方程类型. (2)w=ln x,则y=c+dln x,即y=c+dw, =5.12,=2.6,3.26,5.12-3.26×2.6≈-3.36, 所以=3.26w-3.36,即=3.26ln x-3.36. (3)当x=e2时,=3.26ln e2-3.36=3.16.即大棚蔬菜亩产量约为3.16吨. 考点一 考点二 考点三 考点三　列联表与独立性检验 例4　(2025·全国1,15)为研究某疾病与超声波检查结果的关系,从做过的超声波检查的人群中随机调查了1 000人,得到如下列联表: 组别 检查结果 合计 正常 不正常 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1 000 (1)记超声波检查结果不正常者患病的概率为p,求p的估计值; (2)根据小概率值α=0.001的独立性检验,分析样本数据中超声波检查结果是否与患该疾病有关. 考点一 考点二 考点三 附:χ2=. α 0.050 0.010 0.001 χα 3.841 6.635 10.828 考点一 考点二 考点三 解 (1)超声波检查结果不正常者有200人,这200人中患该疾病的有180人, ∴p= (2)零假设为H0:超声波检查结果与是否患该疾病无关. 根据列联表中的数据,经计算得到χ2==765.625>10.828=x0.001. 根据小概率值α=0.001的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为超声波检查结果与是否患该疾病有关. 考点一 考点二 考点三 教考衔接 (人A选三教材例题)为研究吸烟是否与肺癌有关,某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样的方法,调查了9 965人,得到成对样本观测数据的分类统计结果,如下表所示.依据小概率值α=0.001的独立性检验,分析吸烟是否会增加患肺癌的风险. 单位:人 吸烟 肺癌 合计 非肺癌患者 肺癌患者 非吸烟者 7 775 42 7 817 吸烟者 2 099 49 2 148 合计 9 874 91 9 965 考点一 考点二 考点三 解 零假设为H0:吸烟与患肺癌之间无关联. 根据列联表中的数据,经计算得到χ2=56.632>10.828=x0.001. 根据小概率值α=0.001的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为吸烟与患肺癌有关联,此推断犯错误的概率不大于0.001. 根据题表中的数据计算,不吸烟者中不患肺癌和患肺癌的频率分别为0.994 6和0.005 4; 吸烟者中不患肺癌和患肺癌的频率分别为0.977 2和0.022 8. 由4.2可见,在被调查者中,吸烟者患肺癌的频率是不吸烟者患肺癌的频率的4倍以上.于是,根据频率稳定于概率的原理,我们可以认为吸烟者患肺癌的概率明显大于不吸烟者患肺癌的概率,即吸烟更容易引发肺癌. 考点一 考点二 考点三 规律方法　独立性检验的一般步骤 考点一 考点二 考点三 [对点训练4](2025·八省联考)为考察某种药物A对预防疾病B的效果,进行了动物试验(单位:只),得到如下列联表: 药物A 疾病B 合计 未患病 患病 未服用 100 80 s 服用 150 70 220 合计 250 t 400 (1)求s,t; (2)记未服用药物A的动物患疾病B的概率为p,给出p的估计值; (3)根据小概率值α=0.01的独立性检验,能否认为药物A对预防疾病B有效? 附:χ2=. α 0.05 0.01 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 考点一 考点二 考点三 解 (1)s=100+80=180,t=80+70=150. (2),∴p的估计值为 (3)零假设H0:药物A对预防疾病B无效.根据列联表中的数据可得χ2=6.734>6.635=x0.01. 根据小概率值α=0.01的独立性检验,推断H0不成立,即认为药物A对预防疾病B有效. 考点一 考点二 考点三 $