精品解析：重庆市西南大学附属中学校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

西南大学附中2025-2026学年度下期期中考试 高二数学试题 （满分：150分：考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整. 3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数在区间的最小值是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 若随机变量服从两点分布，其中，则（ ） A. B. C. D. 3. 某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，80%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑冰，则该同学也爱好滑雪的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.3 4. 已知数列满足，，则（ ）． A. 1 B. 2 C. 4 D. 5. 已知函数，若是函数的一个极值点，则下列图象不可能为图象的是（ ） A. B. C. D. 6. 幼儿园有三个不同的汽车玩具和三个不同的恐龙玩具，以下说法不正确的是（ ） A. 将这6个玩具排成一排，其中汽车玩具排在一起有144种不同的排法 B. 将这6个玩具排成一排，其中汽车玩具都不相邻的有144种不同的排法 C. 将这6个玩具排成一排，其中三个汽车玩具的先后顺序一定的有120种不同的排法 D. 将这6个玩具分给甲、乙两个小朋友，每人3个，一共有40种不同的分配方案 7. 已知是双曲线的图象上一点，且位于第一象限.过向该双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为，，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，对于定义域内的任意恒有，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 曲线的切线可能与该曲线有不止一个公共点 B. 一个函数的极小值一定小于极大值： C. 函数在某个开区间上可导，且存在唯一的最大值点，则最大值一定在极大值点处取到 D. 若函数在某个区间上单调递增，则它的导函数在该区间上满足 10. 已知数列的前项和为，且，则（ ） A. B. 是等差数列 C. D. 数列的前项和小于 11. 在平面直角坐标系上的一只蚂蚁从原点出发，每次随机地向上、下、左、右四个方向移动1个单位长度，移动6次，则（） A. 蚂蚁始终未远离原点超过1个单位长度的不同走法一共64种 B. 蚂蚁移动到点的不同走法一共24种 C. 蚂蚁回到原点的不同走法一共400种 D. 蚂蚁恰好经过一次的不同走法一共640种（最后一次到达不算经过） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数为__________． 13. 已知函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围为______. 14. 椭圆的左、右焦点分别为，，以右焦点为焦点的抛物线与椭圆在第一象限的交点为，若，则椭圆的离心率__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是等差数列，是等比数列，且，，，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 学校举行了一次有关语文、数学、英语的三大学科知识竞赛，海量题库中语文、数学、英语三类相关知识题量占比分别为、、.甲同学回答语文、数学、英语这三类问题中每个题的正确率分别为、、. （1）若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； （2）若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每一题回答正确得分，回答错误得分.设该同学回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望. 17. 矩形中，，为线段的中点，将沿折起，使得. （1）求四棱锥的体积； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 18. 已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若函数有两个极值点，，求证：. 19. 平面内一动点到直线的距离为，到直线的距离为，且，记点的轨迹为曲线. （1）求的方程： （2）曲线的右焦点为，过点的直线与曲线相交于，两点，已知线段的中点为，求点的轨迹方程： （3）已知，是椭圆上的点，是上一点，若线段，的中点都在上，证明：的面积是定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西南大学附中2025-2026学年度下期期中考试 高二数学试题 （满分：150分：考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整. 3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数在区间的最小值是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【详解】，令，得或， 时，单调递增；时，单调递减；时，单调递增 又，所以函数在区间的最小值是. 2. 若随机变量服从两点分布，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以，则. 3. 某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，80%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑冰，则该同学也爱好滑雪的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.3 【答案】C 【解析】 【详解】记“该同学爱好滑雪”为事件,记“该同学爱好滑冰”为事件， 则， 所以， 所以. 4. 已知数列满足，，则（ ）． A. 1 B. 2 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【详解】数列中，，， 则， 因此数列是周期数列，周期为3，而， 所以. 5. 已知函数，若是函数的一个极值点，则下列图象不可能为图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通过是的一个极值点得到，然后再分情况确定函数图象. 【详解】由题意可得，， . 是的一个极值点，，即，. ，，. 当时，，C选项图象可能； 当 时， ，B选项图象可能； 再看A，D选项，方程均有两根，不妨设为， 由韦达定理可得， 而选项A中，两根均大于1，图象不可能，D选项图象可能. 6. 幼儿园有三个不同的汽车玩具和三个不同的恐龙玩具，以下说法不正确的是（ ） A. 将这6个玩具排成一排，其中汽车玩具排在一起有144种不同的排法 B. 将这6个玩具排成一排，其中汽车玩具都不相邻的有144种不同的排法 C. 将这6个玩具排成一排，其中三个汽车玩具的先后顺序一定的有120种不同的排法 D. 将这6个玩具分给甲、乙两个小朋友，每人3个，一共有40种不同的分配方案 【答案】D 【解析】 【详解】将汽车玩具作为一个整体，共有种不同的排法，故A正确； 先排恐龙玩具，再将汽车玩具插空，共有种不同的排法，故B正确； 先将所有玩具排列，再利用定序法求解，共有种不同的排法，故C正确； 先给甲3个，再给乙3个，共有种不同的分配方案，故D错误. 7. 已知是双曲线的图象上一点，且位于第一象限.过向该双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用解析几何思想，借助点到直线的距离公式来求出点，然后再继续求出交点的坐标，最后可求距离. 【详解】 设双曲线上第一象限的点， 则由双曲线可得渐近线方程为，即 所以由点到直线的距离公式可得： 由， 由双曲线上第一象限的点可知，所以上式可变形得， 即，则代入双曲线得：， 则过点与渐近线垂直的直线方程为：， 与渐近线联立解得：，即得， 过点与渐近线垂直的直线方程为：， 与渐近线联立解得：，即得， 所以. 8. 已知函数，对于定义域内的任意恒有，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对函数进行换元，再分离参数，转化为求的最大值求解即可. 【详解】令，由定义域得，记， 题目条件等价于，对任意，恒成立. 设​，，不等式两边同除以得，  ，因此的最小值就是函数​的最大值. . 令，恒成立， 则在上单调递增且. 因此当时，，单调递增； 当时，，，单调递减. 因此在处取最大值，故. 即的最小值为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 曲线的切线可能与该曲线有不止一个公共点 B. 一个函数的极小值一定小于极大值： C. 函数在某个开区间上可导，且存在唯一的最大值点，则最大值一定在极大值点处取到 D. 若函数在某个区间上单调递增，则它的导函数在该区间上满足 【答案】AC 【解析】 【分析】举例判断AB的正确性，对CD根据函数的有关性质可直接判断. 【详解】对A选项：因为过曲线上的一点可以作曲线的切线，所以切线可能与该曲线有不止一个公共点， 例如函数在处的切线为，与有无数个公共点，故A正确； 对B选项：函数的极值是局部性质，极大值与极小值的大小不定， 比如，在处有极大值，在处有极小值，极大值小于极小值，故B错误； 对C选项：函数在某个开区间上可导，且存在唯一的最大值点，则最大值一定在极大值点处取到，故C正确； 对D选项：函数在某个区间上单调递增，则它的导函数在该区间上满足，故D错误. 10. 已知数列的前项和为，且，则（ ） A. B. 是等差数列 C. D. 数列的前项和小于 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用求解；对于B，利用的关系求出的通项公式，再进行证明；对于C，求出，，进行比较；对于D，利用裂项相消法求出数列的和即可证明. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，当时，， 符合上式，所以，所以， 所以当时，，所以是等比数列，B错误； 对于C，，， 所以，C正确； 对于D，， 设数列的前项和为， 则 ，D正确. 11. 在平面直角坐标系上的一只蚂蚁从原点出发，每次随机地向上、下、左、右四个方向移动1个单位长度，移动6次，则（） A. 蚂蚁始终未远离原点超过1个单位长度的不同走法一共64种 B. 蚂蚁移动到点的不同走法一共24种 C. 蚂蚁回到原点的不同走法一共400种 D. 蚂蚁恰好经过一次的不同走法一共640种（最后一次到达不算经过） 【答案】ACD 【解析】 【详解】选项A，由题意得蚂蚁只能在点、、中移动，不能走到距离原点超过1的位置. 按每一步的位置分类计数： 起点，有4种走法到4个相邻点. 从或出发，下一步只能回到原点 走法只能是：原点→相邻点→原点→相邻点→原点→相邻点→原点，共6步. 第一步：4种选择； 第2、4、6步：只能回原点，各1种； 第3、5步：从原点出发，4种选择 总走法：种.故A正确 选项B，要到达，需要向右移动3次、向上移动3次，总步数为6次，不能有向左或向下移动. 走法数为6步中选3步向右（剩余3步向上），B错误 选项C ，回到原点意味着向右次数=向左次数，向上次数=向下次数.设向右/向左各次，向上/向下各次，，即，. ： ： ： ： 总走法：种.故C正确 选项D，设向右次，向上次，从原点到第一次经过所需步数为 则 时，即，从原点到的走法数为 从出发，4步内经过两步回到，走法数为， 4步总走法为种，因此不回到的走法数为种. 此种情况不同走法数为 时，，或，第4步到不同走法数为 其中第二步到的走法数为，故此种情况不同走法数为 综上，恰好经过一次的不同走法一共种，D正确 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式通项公式计算求解即可． 【详解】在的展开式中， 其通项为， 令，解得， 所以的系数为． 13. 已知函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先确定函数的定义域，其次因为既有极大值又有极小值，可知导数为0有两个不相等的正根，而导数的分子正好为一元二次，所以通过根与系数的关系得到不等式. 【详解】的定义域为， 求导得， 因为函数既有极大值又有极小值， 所以在上有两个不相等的根 记为，即是的两个不相等的正根 ，解得. 14. 椭圆的左、右焦点分别为，，以右焦点为焦点的抛物线与椭圆在第一象限的交点为，若，则椭圆的离心率__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆定义结合已知条件求出，利用椭圆第二定义及抛物线定义列方程求解离心率. 【详解】 根据题意，，， 所以，， 设的横坐标为，，解得， 抛物线的焦点为右焦点，可得， 可得，椭圆的离心率. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是等差数列，是等比数列，且，，，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据和的值求出等比数列的通项公式，再利用，求出等差数列的通项公式. （2）求出的通项公式，结合等差数列的前项和公式及等比数列的前项和公式求解即可. 【小问1详解】 等比数列的公比， 所以，. 设等差数列的公差为，因为，， 所以，解得. 所以. 等差数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知，. 所以， 故数列的前项和为. 16. 学校举行了一次有关语文、数学、英语的三大学科知识竞赛，海量题库中语文、数学、英语三类相关知识题量占比分别为、、.甲同学回答语文、数学、英语这三类问题中每个题的正确率分别为、、. （1）若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； （2）若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每一题回答正确得分，回答错误得分.设该同学回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2）的分布列为 数学期望【解析】 【分析】（1）根据题意，由全概率公式即可得到结果； （2）由题意可得，的可能取值为，分别求得其所对应的概率，即可得到分布列，从而得到期望. 【小问1详解】 设事件为“选到的题目是语文题”，事件为“选到的题目是数学题”，事件为“选到的题目是英语题”，事件为“甲同学回答正确”， 则由题意得，，，，，， 根据全概率公式有. 【小问2详解】 设事件为“甲同学答对语文题”，事件为“甲同学答对数学题”，事件为“甲同学答对英语题”， 则由题意得，则答错语文题的概率是， ，则答错数学题的概率是， ，则答错英语题的概率是， 由于答对的题数可能是，因此的可能取值为， 当时，即语文题、数学题、英语题全答错，则； 当时，即语文题、数学题、英语题只答对一个，则 ； 当时，即语文题、数学题、英语题答对两个，则 ； 当时，即语文题、数学题、英语题全答对，则； 因此，的分布列为 数学期望. 17. 矩形中，，为线段的中点，将沿折起，使得. （1）求四棱锥的体积； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，证明线面垂直，即得出棱锥的高，代入四棱锥的体积公式即得； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 取的中点，连接，， 在原矩形中，因为，点为的中点，故， 因为是等腰直角三角形，所以，， 由知， 所以， 所以，所以， 又平面，所以平面. 即是四棱锥的高，又因为， 所以四棱锥的体积. 【小问2详解】 取的中点，连接， 由，可知， 又，所以， 以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图， 则 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则 设平面的法向量为， 则，令，则． 设平面与平面所成角为， 则 18. 已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若函数有两个极值点，，求证：. 【答案】（1） （2）当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3） 由（2）可得 当时，；当时，. 所以，要证，， 即证， 即证 令，则，则， 整理得，又，所以 设, 令，得，令，得; 处取极大值，也是最大值， 所以 所以. 【解析】 【分析】（1）利用导数与切线方程的关系直接求解； （2）讨论参数与导函数的零点关系，得到原函数的单调性； （3）把转化为一个表达式，构造函数进行求解. 【小问1详解】 当时, ，， 所以切点为, , 所以，曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 ， 当即时，令，得； 令，得， 所以，在上单调递减，在上单调递增. 当即时， 令，得，或； 令，得， 所以，在上单调递减，在上单调递增. 当时， 所以，在上单调递增. 当即时，令，得，或； 令，得 ， 所以，在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 略 19. 平面内一动点到直线的距离为，到直线的距离为，且，记点的轨迹为曲线. （1）求的方程： （2）曲线的右焦点为，过点的直线与曲线相交于，两点，已知线段的中点为，求点的轨迹方程： （3）已知，是椭圆上的点，是上一点，若线段，的中点都在上，证明：的面积是定值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用点到直线的距离，根据条件列出方程化简即可得解； （2）当直线斜率存在时设直线方程，联立椭圆的方程，根据韦达定理及中点坐标公式消参数即可得解，再检验斜率不存在时即可; （3）根据点到直线的距离公式及弦长公式，再代入三角形面积公式计算即可. 【小问1详解】 设，则，同理， 所以， 即，化简得. 即的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，，所以，所以椭圆的右焦点， 当直线斜率存在时，设直线方程为， 代入椭圆方程可得，， 设，中点，则，， 于是，，代入直线方程， ， 两式相除，得，即，代入中，可得； 当直线斜率不存在时，直线为，由椭圆的对称性知，点为， 也满足， 综上，点的轨迹方程为. 【小问3详解】 设在椭圆上，在上，即， 因为的中点在上， 所以， 同理可得，， 又，， 化简可得，， 所以直线的方程为. 所以点到直线的距离， 联立，化简得， 所以，， 所以 ， 又， 所以，， 所以， 即的面积是定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $