2026年中考数学二轮复习备考：二次函数中的角度问题专题练

2026年中考数学二轮复习备考：二次函数中的角度问题专题练 1.如图，抛物线y=x2-2mx+3m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0,-3). (1)求该抛物线的解析式： (②)点D为该抛物线上的一点、且在第二象限内，连接AC,若∠DAB=∠AC0,求点D的坐 标； ③)若点E为线段0C上一动点，试求4B+5EC的最小值. 2.如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C. D M B (1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标； (2)点Q是线段BC上一动点，过点作MQ⊥x轴交抛物线于点M,当MQ最大值时，求点 M的坐标； (3)抛物线上存在一点P,使得∠PCB=∠CBD,请直接写出P点的坐标. 3。在平面直角坐标系，抛物线)=+r+2与：锥交于A B(6,0)两点，与y轴交 于点C 试卷第1页，共3页 VA 图(1) 图(2) (1)求此抛物线的函数表达式； (2)点P是x轴上一点，若△BCP是等腰三角形，直接写出点P的坐标； (3)如图(2)，点D是直线BC下方抛物线上的一个动点.过点D作DE⊥BC于点E,问： 是否存在点D,使得∠CDE=2LABC?若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由. 4.如图1，在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A(-1,0),B(3,0),与y 轴交于点C,顶点为D. A A D D AO B AO B B 图1 图2 图3 (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)如图2，连接CB,DB,若抛物线上存在点E,满足LCBD=∠BDE,求点E的坐标； (3)如图3，点F为x轴上一动点，连接CF,DF,当∠CFD最大时，请直接写出点F的坐 标 5.在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A和B(1,0)两点，与y轴相交于C, 且顶点D(-1,4),P是抛物线上一动点. 试卷第1页，共3页 VA 图1 图2 ()求二次函数的解析式： (2)如图1，连接BC,若LPBC=45°，求P的坐标； (3)如图2，过P作PQ∥AC交抛物线于Q,以P、Q、D为顶点的三角形是否存在直角三 角形，若存在，求出P的坐标；若不存在，通过计算说明. 6.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点（点A在点B 左侧)，与y轴交于点C. 图1 图2 (1)求AB的长； (2)点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PM∥BC交x轴于点M,点N为直线 BC上一动点，过点N作NQ∥x轴交PM于点Q,连接PC,PB,PN,OA.当aPCB的 面积取得最大值时，求AQ-PN的最大值； (3)如图2，将原抛物线沿射线BC方向平移，使平移后的新抛物线y过点C,点D为新抛物 线y的对称轴与x轴的交点，点F为新抛物线y对称轴上一动点，连接FC,FO.若FO平 分∠CFD,请直接写出所有符合条件的点F的坐标，并写出其中一个点F的坐标的求解过 程 7.如图①，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴相交于点 试卷第1页，共3页 C(0,3),直线y=-2x+3与抛物线于相交于点C,D. B ① ② 备用图 (1)求抛物线的函数表达式及点D的坐标； (②)如图②，点P是直线CD上方抛物线上的动点，连接OP,与CD相交于点N, 8是否 存在最大值，若存在，求出这个最大值，并写出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由. (3)点0在抛物线上，连接CQ,若L0CD=45°，求点Q的坐标. r+x+e经过点40，-4到，对称轴为直线r=1,与轴交于B,C两 1 8.如图1，抛物线y= 点 X=1 X= 图1 图2 (1)求抛物线的表达式； (2)若点P(x,y,Q(x2,y2)是抛物线y= 与x2+bx+c上的两个点，名=x+1.若 (以-2)2=4，求x的值： 加图2，已知直线=-6与直线4C交于点W,与X,y轴分别相交于点DB,试 究在第二象限内的揽物线y)P+bx+c上是否存在一点G,使得∠GCM=∠DMC? 存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由. 9.如图，抛物线y=x2+bx+c经过A-6,0),B2,0,与y轴交于点C. 4 试卷第1页，共3页 B 图1 图2 (①)求抛物线的解析式： (2)点M为抛物线上一点，当LABM=45°时，求点M的坐标 (③P是直线4C下方题物线上一点，连接8P交4C于么，求器的最大植， 10.如图(1)，抛物线y=x-x-3交x轴于A,B两点（点A在左边），交y轴于点C. 4 (1) (2) (I)直接写出A,B,C三点的坐标； (2)D是抛物线第四象限上的一点，连接AD分别交BC,OC于E,F两点，若 ∠FEC=∠FCE,求直线AD的解析式； (3)平移抛物线使它的顶点为(0,1)，如图(2).R是y轴上一个定点，以点R为直角顶点 Rt△RST,使顶点S,T分别在x轴和抛物线上，若Rt△RST在变化的过程中，直线ST与 抛物线始终有唯一公共点，求点R的坐标 11.二次函数y=ax2+bx+4a≠0)的图象经过点A-4,0),B(1,0),与y轴交于点C,点P 为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC交于点Q,过点P作PD⊥x轴于点D. V 图1 图2 (1)求二次函数的表达式： 试卷第1页，共3页 (2)如图1，连接BC,当∠DPB=2LBC0时，求直线BP的解析式： 12.如图，二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C. (图1) (图2) ()求这个二次函数的表达式； (2)如图1，直线MN是过点(3,0)且平行于y轴的直线，在直线MN上是否存在点Q?使得 QA+QC的长度最短.若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点P为二次函数图像上的一个动点，且.∠PAB=2LACO,求P点的坐标， 1 13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-二x2+bx+c交x轴于A-2,0),B两点，交 2 y轴于点C(0,4). B 备用图 (1)求该抛物线的表达式； (②)点P是直线BC上方该抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D,过点P作PF∥y轴 交BC于点E,交x轴于点F,点G、H是y轴上两动点，点H在点G上方，且GH=1,连 接BG,PH,当△PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标及BG-GH+PH的最小值： (3)在(2)的条件下，将该抛物线y沿射线DP方向平移5√2个单位长度得到新的抛物线y, M是新抛物线y对称轴上纵坐标为2的点，N是新抛物线y上一动点.若 ∠MFV=∠CMF,请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中 试卷第1页，共3页 一种情况的过程. 试卷第1页，共3页 参考答案 1,(1)解：把点C(0,-3)的坐标代入抛物线表达式y=x2-2mx+3m, 得：3m=-3, 解得：m=-1, 故该抛物线的解析式为：y=x2+2x-3; (2)过D点作x轴的垂线，交x轴于点H H B O 设：点D的坐标为，2+21-3引. 当y=0时，x2+2x-3=0, 解得：x=1,x2=-3, 即：A1,0,B(-3,0), .A0=1,0B=3, 点C(0,-3, .0C=3, .∠DAB=∠ACO, .tan∠DAB=tan∠AC0, 即： DH-A0t2+21-3_1 AH CO 1-t 3 解得：t=-10 或1， :点D在第二象限内， 1- 3,舍去1=1， 当1=9+2-3(929-号 (1013) 点D的坐标为 39 答案第1页，共2页 (3)过点E作EF⊥BC,交BC于点F; 当本B、F三点共线附，AB+2EC的值最小， 2 由(2)可知0B=3,0C=3,A0=1, 0B=0C, .△OBC是等腰直角三角形， .L0BC=45°， :EF⊥BC, .LEFB=90°， .∠BAF=90°-45°=45°， .△AOE为等腰直角三角形 .0A=0E=1, 则EC=0C-0E=3-1=2, AE=V0A2+0E2=V2+12=√2， :AE+5EC=2+2x2-2, 2 2 AE+2EC的最小值2N2. 2.(1)y=-x2+2x+3,(1,4 aw3 64-5别 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，根据题意画出图形， 分类讨论是关键， (1)利用待定系数法求出函数解析式，再利用解析式的顶点式得出顶点D的坐标即可； (2)先求出点C的坐标，再利待定系数法求出线BC的解析式，设(m,-m+3),则 答案第1页，共2页 1a+2a+小得0-+29-4到=-同袋， (3)先利用待定系数法求出直线BD的解析式，再分两种情况讨论：当点P在点B的下方， 由LPCB=LCBD得CP∥BD,由待定系数法求出直线CP的解析式，即可求解；当点P在 点B的上方，如图，CP交BD于点E,设E(n,-2n+6),由∠PCB=∠CBD得CE=BE,由 两点间的距离公式得关于n的方程，解方程即可求解。 【详解】(1)解：把A-1,0),B(3,0)代入y=-x2+bx+c, 0=-1-b+c 得 0=-9+3b+c 「b=2 解得c=3 .y=-x2+2x+3=-(x-12+4, 顶点D的坐标为1,4)； (2)解：令x=0,则y=3, C(0,3), 设直线BC的解析式为y=c+n,将B(3,0),C(0,3代入得： 3k+n=0 n=3 k=-1 解得 n=3, 直线BC的解析式为y=-x+3, 设0(m,-m+3),则Mm,-m2+2m+3, 3)29 :M0=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m=-m-2 +41 .-1<0,0<m<3, :当m子，M迎取最大值}， 答案第1页，共2页 此时-m2+2m+3= 3) +2x2+3=15 2 1 :w8 (3)解：设直线BD的解析式为y=kx+b,将B(3,0)，,D(1,4代入得， 3k+b=0 k+b=4' 「k=-2 解得6=6’ 直线BD的解析式为y=-2x+6, 分以下两种情况： 当点P在点B的下方，如图， :∠PCB=∠CBD, .CP∥BD, 可设直线CP的解析式为y=-2x+b,将C(0,3)代入得，b=3, 直线CP的解析式为y=-2x+3, 令-x2+2x+3=-2x+3, 解得x=0,x2=4, 令x=4,则y=-2x+3=-5, P(4,-5; 当点P在点B的上方，如图，CP交BD于点E, 答案第1页，共2页 YA P 设E(n,-2n+6), .:∠PCB=∠CBD, .CE BE Vm2+(-2n+6-3)2=n-3)2+(-2n+6)2, 解得n=2, .-2n+6=2, .E(2,2), 设直线CE的解析式为y=k,x+b2,将C(0,3),E(2,2代入得， b2=3 2k2+b2=2’ 解得 2, b=3 ·直线CE的解析式为y=-, x+3, 2 令-+2x+3=-1 x+3, 2 5 解得x=0或x 2, 1 2’则y=- +3s-1x5 2*3 4 综上所述，地物线上存在一点卫，使符∠PCB=∠C8D,P点的坐标为4-列或3，) 答案第1页，共2页 30y=r-号+2 ②点P的坐标为6+21o.0)或6-2i而，0)或1-6.0或0月 3)点D的坐标为3，-8 【分析】(1)将A,B坐标代入抛物线解析式中，利用待定系数法可求； (2)求出线段BC的长，分类讨论解答即可： (3)取BC的中点M,连接OM交CD于H,CD交x轴于G,作MF⊥x轴于F,根据直角 三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出OM=MB,这样∠CDE=∠CMO.利用三角形 的相似得出∠CHM=∠CED.从而得到M的坐标；求出直线CD的解析式，然后与抛物线 解析式联立成方程组，解方程组可求交点D的坐标. 【详】1解：将兮0 B(6,0)代入y=ax2+bx+2得： 1 a+3b+2=0 3 36a+6b+2=0 a=1 解得： 19. b=- 3 :此抛物线的函数表达式为y=x-19x+2: 3 (2)解：令x=0,y=2, .C(0,2). .0C=2. :B(6,0), .0B=6. .BC=V0B2+0C2=V22+62=2W10. 若△BCP是等腰三角形，分三种情形： 当BP=BC时，BP=210, .0P=6±2V10, P点坐标为(6+20,0或(6-20,0： 当CP=BC=2V10时， 答案第1页，共2页 0P=0B=6. P点坐标为-6,0)： 当PB=PC时，设点P的坐标为m,O), :PC2=m2+22,PB2=(6-m2, m2+4=(6-m)2. 解得：m=8 3 点P的坐标为 综上，68CP是等腰三角形，点P的坐标为6+21而，0或6-2o,0)或-6,0)或(0月 (3解：存在，D点坐标为号-星： 如图，取BC的中点M,连接OM交CD于H,CD交x轴于G,作MF⊥x轴于F, D :∠C0B=90°，CM=BM, .OM =BM =CM, .∠MOB=∠MBO, .∠CMO=∠MOB+∠MB0=2∠MB0, :∠CDE=2LABC=2∠MB0, .∠CDE=∠CMO, :∠MCH=∠DCE,∠CMH=∠CDE, .△CHM∽△CED, .∠CHM=LCED, :DE⊥BC, .∠CED=90°， 答案第1页，共2页 ∠CHM=90°， .CD⊥OM, B(6,0),C(0,2), M的坐标为3,1， .OF=3,MF=1, .:∠MF0=∠C0G=90°， :∠M0F=90°-∠C0H=∠GC0, .△MOF∽△GC0, OF MF 即20G n31 ·0c0G .0G= 2 3 设直线CG的解析式为y=kx+2, 器G20代入得0=2k+2 解得k=-3, .直线CG的解析式为y=-3x+2, 联立得-3x+2=x2-1 3 x+2, 10 解得：x=0或x= 3, 时，y=-3x10 10 当x= 2=-8, 3 3 10 D点的坐标为3-8 存左点D使得<CDE=2∠48C，点D的坐标为8】 【点晴】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.待定系 数法是确定解析式的重要方法；利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的 关系是解题的关键.将两个解析式联立可以求出交点的坐标 4.(1)y=-x2+2x+3,顶点D(1,4) (2)E(2,3),E,(845) 答案第1页，共2页 (3)F(2√6-3,0) 【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线的表达式，再将抛物线一般式化成顶点式即可得出 点D的坐标 (2)分两种情况，当点E在x轴上方的抛物线上，和点E在x轴下方的抛物线上，画出图 形，根据∠CBD=∠BDE分解求解即可 (3)延长CD到点M,利用待定系数法求出CD的解析式，进而可得出点M的坐标，根据 题意可知，当点C,D,F所在的圆与x轴相切时，∠CFD取得最大值，再证明 △MCF∽△MFD,由相似三角形的性质即可求解， 【详解】(1)解：：抛物线y=ax2+bx+3经过点A(-1,0),B3,0) 0=a-b+3 0=9a+3b+3 a=-1 解得b=2 ∴抛物线y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4 顶点D(1,4) （2)解：如图， AO :∠CBD=∠BDE CB∥DE, 设直线DE的解析式为y=-x+m,将点D的坐标代入得： m=5, .直线DE的解析式为y=-x+5 联立 y=-x+5 y=-x2+2x+3' 答案第1页，共2页 x=1 x=2 解得： y=4 (舍)或 y=3 .E(2,3): ②：y=-x2+2x+3 当x=0时，y=3 .C(0,3) :B3,0) 直线CB:y=-x+3 如图，设DE交CB于点G YA D AO B :∠CBD=∠BDG .GD=GB, 设G(m,-n+3) Vn-1)2+(-n+3-4)2=V(n-3)2+(-n+3)2 解得n=方 4 引 设直线DG的解析式为y=ax+b, 4 a+b=4 a=-7 解得： b=11 直线DG的解析式为y=-7x+11, y=-7x+11 联立 y=-x2+2x+3 答案第1页，共2页 x=1 解得： (舍)或 x=8 y=4 y=-45 .E(845): (3)解：延长CD到点M, D1,4),C(0,3), .设CD的解析式为：y=mx+3 把D(1,4)代入，可得出m=1, .CD的解析式为：y=x+3, 当y=0时，则x=-3, M-3,0), MC=V-3-0)2+(0-3)2=32,MD=-3-1)2+(0-4)2=42 根据题意可知，当点C,D,F所在的圆与x轴相切时，∠CFD取得最大值， :∠M=∠M,∠MFC=∠MDF .△MCF∽△MFD, .MF2=MC×MD=3V2x4√2=24， .MF=2√6， ·F(2W6-3,0) 【点晴】本题主要考查了二次函数的综合题，待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析 式，二次函数角度综合题，相似三角形的判定和性质等知识，掌握二次函数的图像和性质是 解题的关键， 5.(1)y=-x2-2x+3 ② 答案第1页，共2页 P22 【分析】(1)根据图象顶点为点D(-1,4),设抛物线解析式为y=a(x+1)2+4(a≠0)，再代 入B(1,0)求出a=-1即可解答； (2)将CB以C为旋转中心顺时针旋转90°，B对应点B,连接BB'交抛物线于P,过C作 MN∥x轴，且BN⊥MN,B'M⊥MN,则PBC=45°，求出A(-3,0),B(1,O),C(0,3),证明 MB'C≌NCB,求出B'(-3,2),求出BB'的直线解析式，联立即可求解. (3)分为①当∠PDQ=90°时，②当∠PQD=90°时，分别画图求解即可. 【详解】(1)解：：二次函数的图象顶点为点D(-1,4, 故设抛物线解析式为y=a(x+1)2+4(a≠0)， :抛物线图象经过B(1,0), .a1+1)2+4=0, 解得：a=-1, .抛物线解析式为y=-(x+1)2+4, 即y=-x2-2x+3; (2)解：将CB以C为旋转中心顺时针旋转90°，B对应点B,连接BB'交抛物线于P,过C 作MN∥x轴，且BN⊥MN,B'M⊥MN, .∠PBC=45°， 令-x2-2x+3=0,解得：x1=-3,x2=1, .A(-3,0),B(1,0), :当x=0时，y=3, C(0,3), :∠MCB'=∠CBN=90°-∠NCB, 答案第1页，共2页 .在△MB'C和△NCB中 [∠M=∠N=90° ∠MCB'=∠CBN, CB'=CB △MB'C≌△NCB(AAS), .NB=MC=yc-y8 =3,CN=B'M =x8-xc=1, B'(-3,2), 设BB'的直线解析式为y=x+b(k≠O), 「k+b=0 1-3k+b=2' 1 解得：k三)b导 2 、·8B'的直线解析式为y三一x+ 2x+2 y=-x2-2x+3 整理的2x2+3x-5=0, 解得：名=2=1， : (3)解：①当∠PDQ=90°时， 设PD的直线方程为y=k(x+1)+4, 设QD的直线方程为y=k(x+I)+4, y=k(x+1)+4 =-x2-2x+3 整理得x2+(k+2)x+k1+1=0, .xp+xp=-k-2,xp'xp=k+1, xp-1=-k1-2, 答案第1页，共2页 .k1=-xp-1, y=k(x+1)+4 =2-2x+3 整理得x2+(k,+2)x+k2+1=0, :.xD+Xo=-k2-2,Xp'xo=k2+1, x0-1=-k2-2, k2=-xg-1, :LPD0=90°， ·.直线PD与x轴夹角的正切值=直线DQ与x轴夹角的正切值的倒数， 办业-0二。，即无=左 1 XD-xp yD-yo k1k2=-1, .（-xp-1-xo-1=-1, 即x。'xg+xp+xg+2=0, :PQ∥AC, 设PQ的直线解析式为y=x+b, y=x+b y=-x2-2x+3' 整理得：x2+3x+b-3=0, .xp+xo=-3,XpXo=b-3, b-3+(-3)+2=0, 解得：b=4, .PO的直线解析式为y=x+4, y=x+4 y=-x2-2x+3' 整理得x2+3x+1=0, 答案第1页，共2页 95, 2 :当P在Q的左侧时， p=2= -3-V5 2 B 衣 -3-5 .yp= 2 +4=5V -3-V55-5 P 2,2 :当P在Q的右侧时， ==35,=3+5+45+5, 2= 2 2 B不 P -3+V55+V5 2，2 ②由(1)知，顶点D(-1,4),C(0,3),A(-3,0), DC2=(-1-0)2+(4-3)2=2, AC2=32+32=18, AD2=(-1+3)2+(4-0)2=20, :AD'=AC2+CD:, 此时△ACD为直角三角形，即∠ACD=90°， 若∠PQD=90°，此时P?与AC重合，与题意不合，应舍去. 答案第1页，共2页 -3+55+5时，以PQ,D为顶点的三角形是直角三角 或P 2,2 形 【点晴】该题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，二次函数解析式求解，全 等三角形的性质和判定，勾股定理，一次函数解析式，直角三角形的性质等知识点，解题的 关键是运用分类讨论思想解决问题， 6.(1)4 (234 2 3)F(-2,3-5或F(-2,3+5) 【分析】(1)令-x2+2x+3=0,解得点A和点B即可求得AB; (2)过点P作PK∥y轴交BC于点K,则SAs=)PK,-=PK,可知当PK取得最 2 大值时，△PCB的面积取得最大值，利用待定系数法求得直线BC的解析式为y=-x+3,设 点P6,-1+21+3),则点K(1,-1+3),那么，PK=-2+31,可知点P 315 2’4 时，△PCB的 面积取得最大值，根据题意求得直线PM的解析式为y=-x+ 则有点0小进 21 步餐点P向右平移个单位有到~？》，牌周边形PQN为平行闲边形，则PW=PQ ，作点A关于直线PM的对称点A,则AQ=AQ,直线AA'的解析式为y=x+1,并求得 》 连接PA交PM于点Q,可知AQ-PN=A'Q-P'Q≤AP',利用勾股定理求 得A'P即可； (3)根据题意得，原抛物线沿x轴负半轴平移3个单位，沿y轴正半轴平移3个单位，则 y=-x2-4x+3,根据角平分的性质和平行线的性质得FC=C0,过点C作CH⊥DF于点 H,设点F(-2,m,则CH=OD=2,FH=FD-DH=m-3,利用勾股定理求得m即可. 【详解】(1)解：令-x2+2x+3=0,解得x=-1,x2=3, .点A-1,0),B(3,0), 则AB=4; (2)解：过点P作PK∥y轴交BC于点K,如图， 答案第1页，共2页 D M 3 则SPB=PK中B-=号PK, 2 即当PK取得最大值时，△PCB的面积取得最大值， y=-x2+2x+3, C(0,3,B3,0, 设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠O), 3=b 「k=-1 则0=3认+b解得6-3· 那么，直线BC的解析式为y=一x+3, 设点Pt,-2+2t+3),则点K(1,-1+3), PK=2+21+3--+3列=-+3=-1-)+， 则点p315) 2'4 时，。PCB的面积取得最大值为2？ :PM∥BC, 设直线PM的解析式为y=-x+b, :直线PM过点P3,15) 24 、3 15 解符负=斗 则直线PM的解析式为y=-x+2 .9 :.BM=4' 答案第1页，共2页 将点P向右平移个单位得到P个，》 4’4 :NQ∥x, ∴PP'∥Ng,PP'=NQ, :四边形PPQN为平行四边形， 则PN=P'Q, 作点A关于直线PM的对称点，连接AA'交PM于点O,交y轴于点G, 则AQ=AQ, .0B=0C=3, .∠0BC=45°； :PMI|BC,AA'⊥PM, .AA'⊥BC, .∠BAG=∠AG0=45°， 0A=1, .0G=1, 则点G(0,1,点A(-1,0), 设直线AA'的解析式为y=k,x+b,(k2≠0)， 0=k+b,解得 2=1 11=b =1' 则直线AA'的解析式为y=x+1, 21 [17 X=- y=-x+ 8 4,解得 25 y=x+1 8 则点传》， 事么度得空》 连接P'A交PM于点Q,如图， 答案第1页，共2页 P N M 则AQ-PN=A'Q-P'Q≤A'p', 当Q点与Q点重合时，4Q-PN取得最大值，且最大值为线段A'P的长； :Ap'= 2 ·40-PW的最大值34 2 (3)解：根据题意得，原抛物线沿x轴负半轴平移3个单位，沿y轴正半轴平移3个单位， 则y=-(x+3)2+2(x+3+3+3=-x2-4x+3, 点F的横坐标为-2， :FO平分∠CFD, .∠DF0=∠CF0, :FD∥y轴， .∠DF0=∠FOC, .∠F0C=∠CF0, FC=C0=3, 过点C作CH⊥DF于点H,如图， D 答案第1页，共2页 设点F(-2,m,则CH=OD=2,FH=FD-DH=FD-C0=m-3, 在Rt△FHC中，FC2=FH+CH2, 则32=(m-3)2+22,解得m1=3-5,m,=3+V5, 那么，F-2,3-5或F-2,3+5: 【点晴】本题主要考查二次函数和特殊四边形的综合，涉及二次函数的性质、二次函数与坐 标轴的交点、一次函数的性质、平移的性质、平行四边形的判定和性质、三角形三边关系、 勾股定理、角平分的性质、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质和 平移的性质，本题难度较大， 7.(1)y=-x2+2x+3;(4,-5 四的最大值为号比时点P伯坐际为2 3-1,o03g 720 【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线解析式，再联立抛物线解析式和直线CD解析式， 求出点D坐标即可； (2)过点P作PQ∥y轴交CD于Q,设P(p,-p2+2p+3),则Q(p,-2p+3),则 P0=-p'2+4p,证明△PQN△0CN,得到PN_P-p+42-p-2°+4，据此 ON OC 3 3 利用二次函数的性质求解即可； (3)过点A作AE⊥CD于E,设CD交x轴于H,则H 利用等面积法可求出 AE=5,解直角三角形得到sin∠4CE=4仁- ,则∠ACE=45°，即此时点Q的坐标为 AC 2 (-1,0);过点C作CF⊥AC交x轴于F,则∠ACF=90°，可证明L0CF=∠0AC,得到 tan∠OCF=tan∠OAC= C-3,可推出F0,9),求出直线CF解析式为y=-3x+3,联 1 OA 7 1 立y=-x+3 x= 3 解得 3或 x=0 20 y=-x2+2x+3 =3’则此时点Q的坐标为 720 3'9 V= 9 【详解】(1)解：：抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴相交 于点C(0,3), 答案第1页，共2页 a-b+c=0 :9a+3b+c=0, c=3 a=-1 {b=2, (c=3 .抛物线解析式为y=-x2+2x+3; y=-2x+3 x=4 x=0 联立 y=-x2+2r+3'解得 y5或 by=31 点D的坐标为4，-5)： (2)解：如图所示，过点P作PQ∥y轴交CD于Q, 设P(p,-p2+2p+3,则9(p,-2p+3, P0=-p2+2p+3--2p+3)=-p2+4p, :PQ∥y轴，即PQ∥OC, △PQW∽△OCN, :0o0 PN-P≌ :C(0,3, .0C=3, :PW-_P2=-p2+4p=-(p-2+4, ON OC 3 3 -1<0, :当P=2时、N有最大位，最大值为 3 ∴-p2+2p+3=-22+2×2+3=3,即此时点P的坐标为2,3)； 答案第1页，共2页 ② (3)解：如图所示，过点4作4E1CD于E,设CD交x维于，则H30, A-1,0),C(0,3, Hc0COcCH-OOC 2 OCCH-E. :S△cH= ×3 4B=4H:0C- CH 365, 2 :sin∠ACE=4E=V2 AC-2 .∠ACE=450, :.当点Q与点A重合时，此时有4QCD=45°，即此时点Q的坐标为(-1,0)； 如图所示，过点C作CF⊥AC交x轴于F,则∠ACF=90°， .∠FCD=45°； .∠0CA+∠0AC=∠0CA+∠0CF=90°， .∠0CF=∠0AC, :an∠0CF=tan∠OAC=OC=3, OA =3, OC .0F=9, F(0,9, 设直线CF解析式为y=x+b', 9k+b'=0 6=3 答案第1页，共2页 k=- 3， b=3 ·直线CF解析式为y= 3+3, > 1 联立少 3+3 3 x=0 ,解得 或 y=-x2+2x+3 20 y=3 y= 9 720 此时点Q的坐标为 39 B x D 综上所运，应Q的坚标为-0的得9） 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定 理，一次函数与几何综合等等，解(2)的关键在于构造相似三角形，解(3)的关键在于证 明∠ACD=45°. 8.(1)y= x2-x-4 2 包×的直为多安 2 (3)存在， 1044 3’9 【分析】(1)结合抛物线y=二x2+bx+c经过点A(0,-4),且对称轴为直线x=1,列式求解， 即可解题； (2)将点P(x,y),Q(x2,y2)代入抛物线的表达式，并结合x=x+1表示出y,,再根 据(y-y,)'=4建立等式求解，即可解题： (3)在y轴上取一点N,作直线CN交抛物线于点G,使∠GCM=∠DMC,设直线AC的 表达式为y=mx+n,利用待定系数法求出直线AC的表达式，导角得到 a∠NCB=a∠DE0,进而求出ON=弩，设直线NC的表达式为y=s+1,利用待定系数 答案第1页，共2页 法求出直线C的表达式，联立抛物线的表达式求解，即可解题. 【详解】(1)解：：抛物线y= )x2+bx+c经过点A(0,-4小 :x02+bx0+c=-4,即c=-4. 2 :对称轴为直线x=1, b - =1 1 ,即b=-1. :揽物线的表达式为y=2--4: (2)解：：点P(x,y),x2,2)是抛物线上的两个点， x2=x1+1, 1 2 --4-4+ 1 (y-y2)=4, (+-4,得= 或 2 x的值为之或2 3 (3)解：如图，在y轴上取一点N,作直线CN交抛物线于点G,使∠GCM=∠DMC. 、x:直线y= 3 三x-6与x,y轴分别相交于点D,E, M -6=0时，x=-4, 3 D-4,0,E(0,-6. 设直线AC的表达式为y=mx+n, 答案第1页，共2页 且经过A(0,-4),C(4,0)两点， -4=1, 解得 m=1, 则 0=4m+n, n=-4, :直线AC表达式为y=x-4. .OA=AC, .∠OCA=∠OAC=45°=∠MAE. :∠NCA=∠NCB+∠OCA,∠DMC=∠DEO+∠MAE, ∴.∠NCA=∠NCB+45,∠DMC=∠DE0+45°， 即∠NCB=∠DEO, tan∠NCB=tan∠DEO, ..ON_OD ,即ON、4 CO OE 46 o 设直线NC的表达式为y=sx+t, 且经过w0,8】 C(40)两点， 3 则3 0=4s+t, 「2 S=- 解得 3 8 ·直线CN的表达式为y= 3 与抛物线y=x2-x-4 2 28 联立方程得 3x+3 10 3’x=4, x=- 解得 或 44 y= y=0, 9 :点G在第二象限， 答案第1页，共2页 1044 :点G的坐标为 3’9 【点晴】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，解直角三角形，二次函数 几何综合，解题的关键在于正确掌握相关知识. 9.y=x+-3 41 (2)-2,-4)或(-10,12 8 【分析】(1)待定系数法求解析式即可： (2)设点M的坐标为M4a2+a-3 ,过点M作MN垂直于x轴，交x轴于点N,可得 △BNM是等腰直角三角形，即MN=BN,再分别讨论点M在x轴上方和下方时，根据两点 间的距离求解即可； (3)过点P作PF平行于x轴，交AC于点F,先根据抛物线的解析式求出点C的坐标，进 而球出4C的解所式，设点P的坐际为+1-，则点F的纵坐标为+1-3，即 可表示出点F的坐标，继而得到线段PF的表达式，再根据坐标求出AB的长，进一步根据 相似比可得器侣名一专，设后根据次菌数的性频和最能即可采机。 【详解】(1)解：把A(-6,0),B(2,0)代入y=x2+bx+c得： 4 9-6b+c=0 1+2b+c=01 b=1 解得： c=-3' :抛物线的解析式为y子+x3。 1 (2)解：设点M的坐标为Ma,4 2+a-3 过点M作MN垂直于x轴，交x轴于点N, .∠ABM=45°， .△BNM是等腰直角三角形， :MN =BN 当点M在x轴下方时， 答案第1页，共2页 A B M 可得2-a= 4a2+a=3d 解得a=2(舍去)或a=-2, 40+a-3-2-234 点M的坐标为-2，-4)， 当点M在x轴上方时， M B 1 可得2-a=a2+a-3, 4 解得a=2(舍去)或a=-10, 42+a-3--10-10-3=12, 点M的坐标为(-10,12)， 点M的坐标为(-2，-4或(-10,12). (3)解：过点P作PF平行于x轴，交AC于点F, B :抛物线y=二x2+x-3与y轴交于点C, 4 点C的坐标为(0，-3)， 答案第1页，共2页 设AC的解析式为y=x+b, A(-6,0),C(0,-3), -6k+b=0 b=-3 解得： 2 b=-3 ·4C的解析式为y=- 5x-3, 设点P的坐标为44+13，月 则点F的纵坐标为日+1-3】 :点F在直线y=-。x-3上， +1-3=-2x3, 解得：x三2 .点F的坐标为 --2,2+1-3 2 4 :.PF=- 2-21-1 1-3t, :A-6,0),B(2,0), AB=2--6)=8, :PF∥AB, ∴PEPF_ 12-3t EB AB 8 1 a= 0 16 二次函数的图象开口向下，函数有最大值，最大值在顶点处取得， 1 ×0 3)2 即4ac-b2 4× 16 9 Aa 1 4× 16 16 PE的最大值为 9 E 【点晴】本题考查了二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数与线段综合，二次函数与 角度综合，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握二次函数解析式，二次函数的最值，二 答案第1页，共2页 次函数与线段综合，二次函数与角度综合是解题的关键. 10.(1)A-2,0),B(6,0),C0,-3) ②y=3x3 -4-2 (3)R(0,2) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，待定系数法求函数解析式， 相似三角形的判定与性质，勾股定理.作出恰当的辅助线是解题关键 (1)令y为0，解方程即可得A和B的坐标，令x=0,，即可得C的坐标： (2)作OG∥AD交抛物线于点G,交BC于点P,利用平行导角证明OC=OP,求出BC的 表达式，设Pm,m-3,进而由勾股定理表达出OP2，从而可解得P点坐标，得到 k如=子由平行关系可得k0=},最终可求直线40的表达式： (3)由平移可得新抛物线的表达式为y=x+1,设r日+1小，由于直线57与抛物线有 且只有一个交点，亦可看成有两个重合的交点，故可由待定系数法得直线ST的表达式为 0+1,从而求出s点的横坐标为号是作70L)轴于点Q,如图(2)所示， 1+1-r 利用“一线三垂”证阴△RO△ROs,得到比例式S,设R,题'4 12一，整 2 I 理可得(2-)=4r-4r2+8,根据当T点运动时，上式中r的值与点T的位置无关，从而 2-r=0,即r=2,故得点R的坐标. 1 【详解】(1)解：令y=二x2-x-3中y为0， 4 则-x-3=0,解得x=6或-2， A(-2,0),B(6,0), 当x=0时，y=-3, C(0,-3); (2)解：作OG∥AD交抛物线于点G,交BC于点P,如图所示， 答案第1页，共2页 、P Bx:OG∥AD, G D 图(1) :LFEC=∠OPC, :∠FEC=∠FCE, .∠OPC=∠FCE. 0P=0C=3, 设直线BC的表达式为y=k+b, 0=6k+b 把B(6,0),C(0,-3)代入表达式，可得 -3=b’ 2 解得 b=-3 所以直线BC的表达式为y=2x-3, 1 设Pmm-3 则0C2=0P2, 解得m 12或0， 故侣 设直线OP解析式为y=kx 号号 朝：太子 OG∥AD, 3 :kAD=- 4’ 设直线AD的表达式为y=-3x+h, 4 答案第1页，共2页 3 把A-2,0)代入可得0=-二×-2)+b, 4 朝行6子 直线D的表达式为y=子》 (3)解：：平移抛物线使抛物线的顶点为0，)， 平移后抛物线的a=b=0,c三1 所以浙苑物线的表达式为=甘+1， 设好+小， 设直线ST的解析式为y=c+b, 把7+代入可得子+1=k+b, 可得b=2+1-k, 所以直线ST的解析式为y=x++1-, 4 列方程x++1-=2+1,整理得--+k=0, 4 4 4 由于直线ST与抛物线有且只有一个交点， △=0，即k2-4×二× -o. 1 可得k=二t, 2 故直线S7的表达式为y=)-女+1， 2 4 再令y=0,得0=x-+1, 2 4 解得x={-2 作TQ⊥y轴于点Q,如图所示， :∠TQR+∠QRT=90°， 图(2) 答案第1页，共2页 :∠TRS=90°， LQRT+L0RS=90°， .∠QTR=∠ORS, :∠T0R=∠R0S=90°， :△TOR∽△ROS, :OT_OR RO OS' 设R(0,r）, 12+1-y 即‘= r12Γ， 21 整理可得(2-r）=4r-42+8, :当T点运动时，上式中r的值与点T的位置无关， 2-r=0,即r=2, 故点R的坐标为(0,2). 11.(1)y=-x2-3x+4 2=15+15 8x+8 【分析】(1)利用待定系数法即可求出答案； (2)设BP与y轴交于点E,设OE=a,则CE=4-a,BE=4-a,运用勾股定理可求得 a-，得出E0 15 8/ 再利用待定系数法即可求出答案， 【详解】(1)解：：y=ax2+bx+4a≠0)的图象经过点A-4,0),B(1,0), a(-4)2+b.(-4+4=0 a+b+4=0 a=-1 解得： b=-3' 该二次函数的表达式为y=-x2-3x+4; (2)解：如图，设BP与y轴交于点E, 答案第1页，共2页 图1 :PD∥y轴， .∠DPB=∠OEB, :∠DPB=2LBC0, .Z0EB =22BCO, ∠ECB=∠EBC, :BE=CE, 令x=0,得y=4, C(0,4),0C=4, 设0E=a,则CE=4-a, .BE=4-a, 在Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2=OE2+OB2, (4-a2=a2+12, 解得a 》, 设BE所在直线表达式为y=kx+e(k≠O), /k.0+e=15 8, k.1+e=0 15 k=- 8 解得： 15 e= 8 :直线BP的表达式为y=-15x+5 881 【点晴】本题是与二次函数有关的综合题，主要考查了待定系数法，一次函数图象和性质， 答案第1页，共2页 二次函数图象和性质，勾股定理等，属于中考数学压轴题，综合性强，难度较大，熟练掌握 二次函数图象和性质等相关知识是解题关键. 12.(1)y=x2-4x+3 ae( )) 【分析】(1)根据二次函数的图像与x轴交于点A1,0)、B(3,0,代入函数求解即可： (2)由(1)可知C(0,3),则直线MN是过点(3,0)且平行于y轴的直线，作点A1,0)关于 直线MN的对称点A',连接A'C与直线MN交点是Q,此时QA+QC的长度最短，设直线 AB的表达式为y=x+n,代入点的坐标求解即可： (3)在y轴上取点D,使得CD=AD,则∠AD0=2∠AC0设D(0,a,得 4 0A=1,0D=a,AD=3-a,在RtaA0D中，根据勾股定理得a2+1=(3-a,解得a= 可得am∠4D08-},由∠PB=2ZC0,行P4B∠AD0,连接AP,作PM 轴于点M,点P在函数y=x2-4x+3上，设P(m,m2-4m+3),则M(m,0),可得 am乙AD0=am∠PAB=PW=OA=?,列出m-4m+3_3,分类讨论求解即可 AM OD 4 m-1 4 【详解】(1)解：：二次函数的图像与x轴交于点A1,0)、B(3,0) 0=1+b+c 0=9+3b+c b=-4 1c=3 .该二次函数的表达式为y=x2-4x+3. (2)解：：C在y轴上， .当x=0时，y=3,则C(0,3, 如图，直线MN是过点B(3,O)且平行于y轴的直线，作点A(1,O)关于直线MN的对称点A, 连接AC与直线MW交点是Q,连接QA, 答案第1页，共2页 M A B N 则QA=OA',即QA+QC=QA'+QC≥A'C, ∴当A八、Q、C三点共线时，QA+QC的长度最短， 点A是点A1,O)关于直线MN的对称点，直线MN是过点B3,O)且平行于y轴的直线， A'(5,0), 设直线AC的表达式为y=kx+n, [0=5k+n 则 3=n 3 k=- 解得 5 n=3 3 :直线4C的表达式为)=亏x+3, 设Q(3,m), :Q(3,m在直线AC上， 3 6 ∴.m=- ×3+3= 5 5’ 、6 3 (3)解：如图，在y轴上取点D,使得CD=AD, D B M 则∠DCA=∠DAC,∠ADO=∠DCA+∠DAC, 答案第1页，共2页 ∠AD0=2∠AC0, 设D(0,a), A(1,0,C(0,3), 0A=1,0D=a,AD=CD=3-a, 在Rta40D中，根据勾股定理得a2+1=3-a,解得a=, 00- .tan∠ADO= 0A 3 0D4’ :∠PAB=2∠AC0, .∠PAB=∠ADO, 连接AP,作PM⊥x轴于点M, :点P在函数y=x2-4x+3上，设Pm,m2-4m+3,则M(m,0), :在Rt△APM中，AM=m-l,PM=m2-4m+3, :tan∠ADO=tan∠PAB=PM_OA_3 AMOD4’ 即： m2-4m+33 m-1 4 整理得：4m2-4m+3=3m-3, ①当m2-4m+3取正时，即在x轴上方时，4m2-4m+3=3m-3, 解得m或m,=1(舍去不合题意 15)2 15 33 -4× +3= 4 4 16 》 ②当m2-4m+3取负时，即在x轴下方时，-4m2-4m+3)=3m-3, 9 解得m=三或m4=1(舍去不符合题意)， 4 9 当m=时， 9)2 9 15 -4×+3= 4 (4 4 16 答案第1页，共2页 8) 1533 (915 综上所述：P的坐标为416或416 【点晴】本题考查了二次函数的综合与解直角三角形，勾股定理，两点之间线段求最小值的 证明，以及倍角关系，在于会作辅助线，难度偏大，中考常考题型，熟练各个知识点是解题 关键 1 13.(1)y=-。x2+x+4 (2)点P的坐标为2,4)，BG-GH+PH的最小值为3√5-1 (3)符合条件的点N的坐标为11，-3)或(5,9)，见解析 【分析】(1)利用待定系数法求解即可； (2)求出直线BC的表达式可得∠OCB=45°，进而得出△PDE是等腰直角三角形，求出 DP+DE+PE=（√2+1PE,可知当PE取最大值时，△PDE的周长取最大值，然后利用二 次根式的性质求出PE取最大值时点P的坐标即可，然后将点P向下平移1个单位长度得到 点Q,利用轴对称求最短路径的方法进行解答即可； (3)首先求出直线CM的表达式，然后分情况讨论：①当点N在FM下方时，②当点N'在 FM上方时，分别求出直线FN及FN'的解析式，再与新抛物线y进行联立求解即可. 详解】(D解：把A-2.0,C0,4代入y=+bx+c卫 -2-2b+c=0 得 c=4 b=1 解得 c=4' :该抛物线的表达式为y=-x2+x+4; 2 (2)在y=-x2+x+4中，令=0 2 解得x=-2,x2=4 ·B(4,0 :直线BC过点B4,0),C(0,4, :直线BC的表达式为y=-x+4,且∠0CB=45 答案第1页，共2页 PF∥y轴，PD⊥BC, ∴.∠PED=∠OCB=45°，∠PDE=90 在R△PDE中，DE=PE.co345=Y5PE,PD=PE.sn45=2PE 2 2 △PDE的周长为：DP+DE+PE=V2+IPE 设P+4 (0<m<4),则E(m,-m+4 1 ∴.PE=-二m2+m+4+m-4 1 =-2m-2'+2 1 2<0, :当m=2时，PE取得最大值，则△PDE的周长取得最大值 此时点P的坐标为(2,4) 如图1，将点P向下平移1个单位长度得到点？，则点Q的坐标为2,3)，连接0G .PQ∥HG,PQ=HG 图1 :四边形PQGH是平行四边形 :.QG=PH 即BG-GH+PH=BG+QG-1 作点B4,0)关于y轴的对称点K-4,0),连接KG,则KG=BG 当Q,G,K三点共线时，KG+QG取最小值为KQ .BG+PH=KG+QG的最小值为KQ 又：K0=VQF2+KF2=V32+(2+4)2=3W5, 答案第1页，共2页 :BG-GH+PH的最小值为3V5-1 :点P的坐标为2,4)，BG-GH+PH的最小值为3V5-1: (3)由(2)知△PDE是等腰直角三角形， .∠DPE=45°， 将该抛物线y沿射线DP方向平移5√2个单位长度，相当于将该抛物线向右平移5个单位 长度，向上平移5个单位长度， 物线的表达式为y=x-+x5+4+5 2 C0,4,F2,0,M6,2), :设直线CM的表达式为y=+4, 代入M(6,2)得：2=6k+4, 解器：= :直线CN的表达式为7=方+4 ①当点N在FM下方时， :∠MFN=∠CMF, 如图2，过点F作FN∥CM交新抛物线于点N :设直线FN的表达式为y=-。x+b, M 3 B 图2 代入F(2,0)得：0= 3*6 解得：b=2 3 :直线FN的表达式为y=-x+ 答案第1页，共2页 5 由+6巾山+得x山，三（不合思意，舍知 23 3 当=时少=+号3 N(11,-3; ②当点N'在FM上方时， 如图3，当∠MFN'=∠CMF时，FN'交CM于L, VA 图3 :∠MFN'=∠CMF, :LM =LF, 1 设n+4 解得：n=3, L(3,3), 设直线FL的解析式为y=kx+b, 2k+b=0 k=3 3%+=3’解得： b=-6’ .直线FL的解析式为y=3x-6, 由r6 =3x-6,得x=5,x2=1(不合题意，舍去)， 2 .N'(5,9, 综上，符合条件的点N的坐标为11，-3或(5,9. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页