长方形和正方形面积（教案）-2025-2026学年人教版数学三年级下册

长方形和正方形面积的计算教学设计 一、教学内容分析 （一）教材地位与作用 本课时教学内容选自人教版《义务教育教科书·数学》三年级下册，单元是在学生已经建立了面积概念、认识了常用面积单位（平方厘米、平方分米、平方米）的基础上进行系统教学的。本单元内容主要包括：面积和面积单位的认识、长方形和正方形面积的计算、面积单位之间的进率以及运用面积知识解决实际问题等。 长方形和正方形面积的计算是小学阶段平面图形面积学习的核心内容，具有奠基性的关键地位。一方面，长方形面积公式”长×宽”的推导过程，蕴含着”度量”的数学本质——用单位面积进行密铺，这种度量思想是后续学习平行四边形、三角形、梯形、圆形面积公式的重要基础，这些图形的面积公式本质上都是通过”转化”归结为长方形面积来计算的；另一方面，面积计算在实际生活中应用极为广泛，如计算房间地面面积、墙面贴砖面积、农田种植面积等，学生通过本课时的学习，能够建立数学与生活的密切联系，培养用数学解决实际问题的能力。此外，面积公式的推导过程中蕴含的”数形结合”“归纳推理”等数学思想方法，对学生的数学思维发展具有长远价值。 从认知发展来看，本课时标志着学生几何学习从”直观度量”向”公式计算”的重要跨越。在前一课时中，学生通过”数方格”的方法测量图形面积，这种方法直观但效率低，遇到大面积图形时操作困难。本课时则要求学生从”数方格”的具体操作中，抽象出”长×宽”的计算公式，实现从”逐个数”到”算总数”的认知飞跃。这种从具体操作到抽象公式的跨越，需要学生理解”长”与”每行方格数”、“宽”与”行数”之间的对应关系，建立”二维度量”的数学模型。 （二）教材编排特点 注重公式的自主推导：教材设计了”用1平方厘米的正方形摆一摆”的操作活动，让学生通过摆小正方形测量长方形面积，逐步发现”每行摆几个”与”长”的关系、“摆几行”与”宽”的关系，进而归纳出面积公式。这种”操作—发现—归纳”的编排路径，体现”做中学”的理念。 突出度量本质的理解：教材强调面积公式的本质是”单位面积的累加”，通过”长是几厘米，每行就能摆几个1平方厘米”“宽是几厘米，就能摆几行”的对应关系，帮助学生理解公式背后的度量意义，避免机械记忆。 体现从特殊到一般的逻辑：教材先让学生测量多个不同的长方形，记录数据，再观察发现规律，最后归纳出一般公式。这种”多个实例—发现规律—归纳公式”的路径，体现归纳推理的数学思想。 强调正方形作为特殊长方形的处理：教材将正方形面积的计算放在长方形面积公式之后，通过”长和宽相等时”的特殊情况，自然推导出正方形面积公式，体现”一般—特殊”的认知逻辑。 （三）学情分析 三年级学生正处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡的关键时期，思维以形象思维为主，逐步向抽象思维发展。经过前两课时的学习，学生已经建立了面积的概念，认识了平方厘米、平方分米、平方米等面积单位，能够用”数方格”的方法测量简单图形的面积。同时，学生已经熟练掌握了长方形和正方形的特征，知道”对边相等”“四个角都是直角”等边与角的性质，为面积公式的推导奠定了知识基础。 但是，学生在学习本课时可能面临以下困难：一是公式推导中”长”与”每行个数”、“宽”与”行数”的对应关系理解，学生可能知道”长×宽”能算出面积，但不理解”为什么长乘宽就是面积”；二是面积公式与周长公式的混淆，学生容易将”长×宽”与”（长+宽）×2”混用，或在计算面积时误用长度单位；三是从”数方格”到”算公式”的抽象跨越，部分学生可能依赖具体操作，难以脱离方格独立运用公式；四是正方形面积公式的理解，学生可能知道”边长×边长”，但不理解这是”长×宽”的特殊情况。此外，部分学生在解决实际问题时，可能混淆”面积”与”周长”的概念，需要教师通过对比辨析加以澄清。 （四）教学资源说明 本教学设计依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求，采用人教版最新修订教材（2024年版），结合国家中小学智慧教育平台优质资源、人教数字教材配套互动课件、学具操作材料（边长1厘米的正方形纸片若干、长方形纸片、直尺、方格纸、透明方格纸等）以及生活实物（课本封面、课桌面、地砖、照片等）进行教学。同时，利用希沃白板等信息技术手段，动态演示小正方形密铺长方形的过程，以及”长”与”每行个数”、“宽”与”行数”的对应关系，增强教学的直观性和互动性。 二、课时安排 本单元共安排8课时，具体如下： 面积和面积单位：2课时 长方形、正方形面积的计算：2课时 面积单位之间的进率：1课时 解决问题：2课时 整理和复习：1课时 本课为第3课时（第一课时），主要教学内容为：通过操作活动探索长方形面积的计算公式，理解公式的算理，并能运用公式计算长方形和正方形的面积。 三、教学目标（基于数学核心素养） 依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》，本课时教学目标从以下五个核心素养维度进行阐述： （一）数学抽象 从具体的”数方格”操作中，抽象出”每行个数×行数=总个数”的数量关系，进而概括出长方形面积公式”长×宽=面积”。 通过测量多个长方形的边长和面积，从具体的数据中抽象出”长与每行个数对应、宽与行数对应”的规律，建立”二维度量”的数学模型。 能够用规范的数学语言表述面积公式的推导过程和含义，理解公式是对度量本质的抽象表达。 （二）逻辑推理 通过测量、记录多个长方形的长、宽和面积数据，归纳发现”面积=长×宽”的规律，培养归纳推理能力。 根据长方形”对边相等”的特征和面积公式，演绎推理出正方形面积公式”边长×边长”，理解正方形是特殊的长方形。 能够根据面积公式进行逆运算，已知面积和长（宽）求宽（长），培养逆向推理能力。 （三）数学建模 能够从”计算课本封面面积”“计算课桌面面积”等生活情境中提炼出数学问题，建立”长×宽”的面积计算模型。 运用长方形和正方形的面积公式解决简单的实际问题，体验”问题情境—建立模型—求解验证”的完整问题解决过程。 在解决”已知面积求边长”等逆向问题时，能够建立方程模型，培养模型思想和应用意识。 （四）直观想象 能够在头脑中呈现用1平方厘米小正方形密铺长方形的过程，想象”每行摆几个”“摆几行”与”长”“宽”的对应关系。 通过”数方格”到”算公式”的过渡，想象面积度量的二维展开过程，理解面积公式的几何意义。 能够在方格纸上想象并画出指定面积的长方形和正方形，发展空间观念和几何直觉。 （五）数学运算 能够准确测量长方形的长和宽，运用乘法正确计算面积，培养运算的准确性和规范性。 能够根据面积公式，已知长和宽求面积，或已知面积和长（宽）求宽（长），培养逆运算能力。 在解决与面积相关的实际问题时，能够根据具体情境选择合适的计算方法，提高运算的灵活性和应用意识。 四、教学重难点 （一）教学重点 通过操作活动探索并掌握长方形面积的计算公式。 理解长方形面积公式”长×宽”的算理，即”每行个数×行数=总个数”的度量本质。 能够运用公式正确计算长方形和正方形的面积。 （二）教学难点 理解”长”与”每行摆几个”、“宽”与”摆几行”之间的对应关系，建立公式的几何意义。 从”数方格”的具体操作抽象出”长×宽”的计算公式，实现从直观度量到公式计算的思维跨越。 区分面积计算与周长计算，避免公式混淆和单位混用。 五、教学过程 【第一环节：情境启思——土地规划师的挑战】 （一）情境创设 教师手持一张学校平面图走进教室，神情专注地说：“同学们，学校要新建一个长方形的花坛和一个正方形的草坪。校长请我们班的同学当一回’小小土地规划师’，帮忙计算花坛和草坪的面积，以便购买花草和草皮。但是，花坛和草坪都很大，用数方格的方法太慢了。有没有更简便的方法呢？” 教师将一张画有长方形和正方形的图纸展示在黑板上。 （二）提出问题 教师指着图纸上的长方形，用充满挑战的语气说：“这个长方形花坛，长5米，宽3米。它的面积是多少呢？如果让我们用1平方米的小方块去铺，要铺多少个？” 教师明确要求：“先请同学们想一想，如果不用真的铺，你能想出办法吗？” 预设学生回答情况： 学生A（联系已有经验）：“可以画方格，数方格。长5米画5格，宽3米画3格，一共15格，就是15平方米。” 学生B（直觉猜测）：“5乘3等于15，面积是15平方米。” 学生C（可能混淆）：“（5+3）×2=16，周长是16米。”（教师需关注，及时区分。） 学生D（深入思考）：“长5米，每米铺1个，每行铺5个；宽3米，能铺3行。5×3=15个。” 教师根据学生回答，自然引出：“有的同学想到了数方格，有的同学直接说5乘3。5乘3为什么就是面积呢？今天我们就来揭开这个秘密！” 教师板书课题：长方形和正方形面积的计算 （三）激活已有经验 教师提问：“要研究长方形面积的计算方法，我们需要先回忆一下，已经知道哪些知识？” 预设学生回答： “长方形有四条边，对边相等。” “面积是物体表面或封闭图形的大小。” “可以用数方格的方法测量面积。” “1平方厘米是边长1厘米的正方形面积。” 教师过渡：“这些知识很重要！今天我们就用这些知识，来发现长方形面积的计算公式。” （四）设计意图 本环节以”学校规划花坛和草坪”的真实情境导入，贴近学生生活，激发学习兴趣。通过”提出问题—激活经验—引出课题”的层次设计，让学生在真实需求中产生探索面积公式的动机。同时，通过学生的不同回答，暴露思维起点，为后续教学提供依据。 【第二环节：操作探理——面积公式的诞生密码】 （一）明确探究任务 教师为每位学生发放三个不同的长方形纸片（①号：长5厘米、宽3厘米；②号：长4厘米、宽2厘米；③号：长6厘米、宽4厘米），以及若干边长1厘米的小正方形纸片、直尺、方格纸。 教师布置探究任务：“请同学们用老师提供的工具，测量这三个长方形的面积。你可以用小正方形摆一摆，也可以在方格纸上画一画。完成后，把每个长方形的长、宽、面积记录在表格中，看看你能发现什么规律。” 教师出示记录表格： 长方形 长（厘米） 宽（厘米） 面积（平方厘米） 每行摆几个 摆几行 ①号 ②号 ③号 （二）自主探究 学生独立操作，教师巡视指导，观察学生的操作方法，特别关注： - 学生是否用小正方形密铺长方形 - 学生是否记录每行个数和行数 - 学生是否能发现长、宽与面积的关系 （三）汇报交流——①号长方形 教师请学生汇报①号长方形的探究结果。 学生展示：“我用1平方厘米的小正方形摆①号长方形。长是5厘米，每行摆了5个；宽是3厘米，摆了3行。一共摆了15个小正方形，面积是15平方厘米。” 教师追问：“你怎么知道每行摆5个？” 预设学生回答： “因为长是5厘米，1个小正方形边长1厘米，所以每行能摆5个。” 教师追问：“摆了几行？为什么？” 预设学生回答： “摆了3行。因为宽是3厘米，每行宽1厘米，所以能摆3行。” 教师追问：“总面积怎么算？” 预设学生回答： “每行5个，摆3行，5×3=15个。每个小正方形面积1平方厘米，所以面积是15平方厘米。” 教师板书：长5厘米→每行摆5个→5×3=15→面积15平方厘米 （四）汇报交流——②号长方形 教师请学生汇报②号长方形的探究结果。 学生展示：“②号长方形长4厘米，每行摆4个；宽2厘米，摆2行。一共4×2=8个，面积8平方厘米。” 教师追问：“长和每行个数有什么关系？宽和行数有什么关系？” 预设学生回答： “长是几厘米，每行就能摆几个；宽是几厘米，就能摆几行。” （五）汇报交流——③号长方形 教师请学生汇报③号长方形的探究结果。 学生展示：“③号长方形长6厘米，每行摆6个；宽4厘米，摆4行。一共6×4=24个，面积24平方厘米。” （六）发现规律 教师引导学生观察表格中的数据： 长方形 长 宽 面积 每行个数 行数 ①号 5 3 15 5 3 ②号 4 2 8 4 2 ③号 6 4 24 6 4 教师提问：“仔细观察这些数据，你发现了什么规律？” 预设学生回答情况： 学生E：“长等于每行个数，宽等于行数。” 学生F：“面积等于长乘宽。” 学生G：“5×3=15，4×2=8，6×4=24，都是长乘宽等于面积。” 教师追问：“为什么长乘宽就是面积？” 预设学生回答（在教师引导下）： “长是几厘米，每行就能摆几个1平方厘米；宽是几厘米，就能摆几行。每行个数×行数=总个数，总个数就是面积。所以长×宽=面积。” （七）归纳公式 教师带领学生完整表述：“长方形的面积等于长乘宽。因为长是几厘米，每行就能摆几个1平方厘米；宽是几厘米，就能摆几行。每行个数乘行数，就是一共摆了多少个1平方厘米，也就是面积。” 教师板书：长方形的面积 = 长 × 宽 字母公式：S = a × b 教师强调：“这个公式是怎么来的？是从摆小正方形的操作中发现的。长告诉我们每行摆几个，宽告诉我们摆几行。” （八）验证公式 教师出示一个新的长方形（长7厘米、宽3厘米），要求学生：“不用摆小正方形，直接用公式算一算面积，再用小正方形验证。” 预设学生计算： “7×3=21平方厘米。” 学生摆小正方形验证：“每行7个，摆3行，一共21个。公式算对了！” （九）设计意图 本环节是本节课的核心环节。通过”明确任务—操作探究—汇报交流—发现规律—归纳公式—验证公式”的完整链条，让学生经历”操作—发现—概括—验证”的科学探究过程。在汇报交流中，从”每行个数”“行数”到”长”“宽”的对应关系，逐步建立公式的几何意义。特别注重对”为什么长乘宽就是面积”的追问，帮助学生理解公式背后的度量本质，而非机械记忆。 【第三环节：类比迁移——正方形面积的身份认证】 （一）明确探究任务 教师过渡：“我们已经发现了长方形面积的计算公式。现在，图形国王要考考大家：正方形是特殊的长方形，它的面积怎么算呢？” 教师出示一个正方形纸片（边长5厘米），布置任务：“请同学们用刚才的方法，先猜一猜这个正方形的面积怎么算，再用小正方形验证。” （二）自主探究 学生独立操作，教师巡视，观察学生是否能够迁移长方形的研究方法。 （三）汇报交流 教师请学生汇报，预设出现以下方法： 方法一：摆小正方形验证 学生展示：“正方形边长5厘米，每行摆5个，摆5行。一共5×5=25个，面积25平方厘米。” 教师追问：“这里的两个5，分别表示什么？” 预设学生回答： “第一个5表示每行摆5个，第二个5表示摆5行。因为正方形边长相等，所以两个5一样。” 方法二：套用长方形公式 学生展示：“正方形是特殊的长方形，长和宽都是5厘米。用长方形公式，5×5=25平方厘米。” 教师追问：“正方形的长和宽叫什么？” 预设学生回答： “叫边长。所以正方形面积=边长×边长。” （四）公式归纳 教师板书：正方形的面积 = 边长 × 边长 字母公式：S = a × a = a² 教师介绍：“a²读作’a的平方’，表示两个a相乘。” 教师强调：“正方形面积公式是长方形面积公式的特殊情况。当长和宽相等时，长×宽就变成了边长×边长。” （五）对比联系 教师出示表格，引导学生对比： 图形 边特征 面积公式 联系 长方形 对边相等 S=长×宽 正方形是特殊的长方形 正方形 四条边都相等 S=边长×边长 当长=宽时，长方形公式变成正方形公式 （六）设计意图 本环节通过”类比迁移—汇报交流—公式归纳—对比联系”的路径，让学生运用研究长方形的方法自主探究正方形的面积，体现学法迁移。通过追问”两个5分别表示什么”，深化学生对公式几何意义的理解。字母公式S=a²的引入，为后续学习正方形的相关知识奠定基础。 【第四环节：思辨深化——面积侦探社的疑难案件】 （一）情境创设 教师创设趣味情境：“图形王国的’面积侦探社’接到了几起疑难案件，请同学们当小侦探，帮助判断和解决。” （二）案件一：公式辨析 教师出示：“一个长方形长8厘米，宽3厘米。小狐狸算面积时列式为（8+3）×2=22平方厘米。它算对了吗？” 预设学生回答： “不对！（8+3）×2是算周长的，面积应该用8×3=24平方厘米。” 教师追问：“周长和面积有什么不同？” 预设学生回答： “周长是边线长度，面积是里面大小。” “周长用长度单位，面积用面积单位。” “周长公式是（长+宽）×2，面积公式是长×宽。” 教师强调：“这是最容易混淆的地方！计算时要先想清楚，求的是周长还是面积。” （三）案件二：单位辨析 教师出示：“一个正方形边长4厘米，面积是16厘米。这句话对吗？” 预设学生回答： “不对！面积应该用平方厘米，16平方厘米。厘米是长度单位。” 教师追问：“如果写成16cm²，对吗？” 预设学生回答： “对！cm²就是平方厘米。” （四）案件三：逆向思维 教师出示：“一个长方形面积是24平方厘米，宽是4厘米，长是多少厘米？” 教师提问：“这道题和前面的题目有什么不同？” 预设学生回答： “前面是已知长和宽求面积，这道题是已知面积和宽求长。” 教师布置任务：“请同学们想一想，怎么求？” 预设学生回答： “用面积除以宽，24÷4=6厘米。” “因为长×宽=面积，所以长=面积÷宽。” 教师板书：长 = 面积 ÷ 宽 教师追问：“如果已知面积和长，怎么求宽？” 预设学生回答： “宽=面积÷长。” （五）案件四：变式应用 教师出示：“用一根长20厘米的铁丝围成一个长方形，面积最大是多少？” 教师提问：“这道题要先求什么？” 预设学生回答（在教师引导下）： “先求长和宽。周长20厘米，长+宽=10厘米。长和宽可能是9和1、8和2、7和3、6和4、5和5。” 教师追问：“面积分别是多少？哪种最大？” 学生计算： 长9、宽1：面积9平方厘米 长8、宽2：面积16平方厘米 长7、宽3：面积21平方厘米 长6、宽4：面积24平方厘米 长5、宽5：面积25平方厘米 教师引导学生发现：“长和宽越接近，面积越大。正方形时面积最大。” （六）设计意图 本环节创设”面积侦探社”的趣味情境，通过四个层次的思辨任务，深化学生对面积概念和公式的理解。案件一侧重区分周长与面积，案件二强调单位的正确使用，案件三培养逆向思维，案件四渗透优化思想。四个案件层层递进，既巩固知识，又培养分析问题和解决问题的能力。 【第五环节：应用拓展——生活中的面积规划师】 （一）基础练习 教师出示教材情境（或描述）：“学校要给长方形宣传栏刷油漆，宣传栏长6米，宽2米。宣传栏的面积是多少平方米？” 要求学生独立列式计算。 预设学生解答： 6×2=12（平方米） 教师请学生说一说：“6表示什么？2表示什么？12表示什么？” 预设学生回答： “6表示长6米，每行能摆6个1平方米；2表示宽2米，能摆2行；12表示一共12平方米。” （二）变式练习 教师出示：“一个正方形手帕，边长2分米。它的面积是多少？如果用一根丝带围一圈，丝带长多少？” 学生独立计算。 预设学生解答： 面积：2×2=4（平方分米） 周长：2×4=8（分米） 教师追问：“这两道题有什么不同？” 预设学生回答： “第一题求面积，用边长×边长；第二题求周长，用边长×4。单位也不同，面积用平方分米，周长用分米。” （三）拓展练习 教师出示开放性问题：“用12个边长1厘米的小正方形，可以拼成哪些长方形？它们的面积和周长各是多少？” 学生小组合作，动手拼摆并计算。 预设学生方案： 长（厘米） 宽（厘米） 面积（平方厘米） 周长（厘米） 12 1 12 26 6 2 12 16 4 3 12 14 教师引导学生发现：“面积都是12平方厘米，但周长不同。长和宽越接近，周长越小。” （四）创编问题 教师布置任务：“请同学们根据今天学的知识，创编一个生活中的面积问题，说给同桌听，并写出解答过程。” 预设学生创编： “我家客厅长8米、宽5米，面积是多少？8×5=40平方米。” “一张正方形餐桌边长1米，桌面面积是多少？1×1=1平方米。” “一个长方形菜园面积是30平方米，长是6米，宽是多少？30÷6=5米。” （五）设计意图 本环节通过”基础—变式—拓展—创编”的层次性练习，巩固面积公式的应用。基础练习强化公式计算，变式练习区分面积与周长，拓展练习渗透”面积一定，周长可变”的规律，创编练习激发创新思维。四个层次由浅入深，既关注知识落实，又关注能力培养。 【第六环节：回顾反思——我的面积学习档案】 （一）知识梳理 教师引导：“今天我们一起学习了长方形和正方形面积的计算。请同学们回顾，我们学到了什么？” 师生共同梳理： 长方形面积 = 长 × 宽（S = a × b） 正方形面积 = 边长 × 边长（S = a × a = a²） 公式的由来：长→每行个数，宽→行数，长×宽=总个数=面积 （二）方法总结 教师提问：“计算面积时，要注意什么？” 预设学生回答： “要分清是长方形还是正方形。” “长方形要找长和宽，正方形只要找边长。” “要用面积单位，不要和长度单位混淆。” “不要和周长公式混淆。” （三）疑问交流 教师鼓励学生：“关于面积的计算，你还有什么疑问？” 预设学生疑问： “如果长方形的长和宽不是整数，面积怎么算？”（教师回应：用乘法，和小数乘法一样。） “有没有更快的求面积的方法？”（教师引导：公式就是最快的方法，以后学更复杂的图形会用到转化。） “面积和周长有什么关系？”（教师引导：面积和周长是两个不同的概念，但有时可以互相联系，比如刚才的拓展练习。） （四）自我评价 教师布置：“请同学们用1-3颗星评价自己今天的表现：理解公式算理、掌握计算方法、能区分面积和周长。” （五）设计意图 本环节通过”梳理—总结—质疑—评价”四个步骤，帮助学生建构知识体系，反思学习过程。知识梳理环节培养归纳能力，方法总结环节提升元认知水平，疑问交流环节保护好奇心，自我评价环节促进自主学习。 七、教学反思要点 重视公式推导的过程性：面积公式的教学不能仅停留在”告诉公式—运用公式”的层面，而要让学生经历”摆一摆—记一记—比一比—想一想—说一说”的完整过程，理解公式背后的度量本质。 突出”对应关系”的理解：要特别关注”长与每行个数”“宽与行数”的对应关系，通过追问、手势、图示等方式，帮助学生建立这种对应，理解”长×宽”的几何意义。 加强面积与周长的区分：学生容易混淆面积和周长，教学中要通过对比表格、实例辨析、专项练习等方式，帮助学生建立清晰的概念边界。 培养逆向思维能力：在掌握基本公式的基础上，通过”已知面积求边长”等逆向问题，培养学生灵活运用知识的能力。 落实核心素养培养：五个核心素养在本节课中相互融合。数学抽象体现在公式的归纳，逻辑推理体现在规律的发现，数学建模体现在实际问题的解决，直观想象体现在小正方形密铺的过程，数学运算体现在面积计算中。 学科网（北京）股份有限公司 $