第六章 计数原理（基础巩固卷）-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第六章 计数原理（基础巩固卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（24-25高二下·黑龙江大庆·月考）展开式中含项系数是（    ） A．12 B．60 C．192 D．240 【答案】A 【分析】利用展开式的通项公式直接求解. 【详解】展开式的通项公式， 令6 - 2r = 4,解得：r = 1, 所以展开式中含项系数是. 故选：A 【点睛】二项式定理类问题的处理思路：利用二项展开式的通项进行分析． 2．（24-25高二下·安徽·月考）某学校门口有3辆A公司的共享单车，4辆B公司的共享单车，5位同学从这7辆车中各选1辆骑行，同品牌的车因编号不同视为不同的车，则B公司的车比A公司的车多选1辆的选法种数为（    ） A．120 B．720 C．1080 D．1440 【答案】D 【分析】由题意确定A公司的车选2辆，B公司的车选3辆，结合排列组合数即可求得答案. 【详解】B公司的车比A公司的车多选1辆，则A公司的车选2辆，B公司的车选3辆， 所以选法种数为． 故选：D 3．（25-26高三上·甘肃张掖·月考）安徽省地形具有平原、台地（岗地）、丘陵、山地等类型，其中丘陵地区占了很大比重，因此山地较多，著名的山也有很多，比如：黄山、九华山、天柱山.某校开设了研学旅行课程，计划将5名优秀学生分别派往这三个地方进行研学旅行，每座山至少有一名学生参加，则不同的安排方案种数是（    ） A．150 B．120 C．160 D．180 【答案】A 【分析】先分成三组，可以3、1、1，也可以2、2、1，分好后再安排到三个山. 【详解】根据题意，分2步进行分析：①将5名优秀学生分为3组，若分为3、1、1的三组，有种分组方法，若分为2、2、1的三组，有种分组方法，故共有种分组方法，②将分好的3组安排到3个地方进行研学旅行，有种情况，则有种安排方法. 故选：A. 4．（24-25高二下·江苏淮安·期末）从1，2，3，4，5，这5个数中任取两个奇数，1个偶数，组成没有重复数字的三位数的个数为（    ） A．60 B．24 C．12 D．36 【答案】D 【分析】采用分步计数原理，分两步，第一步先选取三个数，第二步对选出的三个数进行排列. 【详解】第一步先将三个数取出，有种， 第二步对取出的三个数进行排列，共有种， 所以完成两步共有种. 故选：D. 【点睛】本题考查排列、组合及简单计数问题，是一道基础题. 5．（2025高二下·全国·专题练习）饮料可以使节日聚会锦上添花．桌上摆放着6个相同的杯子，其中2杯盛有半杯苹果汁，2杯盛有半杯西瓜汁，2杯盛放着半杯橙汁．现随机将一个杯子中的饮料倒入另一杯使其盛满，则满杯饮料成分不变的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：结合组合数利用古典概型概率公式求解即可； 方法二：利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】方法一：问题等价于从6个杯子中选两杯，求这两杯饮料是同一种的概率． 而从6杯中选择2杯，共有种选择方法， 设这6杯分别为a，a，b，b，c，c，则只有这3种符合要求， 从而有. 方法二：考虑到第一个被选中的杯子不影响结果， 所以不妨设选到了装有a饮料的杯子，而剩下的5杯中，只有1杯也装的a， 所以满杯饮料成分不变的概率为0.2. 故选：B 6．（24-25高二下·四川眉山·期中）的展开式中，含项的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二项式系数以及组合数的性质求得正确答案. 【详解】依题意，含项的系数是 . 故选：A 7．（24-25高二下·四川成都·期末）若，则 （    ） A． B．1 C．64 D．0 【答案】D 【分析】利用赋值法，将代入可求得结果. 【详解】令，则， 所以， 故选：D 8．（24-25高二下·河南南阳·月考）关于二项式有下列命题： (1)该二项展开式中非常数项的系数和是1； (2)该二项展开式中第六项为； (3)该二项展开式中系数最大的项是第1007项； (4)当时，除以2014的余数是2013. 其中正确命题有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由二项式展开式各项系数和为可判断（1）； 由展开式通项为可判断（2）； 由二项式系数的性质可判断（3）； 将变形为，可判断命题（4）. 【详解】令，二项式为0，所以展开式各项系数的和为0， 其中常数项为−1，所以展开式中非常数项的系数和是1，故(1)正确； 其第六项，故(2)错； 该二项展开式共有2014项，奇数项系数为正、偶数项系数为负， 由二项式系数的性质知第1007项与1008项系数的绝对值最大，故(3)正确； 当x=2014时，被2014除的余数为2014−1=2013，故(4)正确． 其中正确命题有3个． 故选：C 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（24-25高二下·山西大同·月考）下面几个问题中是组合问题的有（　　） A．由1，2，3，4构成的含有2个元素的集合个数 B．五个队进行单循环比赛的比赛场次数 C．由1，2，3组成无重复数字的两位数 D．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间距离均不相等，则车票票价的种数（假设票价只与距离有关） 【答案】ABD 【分析】根据组合的定义一一分析即可. 【详解】对A：选项中集合的元素可以是无序的，故A选项为组合问题； 对B：选项中五个队单循环比赛，即每个队伍只与不同的队比赛一次，故B选项为组合问题； 对C：如与为不同的数字，故需要考虑顺序，故C选项为排列问题； 对D：由甲到乙或乙到甲的距离是相同的，故此时票价相同，故D选项为组合问题. 故选：ABD. 10．（24-25高二下·江苏连云港·期中）已知二项式的展开式中共有7项，则下列说法正确的有（ ） A．为7 B．所有项的二项式系数和为64 C．二项式系数最大的项为第4项 D．没有常数项 【答案】BCD 【分析】根据二项式展开式的特征求出，即可判断A，再由二项式系数和为，可判断B，由二项式系数的特征可判断C，写出展开式的通项，即可判断D. 【详解】对A,因为二项式的展开式中共有7项，所以，即，故A错误； 对B,二项式中，所有项的二项式系数和为，故B正确； 对C,因为二项式的展开式中共有7项，所以二项式系数最大的项为第4项，故C正确； 对D,二项式的通项为， 令，得，不满足题意，故D正确. 故选：BCD. 11．（25-26高二·全国·课后作业）（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】结合赋值法、二项式展开式的通项公式对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】令，得，故A错误； 令，得， 即，所以，故B错误； 因为的展开式的通项为， 所以，故C正确； 由的展开式的通项及题意， 得， 令，得， 则，故D正确． 故选：CD 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（25-26高二·全国·课后作业）的展开式的各项系数的和为________． 【答案】 【分析】令即可求解. 【详解】令可得：， 所以的展开式的各项系数的和为， 故答案为：. 13．（24-25高二下·上海闵行·期中）甲盒子中有3个不同的红球，乙盒子中有7个不同的白球，某同学要在甲盒或乙盒中摸一个球，则不同的方法有__________． 【答案】 【分析】某同学要在甲盒或乙盒中摸一个球,情况1：在甲盒中摸，有3个不同的红球，所以有3种不同的方法；情况2：在乙盒中摸，有7个不同的白球，所以有7种不同的方法；由分类加法计数原理可求得所有不同的方法. 【详解】由题意得，在甲盒摸球时有种不同的方法，在乙盒中摸球时有种不同的方法；某同学要在甲盒或乙盒中摸一个球，则不同的方法共有种. 故答案为：. 14．（24-25高二下·河北保定·期末）若的展开式中常数项为，则的最小值为__________. 【答案】3 【分析】由二项式展开式性质可计算出，结合基本不等式即可得. 【详解】由，有， 令，即，故， 即，即，则， 当且仅当或时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：3. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（25-26高二下·浙江嘉兴·月考）计算： (1)若，求 (2)若，求 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据组合式的性质计算可得； （2）根据排列数、组合数公式计算可得. 【详解】（1）因为，所以或， 解得或. （2）因为， 所以，又，所以， 所以，解得. 16．（25-26高二下·江苏连云港·月考）从0，1，2，…，9这10个数字中选出5个不同的数字组成五位数. (1)可以组成多少个偶数？ (2)可以组成多少个大于24500的五位数？ 【答案】(1) (2) 【分析】利用分类分步计数原理，借助优先特殊位置和排列数公式即可求解. 【详解】（1）第一类：排末位且数字不同的五位数有种； 第二类：排末位且数字不同的五位数有种； 所以可以组成数字不同的五位数的偶数有：种； （2）第一类：首位是比2大的五位数有：种； 第二类：首位是2，千位是比4大的五位数有：种； 第三类：首位是2，千位是4，百位比4大的五位数有：种； 所以大于24500的数字不同的五位数有：种. 17．（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）人工智能社团有6位同学，计划对ChatGPT、Sora、GPT-4、Claude这4种人工智能语言模型展开学习调研，要求每类模型至少有一人负责，每人只能选择一种模型． (1)若从社团中选出5人去调研，共有多少种不同的调研安排方案？ (2)若6位同学都同时参与调研，且甲、乙两位同学调研同一种模型，共有多少种不同的安排方案？ 【答案】(1)1440 (2)240 【分析】（1）从6位同学中选5人，分为：2人，1人，1人，1人四组，再进行全排列即可； （2）将甲、乙两位同学视为一个整体（一个元素），将5个元素分成“2，1，1，1”四组，再进行全排列即可. 【详解】（1）首先，从6位同学中选5人，有种选法， 接下来将5人分配到4种模型，且每类模型至少1人负责， 则5人分为：2人，1人，1人，1人四组，有种方法， 再将这四组对应4种模型进行全排列， 不同的调研安排方案有种. （2）首先将甲、乙两位同学视为一个整体（一个元素）， 此时相当于5个元素分配到4种模型,每类模型至少有一人， 即分成元素个数分别为“2，1，1，1”四组，则有种方法， 再将这四组对应4种模型进行全排列，有种方法， 所以，若6位同学都同时参与调研，且甲、乙两位同学调研同一种模型， 共有种不同的安排方案. 18．（25-26高二上·上海·期末）已知在的展开式中，前三项的系数分别为，，，且满足． (1)求展开式中系数最大的项； (2)求展开式中所有有理项． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（1）根据展开式的通项，记第项系数最大，则有，且，由此可得展开式中系数最大的项； （2）令的幂指数为整数，求得的值，即可求得展开式中的有理项． 【详解】（1）的展开式通项公式为：，，1，2，，， 则，，， ，解得，（舍去）. 由，记系数为，,1，2，， 设最大，则有，且，于是，解得， 所以,均为最大， 所以系数最大项为第3项和第4项； （2）通项， 令，1，2，，所以只有当，6时，对应的项才为有理项， 有理项为，． 19．（25-26高二下·江苏南京·月考）已知的展开式的第2项与第4项的二项式系数之比是． (1)求n的值； (2)展开式中的有理项共有几项？ (3)展开式中系数最大的项是第几项？ 【答案】(1)20； (2)11； (3)6. 【分析】（1）由题设，应用组合数公式得到组合数方程，求解即可； （2）写出二项式展开式的通项，根据整式项的定义确定其项数； （3）由在上单调递减，结合的大小判断系数最大项. 【详解】（1）依题意，，则，整理得，而， 所以. （2）由（1）知二项式为，展开式通项为，， 所以时，均为有理项，共有11项. （3）由在上单调递减， 当时，，当时，，则， 所以展开式中系数最大的项是第6项. 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 计数原理（基础巩固卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（24-25高二下·黑龙江大庆·月考）展开式中含项系数是（    ） A．12 B．60 C．192 D．240 2．（24-25高二下·安徽·月考）某学校门口有3辆A公司的共享单车，4辆B公司的共享单车，5位同学从这7辆车中各选1辆骑行，同品牌的车因编号不同视为不同的车，则B公司的车比A公司的车多选1辆的选法种数为（    ） A．120 B．720 C．1080 D．1440 3．（25-26高三上·甘肃张掖·月考）安徽省地形具有平原、台地（岗地）、丘陵、山地等类型，其中丘陵地区占了很大比重，因此山地较多，著名的山也有很多，比如：黄山、九华山、天柱山.某校开设了研学旅行课程，计划将5名优秀学生分别派往这三个地方进行研学旅行，每座山至少有一名学生参加，则不同的安排方案种数是（    ） A．150 B．120 C．160 D．180 4．（24-25高二下·江苏淮安·期末）从1，2，3，4，5，这5个数中任取两个奇数，1个偶数，组成没有重复数字的三位数的个数为（    ） A．60 B．24 C．12 D．36 5．（2025高二下·全国·专题练习）饮料可以使节日聚会锦上添花．桌上摆放着6个相同的杯子，其中2杯盛有半杯苹果汁，2杯盛有半杯西瓜汁，2杯盛放着半杯橙汁．现随机将一个杯子中的饮料倒入另一杯使其盛满，则满杯饮料成分不变的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·四川眉山·期中）的展开式中，含项的系数是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·四川成都·期末）若，则 （    ） A． B．1 C．64 D．0 8．（24-25高二下·河南南阳·月考）关于二项式有下列命题： (1)该二项展开式中非常数项的系数和是1； (2)该二项展开式中第六项为； (3)该二项展开式中系数最大的项是第1007项； (4)当时，除以2014的余数是2013. 其中正确命题有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（24-25高二下·山西大同·月考）下面几个问题中是组合问题的有（　　） A．由1，2，3，4构成的含有2个元素的集合个数 B．五个队进行单循环比赛的比赛场次数 C．由1，2，3组成无重复数字的两位数 D．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间距离均不相等，则车票票价的种数（假设票价只与距离有关） 10．（24-25高二下·江苏连云港·期中）已知二项式的展开式中共有7项，则下列说法正确的有（ ） A．为7 B．所有项的二项式系数和为64 C．二项式系数最大的项为第4项 D．没有常数项 11．（25-26高二·全国·课后作业）（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（25-26高二·全国·课后作业）的展开式的各项系数的和为________． 13．（24-25高二下·上海闵行·期中）甲盒子中有3个不同的红球，乙盒子中有7个不同的白球，某同学要在甲盒或乙盒中摸一个球，则不同的方法有__________． 14．（24-25高二下·河北保定·期末）若的展开式中常数项为，则的最小值为__________. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（25-26高二下·浙江嘉兴·月考）计算： (1)若，求 (2)若，求 16．（25-26高二下·江苏连云港·月考）从0，1，2，…，9这10个数字中选出5个不同的数字组成五位数. (1)可以组成多少个偶数？ (2)可以组成多少个大于24500的五位数？ 17．（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）人工智能社团有6位同学，计划对ChatGPT、Sora、GPT-4、Claude这4种人工智能语言模型展开学习调研，要求每类模型至少有一人负责，每人只能选择一种模型． (1)若从社团中选出5人去调研，共有多少种不同的调研安排方案？ (2)若6位同学都同时参与调研，且甲、乙两位同学调研同一种模型，共有多少种不同的安排方案？ 18．（25-26高二上·上海·期末）已知在的展开式中，前三项的系数分别为，，，且满足． (1)求展开式中系数最大的项； (2)求展开式中所有有理项． 19．（25-26高二下·江苏南京·月考）已知的展开式的第2项与第4项的二项式系数之比是． (1)求n的值； (2)展开式中的有理项共有几项？ (3)展开式中系数最大的项是第几项？ 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $