精品解析：2026年陕西榆林市高新区初中学业水平考试模拟卷九年级数学

试卷类型：A 2026年初中学业水平考试模拟卷 数 学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵选项A中， ，2是整数，属于有理数，∴A不符合要求； ∵选项B中，是分数，属于有理数，∴B不符合要求； ∵选项C中，是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，∴C符合要求； ∵选项D中，是整数，属于有理数，∴D不符合要求． 2. 下列图形中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项符合题意； 3. 如图， ，平分交于点E，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据“两直线平行，同旁内角互补”求出，再根据角平分线定义可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴． 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 5. 将一次函数（k、b为常数， ）的图象向下平移2个单位后，其图象经过点和点，且点A与点B关于原点对称，则k、b的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】先根据关于原点对称的点的坐标特征求出点、点的坐标，再根据一次函数平移规律得到平移后的函数解析式，最后代入坐标解方程组即可得到和的值． 【详解】解：∵ 点与点关于原点对称，关于原点对称的点横纵坐标互为相反数， ∴，即 ， 一次函数向下平移个单位，根据平移规律“上加下减”，得平移后解析式为， ∵平移后图象过、两点，将两点坐标代入得 ， 解得： ， 将 代入，得， 解得， ∴ ． 6. 如图，在中，，点是边的中点，过点作的平行线交于点，延长 到点，使，连接．若，则的长为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理得出  与  的数量及位置关系，结合已知条件证明四边形 是平行四边形，从而得到 ，最后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】连接 ，   ∵  ， ∴， ∵点是的中点， ∴ ∴ ∴是中点， ∴ 是  的中位线 ， ∴，点 是  的中点 ， ∵， ∴ ， 又 ∵ ， ∴ 四边形 是平行四边形 ， ∴， 在 中，，点 是  的中点 ， ∴． 7. 如图，在矩形ABCD中，，CP平分 ，交AB于点P，连接DP，PD恰好平分，则AP的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用矩形的性质和角平分线的定义找到，，得到，再根据勾股定理求出 的长，就可以求出AP的长． 【详解】∵四边形为矩形，， ∴， ∵平分 ， 平分 ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵在 中， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线的定义以及等腰直角三角形的性质，以及勾股定理，综合掌握相关的知识点是解决问题的关键． 8. 已知二次函数（a、b为常数， ），若其图象上有两点，，则m的值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】A、 B两点的纵坐标相等，因此两点关于二次函数的对称轴对称，先求出二次函数的对称轴，再利用对称轴等于两点横坐标的中点，计算得到m的值． 【详解】解：由题意得，二次函数的对称轴为直线 ， ∵二次函数的图象上有两点，， ∴点A和点B关于对称轴对称， ∴， ∴ ． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【详解】解： 去分母，得 移项，得 合并同类项，得． 10. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为__________ 【答案】6 【解析】 【分析】本题利用任意多边形外角和为定值360°，结合题目给出的内角和与外角和的数量关系，再根据多边形内角和公式列方程求解即可得到边数． 【详解】设这个多边形的边数为 ， 根据题意列方程得， 解得 ． 11. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：“今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数、琎价各几何．”其大意是今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数、琎价各是多少．设人数为x，则可列方程为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据总的钱数不变，即可得出关于 的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设人数为 ， 每人出钱，会多出钱，那么总的钱数为； 每人出钱，又差了钱，那么总的钱数为； 根据总的钱数不变，可得，． 故答案为：． 12. 如图，内接于，是的直径，点D在下方的上，点E为劣弧上一点，连接，若，则的度数为______°． 【答案】 40 【解析】 【分析】由是的直径得 ，又,故可得． 【详解】解：∵ 与  都是所对的圆周角，  ∴, ∵是的直径，  ∴ , ∴． 13. 已知点和点都是反比例函数（k为常数，且 ）的图象上的点，则 的值为______． 【答案】 0 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式，分别得到与、与 的关系，整理即可求出的值． 【详解】解：将代入得：，即 ， 将代入得：，即 ， 因此可得 ，整理得 ，即 ． 14. 如图，在菱形中，连接，，，点M、N分别是边、的中点，连接，点P在菱形的边上，且是以为斜边的直角三角形，则的长为______． 【答案】3或 【解析】 【分析】作，交于点，再根据菱形的性质得，然后说明 是等边三角形，可得，进而求出答案；作，交于点，再说明是等边三角形，然后根据勾股定理求出，最后求出答案即可． 【详解】解：过点M作，交于点， ∵四边形是菱形，且， ∴． ∵点M，N是的中点，且， ∴， ∴ 是等边三角形， ∴， ∴； 过点N作，交于点， ∴． ∵四边形是菱形，且， ∴， ∴是等边三角形． ∵点M是的中点， ∴ ． 在中，， 在中，． 所以的长为3或． 三、解答题（共12小题，计78分.解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 16. 先化简，再求值：，其中 ，． 【答案】，2 【解析】 【详解】解： ， 当 ，时，原式． 17. 解方程：． 【答案】x=﹣3 【解析】 【分析】通过去分母，把分式方程化成整式方程，求解整式方程，再把解代入最简公分母检验即可． 【详解】解：方程两边乘以（x+1）（x﹣1）得： 解这个方程得：x=﹣3 检验：当x=﹣3时，（x+1）（x﹣1）≠0 ∴x=﹣3是原方程的解 ∴原方程的解是：x=﹣3． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键． 18. 如图，已知，请用尺规作图法求作一点P，使得点P到的距离相等，且 （不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 解：如图，点即为所求． 【解析】 【分析】作的角平分线，与过点作的平行线的交点即为点，根据角平分线的性质定理可得点P到的距离相等． 【详解】略 19. 如图，在中，点 为边上一点，且，过点 作， ，连接AD．求证： ． 【答案】 证明：∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴ ． 【解析】 【分析】由得，结合已知可证，即可得 ． 【详解】略 20. 聚焦“双减”落地，凸显“特色”作业.寒假期间，某校为学生制定了四类假期实践作业：非遗传承人、运动打卡师、睡眠科学家、今天我当家（四类中必选并只选一类）．为公平起见，学校制作了一个如图所示的可以自由转动的均匀转盘，指针固定不动，转盘被分成了大小相同的4个扇形，并在每个扇形区域分别标上A.非遗传承人；B.运动打卡师；C.睡眠科学家；D.今天我当家．每位学生转动转盘一次，当转盘停止时，指针落在哪个区域即为该学生要完成的实践作业（若指针落在分界线上，则重转，直到指针指向某一扇形区域内为止）． （1）事件“随机转动转盘一次，转盘停止后，指针恰好落在A.非遗传承人区域”属于______事件；（填“必然”“不可能”或“随机”） （2）妙妙和婷婷是该校的两位学生，请用列表或画树状图的方法，求她们完成不同类型实践作业的概率． 【答案】（1）随机 （2） 【解析】 【分析】（1）根据事件的定义求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵转盘被分成了大小相同的4个扇形， ∴事件“随机转动转盘一次，转盘停止后，指针恰好落在A.非遗传承人区域”属于随机事件； 【小问2详解】 解：画树状图为： 由树状图可知一共有16种等可能性的结果数，其中她们完成不同类型实践作业的结果数有12种， ∴她们完成不同类型实践作业的概率是． 21. 【问题背景】西安奥体中心体育场宛如一朵硕大的“石榴花”（如图1），被命名为“长安花”，寓意“丝路启航，盛世之花”．某数学兴趣小组的同学利用学过的数学知识在综合实践活动中测量“长安花”最高点到地面的高度． 【测量过程】如图2，甲同学在D处利用高度为 的测角仪测得“长安花”最高点A的仰角．乙同学在G处放置一块平面镜（大小忽略不计），并从点G处沿方向移动至点F处，恰好在平面镜中看到“长安花”最高点A的像． 【测量数据】，，． 【参考数据】，，． 已知，，，点B、D、G、F在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内．请你根据以上信息求出“长安花”最高点到地面的高度． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作 于点H，则四边形是矩形，可得，设，则 ，解直角三角形可推出；根据题意可得，则，据此可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作 于点H，则四边形是矩形， ∴， 设，则 在中，， ∴， ∴； 由光的反射定律可知，， ∴， ∴， ∴， 解得（已检验，是原方程的解，且符合题意）， ∴， 答：“长安花”最高点到地面的高度约为． 22. 务农重本，国之大纲．广袤的乡村大地生机勃勃，中国式现代化的美好未来令人憧憬，大棚草莓迎来丰产季．某草莓园推出采摘草莓优惠活动，已知游客当天在该草莓园采摘 千克草莓所需的总费用为 元，图中的折线 表示 （元）与 （千克）之间的函数关系． （1）求 与 之间的函数关系式； （2）若一游客当天在该草莓园采摘草莓所需总费用为150元，请问他这天在该草莓园采摘了多少千克草莓？ 【答案】（1）函数关系式为； （2）他这天在该草莓园采摘了6千克草莓． 【解析】 【小问1详解】 解：当时， 设函数关系式为， 代入点， 得，解得， ∴函数关系式为； 当时，设函数关系式为， 代入点，， 得，解得， ∴函数关系式为； 综上，函数关系式为； 【小问2详解】 解：∵当 时，， ∴适用第二段关系式， 代入， 解得 ， ∴他这天在该草莓园采摘了6千克草莓． 23. “草木植成，国之富也”，中华民族自古就有爱树、植树、护树的好传统.2026年3月12日是第48个植树节．某校组织学生参加植树活动，要求每人植树4～8棵，活动结束后随机调查了部分学生植树的棵数，并将结果绘制成如下不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图，所抽取学生植树棵数的中位数是______棵，众数是______棵； （2）求所抽取的学生平均每人植树的棵数； （3）若该校共有1000名学生参加此次植树活动，请你估计该校此次活动植树的总数． 【答案】（1） 补全条形统计图为： 6，6 （2）5.76 （3）5760棵 【解析】 【分析】（1）先由种植5棵树的人数除以占比求解总人数，再由总人数减去种植 棵树的人数得到种植7棵树的人数，即可补全条形统计图，再由中位数、众数的定义求解； （2）根据平均数的定义求解即可； （3）用样本平均数估计总体平均数的方法求解即可． 【小问1详解】 解：总人数： （人）， 那么种植 棵树的人数为： （人）， 补全条形统计图略 可得，中位数为第25，26个数据的平均数，由条形统计图可得，中位数在种植6棵树的这一组，故中位数为： ；由条形统计图可得，种植棵树的人数最多，故众数为； 【小问2详解】 解： （棵） 答：所抽取的学生平均每人植树的棵数为 ； 【小问3详解】 解： （棵） 答：该校此次活动植树的总数为 棵． 24. 如图，内接于，是的直径，且，平分交于点M，过点M作的切线，交的延长线于点N． （1）求证：； （2）若 ，求 的长． 【答案】（1） 证明：如解图，连接 ， ∵是的直径， ∴ ， ∵平分， ∴ ， ∴ ， ∵是的切线， ∴ , ∴ ， ∴； （2）． 【解析】 【分析】（1）已知切线，连半径，连接 ，即可得 ，再结合平分，通过圆周角定理可得 ，进而通过同旁内角互补，两直线平行即可证明； （2）根据题干条件，通过三角形内角和可得为特殊角，通过分段分别将和放入含角的直角三角形中通过锐角三角函数即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如解图，过点A作 ， ∴， 由（1）可知， ， ∴四边形 为矩形， ∵ ， ∴矩形 为正方形， ∴ ， , ∵， ∴ ， ∵ ， ∴， ∵， ∴ , ∴ ， ， ∴． 25. 背景：某校八年级在美术课上，围绕“社会公益”主题，进行了招贴画设计．如图为王芳同学设计的招贴画． 素材一：王芳先画出菱形，对角线 交于点O，且，． 素材二：考虑到实际需要，招贴画边缘与菱形的四边要留出一定距离．将以上和以下部分均设计为抛物线形状，先过距离A、C、D三点分别为的E、F、P（E、F、P分别在的延长线上）三点绘制抛物线L，且 为抛物线L的对称轴，再以为对称轴在下方作抛物线与L对称，抛物线交 的延长线于点Q． 素材三：以 所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系．过点A作的垂线，分别交抛物线L、于点M、，过点C作的垂线，分别交抛物线L、于点N、，计划沿、书写两列艺术字（宽度忽略不计），并予以装饰美化． （1）求图中抛物线L、的函数表达式； （2）求书写的这两列艺术字的总高度． 【答案】（1）抛物线L的函数表达式为；抛物线的函数表达式为； （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的对角线互相垂直平分求出A、C、D的坐标，进而得到点E和点P的坐标，利用待定系数法求出抛物线L的函数表达式，进而可求出抛物线的函数表达式； （2）根据（1）所求求出这四个点的坐标即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵在菱形，对角线 交于点O，且，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 设抛物线L的函数表达式为 ，则，解得， ∴抛物线L的函数表达式为； 设点是抛物线上的一点，则点是抛物线L上的一点， ∴， ∴， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，，则， 当 时，，则； 在中，当时，，则， 当 时，，则， ∴， ∴． 答：书写的这两列艺术字的总高度为 ． 26. 【问题探究】 （1）如图1，是的弦，半径 于点D，且，，则的长是______； （2）如图2，已知，M、N分别为射线上的动点，P为内一点，连接，且 为定长．当的周长取得最小值时，求的度数； 【问题解决】 （3）如图3，某地有一片圆形湿地，其中的半径为，现想在这片湿地上修建一个形如四边形 的“探秘湿地”综合实践活动区，四边形 内接于，且，计划沿修建绿色长廊，圆心O为教育中心，教育中心O到绿色长廊的距离为．按照设计要求，现要分别在线段上确定点M、N（不与端点重合），沿 的一周（）修建步道．为节约成本，需要三条步道的长度和（ 的周长）尽可能的短．请问这三条步道的长度和是否存在最小值？若存在，请求出这三条步道长度和的最小值；若不存在，请说明理由．（教育中心的大小、绿色长廊及步道的宽度均忽略不计） 【答案】（1）24 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，求出的长，再由勾股定理求出的长即可得到答案； （2）分别作点P关于直线的对称点C，D，连接， 由轴对称的性质可得， ，则当C、M、N、D四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值；可证明 是等边三角形，得到 ，当的周长有最小值时，由轴对称的性质可得，据此可得答案； （3）过点O作 于点H，由垂径定理和勾股定理可求出；分别作点D关于直线的对称点G，E，连接，同理可得当E、M、N、G四点共线时， 的周长最短，最短为 的长，过点C作于点F，则， ，由勾股定理得，则，即这三条步道长度和的最小值为． 【小问1详解】 解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，分别作点P关于直线的对称点C，D，连接， 由轴对称的性质可得， ， ∴的周长， ∴当C、M、N、D四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值； ∵， ∴， ∴； 又∵， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ∴当的周长有最小值时，， 由轴对称的性质可得， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，过点O作 于点H， ∴， ∵，教育中心O到绿色长廊的距离为， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴； 如图所示，分别作点D关于直线的对称点G，E，连接， 由轴对称的性质可得， ，， ∴ ， ∴， 同理可得当E、M、N、G四点共线时， 的周长最短，最短为 的长， 如图所示，过点C作于点F， ∴， ， ∴， ∴， ∴这三条步道长度和的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 试卷类型：A 2026年初中学业水平考试模拟卷 数 学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图， ，平分交于点E，若，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 将一次函数（k、b为常数， ）的图象向下平移2个单位后，其图象经过点和点，且点A与点B关于原点对称，则k、b的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 如图，在中，，点是边的中点，过点作的平行线交于点，延长 到点，使，连接．若，则的长为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 7. 如图，在矩形ABCD中，，CP平分 ，交AB于点P，连接DP，PD恰好平分，则AP的长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数（a、b为常数， ），若其图象上有两点，，则m的值为（ ） A. B. C. 3 D. 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 不等式的解集为______． 10. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为__________ 11. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：“今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数、琎价各几何．”其大意是今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数、琎价各是多少．设人数为x，则可列方程为________________． 12. 如图，内接于，是的直径，点D在下方的上，点E为劣弧上一点，连接，若，则的度数为______°． 13. 已知点和点都是反比例函数（k为常数，且 ）的图象上的点，则 的值为______． 14. 如图，在菱形中，连接，，，点M、N分别是边、的中点，连接，点P在菱形的边上，且是以为斜边的直角三角形，则的长为______． 三、解答题（共12小题，计78分.解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 先化简，再求值：，其中 ，． 17. 解方程：． 18. 如图，已知，请用尺规作图法求作一点P，使得点P到的距离相等，且 （不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，在中，点 为边上一点，且，过点 作， ，连接AD．求证： ． 20. 聚焦“双减”落地，凸显“特色”作业.寒假期间，某校为学生制定了四类假期实践作业：非遗传承人、运动打卡师、睡眠科学家、今天我当家（四类中必选并只选一类）．为公平起见，学校制作了一个如图所示的可以自由转动的均匀转盘，指针固定不动，转盘被分成了大小相同的4个扇形，并在每个扇形区域分别标上A.非遗传承人；B.运动打卡师；C.睡眠科学家；D.今天我当家．每位学生转动转盘一次，当转盘停止时，指针落在哪个区域即为该学生要完成的实践作业（若指针落在分界线上，则重转，直到指针指向某一扇形区域内为止）． （1）事件“随机转动转盘一次，转盘停止后，指针恰好落在A.非遗传承人区域”属于______事件；（填“必然”“不可能”或“随机”） （2）妙妙和婷婷是该校的两位学生，请用列表或画树状图的方法，求她们完成不同类型实践作业的概率． 21. 【问题背景】西安奥体中心体育场宛如一朵硕大的“石榴花”（如图1），被命名为“长安花”，寓意“丝路启航，盛世之花”．某数学兴趣小组的同学利用学过的数学知识在综合实践活动中测量“长安花”最高点到地面的高度． 【测量过程】如图2，甲同学在D处利用高度为 的测角仪测得“长安花”最高点A的仰角．乙同学在G处放置一块平面镜（大小忽略不计），并从点G处沿方向移动至点F处，恰好在平面镜中看到“长安花”最高点A的像． 【测量数据】，，． 【参考数据】，，． 已知，，，点B、D、G、F在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内．请你根据以上信息求出“长安花”最高点到地面的高度． 22. 务农重本，国之大纲．广袤的乡村大地生机勃勃，中国式现代化的美好未来令人憧憬，大棚草莓迎来丰产季．某草莓园推出采摘草莓优惠活动，已知游客当天在该草莓园采摘 千克草莓所需的总费用为 元，图中的折线 表示 （元）与 （千克）之间的函数关系． （1）求 与 之间的函数关系式； （2）若一游客当天在该草莓园采摘草莓所需总费用为150元，请问他这天在该草莓园采摘了多少千克草莓？ 23. “草木植成，国之富也”，中华民族自古就有爱树、植树、护树的好传统.2026年3月12日是第48个植树节．某校组织学生参加植树活动，要求每人植树4～8棵，活动结束后随机调查了部分学生植树的棵数，并将结果绘制成如下不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图，所抽取学生植树棵数的中位数是______棵，众数是______棵； （2）求所抽取的学生平均每人植树的棵数； （3）若该校共有1000名学生参加此次植树活动，请你估计该校此次活动植树的总数． 24. 如图，内接于，是的直径，且，平分交于点M，过点M作的切线，交的延长线于点N． （1）求证：； （2）若 ，求 的长． 25. 背景：某校八年级在美术课上，围绕“社会公益”主题，进行了招贴画设计．如图为王芳同学设计的招贴画． 素材一：王芳先画出菱形，对角线 交于点O，且，． 素材二：考虑到实际需要，招贴画边缘与菱形的四边要留出一定距离．将以上和以下部分均设计为抛物线形状，先过距离A、C、D三点分别为的E、F、P（E、F、P分别在的延长线上）三点绘制抛物线L，且 为抛物线L的对称轴，再以为对称轴在下方作抛物线与L对称，抛物线交 的延长线于点Q． 素材三：以 所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系．过点A作的垂线，分别交抛物线L、于点M、，过点C作的垂线，分别交抛物线L、于点N、，计划沿、书写两列艺术字（宽度忽略不计），并予以装饰美化． （1）求图中抛物线L、的函数表达式； （2）求书写的这两列艺术字的总高度． 26. 【问题探究】 （1）如图1，是的弦，半径 于点D，且，，则的长是______； （2）如图2，已知，M、N分别为射线上的动点，P为内一点，连接，且 为定长．当的周长取得最小值时，求的度数； 【问题解决】 （3）如图3，某地有一片圆形湿地，其中的半径为，现想在这片湿地上修建一个形如四边形 的“探秘湿地”综合实践活动区，四边形 内接于，且，计划沿修建绿色长廊，圆心O为教育中心，教育中心O到绿色长廊的距离为．按照设计要求，现要分别在线段上确定点M、N（不与端点重合），沿 的一周（）修建步道．为节约成本，需要三条步道的长度和（ 的周长）尽可能的短．请问这三条步道的长度和是否存在最小值？若存在，请求出这三条步道长度和的最小值；若不存在，请说明理由．（教育中心的大小、绿色长廊及步道的宽度均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $