2026年内蒙古中考数学模拟试卷（八）

2026 年 内 蒙 古 自 治 区 初 中 学 业 水 平 考 试 数 学 模 拟 试 卷 （八） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。本套试卷满分100分，测试时间90分钟； 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.年月日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星的探测与采样返回之旅已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的倍，月球远地点距离约为，则该小行星与地球的最近距离约为(    ) A. B. C. D. 2.数轴上表示数，的点如图所示，下列判断正确的是(    ) A. B. C. D. 3.在下列事件中，不可能事件是(    ) A. 投掷一枚硬币，正面向上 B. 从只有红球的袋子中摸出黄球 C. 任意画一个圆，它是轴对称图形 D. 射击运动员射击一次，命中靶心 4.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，平行四边形的对角线交点在原点若，则点的坐标是(    ) A. B. C. D. 6.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流单位：与电阻单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示当电阻大于时，电流可能是(    ) A. B. C. D. 7.如图，内接于，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线交于点，连接并延长交于点，连接，，则的度数是(    ) A. B. C. D. 8.若点，都在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 或 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共12分。 9.窗，让人足不出户便能将室外天地尽收眼底如图，“步步锦”“龟背锦”“灯笼锦”是我国传统的窗格构造方式，从这三种方式中随机选出一种制作窗格，选中“步步锦”的概率是   ． 10.某地区七年级共有名男生为了解这些男生的体重指数分布情况，从中随机抽取了名男生，测得他们的数据单位：，并根据七年级男生体质健康标准整理如下： 等级 低体重 正常 超重 肥胖 人数 根据以上信息，估计该地区七年级名男生中等级为正常的人数是      ． 11.如图，一艘货轮以海里时的速度在海面上航行，当它行驶到处时，发现它的东北方向有一灯塔货轮继续向北航行后到达处，发现灯塔在它北偏东方向上，则此时货轮与灯塔的距离为      海里结果保留根号 12.如图，在菱形中，，，分别是边，的中点，连接，，若，则的长为            ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分 计算：； 化简：． 14.本小题分 某市中考体育实行必考加选考制度，为了解九年级学生的选考倾向，某区对本区各校九年级学生的体育选考科目进行抽样调查本次选考科目分为四项项目：跳绳；项目：足球；项目：立定跳远；项目：篮球，要求每名学生必须选择且只能选择其中一项调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息回答下列问题： 在这次抽样调查中，一共调查了______ 名学生，请将条形统计图补充完整； 扇形统计图中______ ，所对的圆心角为______ 度； 该区各校共有名九年级学生，若该区计划为选考科目是球类的学生购置专用球，按抽样调查的比例估计，该区需要购置多少个专用球？ 结合本次抽样调查结果，为该区九年级体育教学安排提出一条合理的建议． 15.本小题分 某商店销售，两种水果水果标价元千克，水果标价元千克． 小明陪妈妈在这家商店按标价买了，两种水果共千克，合计付款元这两种水果各买了多少千克？ 妈妈让小明再到这家商店买，两种水果，要求水果比水果多买千克，合计付款不超过元设小明买水果千克． 若这两种水果按标价出售，求的取值范围； 小明到这家商店后，发现，两种水果正在进行优惠活动：水果打七五折；一次购买水果不超过千克不优惠，超过千克后，超过千克的部分打七五折注：“打七五折”指按标价的出售若小明合计付款元，求的值． 16.本小题分 如图所示，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接，，过点作的平行线与的延长线相交于点． 求证：是的切线； 求证：∽； 当，时，求的长． 17.本小题分 某公司生产型活动板房成本是每个元．图表示型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长，宽，抛物线的最高点到的距离为． 按如图所示的直角坐标系，抛物线可以用表示．求该抛物线的函数表达式； 现将型活动板房改造为型活动板房．如图，在抛物线与之间的区域内加装一扇长方形窗户，点，在上，点，在抛物线上，窗户的成本为元已知，求每个型活动板房的成本是多少？每个型活动板房的成本每个型活动板房的成本一扇窗户的成本 根据市场调查，以单价元销售中的型活动板房，每月能售出个，而单价每降低元，每月能多售出个．公司每月最多能生产个型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价元定为多少时，每月销售型活动板房所获利润元最大？最大利润是多少？ 18.本小题分 在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． 如图，求证：∽； 如图，当，时，求的长； 如图，过点作的平行线交的延长线于点，过点作的平行线交于点，与交于点． 求证：； 当时，直接写出的值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：， 故选：． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 2.【答案】  【解析】解：由图可知，，，． 故选项A符合题意． 故选：． 根据数轴的定义判断即可． 本题主要考查了数轴，熟练掌握“数轴上的点表示的数，右边的总比左边的大”是解决问题的关键． 3.【答案】  【解析】解：投掷一枚硬币，正面向上，是随机事件，故该项不符合题意； B.从只有红球的袋子中摸出黄球，是不可能事件，故该项符合题意； C.任意画一个圆，它是轴对称图形，是必然事件，故该项不符合题意； D.射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故该项不符合题意； 故选：． 根据事件发生的可能性大小判断即可． 本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 4.【答案】  【解析】解：，则不符合题意， ，则符合题意， ，则不符合题意， ，则不符合题意， 故选：． 利用同底数幂乘法及除法，合并同类项，积的乘方法则逐项判断即可． 本题考查同底数幂乘法及除法，合并同类项，积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 5.【答案】  【解析】解：平行四边形的对角线交点在原点，根据平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相平分， 点与点关于原点对称， ， ． 故选：． 由题意，关于原点对称，可得点的坐标． 本题考查平行四边形的性质，坐标与图形性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 6.【答案】  【解析】解：根据图象，当时，， 当电阻大于时，电流可能是，不可能是、或， 符合题意，不符合题意． 故选：． 根据图象中随的变化情况判断即可． 本题考查反比例函数的应用，掌握反比例函数的图象特征是解题的关键． 7.【答案】  【解析】解：由作图可得： 是的垂直平分线， ，而， ， ， 故选：． 由是的垂直平分线，可得，可得，再进一步求解即可． 本题考查的是作线段的垂直平分线，等边对等角，圆周角定理的应用，掌握以上性质是解题的关键． 8.【答案】  【解析】解：， 函数图象位于第二、四象限，且每个象限内，随的增大而增大， ，且， ，两点不在同一象限， 点在第二象限，点在第四象限， ， 解不等式组得． 故选：． 先根据的符号判断函数图象位置和增减性，再结合判断两点位置，列不等式组即可求解的取值范围； 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 9.【答案】  【解析】解：从这三种方式中随机选出一种制作窗格，选中“步步锦”的概率是， 故答案为：． 直接根据概率公式求解即可． 本题主要考查概率公式，随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 10.【答案】  【解析】解：由题意可得：该地区七年级名男生中等级为正常的人数是， 故答案为：． 用乘以样本中等级为正常的人数所占的比例即可得解． 本题考查了由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 11.【答案】  【解析】解：如图，过点作于点， 则， 由题意可得：海里， ， 海里， ， ， 海里， 故答案为：． 过点作于点；根据题意求出的长，由锐角三角函数定义求出的长，再由三角形的外角的性质求出的度数，进而求出的长，即可解决问题． 此题主要考查了解直角三角形的应用方向角问题，根据题意正确作出辅助线是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：如图，连接，过点作交的延长线于点    ，分别是边，的中点，，  ，，  菱形中，，  ，，  为等边三角形，  ，，  ，  ，，  ． 连接，过点作交的延长线于点根据中位线定理得出，根据菱形的性质证明是等边三角形，进而求出所需线段长度，最后根据勾股定理求解即可． 本题考查等边三角形的判定与性质，三角形中位线定理，菱形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 13.【答案】   【解析】解：原式 ； 原式 ． 根据绝对值的性质、特殊角的三角函数值和零指数幂的性质进行计算即可； 先把括号里的化成分母是的分式，先算括号里面的，再把被除数和除数的分子分解因式，除法化成乘法，然后化简即可． 本题主要考查了实数和分式的混合运算，解题关键是熟练掌握绝对值的性质、特殊角的三角函数值和零指数幂的性质． 14.【答案】    个  学生选足球的人数比较多，可以制定专业的训练计划，提高学生成绩．答案不唯一，合理即可  【解析】解：名  样本中选考科目是“足球”的人数为人，  补全条形统计图如下：    故答案为：；  ，  即；    故答案为：，；  个  答：该区需要购置个专用球．  学生选足球的人数比较多，可以制定专业的训练计划，提高学生成绩．答案不唯一，合理即可 根据项目的人数乘以百分比求出学生的总人数，进而求出项目的人数，即可解答；  根据项目的人数除以学生的总人数，即可求出的值，进而求出项目所对的圆心角即可；  先求出专用球的百分比，再乘以该区各校九年级学生总人数，即可解答；  结合题意解答即可． 本题考查条形统计图，正确进行计算是解题关键． 15.【答案】解：设种水果买了千克，种水果买了千克， 由题意得：， 解得：， 答：种水果买了千克，种水果买了千克． 设小明买水果千克，则小明买水果千克， 由题意得：， 解得：， 又， 的取值范围为； 设小明买水果千克，则小明买水果千克， 由题意得：， 解得：， 答：的值为．  【解析】设种水果买了千克，种水果买了千克，根据小明陪妈妈在这家商店按标价买了，两种水果共千克，合计付款元，列出二元一次方程组，解方程组即可． 设小明买水果千克，则小明买水果千克，根据合计付款不超过元，列出一元一次不等式，解不等式，即可解决问题． 设小明买水果千克，则小明买水果千克，根据小明合计付款元，列出一元一次方程，解方程即可． 本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找出数量关系，正确列出一元一次不等式；找准等量关系，正确列出一元一次方程． 16.【答案】证明：如图，连接，      是的直径，   ，   平分，   ，   ，   ，   ，   ，   ，   是半径，   是的切线；  证明：，   ，   ，   ，   四边形是圆内接四边形，   ，   ，   ，   ∽   【解析】证明：如图，连接，    是的直径，  ，  平分，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  是半径，  是的切线；  证明：，  ，  ，  ，  四边形是圆内接四边形，  ，  ，  ，  ∽；  解：是的直径，，，  ，  ，  平分，  ，  ，  ，  ，  ，  ∽，  ，，即，  ． 先得出，进而得出，得出即可得出结论；  先说明，再推出，即可得出结论；  先求出，再推出，利用勾股定理求出的长，最后利用相似比即可得解． 本题是圆的综合题，考查直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，圆内接四边形的性质，切线的判定，圆心角、圆周角、弦、弧之间的关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质，同角的补角相等，平行线的性质等知识点．判断出∽、掌握圆的基本性质是解题的关键． 17.【答案】解：长方形的长，宽，抛物线的最高点到的距离为． ， ， ，， 该抛物线的函数表达式， 把点代入，得， 该抛物线的函数表达式为：； ， ， 当时，， ， ， ， 每个型活动板房的成本是： 元． 答：每个型活动板房的成本是元； 根据题意，得 ， 每月最多能生产个型活动板房， ， 解得， ， 时，随的增大而减小， 当时，有最大值为元． 答：公司将销售单价元定为元时，每月销售型活动板房所获利润元最大，最大利润是元．  【解析】根据图形和直角坐标系可得点和点的坐标，代入，即可求解； 根据和的横坐标相等，求出点坐标，再求出矩形的面积，即可求解； 根据题意得到关于的二次函数，根据二次函数的性质即可求解． 本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的性质． 18.【答案】证明：将绕点旋转得到，点的对应点落在边上， ，，， ， ∽； 解：，，， ，， ， 过作， ， ， 在中，， 即， 解得：，舍去， ， 在中，， ， ∽， ，即， ； 证明：设旋转角为，则，，， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ，，， ≌， ， ， ； ．  【解析】解：见答案； 见答案； 见答案； ， 设，， ，， 四边形是平行四边形， ，，， 由得， 在中，， ， ， ， ≌， ， ， ， 即， 即， ， ， ，即， ， 由可得，， ， 点，，，四点共圆， ， ，， ∽， ， 设，，，， 则， 根据旋转可得， ， 联立可得， ． 根据旋转可得，，，则，即可证明∽； 根据，，，可得，，即可得出，过作，则，即，在中勾股定理求出，则，在中勾股定理求出，根据∽，得出，即可求出； 设旋转角为，则，，，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出，，根据，得出，，，即可得，根据，得出，即可得，证明≌，得出，结合，得出； 根据，设，，证明四边形是平行四边形，得出，，，由得，在中，勾股定理得出，则，则，根据≌，得出，根据，得出，证明，，则，求出，由可得，，得出，证出点，，，四点共圆，根据圆周角定理得出，证明∽，得出，设，，，，则，根据旋转可得，则，联立求出，，再根据即可求解． 本题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，圆周角定理，圆内接四边形，解直角三角形，平行四边形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，证明三角形相似． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $