精品解析：山东菏泽市2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题（A）

高二数学试题(A) 2026.04 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟， 2．答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若，则（ ） A. 2或6 B. 2或3 C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据组合数性质解方程即可. 【详解】由题意可得或， 解得或. 经检验均满足题意. 故选：A. 2. 函数在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得，得到且，结合导数的几何意义，即可求解. 【详解】由函数，可得， 可得且，即切线的斜率为，切点坐标为， 所以在点处的切线方程为，即. 3. 已知函数，则（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据求导公式求出函数 的导数 ，再将 代入 中计算 的值即可. 【详解】由导数法则求导得： ， 代入 得：. 故选：B. 4. 二项式的展开式中的常数项为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】二项式的展开式的通项为， 常数项的的指数为0，当，， ． 5. 过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设切点坐标为，则，利用导数求出切线方程，将原点坐标代入切线方程，求出的值，即可得出切点坐标. 【详解】设切点坐标为，则， 对函数求导得，切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为， 将原点坐标代入切线方程得，解得，故切点坐标为. 故选：A. 6. 6个除颜色外完全相同的小球，其中红、黄、蓝各2个，把这6个小球排成一排，其中红色小球不相邻的排法有（ ）种 A. 40 B. 60 C. 80 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，先排黄、蓝4个小球，共有种，再把红球插入共有种，则共有种． 【详解】首先排黄、蓝各2个，共4个小球， 相当于4个位置中，选2个放黄球，另2个放蓝球，共有种， 放好4个小球后， 选2个空位插入2个红球，共有种， 综上，共有种． 故选：B． 7. 如图所示，已知直线与曲线相切于两点，则对函数描述正确的是（ ） A. 有极小值点，没有极大值点 B. 有极大值点，没有极小值点 C. 至少有两个极小值点和一个极大值点 D. 至少有一个极小值点和两个极大值点 【答案】C 【解析】 【详解】 如图所示，设切点为和，且在点处， 因为，所以 由图可知，当时，，所以，单调递减； 当时，，所以，单调递增，所以在处取得极小值； 当时，，所以，单调递减，所以在处取得极大值； 当时，，所以，单调递增，所以在处取得极小值. 综上所述，在和处取得极小值，在处取得极大值，有两个极小值点和一个极大值点. 8. 定义在上的函数，对任意实数都有，．若，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由可知函数最小正周期为3，由构造一个函数的导数，利用该函数单调性求解问题. 【详解】由可知,设，则 所以，函数最小正周期为3， 由可得， 设(C为常数)，则，那么 ，在上单调递增， ， ， 由可得，， 即，又在上单调递增 所以，，故选A. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 若的展开式中的系数为，则（ ） A. B. 所有项系数之和为1 C. 二项式系数之和为 D. 二项式系数最大项为第3项 【答案】BC 【解析】 【详解】二项式的通项为， 由解得， 因为的系数为，而， 所以，解得，故A错误； 令，则，故B正确； 二项式系数的和为，当时，，故C正确； 当时，二项式系数的最大值出现在中间项，即第4项，对应，故D错误． 10. 已知（且），若，且（e为自然对数的底数），则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先构造函数根据单调性即可判断A;令，即可判断B;令，利用导数说明函数的单调性，得到，即可判断C;令，利用导数说明函数的单调性，即可判断D. 【详解】由，可知或， 又，因同正，两边同除以可得， 令，则， 所以当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 当且，此时与题意不符合; 当且时，，故，所以，A正确. 令，则， 所以当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 因为，所以当时，， 即，即，故B错误; 令，则， 记，则， 所以，则，所以在上单调递增， 所以，即，即， 所以，即，故C正确; 令， 则， 令，则，即在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以，即，故D正确. 11. 定义在上的函数满足当时，，其中，则下列结论中正确的有（ ） A. B. C. 当时，若在区间内恰有两个零点，则的取值范围是 D. 任意， 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，因为满足，所以确定，代入对应解析式计算；选项B，先分析当时的符号，再分析所在区间对应的的符号，根据符号关系判断乘积是否非负；选项C，根据零点个数分类讨论，找出区间包含两个正整数的的范围；选项D，将转化为关于的函数，结合定义域和值域判断. 【详解】由题意，对，当 时，： 对任意，， 因此的符号由决定， 时符号为； 的零点为所有正整数 . 选项A，，对应， 代入得：，正确. 选项B，对任意：若，则， 的符号为，与同号，故； 若或为整数，则. 因此恒成立，正确. 选项C，在区间内，恰好有两个零点，转化为：在开区间中，恰好包含两个正整数. 故存在非负整数，使得， 故，故且，即， 当时，；当时，；当时，， 综上所述，，C错误； 选项D，令，则原式可化为. 因为，所以且. 那么，D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式定理及组合数的计算，即可求解. 【详解】二项式的展开式中第3项与第6项的二项式系数分别为与， 由题意可得，，解得. 13. 将这9个数字填在的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小．若将4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法共有_______种． 【答案】12 【解析】 【分析】确定1，9的位置，再确定2，3的位置，最后确定余下4个数的位置，列式计算即可. 【详解】由每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小，得在左上角，在右下角，如图， 排在位置，有种方法， 从余下的4个数字中任取2个按从左到右由大到小排在位置，有种方法， 最后两个数字从上到下由大到小排在位置，有1种方法， 所以填写方格表的方法共有（种）. 故答案为：12 14. 已知直线与曲线，分别相交于，两点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】联立方程求得，，设，将，，代入，得到，设函数，求导判断其单调性求其最小值即可. 【详解】由题意联立方程：，化简得：， 同理联立方程：，化简得：， 所以，令，因，则， ，，则， 令，，则， 令，则， 当时，，则在上单调递增， 又因 ， 则当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以，即的最小值为. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数． （Ⅰ）在组成的三位数中，求所有偶数的个数； （Ⅱ）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301，423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数； （Ⅲ）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数． 【答案】（Ⅰ）共有30个符合题意的三位偶数． （Ⅱ）共有20个符合题意的“凹数 （Ⅲ）共有28个符合题意的五位数 【解析】 【详解】试题分析：在正自然数中，零不能处在最高位，（1）偶数的个位数为偶数，所以只能为0，2，4，根据排列公式求出偶数个数即可；（2）由题意可知十位数可为0，1，2，分别从剩余的数字中取两个进行排列；（3）5个数字中只有两个奇数，所以可将1，3以及夹在中间的偶数看作整体，并与剩余的两个偶数进行排列计算． 试题解析：（1）将所有的三位偶数分为两类： （i）若个位数为，则共有（个）； （ii）若个位数为或，则共有（个）， 所以，共有个符合题意的三位偶数． （2）将这些“凹数”分为三类： （i）若十位数字为，则共有（个）； （ii）若十位数字为，则共有（个）； （iii）若十位数字为，则共有（个）， 所以，共有个符合题意的“凹数”． （3）将符合题意的五位数分为三类： （i）若两个奇数数字在一、三位置，则共有（个）； （ii）若两个奇数数字在二、四位置，则共有（个）； （iii）若两个奇数数字在三、五位置，则共有（个）， 所以，共有个符合题意的五位数． 考点：排列的运用. 16. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，，讨论的零点个数. 【答案】（1） 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. （2） 当或时，函数有1个零点； 当或时，函数有2个零点； 当时，函数有3个零点. 【解析】 【分析】（1）求，根据a的范围分类讨论导数的正负，从而判断f(x)的单调性； （2）令并参变分离，将问题转化为三次函数与常数函数图象交点问题. 【小问1详解】 的定义域为R，. 若，令，得或，令，得； 若，令，得或，令，得. 综上，当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 当时，， 令，则， 令， 则. 当和时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以的极小值为，的极大值为， 画出函数的大致图象，如图， 由图可知， 当或时，函数有1个零点； 当或时，函数有2个零点； 当时，函数有3个零点. 17. 已知． （1）求和的值； （2）求的值． 【答案】（1）， （2）-488 【解析】 【分析】小问1通过赋值法求解，通过二项式展开式的通项求解的值； 小问2通过求导，再用赋值法求解的值. 【小问1详解】 令，得 ，即； 设的展开式通项为，那么. 【小问2详解】 对两边同时求导，可得 令，得 即. 18. 已知函数，． （1）设的导函数为． （ⅰ）若与有相同的零点，求的值； （ⅱ）若对任意，都有，求的取值范围； （2）若有唯一解，求的取值范围． 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ） （2） 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）先对求导，根据求出值，并代入求. （ⅱ）将转化为问题，先求得的一个大致范围，然后对进行分类讨论，由此求得的取值范围. （2）将方程有唯一解问题转化为函数图象交点问题，对进行分类讨论，并对不同区间的函数求导分析单调性，根据函数值范围确定的值. 【小问1详解】 因为，所以， （ⅰ）因为，由得，所以， 所以． （ⅱ）原问题转化为在时恒成立． 依题意，，令，所以，得， ①当时，原不等式可化为，所以， 此时，所以的最大值为，所以，所以； ②当时，原不等式可化为，所以， 因为在上单调递增，所以，所以． 综上所述，． 【小问2详解】 由题意知，方程有唯一解． 依题意，，原方程化为，由于，所以， （ⅰ）当，即时，有（*）， 设，所以， 所以在上单调递减，在上单调递增，，， 因为方程（*）有唯一解，所以，所以； （ⅱ）当时，时，方程可化为（**）， 设，则，所以在上单调递增， 又，所以时，方程（**）有唯一解； 当时，有， 又，方程有解； 所以时，原方程至少有两个解（舍去）； 综上所述，的取值范围为． 19. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，若在上恒成立，求正整数的最大值； （3）若在上有零点，比较与的大小. （参考数据：，，） 【答案】（1） 时，在上为增函数； 时，在上为减函数，在上为增函数． （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）先对求导，按和分类讨论，根据导函数的正负分析的单调性； （2）利用必要性探路得，计算可得正整数的最大值可能为1，再证明时符合题意即可； （3）设为的零点，即有，再根据点在直线上，利用几何意义可得，然后利用放缩法可得，最后求出函数的最小值，即可判断大小关系. 【小问1详解】 当时，， ①当时，在上单调递增； ②当时，由，得， 时，单调递减． 时，单调递增． 综上，时，在上为增函数； 时，在上为减函数，在上为增函数． 【小问2详解】 当时，， 因恒成立，所以， 即，， 所以正整数的最大值可能为1． 下证时，在上恒成立． 设， 则在上单调递增，，即， 所以，又， 所以，即恒成立． 所以正整数的最大值为1． 【小问3详解】 由题意设为的零点，则， 即，则点在直线上， 所以，即. 当时，设，所以，则在上单调递增， 所以，所以，又时，， 所以时，，则， 令，则， 时，单调递减；时，单调递增， 所以，即，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试题(A) 2026.04 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟， 2．答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若，则（ ） A. 2或6 B. 2或3 C. 3 D. 6 2. 函数在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. B. 0 C. D. 4. 二项式的展开式中的常数项为（ ） A. B. C. D. 5. 过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 6个除颜色外完全相同的小球，其中红、黄、蓝各2个，把这6个小球排成一排，其中红色小球不相邻的排法有（ ）种 A. 40 B. 60 C. 80 D. 120 7. 如图所示，已知直线与曲线相切于两点，则对函数描述正确的是（ ） A. 有极小值点，没有极大值点 B. 有极大值点，没有极小值点 C. 至少有两个极小值点和一个极大值点 D. 至少有一个极小值点和两个极大值点 8. 定义在上的函数，对任意实数都有，．若，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 若的展开式中的系数为，则（ ） A. B. 所有项系数之和为1 C. 二项式系数之和为 D. 二项式系数最大项为第3项 10. 已知（且），若，且（e为自然对数的底数），则（ ） A. B. C. D. 11. 定义在上的函数满足当时，，其中，则下列结论中正确的有（ ） A. B. C. 当时，若在区间内恰有两个零点，则的取值范围是 D. 任意， 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则______． 13. 将这9个数字填在的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小．若将4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法共有_______种． 14. 已知直线与曲线，分别相交于，两点，则的最小值为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数． （Ⅰ）在组成的三位数中，求所有偶数的个数； （Ⅱ）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301，423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数； （Ⅲ）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数． 16. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，，讨论的零点个数. 17. 已知． （1）求和的值； （2）求的值． 18. 已知函数，． （1）设的导函数为． （ⅰ）若与有相同的零点，求的值； （ⅱ）若对任意，都有，求的取值范围； （2）若有唯一解，求的取值范围． 19. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，若在上恒成立，求正整数的最大值； （3）若在上有零点，比较与的大小. （参考数据：，，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $