精品解析：北京师范大学第二附属中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

北京师大二附中2025-2026学年高一年级第二学期 数学期中测试题 本试卷共4页150分，考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，只收答题纸，不收试卷． 一、单选题 1. 与角终边相同的最小正角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先把化成弧度制，再写成，的形式， 确定选项. 【详解】因为. 所以与角终边相同的最小正角是. 故选：B 2. 一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的弧度数为（ ） A. B. 5 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据扇形的弧长公式及面积公式计算即可. 【详解】设扇形中心角的弧度数为，半径为， 所以，，解得，. 故选：A. 3. 已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边过点，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】应用任意角的三角函数定义结合特殊角的三角函数值计算求解. 【详解】 角的终边过点， 由题可知． 故选：B 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据三角恒等变换求出，再根据已知条件缩小范围，从而确定符号进而求解即可. 【详解】由已知， 则， 平方得， 即，解得， 又，所以 由，得，故， 所以. 故选：C. 5. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直的条件结合充分条件和必要条件的定义分析判断. 【详解】由得， 解得或， 所以当时，不一定成立， 而当时，一定成立， 所以是的必要不充分条件. 6. 已知向量，且，则（ ） A. -2 B. C. -2或 D. 2或 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的定义和向量平行的坐标公式求解即可得出答案. 【详解】， 又且反向， 所以或， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意，所以， 故选：B. 7. 将函数的图象向右平移（）个单位长度后得到新的图象．已知这个新的图象关于原点中心对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用辅助角公式，将变形为的形式，根据平移变换的规则及正弦函数的对称特点，求得的取值，即可得其最小值. 【详解】． 设图象向右平移（）个单位长度后得到函数的图象，则． 因为函数的图象关于原点中心对称，所以，即，即. 所以，即． 当时，有；因此时，取得最小值． 8. 已知正方形的边长为2，为边的中点，为边上一点，当时，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设，则，，利用平面向量数量积的运算性质可得出的值，利用向量的夹角公式求出的值，即可得，再利用同角三角函数关系求得的值. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示， 则、，设，则，，故，. 所以， 当时，，即，则， 故， 则， 结合题意可知为锐角，则可得，则， 故. 故选：A 9. 我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距（）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即．对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为，，若第一次的“晷影长”是“表高”的2倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的（ ） A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，由结合两角差的正切公式可得，从而求得第二次的“晷影长”与“表高”的比值，得出答案. 【详解】由题可得，又， 所以. 即第二次的“晷影长”是“表高”的. 10. 在平面直角坐标系xOy中，已知向量，，点，则的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由条件求得，进而求得，设，即得，可得，利用向量数量积的定义，结合余弦函数的有界性推得，即可求得答案. 【详解】， 由，，可得， 代入计算可得. 又由，可得， 设，则，因，则， 于是， 因，当且仅当为相反向量时取等， 故， 即的最大值为. 二、填空题 11. 在平面直角坐标系xOy中，角以坐标原点O为顶点，以x轴负半轴为始边，终边与单位圆交于点，则______． 【答案】 【解析】 【详解】由题意，始边为负轴，点坐标对应为， 所以. 12. 已知函数，则_____；若对任意都有，则常数的一个取值为_____． 【答案】 ①. ②. （，写出其中一个即可） 【解析】 【分析】第一空，直接利用诱导公式可求函数值，第二空，由可直接写出一个常数的值. 【详解】， 由，即， 又，所以常数的可以为， 故的一个取值可以为， 故答案为：，. 13. 已知，，若，则实数x的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的夹角公式可得答案. 【详解】因为，，所以， 因为，所以，即， 解得，所以实数x的取值范围为. 故答案为： 14. 如图为函数（）的部分图象，对于任意的，，若，都有，则等于__________. 【答案】 【解析】 【分析】先确定的值，再利用正弦函数的性质求解即可. 【详解】由图象得函数的最大值为，因为可得. 若且，说明关于区间内函数的对称轴（最高点横坐标）对称，因此 ，即. 最高点满足，变形得， 代入计算， 即. 15. 如图，在等腰直角三角形ABC中，，，以AB为直径在外作半圆O，P是半圆弧AB上的动点，点Q在斜边BC上，若，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】建立直角坐标系，得出的坐标，利用数量积的坐标表示得出，结合正弦函数的单调性得出的取值范围. 【详解】取中点为，建立如下图所示的直角坐标系 则，设，，则 ，则 设点，则 ， 则当，即时，取最大值 当，即时，取最小值 则的取值范围是 故答案为： 【点睛】本题主要考查了利用数量积求参数以及求正弦型函数的最值，属于较难题. 三、解答题 16. 已知. （1）求及的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题目条件，利用同角三角函数关系求解. （2）结合二倍角的余弦函数化简求值即可. 【小问1详解】 由，得， 所以. . 【小问2详解】 由，得， 所以. 17. 已知函数（，，）的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）设，为锐角，，，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据周期求出，利用待定系数法求出，即可得解； （2）先根据平方关系求出，，再根据两角差的正弦公式求出，再根据两角和的正弦公式即可得解. 【小问1详解】 由图可得，且，解得， 由，，解得， 由，，解得， 故； 【小问2详解】 因为，为锐角，，所以为钝角， 因为，， 所以，， ， 则， 所以. 18. 已知函数． （1）求的解析式和对称轴方程； （2）将函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的单调递增区间． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据二倍角的正弦公式、降幂公式及辅助角公式，可得的解析式，根据正弦型函数对称轴的求法，代入整理，即可得答案. （2）根据平移、伸缩变换的原则，可得的解析式，根据正弦型函数单调性的求法，可得其单调区间，代入求解，综合即可得答案. 【小问1详解】 ， 令，则， 所以对称轴方程为. 【小问2详解】 依题意得，， 令，解得， 又，所以当时，得一个单调增区间为， 当时，得一个单调增区间为， 所以的单调递增区间为． 19. 如图所示，平行四边形中已知，点在边上运动， （1）求点坐标； （2）判断是否存在点D，使得，若存在，求出D点坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由可得点坐标； （2）由，，以及得到，从而得到D点坐标. 【小问1详解】 由题意，得， 因为四边形是平行四边形， 所以，故； 【小问2详解】 由题意，， ， 若，则， 化简得：，解得， 故存在点，使得，且. 20. 已知点，， （1）若A，B，C三点共线，求实数k的值； （2）若四边形为矩形，求向量与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求得，，再根据共线向量列方程即可求解； （2）根据题意列方程求得点的坐标以及的值，进一步根据向量夹角的余弦的坐标公式即可求解. 【小问1详解】 因为A，B，C三点共线，所以，共线，即， 又，，则有，所以； 【小问2详解】 设，因为四边形为矩形，所以，， 又，，， 得， 则，，， 则，，则， 综上，向量与夹角的余弦值为. 21. 已知个向量，将向量按照一定顺序排成一列，可得一个向量序列、、、；定义：，，其中表示、最大的数． （1）对于向量序列、，求、的值； （2）设向量，，可排成两个向量序列、，和、，在、、、四个数中最小的数分别为和两种情况下，比较和的大小； （3）若为奇数且，，，，设集合，证明：集合中存在两个非空子集、，满足，，中所有向量的横坐标之和，中所有向量的纵坐标之和． 【答案】（1）， （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题中定义求解即可； （2）根据定义，分别讨论当和为最小值时和，比较大小即可； （3）不妨设①若， 因为中任意，存在；②若，由，，所以一定存在正整数，使得，可得，即可得，设，，由基本不等式可得，当且仅当时取等号，所以，，满足题意． 【小问1详解】 对于向量序列、，由题中定义可得， . 【小问2详解】 ， ， 当为最小时，， 因为，，所以， 当为最小时，， 因为，，所以， 所以两种情况下均有. 【小问3详解】 不妨设， ①若， 因为中任意，所以存在为单元素集合，为的补集即可； ②若， 因为，，所以一定存在正整数， 使得， 可得， 又因为 ． 设，，则 ， 当且仅当时取等号， 所以，时， ，； 综上所述，存在两个非空子集、，满足题意． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京师大二附中2025-2026学年高一年级第二学期 数学期中测试题 本试卷共4页150分，考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，只收答题纸，不收试卷． 一、单选题 1. 与角终边相同的最小正角是（ ） A. B. C. D. 2. 一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的弧度数为（ ） A. B. 5 C. 2 D. 3. 已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边过点，则（ ） A. B. C. D. 2 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知向量，且，则（ ） A. -2 B. C. -2或 D. 2或 7. 将函数的图象向右平移（）个单位长度后得到新的图象．已知这个新的图象关于原点中心对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方形的边长为2，为边的中点，为边上一点，当时，（ ） A. B. C. D. 9. 我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距（）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即．对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为，，若第一次的“晷影长”是“表高”的2倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的（ ） A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 10. 在平面直角坐标系xOy中，已知向量，，点，则的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 二、填空题 11. 在平面直角坐标系xOy中，角以坐标原点O为顶点，以x轴负半轴为始边，终边与单位圆交于点，则______． 12. 已知函数，则_____；若对任意都有，则常数的一个取值为_____． 13. 已知，，若，则实数x的取值范围为__________. 14. 如图为函数（）的部分图象，对于任意的，，若，都有，则等于__________. 15. 如图，在等腰直角三角形ABC中，，，以AB为直径在外作半圆O，P是半圆弧AB上的动点，点Q在斜边BC上，若，则的取值范围是________. 三、解答题 16. 已知. （1）求及的值； （2）若，求的值. 17. 已知函数（，，）的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）设，为锐角，，，求的值. 18. 已知函数． （1）求的解析式和对称轴方程； （2）将函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的单调递增区间． 19. 如图所示，平行四边形中已知，点在边上运动， （1）求点坐标； （2）判断是否存在点D，使得，若存在，求出D点坐标，若不存在，说明理由． 20. 已知点，， （1）若A，B，C三点共线，求实数k的值； （2）若四边形为矩形，求向量与夹角的余弦值． 21. 已知个向量，将向量按照一定顺序排成一列，可得一个向量序列、、、；定义：，，其中表示、最大的数． （1）对于向量序列、，求、的值； （2）设向量，，可排成两个向量序列、，和、，在、、、四个数中最小的数分别为和两种情况下，比较和的大小； （3）若为奇数且，，，，设集合，证明：集合中存在两个非空子集、，满足，，中所有向量的横坐标之和，中所有向量的纵坐标之和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $