2026年中考数学难题专练：圆

**基本信息** 聚焦圆的性质与综合应用，以题载法构建“性质应用-动态探究-实际建模”的方法体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础性质|单选1-5、填空10-12|圆周角定理、垂径定理、切线性质|从圆的基本概念到与三角形、多边形的性质融合| |动态与最值|单选6-9、填空13-14|四点共圆、判别式法、对称转化|通过动态问题串联图形运动与数量关系| |综合应用|解答16-21|全等相似、建模分析|结合实际情境（水车、不倒翁）深化知识应用|

2026年中考数学难题专练：圆 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知点C是半圆的动点，为直径，且，求的最大值（    ） A． B． C． D． 2．将两个全等的、边长均为6的等边三角形按如图所示的方式重叠，重叠部分恰好为正六边形，观察图形，图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在菱形中，，，E是延长线上一点，交于点F，连接并延长交于点G，则线段长度的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．如图，四边形是的内接四边形，连接，，，，下列不能判断四边形是菱形的是（    ） A．点是的中点， B．， C．， D．，点是的中点 5．如图，与正五边形的两边，相切于，两点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在等腰直角中，，．点为的中点，，其两边分别与，交于点，（不与，，重合）．取的中点，连接并延长交于点，连接，．则下列结论中正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．周长的最小值为 D．四边形面积的最小值为 7．如图，，与轴，轴均相切，一次函数的图像与相切于点（点在点左边），则点坐标是（    ） A． B． C． D． 8．水车是中国古代重要的灌溉工具，罗江太平廊桥旁也保留了几座大水车．图1是某种型号水车的示意图，其外围部件是绕中心轴旋转的圆形轮盘，它的边缘平均分布了12个水斗，这些水斗随轮盘转动而升降．如图2，在水车顺时针转动时，其中的1个水斗在点处放空水，同时有1个水斗刚好在点处接触水面，中间还有2个水斗，已知外围轮盘半径为，点到水面的距离为，则水面宽度为（）       A． B． C．或 D．或 9．如图，在中，，，的顶点在边上运动（点不与点重合），且，，直线与直线相交于点，连接，则下列结论：①；②的面积等于的面积；③线段的最大值为；④周长的最小值为．其中正确的为（    ） A．①② B．②④ C．①②③ D．①②④ 二、填空题 10．如图，内接于，是的直径，点是下方上一点，连接，若，则的度数为________． 11．如图，在中，，点D是边上一动点，过点B作交的延长线于E．若，． （1）若，则___________； （2）的最小值为___________． 12．如图，已知是的直径，弦于点，．点是劣弧上任意一点（不与点，重合），交于点，与的延长线相交于点，当时，则_____． 13．如图，是的弦，将沿着弦折叠，点是折叠后的上一动点，连结并延长交于点，点是的中点，连结．若半径，则的最小值为__________． 14．如图，是的直径，为上一动点，且在直径上方，连接，，点为的中点，连接与相交于点，作于点，，与交于点（点在下方）；与交于点，若，，则的直径为______；的长为______． 15．如图，某曲线由线段、，线段、及线段依次相连而成，点为对应的圆心，点为对应的圆心．扇形在曲线上进行滚动，运动全过程无滑动．扇形首先从图①绕着点旋转到图②的位置，再由图②紧贴运动到图③（），再绕着线段的中点旋转到图④的位置，再绕着点旋转到图⑤的位置，再由图⑤紧贴运动到图⑥的位置．已知：，，，，那么点由图①到图⑥，所运动的路径长为_____．（结果保留） 三、解答题 16．已知在中，点C为的中点，连接交弦于点E，点D在上，连接，，，． (1)如图①，连接，若，求和的度数； (2)如图②，过点A作的切线交延长线于点F，若，，求和的长． 17．已知内接于，，，是的直径，连接． (1)如图①，求和的大小； (2)如图②，过点作的切线，与的延长线交于点，过点作的切线，与交于点，若，求的长． 18．已知：在中，弦交弦于点E，点F在线段上，连接交于点G，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，，，，连接，延长交于点H，当是锐角时，求线段的长． 19．已知：内接于，，点D在圆上，弧弧，连接， (1)如图①，求证： (2)如图②，点E在上，点G在延长线上，连接，，作，，，求证：； (3)如图③，在②的条件下，作交延长线于点F，连接，四边形的面积为，，求的长． 20．如图1，在中，，，，以为直径向左侧作半圆O，交斜边于点D． (1)______，______，求图1中阴影部分的面积； (2)如图2，将半圆O（包含直径）沿着射线方向平移得到半圆，直径记作，当半圆和直线相切时，求半圆O平移的距离； (3)如图3，在（2）的条件下将半圆绕着点逆时针旋转得到半圆，直径记作，设旋转角度为（）． ①当点到直线AC的距离最大时，求的值； ②如图4，记半圆和直径构成的封闭图形为W，斜边的中点为M，当点M落在封闭图形W内（不包括边界），直接写出的取值范围．（参考数据：，） 21．活动小组自制了一个“不倒翁”，图1是“不倒翁”稳定直立在桌面上的简易截面图，其主要结构如下：为连接不倒翁最顶端和最底端的中心支架，点，是底部半圆上的两点，连接，，连接交于点，且，在与半圆所围成的弓形部分填充固定重物．已知，为半圆的直径，． (1)若． ①求填充物部分（弓形）的深度及的长； ②如图2，当支架摆动到使点落在桌面上时，求支架顶端点到桌面的距离； (2)小组经过实验发现当时，不倒翁的摇摆效果最佳．现小组决定增加填充物提升的位置，使，并摆动支架，仍使点落在桌面上，直接写出此时点比②中点的位置升高的距离． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年中考数学难题专练：圆》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B A A D D B B C A 1．B 【分析】设，利用勾股定理表示出，然后表示出，整理后利用判别式求解即可． 【详解】解：设， ∵为直径， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴设 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 整理得， 解得 ∴y的最大值为，即的最大值为． 2．A 【分析】根据题意可知六边形的性质可得，可得是等边三角形，同理是等边三角形，再说明四边形是菱形，进而得出，然后根据勾股定理求得，即可得，最后根据得出答案． 【详解】解：根据题意可知六边形是正六边形， ∴， ∴， ∴是等边三角形，同理是等边三角形， ∴， ∴，同理可得， ∴四边形是菱形，且， ∴是等边三角形，， ∴，则， 根据勾股定理得，则， ∴． 3．A 【分析】延长，交于点M，连接，过点D作于点H，过点B作于点N，、交于点O，证明，，得出，，证明，得出，证明，说明B、C、G、D四点共圆，求出外接圆的直径为2，即可得出答案． 【详解】解：延长，交于点M，连接，过点D作于点H，过点B作于点N，、交于点O，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴B、C、G、D四点共圆， ∵为等边三角形，，， ∴，， ∴， ∴外接圆的直径为2， ∴B、C、G、D四点所在圆的直径为2， ∴的最大值为2， ∵E是延长线上一点， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 4．D 【分析】A选项由已知可证明和是等边三角形，则，即可得出结论；B选项先由两组对边平行得四边形是平行四边形，再由，即可得出结论；C选项可证明四边形的对角线互相垂直平分，即可得出结论；D选项两个条件得出的结论是一样的，不能证明四边形是菱形． 【详解】解：A、∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴和是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形， 故A选项不符合题意； B、∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， 故B选项不符合题意； C、∵，， ∴， 又∵， ∴垂直平分， 又∵，， ∴垂直平分， ∴四边形是菱形， 故C选项不符合题意； D、∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 两个条件得到的结论是一样的，不能证明四边形是菱形， 故D选项符合题意． 5．D 【分析】根据切线的性质，可得，，结合正五边形的每个内角的度数为，即可求解． 【详解】解： ∵、切于点A、C， ∴，， ∵正五边形的每个内角的度数为：， ∴， ∵五边形的内角和度数为， ∴． 6．B 【分析】根据勾股定理可得，即得，连接、，由直角三角形的性质得，进而根据得，即可判断；由得点在线段的垂直平分线上，可知点在边所对中位线上移动，作点关于直线的对称点，连接，则，，利用勾股定理求出即可判断；由得，，，四点共圆，即得，得到，即得到，得，即可判断；证明四边形为矩形，可得，即得是等腰直角三角形，设，则，得，即可判断，综上即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点为的中点， ∴， 如图，连接、， ，点为的中点， ， ， ，故选项错误； 如图，∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴点在边所对中位线上移动， 作点关于直线的对称点，连接，则，， ∵， ∴， ∴的最小值为，故选项正确； 如图，， ，，，四点共圆， ∵，，点为的中点， ∴， ， ， ∴， ∴， ，故选项错误； ∵， ， ∵，点为的中点， ∴， ， ， ∴， ∵，点为的中点， ∴， ， ∴四边形为矩形， ， ∵， ∴是等腰直角三角形， 设，则， ， ∴四边形的面积最大值为，故选项错误． 7．B 【分析】根据题意得的半径为2，设直线与轴交于点B，与y轴交于点C，求出点C的坐标为，点B的坐标为，由勾股定理得，根据面积关系得出，求出，得直线解析式为；再求出的解析式为，联立方程组，求解方程组可得点坐标． 【详解】解：∵与轴，轴均相切，且圆心的坐标为， ∴的半径； 设直线与轴交于点B，与y轴交于点C， ∵直线与y轴正半轴相交， ∴， 令，得， ∴点C的坐标为， 令，得，解得， ∴点B的坐标为， ∴，， ∴在中，， 如图，连接、、、，并延长交轴于点，作轴于点，则， ∵直线与相切于点A， ∴，且， ∵ ，， ， ， ∴， 解得： (舍去)，， ∴直线解析式为； ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立方程组得， 解得， ∴点的坐标为． 8．C 【分析】作，设，先说明四边形是矩形，得到，证明，得到，根据勾股定理列出方程，求出，最后根据垂径定理，计算即可求解． 【详解】解：如图，作交于点，作于点， 设， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点到水面的距离为， ∴，则， ∵圆形轮盘分布了个水斗，水斗和中间还有个水斗， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 根据勾股定理得，，即， 整理得：， 解得：， ∴或， ∵， ∴点是的中点，即， ∴或， 则水面宽度为或． 9．A 【分析】①根据题意得到，然后得到，即可证明，即可判断①；②如图，连接，证明出点A，D，C，E四点共圆，得到，即可判断②；③得到点E在直线上运动，然后结合点在边上运动，点不与点重合即可判断③；如图，作点A关于的对称点，连接，，当点B，E，三点共线时，的周长最小，即的值，然后利用勾股定理求解即可判断④． 【详解】解：①设交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ②如图，连接 ∵ ∴点A，D，C，E四点共圆 ∴ ∴ ∴的面积等于的面积，故②正确； ③∵ ∴点E在直线上运动 ∵点在边上运动，点不与点重合 ∴不存在最大值，故③错误； ④如图，作点A关于的对称点，连接， ∴的周长 ∴当点B，E，三点共线时，的周长最小，即的值 由对称得， ∴ ∵ ∴ ∴周长的最小值为，故④错误． 综上所述，其中正确的为①②． 10．/度 【分析】先利用直径所对圆周角为直角，结合已知求出；再由等腰得，结合等腰与，证得平分，算出；最后根据同弧所对圆心角是圆周角的2倍，求出． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰三角形，， ∵， ∴是等腰三角形，， ∵， ∴，即平分， ∴， ∵是弧所对的圆周角，是弧所对的圆心角， ∴． 11． 【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质求解即可； （2）过点作于，设的中点为O，连接，先证明，得到，所以当取最大值时有最小值，然后证明A，B，E，C四点共圆，得到当时，即点E是中点时，有最大值，再求出，即可得到答案． 求两条动线段比的最值问题，通常通过相似三角形的判定与性质，将两条动线段转化为一条动线段来解，对于求单一动线段的最值问题，往往可以根据其运动过程中图形的位置变化去找最值． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 解得； （2）如图1，过点作于，设的中点为O，连接， ， ， ， ， 是定值， 当取最大值时有最小值， 又， ，B，E，C四点共圆， 是定值， 当时，即点E是中点时，有最大值， 此时，E，O，F三点共线（如图2）， ， ， ， ， ， ， ， ． 12． 【分析】设圆的半径是r，，由，求出，得到，因此，推出，得到，代入有关数据即可求出的长，得到的长，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵弦于点E，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵直径， ∴， ∴， 设圆的半径是r，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 13．2 【分析】过点O作于点E，连接，由垂径定理得到，根据勾股定理得到．连接，则．连接，，根据和所对圆周角都是，得到，由点C是的中点，得到，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，从而可得的最小值为． 【详解】解：过点O作于点E，连接， ∴， ∵， ∴在中，． 连接，则， ∴的最小值为． 连接，， ∵和所对圆周角都是， ∴， ∴， ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为． 14． 2 【分析】延长交于点，则 ，由垂径定理得，由圆周角定理得，再证明，得出，最后再由勾股定理计算即可得出的直径；设，则，证明，求出，，过点作于点，设，则，，连接，则，证明，即可得出的长． 【详解】解：如图，延长交于点， 点为的中点， ∴． ，且为直径， ∴，． ∴． ∴． ． 设，则， 为直径，， ， ， ， ． ， ，解得（不符合题意，舍去），， ，． ，， ，． ， ． 过点作于点， 设， , ，， ． ， ． ，，， ，， ． 连接，则， ， ， ， ， ． 15． 【分析】本题考查了弧长的计算，弧长公式为，根据题意可得O的路径长为4个半径为的圆弧，加上两个半径分别为1和3且圆心角均为30°的弧长，即可求解． 【详解】解：依题意可知 ①到②运动的弧长为； ②到③运动的弧长为； ③到④运动的弧长为； ④到⑤运动的弧长为； ⑤到⑥运动的弧长为． 所以由图①到图⑥，所运动的路径长为 ． 16．(1)． (2)， 【分析】（1）根据题意得，，再根据等腰三角形的定义可得． （2）由圆周角定理得，可求出，的长，进而可求出的长． 【详解】（1）解：∵C为的中点， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． （2）解：由（1）知 ，．                ∵，， ∴， ∴， ∵C为的中点， ∴， ∵切于点A， ∴，即， 又， ∴． 17．(1)，； (2)6． 【分析】（1）由三角形内角和定理得，由直径所对圆周角是直角得，可得，得出； （2）连接，证明．．．可得四边形是矩形．又，四边形是正方形．可得．求出，可得． 【详解】（1）（1），， ． ． 是的直径， ． ； （2）解：连接． 切于点， ，即． 同理． 又，则． 四边形是矩形． 又， 四边形是正方形． ，． 则． 由（1）知，， 则． 由，可知 ． 则． 又 ． 18．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据圆周角定理得到，进而得到，从而得出结论； （2）连接，，，，根据圆周角定理得到，进而得到，再次利用圆周角定理得到，进而得到，证明，从而得出结论； （3）根据余角的性质得到，令，则，进而得到，根据等腰三角形的性质得到，证明，进而得到，根据勾股定理求出、长，再证明，进而得到，根据三角形外角和定理得到，进而得到，则，根据平行线的性质得到，进而得到，根据等腰三角形的性质得到，在中，、，再根据勾股定理求出长，利用求解即可． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， ； （2）证明：如图2，连接，，，， ， ， 又， ， ， 又， ， ， 又，， ， ； （3）解：如图3，连接，，过点A作于点M，过点O作于点N, ， ， ，， ， 令， 、， ， ， 在和中 ， 、， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，， ， ， 在中，，， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ． 【点睛】本题考查圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、勾股定理，熟练掌握相关性质定理，数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 19．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，根据题意得，，再利用勾股定理求解即可求证结论； （2）设，根据题意证，再结合即可求证结论； （3）作交延长线于点M，作于点N，证，得，四边形为矩形，根据，求出，设交于点K，在上截取，根据角的关系求得，设，根据列方程求解得，，， ，求出可解答． 【详解】（1）证明：连接 ∴为的直径 ， 弧弧 在中 （2）证明：设 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：作交延长线于点M，作于点N， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 又∵， ， ， ， 四边形为矩形 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图设交于点K，在上截取 为的直径， ， ， ， ， ， ， 设， ，， ， ， ， ， ， ， ∴， ， 20．(1)，8， (2) (3)或 【分析】（1）先求出，由含角的直角三角形及勾股定理可得出，的长；连接，作于E，由即可求图1中阴影部分的面积； （2）作交于F， 由（1）和平移可知，，．则，由四边形是矩形，可得．即半圆O平移的距离为． （3）①在旋转过程中，点到直线的距离先越来越小，再越来越大(当时，点到的距离最大)，再越来越小．当时，过点C作于点G，连接．可得，．当时，设垂足为H，则，．可得，，则，此时．可得．当点到直线AC的距离最大时，的值为或． ②当半圆经过点M时，过点M作于点N．得出，．由勾股定理可得． 可得，则．由圆周角定理得．可得，则．所以．当直径过点M时，，可得的取值范围． 【详解】（1）解：，， ． ， ． ． 连接，作于点E 为直径，O为圆心， ． ． ， ，． ． ， ． ． （2）解：作交于点F， ． 由（1）知，． 半圆O（包含直径）沿着射线方向平移得到半圆． ，，． ， ． 四边形是矩形． ． 即半圆O平移的距离为． （3）解： 在旋转过程中，点到直线的距离先越来越小，再越来越大(当时，点到的距离最大)，再越来越小． 当时，过点C作于点G，连接． 由（2）知，四边形是矩形． ，，． ． ，． 当时，设垂足为H ，． ， 此时 ， 当点到直线AC的距离最大时，的值为或． ． 当半圆经过点M时，过点M作于点N． 在中，，． ，． 在中，． ． ． 为直径， ． ． ． 当直径过点M时 ． 【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形两锐角互余、求扇形的面积、圆的性质、矩形的判定和性质． 21．(1)①，的长；② (2)此时点比②中点的位置升高的距离为 【分析】（1）①根据题意，运用勾股定理得到，由即可得到，根据题意得到是等边三角形，，运用弧长公式即可得到的长为； ②延长交桌面于点，过点A作于点，结合题意得到，根据解直角三角形的计算即可求解； （2）根据题意算出②中点到的距离为，再结合图形算出当时，点到的距离为，由此即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵为半圆的直径，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ②如图所示，延长交桌面于点，过点A作于点， ∵，是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：当时， 如图所示，过点作于点，作于点，已知，， ∴，四边形是矩形， ∴， 在中，，则， ∴当时，点到的距离为， 当时， 如图所示， 同理，四边形是矩形， 在中，， 在中，， ∴，即， 整理得，， ∴， ∴， ∴， ∴此时点比②中点的位置升高的距离为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $