2026年希望杯四年级数学竞赛试卷（E卷）

2026年希望杯四年级数学竞赛试卷（E卷） 1．（4分）计算：9×（25﹣20）×（20+25） 2．（4分）计算：10÷11÷12÷…÷999 3．（4分）小马说：“我能记下圆周率小数点后一亿位!小飞可以为我证明，我背给他听过!”小希说：“你吹牛!就算你不吃不喝一直背下去，句秒钟可以背5个数字，也要背很久很久。”按小卷所说的速度，小马背完一亿位数所用的时间最接近下列哪个选项？（　　） A．2小时 B．2天 C．20天 D．200天 E．2年 4．（4分）如图，在乘法竖式的每个空格中填入一个数字，使其成为正确的竖式，所得的乘积是 　 　 。 5．（4分）如图，5个玻璃杯摞在一起高22厘米，同样的10个玻璃杯摞在一起高37厘米，那么同样的 　 　 个玻璃杯摞在一起高1米。 6．（4分）墙角有一个用若干棱长为1的小立方体搭成的几何体，如图所示，该几何体的表面积是　 　 。 7．（4分）把10颗相同的糖果分别装入三个相同的礼盒里，每个礼盒里都有糖果，共有 　 　 种不同的装法。 8．（4分）小兔到距家900米的树林采蘑菇，它从家到树林的速度是5米/秒，采了30分钟蘑菇后，它从树林回家，速度是3米/秒。小兔出门在外　 　 分钟。 9．（4分）哪吒和敖丙赛跑，两人同时从金光洞出发，前往东海龙宫。哪吒每小时行60千米，15小时可到达；敖丙每小时行75千米。当敖丙到达东海龙宫时，哪吒距离东海龙宫　 　 千米。 10．（4分）池塘里有一群天鹅和野鸭，其中天鹅的数量占总数的四分之一。这时又飞来了一些天鹅，天鹅的数量增加一倍，那么这时天鹅的数量占总数的（　　） A． B． C． D． E． 11．（4分）秋收节一群兔子收白菜，若每只兔子收8棵白菜，则地里剩下5棵白菜；若每只兔子收9棵白菜，则有一只兔子少收4棵白菜，地里共有　 　 棵白菜。 12．（4分）五面体数从小到大排列依次为：1，5，14，30，……其规律如图所示。五面体数385是从小到大排列的第　 　 个数。 13．（4分）算式5×10×15×20×25×30×35×40×45×50得数的末尾有　 　 个连续的0。 14．（4分）把2025个图形按照1颗星，2颗心，3颗星，4颗心，5颗星，……的规律排列，再按照红、蓝、红、蓝、红、蓝……的顺序涂色，那么共有　 　 颗红色的星。 15．（4分）从1，2，3，4，…，2026中选出若干个数，使得选出的数中任意两个的和能被26整除，那么最多选出　 　 个数。 16．（4分）如图是用24根长为1的火柴根摆成的回字形图形，移动图中的四根火柴根后，新图形中有三个正方形（大小可以不一样），且全部火柴根都在这三个正方形的边上，则这三个正方形的面积之和最小是　 　 。 17．（4分）智能工厂有四类机器人： ①分拣机器人；每个机器人有5臂4足； ②组装机器人：每个机器人有2臂3足； ③搬运机器人：每个机器人有1臂3足； ④焊接机器人：每个机器人有1臂2足。 如果组装机器人和搬运机器人的个数相同，且全部机器人一共有31臂50足，那么该工厂有　 　 个分拣机器人。 18．（4分）将1，2，3，4填入如图的方格中，使得方格中的每行、每列及两条对角线上都有1，2，3，4这四个数（图中有五个方格已填好了数），那么满足要求的填数方法有　 　 种。 19．（4分）书店为少儿读书会的成员准备了阅读材料，包括88本故事书。114本笔记本和131支卡通书签。工作人员将每种材料平均分发给每位成员，清点后发现还剩4本故事书、2本笔记本和5支卡通书签。那么这个少儿读书会最多有　 　 位成员。 20．（4分）小马用计算器计算从1开始的自然数之和，当他加到某一个数时，突然发现前面有一段时间他把按键“1”当成按键“4”，导致计算结果比实际小。如果当前所得的计算结果是2026，那么他最后计算的加数至少是　 　 。 21．（4分）数一数，如图中共有　 　 个长方形（包括正方形）。 22．（4分）如图是小明家到学校的道路分布图。一天早上，小明要先到商店买笔再去学校，他有　 　 条不同的最短路线。 23．（4分）小希想在房间的四个角落安放绿植，有四种绿植供选择（可以不全选），若相邻的两个角落安放的绿植不同，那么共有　 　 种安排方法。 24．（4分）新年来了，小希用火柴棒拼成“2026”，如图所示。淘气的小望从摆好的图形中拿走了一些火柴棒，图中就没有三角形了。小望至少拿走了 　 　 根火柴棒。 25．（4分）把一些数倒过来看，仍然是一个有意义的数，如倒过来看是，倒过来看是。一个四位数，正看和倒看是两个不同的四位数，且这两个数的和小于10000，两个数的差是3177，那么这两个数中较小的数是　 　 。 2026年希望杯四年级数学竞赛试卷（E卷） 参考答案与试题解析 1．（4分）计算：9×（25﹣20）×（20+25） 【分析】先计算括号里面的加减法，再计算乘法。 【解答】解：9×（25﹣20）×（20+25） ＝9×5×45 ＝45×45 ＝45×（40+5） ＝45×40+45×5 ＝1800+225 ＝2025。 【点评】本题考查了四则运算的巧算，解决本题的关键是按照计算法则和计算顺序计算。 2．（4分）计算：10÷11÷12÷…÷999 【分析】把除法转化为乘法来计算即可简算。 【解答】解：10÷11÷12÷…÷999 ＝10 。 【点评】熟练掌握阶乘的计算是计算该题的前提。 3．（4分）小马说：“我能记下圆周率小数点后一亿位!小飞可以为我证明，我背给他听过!”小希说：“你吹牛!就算你不吃不喝一直背下去，句秒钟可以背5个数字，也要背很久很久。”按小卷所说的速度，小马背完一亿位数所用的时间最接近下列哪个选项？（　　） A．2小时 B．2天 C．20天 D．200天 E．2年 【分析】一秒钟可以背5个数字，用1亿除以每秒背诵的数字个数即可求出需要的秒数，再进行时间单位的换算即可解答本题。 【解答】解：100000000÷5＝20000000（秒）， 20000000÷3600≈5556（小时）， 20000000÷（24×3600）＝20000000÷86400≈232（天）， 20000000÷（24×3600×365）＝20000000÷31536000≈0.7（年）， 即只有200天最接近所有时间。 故选：D。 【点评】明确时间单位的换算关系是解题的关键。 4．（4分）如图，在乘法竖式的每个空格中填入一个数字，使其成为正确的竖式，所得的乘积是 　6448　 。 【分析】第一次的乘积的十位数字是0，如果个位有进位，那么2与第一个乘数的十位数字乘积的个位数字只能是9，这个不可能，所以第一个乘数的十位数字是0或5；然后以此为突破口解答即可。 【解答】解：第一次的乘积的十位数字是0，如果个位有进位，那么2与第一个乘数的十位数字乘积的个位数字只能是9，这个不可能，所以第一个乘数的十位数字是0或5；个位以及百位数字都小于5； ①如果第一个乘数的十位数字是0，第二次的乘积最多是6百多，所以第二个乘数的十位数字最大等于6，又因为第二次的乘积的十位数字是2，需要个位进2，只有4×6＝24符合题意，所以第一个乘数是104，第二个乘数是62，乘积是6448，如下图： ②如果第一个乘数的十位数字是5（如下图），第二次的乘积最多是6百多，所以第一个乘数是150多，最大乘4，乘积是600多，所以满足第二次的乘积的十位数字是2，只有4×6＝24，即第一个乘数的个位数字是6，这与第一个乘数的个位数字小于5相矛盾，所以舍去。 答：所得的乘积是6448。 故答案为：6448。 【点评】这种竖式数字谜问题，常常把已知的数字作为解答的突破口，结合数字的特点和数位知识以及计算法则解答。 5．（4分）如图，5个玻璃杯摞在一起高22厘米，同样的10个玻璃杯摞在一起高37厘米，那么同样的 　31　 个玻璃杯摞在一起高1米。 【分析】先用37减去22求出（10﹣5）个玻璃杯露出的高度和，然后除以5求出每个玻璃杯露出的高度，然后求出每个玻璃杯的高度，再求出同样的多少个玻璃杯摞在一起高度是1米即可。 【解答】解：每个玻璃杯露出的高度： （37﹣22）÷（10﹣5）＝3（厘米）， 每个玻璃杯的高度： 22﹣3×（5﹣1）＝10（厘米）， 1米＝100厘米， 摞在一起高1米需要： （100﹣10）÷3+1＝31（个）。 答：同样的31个玻璃杯摞在一起高1米。 故答案为：31。 【点评】解答本题关键是求出每个玻璃杯露出的高度。 6．（4分）墙角有一个用若干棱长为1的小立方体搭成的几何体，如图所示，该几何体的表面积是　25　 。 【分析】从上边看有7个面，左边看有3个面，右边看有7个面，前边看有8个面，一共有7+3+7+8＝25（个）面，每个面的面积是1×1＝1，该几何体的表面积是25×1＝25。 【解答】解：从上边看有7个面， 从右边看有7个面， 从左边看有3个面， 从前边看有8个面， （7+7+3+8）×（1×1） ＝25×1 ＝25。 答：该几何体的表面积是25。 故答案为：25， 【点评】本题考查了立体图形的表面积，解决本题的关键是先分别从上面、前面、右面、左面观察该几何体，计算每个方向看到的小正方形个数，再根据每个小正方形面积为1×1＝1，求出表面积。 7．（4分）把10颗相同的糖果分别装入三个相同的礼盒里，每个礼盒里都有糖果，共有 　8　 种不同的装法。 【分析】将10颗相同的糖果装入三个相同的礼盒中，且每个礼盒至少有一颗糖果，据此拆分列举即可。 【解答】解：（1，1，8）， （1，2，7）， （1，3，6）， （1，4，5）， （2，2，6）， （2，3，5）， （2，4，4）， （3，3，4）， 以上共8种不同的装法。 故答案为：8。 【点评】本题考查了整数拆分问题的灵活运用。 8．（4分）小兔到距家900米的树林采蘑菇，它从家到树林的速度是5米/秒，采了30分钟蘑菇后，它从树林回家，速度是3米/秒。小兔出门在外　38　 分钟。 【分析】小兔去、回的用时分别是900÷5＝180（秒）、900÷3＝300（秒），则小兔出门在外的时间是（180+300）÷60+30＝38（分钟）。 【解答】解：小兔去树林用时： 900÷5＝180（秒）， 小兔从树林回家的用时： 900÷3＝300（秒）， 小兔出门在外的时间： （180+300）÷60+30＝38（分钟）。 答：小兔出门在外38分钟。 故答案为：38。 【点评】此题较简单，只要明白“时间、速度与路程”之间的关系，即可轻松作答。 9．（4分）哪吒和敖丙赛跑，两人同时从金光洞出发，前往东海龙宫。哪吒每小时行60千米，15小时可到达；敖丙每小时行75千米。当敖丙到达东海龙宫时，哪吒距离东海龙宫　180　 千米。 【分析】金光洞到东海龙宫的路程是60×15＝900（千米），敖丙走完全程的用时是900÷75＝12（小时），故当敖丙到达东海龙宫时，哪吒距离东海龙宫还有15﹣12＝3（小时）的路程，即60×3＝180（千米）。 【解答】解：金光洞到东海龙宫的路程： 60×15＝900（千米）， 敖丙走完全程的用时： 900÷75＝12（小时）， 当敖丙到达东海龙宫时，哪吒距离东海龙宫还有路程： 60×（15﹣12）＝180（千米）。 答：哪吒距离东海龙宫180千米。 故答案为：180。 【点评】此题只要明白：“路程、时间与速度”之间的关系，即可轻松解答。 10．（4分）池塘里有一群天鹅和野鸭，其中天鹅的数量占总数的四分之一。这时又飞来了一些天鹅，天鹅的数量增加一倍，那么这时天鹅的数量占总数的（　　） A． B． C． D． E． 【分析】池塘里有一群天鹅和野鸭，其中天鹅的数量占总数的四分之一。不妨令池塘里面天鹅只数1只，野鸭则有3只，又飞来了一些天鹅，天鹅的数量增加一倍，即天鹅的只数为2只，池塘里天鹅和野鸭的总只数为5只，用天鹅的只数除以池塘里天鹅和野鸭的总只数即可解答本题。 【解答】解：令池塘里面天鹅只数1只，则： （1+1）÷（1+4） 答：这时天鹅的数量占总数的。 故选：E。 【点评】赋值法是解决问题比较快速且有效的方法。 11．（4分）秋收节一群兔子收白菜，若每只兔子收8棵白菜，则地里剩下5棵白菜；若每只兔子收9棵白菜，则有一只兔子少收4棵白菜，地里共有　77　 棵白菜。 【分析】每只兔子收8棵白菜，地里剩下5棵白菜；每只兔子收9棵白菜，有一只兔子少收4棵白菜。即每只兔子收8棵白菜则多5棵白菜；每只兔子收9棵白菜则少4棵白菜。根据解盈亏问题一盈一亏的解法：（盈数+亏数）÷两次每人分配数的差，据此即可求出兔子的只数，进而求出白菜的棵数。 【解答】解：兔子只数： （5+4）÷（9﹣8） ＝9÷1 ＝9（只）， 白菜棵数： 9×8+5＝77（棵）。 答：地里共有77棵白菜。 故答案为：77。 【点评】由于两次分配的数量不统一，因此据已知条件将每次分配的数量统一后，算出盈与亏是完成本题的关键。 12．（4分）五面体数从小到大排列依次为：1，5，14，30，……其规律如图所示。五面体数385是从小到大排列的第　10　 个数。 【分析】第1个五面体数为12，第2个五面体数为（12+22），第3个五面体数为（12+22+32），……第n个五面体数为（12+22+32+……+n2），据此列出方程求解即可。 【解答】解：设第n个五面体数为385， 则：12+22+32+……+n2＝385， 转化为：n（n+1）（2n+1）÷6＝385， 化简为：n（n+1）（2n+1）＝2310， 分解质因数： 2310 ＝2×3×5×7×11 ＝（2×5）×11×（3×7） ＝10×11×21， 即：n＝10。 答：五面体数385是从小到大排列的第10个数。 故答案为：10。 【点评】本题考查了找规律问题，解题关键有两点：一是清楚第n个五面体数为（12+22+32+……+n2），二是清楚12+22+32+……+n2＝n（n+1）（2n+1）÷6。 13．（4分）算式5×10×15×20×25×30×35×40×45×50得数的末尾有　8　 个连续的0。 【分析】10个乘数依次为5的1～10倍，其中25、50各自包含2个“质因数5”，其余乘数各自包含1个“质因数5”；乘数10、30、50各自包含1个“质因数2”，乘数20包含2个“质因数2”，乘数40包含3个“质因数2”；5或2两种质因数个数少者的个数即为得数末尾连续的0的个数，据此求解。 【解答】解：质因数5的个数： 1×8+2×2 ＝8+4 ＝12（个）， 质因数2的个数： 1×3+2×1+3×1 ＝3+2+3 ＝5+3 ＝8（个）， 8＜10。 答：得数的末尾有8个连续的0。 故答案为：8。 【点评】本题考查了乘积个位数的判定问题，解题关键是要清楚：所有因数包含质数5与2的个数判定乘积末尾0的个数，5或2两种质因数个数少者的个数即为得数末尾连续的0的个数。 14．（4分）把2025个图形按照1颗星，2颗心，3颗星，4颗心，5颗星，……的规律排列，再按照红、蓝、红、蓝、红、蓝……的顺序涂色，那么共有　512　 颗红色的星。 【分析】由1星，2心，3星，4心，5星，6心•••••排列，可知：即第奇数项是“星“，第偶数项是“心”，且均是“数量＝项数”，故设排到第n项，总图形数为： 1+2+3+4+••••••＝2025，因1+2+3+4+••••••+63+64＝2080，1+2+3+4+••••••+63＝2016，2080＞2025＞2016，可见第63项是完整的，第64项只有一部分，即完整排到第63项，则“星”总是出现在奇数项：1，3，5，…63；其中涂红色星的规律：1，1，3，3，5，5，7，7•••••31，31，可见，红星总数：（1+3+5+•••••+27+31）×2＝512（颗）。 【解答】解：总图形数为： 1+2+3+4+••••••＝2025， 因1+2+3+4+••••••+63+64＝2080，1+2+3+4+••••••+63＝2016，2080＞2025＞2016，第63项是完整的，第64项只有一部分，所以，完整排到第63项，则“星”总是出现在奇数项：1，3，5，…63； 其中涂红色星的规律： 1，1，3，3，5，5，7，7•••••31，31， 综上可知，红星总数： （1+3+5+•••••+27+31）×2＝512（颗）。 故答案为：512。 【点评】解此类问题的关键是找出规律是什么。 15．（4分）从1，2，3，4，…，2026中选出若干个数，使得选出的数中任意两个的和能被26整除，那么最多选出　78　 个数。 【分析】按除以26的余数来分类讨论即可解答本题。一个数除以26的余数可能是0、1、2、……、25。要使任意两个数的和能被26整除，需要满足：若两个数的余数分别为r1和r2，则r1+r2是26的倍数。分两种情况： 余数都为0：任意两个余数为0的数相加，和的余数为0，能被26整除； 余数都为13：任意两个余数为13的数相加，和的余数为13+13＝26，即余数0，能被26整除。 其他余数组合（如1和25、2和24等）只能各选一个数，无法满足“任意两个”的条件，据此解答。 【解答】解：余数为0的数：[]＝77（个）， 即26、52、……、2002，共计77个； 余数为13的数： 从13开始，每次加26，最后一个数为13+26×77＝2015， 共计：1+77＝78（个）。 77＜78， 即最多选出78个数。 答：最多选出78个数。 故答案为：78。 【点评】本题考查了抽屉原理的应用。 16．（4分）如图是用24根长为1的火柴根摆成的回字形图形，移动图中的四根火柴根后，新图形中有三个正方形（大小可以不一样），且全部火柴根都在这三个正方形的边上，则这三个正方形的面积之和最小是　22　 。 【分析】动手尝试，移动四根火柴根组成三个正方形，且火柴根都在这三个正方形的边上，然后根据“正方形面积＝边长×边长”分别求出3个正方形面积后再求和即可。 【解答】解：如下图所示： 3×3×2+2×2 ＝18+4 ＝22。 答：这三个正方形的面积之和最小是22。 故答案为：22。 【点评】思维灵活，多方位思考，从原来的火柴棒的摆法得到启示，然后解决问题。 17．（4分）智能工厂有四类机器人： ①分拣机器人；每个机器人有5臂4足； ②组装机器人：每个机器人有2臂3足； ③搬运机器人：每个机器人有1臂3足； ④焊接机器人：每个机器人有1臂2足。 如果组装机器人和搬运机器人的个数相同，且全部机器人一共有31臂50足，那么该工厂有　2　 个分拣机器人。 【分析】设分拣机器人有x个，焊接机器人有y个，组装机器人和搬运机器人各有z个，利用机器人的臂和足数量列方程组去计算。 【解答】解：设分拣机器人有x个，焊接机器人有y个，组装机器人和搬运机器人各有z个， ， 解得：x＝2。 答：该工厂有2个分拣机器人。 故答案为：2。 【点评】本题考查的是等量关系与方程的应用，解决本题的关键是找出题中等量关系。 18．（4分）将1，2，3，4填入如图的方格中，使得方格中的每行、每列及两条对角线上都有1，2，3，4这四个数（图中有五个方格已填好了数），那么满足要求的填数方法有　1　 种。 【分析】本题是四阶数独型问题，要求填入1～4后每行、每列、两条对角线都不含重复数字，我们从已确定的数字出发，先确定第一列剩余位置的所有可能排列，再分类枚举验证每种情况的可行性，最终统计得到满足要求的填法总数。 【解答】解：确定第一列的可能情况： 已知第一行数字为1，2，3，4，第四行第一列数字为2， 因此第一列已经有1和2，剩余第二行第一列、第三行第一列需要填入3和4，共有两种不同的排列： 排列1：第二行第一列为3，第三行第一列为4； 排列2：第二行第一列为4，第三行第一列为3。 接下来分别讨论两种排列的可行填法。 为便于表达，用数对（行，列）表示具体位置，例如（1，4）表示第1行（从上到下）第4列（从左到右）。 验证排列1：第二行第一列＝3，第三行第一列＝4，如下图所示： 副对角线（右上（1，4）到左下（4，1））四个位置已有数字4和2， 因此剩余的（2，3）和（3，2）只能填1和3，分为两个子情况： ①子情况1：（3，2）＝1，（2，3）＝3，如下图所示： 此时第三列3重复，显然不成立， 因此第二行第三列只能填1，第三行第二列只能填3， 即②子情况2：（3，2）＝3，（2，3）＝1，如下图所示： 此时第二列已有2（第一行）和3（第三行）， 剩余第二行和第四行的第二列填1和4，第二行已经有3（第一列）和1（第三列）， 因此第二行第二列只能填4，第四行第二列填1。如下图所示： 此时第二行已有3，4，1， 因此第二行第四列填2，第二行完整为[3，4，1，2]，无重复，如下图所示： 接下来看第三列，已有3（第一行）和1（第二行）， 剩余第三行和第四行第三列填2和4， 第三行已有4（第一列）和3（第二列）， 因此第三行第三列只能填2，第四行第三列填4。如下图所示： 第三行已有4，3，2， 因此第三行第四列填1，第三行完整为[4，3，2，1]，无重复。如下图所示： 最后第四行已有2（第一列）、1（第二列）、4（第三列）， 因此第四行第四列填3，第四行完整为[2，1，4，3]。如下图所示： 检查所有条件：每行、每列、两条对角线都没有重复数字，符合要求，因此该子情况贡献1种填法。 验证排列2：第二行第一列＝4，第三行第一列＝3。如下图所示： 同样副对角线的（2，3）和（3，2）只能填1和3，分为两个子情况： ①子情况1：（3，2）＝3，（2，3）＝1，如下图所示： 此时第三行3重复，显然不成立， 因此第二行第三列只能填3，第三行第二列只能填1， 即②子情况2：（3，2）＝1，（2，3）＝3，如下图所示： 此时第二列已有2（第一行）和1（第三行），剩余第二行和第四行的第二列填3和4， 第二行第一列已经是4， 因此第二行第二列只能填3，如下图所示： 此时第二行已经有两个3（第二列和第三列），同一行重复，矛盾，排除。 因此排列2没有符合要求的填法。 综上，满足所有要求的填法总共有1种。 即， 没有其它填法。 答：满足要求的填数方法有1种。 故答案为：1。 【点评】解决这类填数计数问题，核心方法是从限制最多、最确定的位置入手。分类枚举所有可能，逐一排除矛盾的情况，最终得到正确的计数结果，需要注意不要遗漏对角线不能重复的条件，每一步都要验证重复问题。 19．（4分）书店为少儿读书会的成员准备了阅读材料，包括88本故事书。114本笔记本和131支卡通书签。工作人员将每种材料平均分发给每位成员，清点后发现还剩4本故事书、2本笔记本和5支卡通书签。那么这个少儿读书会最多有　14　 位成员。 【分析】根据清点后发现还剩4本故事书、2本笔记本和5支卡通书签求出实际分发的材料数量，然后求实际分发数量的最大公因数即可解答本题。 【解答】解：故事书分发数量：88﹣4＝84（本）， 笔记本分发数量：114﹣2＝112（本）， 卡通书签分发数量：131﹣5＝126（支）， 84＝22×3×7，112＝24×7， 126＝2×32×7， （84，112，126）＝2×7＝14。 答：这个少儿读书会最多有14位成员。 故答案为：14。 【点评】本题考查了最值问题的应用，熟练掌握求多个数的最大公因数是解答本题的关键。 20．（4分）小马用计算器计算从1开始的自然数之和，当他加到某一个数时，突然发现前面有一段时间他把按键“1”当成按键“4”，导致计算结果比实际小。如果当前所得的计算结果是2026，那么他最后计算的加数至少是　67　 。 【分析】从1开始连续自然数求和Sn＝1+2+3+nn（n+1），小马错误的把某个数字里的1看成4，所以每错一处，结果就少了3（4﹣1＝3）或者30（40﹣10＝30）、或者33（44﹣11＝33）等，现在错误的和是Tn＝2026，求最后加的数n最小是多少。减少的总量来自某段连续加数中，把数字4变成1，每个4在个位减少3，在十位减少30。所以减少总量是3的倍数（因为每个数字4变1都减少3×10k，是3的倍数），所以Sn≡Tn （mod 3），而Tn＝2026≡1（mod 3），所以Snn（n+1）≡1（mod 3），即n（n+1）≡2（mod 3），即n≡1（mod 3），求最小的n，需要Sn＞2026且n≡1（mod 3），估算后即可解答本题。 【解答】解：n＝64时， Snn（n+1）64×（64+1）＝2080， Sn﹣Tn＝2080﹣2026＝54，54是3的倍数，可能行； n＝65时， Snn（n+1）65×（65+1）＝2145， Sn﹣Tn＝2145﹣2026＝119，119不是3的倍数，不可能行； n＝66时， Snn（n+1）66×（66+1）＝2211， Sn﹣Tn＝2211﹣2026＝185，185不是3的倍数，不可能行； n＝67时， Snn（n+1）67×（67+1）＝2278， Sn﹣Tn＝2278﹣2026＝252，252是3的倍数，可能行。 …… 即尝试n＝64或n＝67即可。 检查n＝64能否实现差54： 差54必须由“4→1”引起， 在1、2、3、……、64中，个位是4的数有：4，14，24，34，44，54，64， 若只改个位4→1，每个差3，共7个数，最多差21，不够54， 若改十位4→1（40～49），每个差30，但40～49全改则差300，太大， 组合：54＝30+24， 即1个十位的4→1（差30）和8个个位的4→1（差24）。 但个位4的数总共只有7个（且44十位也是4，若改则差33不是3的倍数）， 所以无法得到8个个位的4→1， 所以n＝64不可能。 检查n＝67能否实现差252： Sn＝2278，差252，252＝30×8+3×4， 即8个十位的4→1（每个差30）和4个个位的4→1（每个差3）。 在1、2、3、……、64中，十位是4的数：40～49（10个），选8个即可（避开44）， 个位是4的数有：4，14，24，34，44，54，64，选4个即可（避开44）， 可以安排一段连续区间包含这些数，使减少量正好是252， 构造如下： 1、2、3、……67，和Sn＝2278， 个位是4的数4、14、24、34分别按照1、11、21、31计算， 和减小3×4＝12， 即2278﹣3×4＝2266， 十位是4的数40、41、42、43、45、46、47、48分别按照10、11、12、13、15、16、17、18计算， 和较小30×8＝240， 即2266﹣240＝2026， 完全符合题意。 所以n＝67可行。 即最后计算的加数至少是67。 答：小马最后计算的加数至少是67。 故答案为：67。 【点评】熟练掌握高斯求和公式是解题的关键。 21．（4分）数一数，如图中共有　37　 个长方形（包括正方形）。 【分析】根据长方形的定义，分类计数，类类求和。 【解答】解：单个的长方形个数：10个， 2个长方形组成的长方形：11个， 3个长方形组成的长方形：5个， 4个长方形组成的长方形：4个， 5个长方形组成的长方形：2个， 6个长方形组成的长方形：2个， 7个长方形组成的长方形：1个， 8个长方形组成的长方形：1个， 11个长方形组成的长方形：1个， 合计：10+11+5+4+2+2+1+1+1＝37（个）。 答：图中共有37个长方形（包括正方形）。 故答案为：37。 【点评】此题主要考查计数方法的应用，养成按照一定顺序观察思考问题的习惯，逐步学会通过观察思考探寻事物规律的能力。 22．（4分）如图是小明家到学校的道路分布图。一天早上，小明要先到商店买笔再去学校，他有　15　 条不同的最短路线。 【分析】利用标数法即可轻松解答本题。 【解答】解：标数如下图所示： 即小明有15条不同的最短路线。 故答案为：15。 【点评】本题考查了最短路线问题的应用，解答此类问题的常用方法即标数法。 23．（4分）小希想在房间的四个角落安放绿植，有四种绿植供选择（可以不全选），若相邻的两个角落安放的绿植不同，那么共有　84　 种安排方法。 【分析】房间的四个角落如下图所示： A有4种选择，B有3种选择，然后分A和C的选择相同（不同）计算，如果A和C相同，则C有1种选择，D有3种选择；如果A和C不同，则C有2种选择，D有2种选择；利用乘加原理即可解答本题。 【解答】解：4×3×1×3+4×3×2×2 ＝36+48 ＝84（种）。 答：共有84种安排方法。 故答案为：84。 【点评】本题考查了排列组合问题的应用，明确题意不难解答本题。 24．（4分）新年来了，小希用火柴棒拼成“2026”，如图所示。淘气的小望从摆好的图形中拿走了一些火柴棒，图中就没有三角形了。小望至少拿走了 　24　 根火柴棒。 【分析】动手操作一下，把图中三角形拆掉，然后数一数拆掉的根数即可。 【解答】解：如下图所示： 即小望至少拿走了24根火柴棒。 故答案为：24。 【点评】思维灵活，多方位思考，从原来的火柴棒的摆法得到启示，然后解决问题。 25．（4分）把一些数倒过来看，仍然是一个有意义的数，如倒过来看是，倒过来看是。一个四位数，正看和倒看是两个不同的四位数，且这两个数的和小于10000，两个数的差是3177，那么这两个数中较小的数是　2865　 。 【分析】0～9中，能正看和倒看的数字有0（倒看是0）、1（倒看是1）、2（倒看是2）、5（倒看是5）、6（倒看是9）、8（倒看是8）、9（倒看是6），然后根据正看和倒看两个不同的四位数的和小于10000，差是3177，即可解答本题。 【解答】解：因为两个数正看和倒看的差是3177， 结合能正看和倒看的数字： 0（倒看是0）， 1（倒看是1）， 2（倒看是2）， 5（倒看是5）， 6（倒看是9）， 8（倒看是8）， 9（倒看是6），□ 根据7＝8﹣1＝9﹣2＝16﹣9＝15﹣8＝12﹣5，试算： 若四位数的千位是1，则个位可能是8， 则四位数正看可能为，倒看为， 即为3177，显然不成立； 若四位数的千位是2，则个位可能是9， 则四位数正看可能为，倒看为， 即3177，显然不成立； 若四位数的千位是6，则个位可能是9， 则四位数正看可能为，倒看为， 显然不符合题意； 若四位数的千位是5，则个位可能是8， 则四位数正看可能为，倒看为， 即3177， 此时10000，不符合题意； 若四位数的千位是2，则个位可能是5， 则四位数正看可能为，倒看为， 即3177， 当且百位＝8（倒看是8），十位＝6（倒看是9）时满足题意， 即四位数为2865，倒看为5982， 2865+5982＝8847＜10000， 5982﹣2865＝3177， 完全符合题意。 而2865＜5982， 即这两个数中较小的数2865。 答：这两个数中较小的数是2865。 故答案为：2865。 【点评】明确能正看和倒看的数字以及正看和倒看分别是什么数字是解题的关键。 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/4 7:52:31；用户：邢连强；邮箱：13468187680；学号：36611160 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $