2026年中考数学难题专练：二次函数

**基本信息** 聚焦二次函数图像变换、几何综合与新定义问题，通过典例系统提炼翻折对称、构造转化等解题方法，强化知识逻辑与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图像变换与性质|单选1-3,6|翻折变换结合对称性，单调性与对称轴分析|从二次函数基本性质到图像变换，构建“性质-变换-交点”逻辑链| |几何综合与最值|单选4,7,填空9,11|构造全等三角形转化动点问题，对称法求最值|以二次函数为载体，融合几何图形性质，体现数形结合思想| |新定义与综合应用|单选8,解答15-20|新定义“序列数”转化，函数与几何综合建模|从概念理解到综合应用，培养数学抽象与逻辑推理能力|

2026年中考数学难题专练：二次函数 一、单选题 1．已知二次函数与y轴交于点C，过点C作直线l平行于x轴，将抛物线位于直线l下方的部分翻折至直线l上方，则变换后的图象与x轴的交点个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知二次函数的图象经过和，图象上有三个点，，，且．当时，随增大而减小，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤若点，在二次函数的图象上，则．其中正确的是（    ） A．①②④ B．①③⑤ C．①④⑤ D．①③④⑤ 4．如图，矩形中，，点E是边上任意一个点，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接，则线段最小值为（   ） A． B． C． D．8 5．如表给出了二次函数的组与的对应值，有以下结论：①；②；③；④反比例函数的图象经过第二、四象限．其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．二次函数的部分图象如图所示，与轴交于，对称轴为直线．以下结论：；若，，在该函数图象上，且；对于任意实数，都有成立；方程（，为常数）的所有根的和为．其中正确结论的个数为（   ） A． B． C． D． 7．如图1，在等腰中，，动点D从点A开始沿边以每秒1个单位长度的速度运动到点B，同时，动点E从点B开始沿边以相同速度运动到点C，连接，点F为中点．设时间为，为y，y关于t的函数图象如图2所示，下列结论不正确的是（   ） A． B．连接，有最小值为 C．若点M是边的中点，则的最小值为1 D．连接，则的最小值为 8．定义：为二次函数（，，，为实数）的“序列数”，如：的“序列数”为．有以下结论： ①二次函数的“序列数”为； ②“序列数”为的二次函数的图象与轴恒有两个交点； ③若点，在“序列数”为的二次函数的图象上，已知，，当时，则的取值范围为； ④“序列数”为的二次函数，如果，当时，随的增大而增大； ⑤“序列数”为的二次函数，若抛物线的顶点与抛物线与轴两交点组成的三角形为等腰直角三角形，则． 以上结论正确的有（    ）． A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 9．如图，点P和点Q分别是等边三角形的边和上的动点，且，若，则的最小值为_____． 10．已知，是抛物线上的任意两点，若对于，都不存在的情形，则m的取值范围是________． 11．如图，点A的坐标为，点M为直线上的一个动点，点B的坐标为，，于点B，连接．若直线与x轴的正半轴所夹的锐角为，则当的值最大时，的面积为__________． 12．如图1，在四边形中，，平分，，（a为常数），记长为x，长为y，y关于x的函数图象如图2所示，最高点E的纵坐标为16，当时，四边形的面积为______． 13．二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，二次函数的图象经过点、，与轴交于另一点，连接．是线段上一点，过作轴的垂线分别与两个图象交于点，，交线段于点．有如下结论：①；②；③的最小值为；④当点的横坐标为时，线段长度取得最大值．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 14．二次函数的图像如图所示，点，…在二次函数位于第一象限的图像上，点，…在轴的正半轴上，，，…，都是等腰直角三角形，则_____． 三、解答题 15．已知关于的二次函数（m为常数）． (1)此二次函数的对称轴是直线_____ (2)说明该函数图象与轴必有两个不同的交点； (3)若，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，在点从点运动到点的过程中，的长总是先增大后减小，直接写出的取值范围． 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，．顶点坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)已知直线：，点在轴上，过点作于点，绕点顺时针旋转，得线段，当点恰好落在第一象限的抛物线上，求点的坐标； (3)设点在抛物线上，点在抛物线上，当时，的最小值为3，请直接写出的值． 17．抛物线（，，为常数，）的顶点为，且，与轴交于点，（点在点左侧），与轴交于点，对称轴交轴于点，为坐标原点． (1)当，时，求该抛物线顶点的坐标； (2)若点，且，求的值； (3)若点在对称轴上，，当的最小值等于时，求点的坐标和的值． 18．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线，经过坐标原点O，与x轴正半轴相交于点A，直线与抛物线相交于点M，N（点M在点N的左侧），点M的坐标为，点N的横坐标为9，点P在线段上（不含点M，N），连接并延长，交抛物线于点B、设点P的横坐标为m． (1)求点N的纵坐标； (2)求抛物线的表达式； (3)连接，，当的面积等于的面积时，求m的值； (4)若，连接并延长，交抛物线于点C，作点B关于点P的对称点，点C关于点P的对称点，连接．当线段与线段有公共点时，请直接写出m的取值范围． 19．某航站楼正门为如图（1）所示的钢结构抛物线造型，其地面宽为，最高点离地面高度为．随着经济的发展，机场决定对航站楼进行扩建，将航站楼正门改造成如图（2）所示的双抛物线造型，整体造型呈轴对称图形，这样地面宽度达到．      建立如图（3）所示的平面直角坐标系，解答下列问题： (1)求左侧抛物线的表达式，并求点离地面的高度； (2)直接写出右侧抛物线的表达式； (3)为提高设计的安全性，设计图纸中要求加装一个矩形的钢架，使点，点在抛物线上，点，点在地面上，其中，，三边需要用钢材拼接，求最多需要多少米钢材？ (4)为减少通行阻碍，设计部门将加固方案改进，用和两根斜拉钢梁加固，其中，为两抛物线的顶点，，在抛物线上，且和交于点，求需用钢梁的总长度． 20．已知：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数交x轴于A、B两点，交y轴于点C，， (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，P为第三象限抛物线上一点，连接并延长交y轴于点T，设P的横坐标为t，的长为d，求d与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，D为第一象限抛物线上一点，连接交y轴于点E，过点D作x轴垂线交x轴于点F，交延长于点G，连接，若，，Q为x轴正半轴上一点，连接，，求点Q的坐标． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年中考数学难题专练：二次函数》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C B A A A C C 1．B 【分析】先求出原抛物线的交点、顶点坐标，结合翻折的性质得到翻折后图形的最高点位置，再判断交点总个数． 【详解】解：∵ ，， ∴原抛物线与轴交于和两个点，两点纵坐标为，大于直线的纵坐标，都在直线上方，翻折不改变这两个点的位置． 令，得，因此，过平行于轴的直线为． 原抛物线对称轴为，代入得顶点坐标为． ∵ ， ∴，顶点在直线下方，需要翻折， 顶点关于直线的对称点坐标为，翻折后图形开口向下，最高点为． ∵， ∴，翻折后的所有点都在轴下方，与轴无交点． 综上，变换后的图象与轴共有2个交点． 2．C 【详解】解：因为二次函数的图象经过和， 所以二次函数的对称轴． 所以． 所以．（选项C正确） 因为当时，随增大而减小， 所以二次函数的开口向下． 所以．（选项A错误） 所以当时，． 所以． 所以． 所以．（选项D错误） 当，． 当，．（选项B错误） 3．B 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，二次函数的对称轴为直线，则，，即可判断①②；二次函数与x轴有两个交点即可判断③；根据当时，，即可判断④；根据抛物线开口向上，在抛物线上离对称轴越远的点对应的函数值越大，即可判断⑤． 【详解】解：二次函数的图象开口向上，与轴负半轴交于一点， ∴，， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 故结论①正确； ∵， ∴， ∴， 故结论②错误； ∵二次函数与x轴有两个交点， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴； 故结论③正确； 由函数图象可知，当时，， ∴， ∵， ∴，即， 故结论④错误； ∵，，， ∴点，在二次函数的图象上，， 故结论⑤正确； 综上所述，正确的有①③⑤． 4．A 【分析】过F作于H，设，证明，得出，，在中，根据勾股定理求出，然后根据二次函数的性质求出的最小值，即可求解． 【详解】解：∵矩形中，， ∴，，， 过F作于H，设， ∵绕点E顺时针旋转得到， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，取最小值为72， ∴的最小值为． 5．A 【分析】先根据表格中和的值相等，得到二次函数对称轴，推导与的关系，再代入已知点坐标推导与的关系，最后逐一判断每个结论即可求解． 【详解】解：∵ 当时，，当时，， ∴ 点和关于对称轴对称， ∴二次函数对称轴为直线， ∴， ∴， 将，代入得，， 化简得，，即， ∵ ， ∴ ，， ∵， ∴，故①错误； 当时，；当时，， ∵ ， ∴ ， ∴，即，故②错误； ∵，， ∴，故③错误； ∵， ∴ 反比例函数图象经过第二、四象限，故④正确， 综上，正确的结论只有个． 6．A 【分析】先得出，，然后通过函数图象可得当时，，即可判断；通过二次函数的性质即可判断；当时，有最小值，可得时，，从而判断；先画出图象，再结合图象即可判断． 【详解】解：∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵与轴交于， ∴， 根据图象可知：当时，， ∴， ∴，故正确； ∵关于对称轴的对称点为，时，随的增大而减小，， ∴，故错误； 根据图象可知：当时，有最小值， 则当时，， ∴，故错误； 由方程（，为常数）的根是抛物线与直线的交点，如图， ∵对称轴为直线， ∴当有个交点时，方程（，为常数）的所有根的和为， 当有个交点时，方程（，为常数）的所有根的和为， 当有个交点时，方程（，为常数）的所有根的和为，故错误， 综上可得：正确，共个． 7．C 【详解】解：由题意得， ∴当时，，， 在中，， ∴，即， 解得（负值已舍）， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵中，是斜边上的中点， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴当时，取最小值，此时最小值为8，即的最小值为， ∴有最小值为，故选项B正确，不符合题意； 以点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系： 那么，，，， ∵和分别为和的中点， ∴，， ， ， 时，取最小值，此时最小值为，故选项C错误，符合题意； ∵已知，，，设， ∴，， 消去得， ∴点在直线上运动， 作点关于直线的对称点， ∴的最小值为的长， ∴的最小值，故选项D正确，不符合题意． 8．C 【分析】根据“序列数”的新定义，结合二次函数的性质，逐个判断结论正误即可． 【详解】解：①根据定义，中，，，因此“序列数”为，①正确； ② 该二次函数为，判别式，当时，函数图象与轴只有一个交点，②错误； ③该二次函数为，，开口向上，令，得，整理得，解得或，，即，，③正确； ④该二次函数为，，开口向下，对称轴为，，，则对称轴，开口向下的抛物线在对称轴左侧随增大而增大，故当时，随增大而增大，④正确； ⑤该二次函数为，令，因式分解得，则交点横坐标，，两交点距离为，顶点纵坐标为，由等腰直角三角形性质，顶点纵坐标的绝对值等于斜边长的一半，化简得，解得或，结论仅给出，因此⑤错误； 综上，正确结论共个，故选． 9．1 【分析】在上取一点D，使得，连接，，证明，，从而得出，再过点P作交于点H，设，，利用勾股定理和解30度直角三角形求得的表达式，结合二次函数的最值问题即可得出的最小值． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴，， 如图，在上取一点D，使得，连接，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵，在上， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证得：， ∴， ∴，即是等边三角形， 过点P作交于点H， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中， ， ∴， ∵， ∴当时，有最小值为1， ∴的最小值也为1． 10．或 【分析】由二次函数解析式可得抛物线的对称轴为直线，即可得当时，，即得到或，求出m的取值范围，再根据即可求解． 【详解】解：由题意得，抛物线的对称轴为直线， ∵，都不存在的情形， ∴或， 解得或， ， 解得， ∴m的取值范围是或． 11． 【详解】解：如图，设直线与y轴交于G，过A作直线于H，轴于F， ∵轴， ∴， ∵点A的坐标为，点M为直线上的一个动点， ∴， 在中，,， 即， ∵随的减小而增大， ∴当最小时有最大值， 即最小时，有最大值，即最大时，有最大值， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A的坐标为，点M为直线上的一个动点，点B的坐标为， 即， ∴， ∵ ∴当时，有最大值， 此时，，， ∴，， ∴的面积为． 12．或 【分析】先证明，得到，进而可得，结合图2知，，求出（负值舍去），当时，求出或，过点作于点，分和两种情况讨论即可，利用等腰三角形三线合一及勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵（a为常数），长为x，长为y， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， 由图2知，， ∴（负值舍去）， ∴， 当时，则，即， 解得或， 过点作于点， 当时，则， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴四边形的面积为； 当时，则， ∴， 同理，得， ∴四边形的面积为； 综上，四边形的面积为或． 13．①②③④ 【分析】根据二次函数与坐标轴的交点关系得出，，，再由待定系数法确定，求解即可确定，即可判断①；过点D作，根据勾股定理得出，，确定，即可求解判断②；作点D关于的对称点H，连接，交于点，如图所示，此时，，取得最小值，结合图形，利用轴对称的性质及勾股定理即可判断③；设直线与x轴垂直，，，其中，然后利用二次函数的性质求解判断④即可． 【详解】解：对于二次函数，当时，， 解得：，， ，，                 当时，， ，                 ∵二次函数的图象经过点A，C． ∴， 解得； ∴， 当时，， 解得，， ∴，故①正确； 过点D作， 由①得：，，， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴，故②正确； 作点D关于的对称点H，连接，交于点，如图所示， 此时， ∴，取得最小值， ∵， ∴， ∵轴对称，， ∴， ∴，， ∵，，    ∴， ∴， ∴的最小值为，故③正确； 根据题意，设直线与x轴垂直， ，，其中， ，             ， ∴当时，取得最大值，故④正确． 14．2022 【分析】先根据等腰直角三角形的性质设出前几个点的坐标，代入二次函数解析式求出直角边长，归纳出第n个三角形直角边长为n的规律，再利用勾股定理求斜边长． 【详解】解：是等腰直角三角形，， 设， 则点的坐标为， 点在二次函数位于第一象限的图像上， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， ，． 是等腰直角三角形，， 设， ， 点的坐标为， 点在二次函数位于第一象限的图像上， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， ． 同理可得：，，， 在中，， 是等腰直角三角形， ． 15．(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据二次函数对称轴求解方法求解即可； （2）求出判别式，证明即可； （3）根据题意求出，结合以及二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：二次函数， 对称轴为． （2）解：二次函数， 判别式， 所以该函数图象与轴必有两个不同的交点． （3）解：由题意，点横坐标满足 ​， 在抛物线上， 在直线上， 则 ， ∵，， 要使在上先增大后减小，需对称轴落在区间内，即：， 解得． 16．(1) (2)点的坐标为 (3)或 【分析】（1）根据二次函数的性质计算即可得出结果； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，设直线与轴交于点，先求出，，可得，进而可得是等腰直角三角形，，再证明出是等腰直角三角形，，，设点，由旋转得，，证明得出，进而可得的坐标为，代入抛物线得，解得或，即可得出点坐标为，即可得出结果； （3）表示出，令，则此抛物线开口向上，对称轴为，再结合二次函数的性质分三种情况计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴， 该抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设直线与轴交于点， ， 在中，当时，则， ∴， 当时，，解得， ∴， ∴， 又， 是等腰直角三角形，， ，， 是等腰直角三角形，， 又， 是等腰直角三角形，，， 设点， 由旋转得，， ， 轴， ， 在和中， ， ， ， 在第一象限， 的坐标为， 代入抛物线得， 解得或， ∴点坐标为或（与点重合，舍去）， ∴，， ∴， 点的坐标为； （3）解：点在抛物线上，点在抛物线上， ， 令，则此抛物线开口向上，对称轴为， 当时，的最小值为3，分三种情况讨论： ①当时，最小值在处：， 解得或（舍去）； ②当时，最小值在处：， 解得或（舍去）； ③当时，最小值在处：， 解得（，舍去）； 综上，的值为或． 【点睛】解题的关键：熟练掌握的性质，采用分类讨论的思想． 17．(1) (2) (3)， 【分析】（1）先根据，求出，再将抛物线解析式写成顶点式，即可得顶点的坐标； （2）先由得，则抛物线对称轴为直线，再将代入抛物线解析式得出，则，再用表示出、的坐标，再根据列方程求解； （3）由（2）知，且对称轴为直线，则点，如图，过点作，过点作，垂足为，连接，则，再根据抛物线的对称性得，则，得点，，共线，即时，有最小值，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 又∵， ， 该抛物线顶点的坐标为； （2）解：如图①，， ，且， ，且对称轴为直线， ∵， ∴， ， 即， ，， 又∵， ， 即， 又∵， ； （3）解：如图②，，由（2）知，且对称轴为直线， ， 又∵点在对称轴上， 点， 如图，过点作，过点作，垂足为，连接， ， 又∵， ， 点，，共线，即时，有最小值， 又的最小值等于， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， 又∵， ， ， ， 又∵， ，， ，， ， ，即， 又过， ， ． 18．(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）先把点M的坐标代入直线解析式，求得n的值，再代入N的横坐标即可求得N的纵坐标； （2）利用待定系数法，代入点M、N的坐标即可解答； （3）根据题意可知，点P是的中点，然后根据点P的坐标和中点坐标公式表示出点B的坐标，再根据点B在抛物线上，代入点B的横坐标，表示出点B的纵坐标，再与根据中点坐标公式所求的点B的纵坐标建立方程解答即可； （4）先求得点A坐标，由题意可知当点的纵坐标异号时，满足题意，然后分别根据第（3）题的方法求得当点的纵坐标为0时，当点的纵坐标为0时，对应的m的值，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意，把代入直线，得，则， ∴直线， 把点N的横坐标9代入直线，得， ∴点N的纵坐标为； （2）解：由（1）可知，点N的坐标为， 把点、代入抛物线， 得，解得， ∴抛物线的表达式为； （3）解：∵的面积等于的面积， ∴，即点P是的中点， ∵点P在直线上，且横坐标为m， ∴点P的纵坐标为，即， ∴点B的横坐标为，纵坐标为， 又∵点B在抛物线上， ∴当点B的横坐标为，纵坐标为， ∴， 解得， ∵点P在线段上（不含点M，N）， ∴， ∵ ∴或； （4）解：如图所示， 由（2）可知，抛物线，令，解得或，即， 由题意可知，点在同一直线上，；点在同一直线上，， ∵线段与线段有公共点， ∴当点的纵坐标异号或其中一个为0时，满足题意， ∴①当点的纵坐标为0时，此时点与点O重合，即， 由（2）可知，此时或，如图所示， ②当点的纵坐标为0时，此时点与点A重合，即， ∵，， ∴点C的横坐标为，纵坐标为， 又∵点C在抛物线上， ∴当点C的横坐标为，纵坐标为， ∴， 解得， ∵， ∴此时，如图所示， ∴当或时，点的纵坐标小于0；当，点的纵坐标大于或等于0， 当时，点的纵坐标小于0；当时，点的纵坐标大于或等于0， 又∵， ∴当或时，线段与线段有公共点． 19．(1)，点的离地高度为 (2) (3)米 (4)米 【分析】（1）由题意，设段抛物线表达式，把代入可得，即可得段抛物线表达式，由题意可知点的横坐标为12，代入即可求解点的离地高度； （2）由题意可得，段抛物线顶点坐标为，，设段抛物线表达式，把代入可得，即可得段抛物线表达式； （3）设，则，，，设钢材长度为米，根据即可求解； （4）先求出的表达式为，联立抛物线即可求得的长，再根据对称性即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，段抛物线顶点坐标为， ∴设段抛物线表达式， 把代入得，， 解得：， ， 由题意知：， ∴点的横坐标为12， 当时，， ∴抛物线的表达式为，点的离地高度为． （2）解：由题意可得，段抛物线顶点坐标为，， ∴设段抛物线表达式， 把代入得，， 解得：， ∴抛物线的表达式为． （3）解：抛物线的表达式， 设，则，，， 设钢材长度为米，则： ，抛物线开口向下， 当时，． ∴最多需要米钢材． （4）解：由（3）可知，，，设直线的表达式为， 得， 解得， ∴直线的表达式为， 由， 解得，， ， ， ∴由对称性知需用钢梁的总长度为米． 20．(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出，再由得，将代入求解即可； （2）作轴于点R，设，根据列式，求得，再计算即可； （3）延长至点H，使，连接，作，交于点M，连接，，证，得，再证四边形为平行四边形，求得点D的纵坐标为12，代入抛物线，，得，求出的解析式和求出P点坐标，再求的解析式和E点坐标，再利用，求解即可． 【详解】（1）解：∵ 令，， ， ， ， 过点A， ∴， ； （2）解：作轴于点R P的横坐标为t，在抛物线上 ， ， ， ∴， ， （3）解：延长至点H，使，连接， ， ， ， ，， ， ， ， 作，交于点M，连接，， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 点D的纵坐标为12， 代入抛物线， ，（舍）， ，，， 设直线解析式为 ∴，解得， 点P在直线上，设 代入抛物线， ，（舍） ， ，， 设直线解析式为 ∴，解得， ， 令，， ， ，在，中 ， ， ， ， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $