精品解析：北京市顺义牛栏山第一中学2025-2026学年高一下学期4月月考数学试题

高一数学 一、选择题：每小题4分，共40分.每小题中只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则z的虚部为（ ） A. 3 B. 2 C. 2i D. 2. 已知向量，满足，且与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 3 3. 已知向量，，则（ ） A. B. C. 0 D. 4 4. 如图，长方体被一个平面截成两个几何体，其中，，，，分别为的中点，则几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角，，的对边分别是，，，且，则的形状一定是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形 7. 已知非零向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 某数学活动小组计划测量河宽即河两岸之间的距离（河的两岸可视为平行），受地理条件和测量工具的限制，采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选择两个观测点，观察对岸的点，测得，，米，由此可得河宽约为（结果精确到0.1米，参考数据，） A. 13.0米 B. 21.3米 C. 40.3米 D. 47.3米 9. 如图，在中，，，，则（ ） A. 4 B. 6 C. D. 10. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图1所示．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形．在中，若，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：每小题5分，共25分. 11. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，则复数z的共轭复数______． 12. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则______． 13. 已知向量与不共线，且，，．若A，B，C三点共线，则______． 14. 四边形是边长为2的正方形，若点P为边的中点，则______；若点P在边（包含端点）上运动，则的最大值为______． 15. 在中，内角的对边分别为．已知，，给出下列结论： ①若，则存在两个三角形； ②面积的最大值为； ③可能等于8； ④的最大值为． 其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题：共计85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. （1）已知复数，．分别求，，，；（要求有必要的解答过程） （2）若复数为纯虚数，求实数的值． 17. 已知三个非零向量，，． （1）若，求向量与夹角的余弦值； （2）若，求的值． 18. 在中，，，． （1）求边长； （2）设的中点为，求长以及的大小． 19. 在中，内角，，的对边分别为，，且． （1）求； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，并求三角形的面积以及三角形外接圆的面积． 条件①，；条件②，；条件③，； 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 20. 在四边形ABCD中，对角线，． （1）求的大小； （2）若是锐角三角形，且，求AD边长的取值范围； （3）当时，是否存在实数，使得的最小值为．若存在，求值以及的大小；若不存在，请说明理由． 21. 已知集合（且），，且．若对任意，，当时，存在使得，则称A是S的m元好子集． （1）判断下列集合是否是的3元好子集：①；②；（直接写出结果，不需要说明理由） （2）若是的4元好子集，求的最小值； （3）若是（且）的m元好子集．求证：，并指出等号成立的条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 一、选择题：每小题4分，共40分.每小题中只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则z的虚部为（ ） A. 3 B. 2 C. 2i D. 【答案】B 【解析】 【详解】复数，则z的虚部为2. 2. 已知向量，满足，且与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】． 3. 已知向量，，则（ ） A. B. C. 0 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】因为向量，， 所以， 所以. 4. 如图，长方体被一个平面截成两个几何体，其中，，，，分别为的中点，则几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】几何体是底面为直角梯形的直四棱柱， ． 5. 在中，，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】如图， ，， ． 6. 在中，角，，的对边分别是，，，且，则的形状一定是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理可得，再由，可得，从而可得，进而可得结论 【详解】解：因为， 所以由正弦定理可得， 因为，所以， 所以， 所以， 所以，所以， 因为，所以，所以， 所以为等腰三角形， 故选：B 7. 已知非零向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的数量积运算和充分必要条件的概念分析即可. 【详解】. 故则“”是“”的充分必要条件. 故选：C. 8. 某数学活动小组计划测量河宽即河两岸之间的距离（河的两岸可视为平行），受地理条件和测量工具的限制，采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选择两个观测点，观察对岸的点，测得，，米，由此可得河宽约为（结果精确到0.1米，参考数据，） A. 13.0米 B. 21.3米 C. 40.3米 D. 47.3米 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理、三角形面积公式以及两角和的正弦公式，利用等面积法求解即可. 【详解】在中，因为， 所以， 由正弦定理得：，又， 所以，即， 所以 ， 设点到边的距离为，即为河的宽度， 由，所以米. 9. 如图，在中，，，，则（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量表示向量，再利用数量积的运算律求解. 【详解】由，得， 又，所以. 10. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图1所示．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形．在中，若，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设， 在中，，，， 由， 得，所以， 所以，， 所以． 二、填空题：每小题5分，共25分. 11. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，则复数z的共轭复数______． 【答案】 【解析】 【详解】因为复数z对应的点的坐标为，所以， 可得，即复数z的共轭复数. 12. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用正弦定理结合三角形边角性质求解. 【详解】根据正弦定理，中满足：，则， 代入，，， 得， 由，得， 因为，所以为. 13. 已知向量与不共线，且，，．若A，B，C三点共线，则______． 【答案】 【解析】 【详解】因为A，B，C三点共线，所以，使得 ， 因为向量与不共线， 所以有，解得，. 14. 四边形是边长为2的正方形，若点P为边的中点，则______；若点P在边（包含端点）上运动，则的最大值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】建立直角坐标系计算平面向量的坐标再计算模长，再应用数量积坐标运算公式结合二次函数值域计算求解. 【详解】如图建系，四边形是边长为2的正方形，得出， 因为点P为边的中点，则， 所以，所以； 若点P在边（包含端点）上运动，则设， 所以， 所以， 所以当或时，取的最大值为. 15. 在中，内角的对边分别为．已知，，给出下列结论： ①若，则存在两个三角形； ②面积的最大值为； ③可能等于8； ④的最大值为． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】利用正弦定理解三角形判断解的方法判断①；利用余弦定理并结合三角形面积公式判断②，利用余弦定理结合基本不等式计算的取值范围判断③；利用向量数量积的运算律结合正弦定理及三角变换求解判断④即可. 【详解】对于①，在中，由题意得，，， 由正弦定理得，解得，而， 可得，则存在一个三角形，故①错误， 对于②，由三角形面积公式得， 由余弦定理得， 由重要不等式得，当且仅当时取“=”， 则，即， 得到， 可得面积的最大值为，故②正确， 对于③，由余弦定理结合基本不等式得 ， 当且仅当时取“=”，解得， 由三角形性质得，则， 可得可能等于8，故③正确， 对于④，由正弦定理得， 可得，， 可得 ， 而，即， 当，即时，， 可得的最大值为，故④正确. 三、解答题：共计85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. （1）已知复数，．分别求，，，；（要求有必要的解答过程） （2）若复数为纯虚数，求实数的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的模长公式及复数的加法，乘法及除法计算求解； （2）根据纯虚数概念列式计算求解. 【详解】（1）因为复数，， 所以，， ， ； （2）因为复数为纯虚数， 所以且，所以. 17. 已知三个非零向量，，． （1）若，求向量与夹角的余弦值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】根据平面向量平行和垂直的坐标运算公式计算即可 【小问1详解】 因为且得 ，解得， 因此. 设与夹角为，根据向量夹角余弦公式  计算得，，， 代入得. 【小问2详解】 因为，所以，  即，代入坐标得， 整理得 ， 因式分解得， 即或.检验可知，当取这两个值时，三个向量均为非零向量，符合题意. 因此或. 18. 在中，，，． （1）求边长； （2）设的中点为，求长以及的大小． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】利用余弦定理及向量的基本运算求解即可. 【小问1详解】 设，已知，，， 由余弦定理，代入已知条件， ，得 ， 整理得一元二次方程 ，解得（边长为正，舍去负根）， 因此. 【小问2详解】 是中点，由向量中线公式得， 两边取模平方得， 代入， 得，  因此​. 在中，，，， 由余弦定理， 代入得， 整理得， 即. 因为，因此. 19. 在中，内角，，的对边分别为，，且． （1）求； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，并求三角形的面积以及三角形外接圆的面积． 条件①，；条件②，；条件③，； 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2） 选择条件①,不唯一，不符合要求； 选择条件②，，外接圆面积； 选择条件③，，外接圆面积. 【解析】 【小问1详解】 由题目可知，， 化简可得，即， 根据余弦定理可得， 因为， 所以. 【小问2详解】 选择条件①，，， 根据正弦定理可得， 代入可得，解得， 因为，， 所以有两个解，不唯一， 因此条件①不符合要求； 选择条件②，，， 所以， 因为 所以， 代入可得， 根据正弦定理可得， 代入可得，解得， 所以， 设外接圆半径为，， 代入可得，解得， 所以外接圆面积； 选择条件③，，， 根据正弦定理可得，代入可得，化简可得， 根据余弦定理可得， 代入可得，解得，即， ， ， 设外接圆半径为，， 代入可得，解得， 所以外接圆面积. 20. 在四边形ABCD中，对角线，． （1）求的大小； （2）若是锐角三角形，且，求AD边长的取值范围； （3）当时，是否存在实数，使得的最小值为．若存在，求值以及的大小；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，当时，或, 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，将边转化为角的正弦形式，再结合同角三角函数基本关系式求解； （2）设，利用锐角三角形的性质：三个内角的余弦值均大于0，结合余弦定理列不等式，求解得到的取值范围； （3）将向量模长平方，转化为关于的二次函数形式，利用二次函数的最值性质，结合最小值为的条件，建立关于和的方程求解. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得：，则， 由，得：， 由，得，即， 又，因此. 【小问2详解】 设，在中，，， 因为是锐角三角形，三个内角的余弦值均为正，由余弦定理可得： ， ， ，对恒成立. 故的取值范围为. 【小问3详解】 设，将模长平方展开：， 代入，，， 得：， 这是关于的开口向上的二次函数，最小值在对称轴处取得， 代入得最小值： ， 由题最小值为，故：，得或， 当时，， 当时，. 故存在满足条件的，当时，或,. 21. 已知集合（且），，且．若对任意，，当时，存在使得，则称A是S的m元好子集． （1）判断下列集合是否是的3元好子集：①；②；（直接写出结果，不需要说明理由） （2）若是的4元好子集，求的最小值； （3）若是（且）的m元好子集．求证：，并指出等号成立的条件． 【答案】（1）不是的3元好子集，是的3元好子集. （2）20 （3）设. 先证明对任意，都有. 假设存在某个，使得. 则对，均有. 由好子集的定义可知都属于． 这些数两两不同，并且都大于，所以它们都只能出现在中． 但是前者共有个不同的数，后者只有个数，矛盾． 故. 于是 所以. 下面讨论等号成立的条件．若等号成立，则对任意，都有. 特别地，对，因为且为整数，所以. 由好子集的定义可知这个数两两不同，并且都大于，所以它们恰好是. 又因为随的增大而增大，所以. 于是，由，得. 所以. 因此等号成立时，必须有. 反过来，若，记. 任取，若. 则，由于为整数，得. 于是. 故是的元好子集，且. 所以等号成立的条件正是. 【解析】 【分析】（1）根据“好子集”的定义，检查集合中两个元素的和在不超过时是否仍属于该集合． （2）设，其中，按的取值分类讨论，求和的最小值． （3）先证明对任意，都有，再两两相加得到不等式．最后根据等号成立时的结构推出必为等差形式，并验证该形式满足条件． 【小问1详解】 ①因为，但，所以不是的元好子集． ②集合中，两数之和不超过的情况只有． 且，所以是的元好子集． 【小问2详解】 设. 若，则由好子集的定义可得. 再由. 可知至少含有这个元素，与是元集合矛盾． 故. 若，则，所以． 又，所以． 再由，得． 故. 因为是元集合，所以. 此时，并且满足好子集的定义，所以可以取到． 若，若，则由于中元素互不相同且递增，只可能有或. 当时，，但，不符合好子集的定义． 当时，，但，也不符合好子集的定义． 故当时，必有. 综上，的最小值为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $