8.6 空间直线、平面的垂直 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦高中数学“空间直线、平面的垂直”核心知识点，系统梳理异面直线所成角、线线垂直、线面垂直（定义、判定与性质）、面面垂直（判定与性质）、空间距离及二面角等内容，构建从定义到定理再到题型应用的递进式学习支架。 资料亮点在于10类题型分类清晰，每类附“方法提炼”，如平移法求异面直线角、等体积法求距离，培养学生空间观念（数学眼光）和推理能力（数学思维）。例题涵盖正方体、正四面体等几何体，课中辅助教师系统授课，课后学生可结合方法与例题查漏补缺，提升应用意识（数学语言）。

§8.6 空间直线、平面的垂直 目录 题型1：异面直线所成的角 7 题型2：直线与直线垂直 13 题型3：线面、面面关系有关命题的判断 18 题型4：线面垂直的证明 23 题型5：线面垂直的性质 27  线面垂直证明线线平行 27  线面垂直证明线线垂直 30  线面垂直证明面面平行 36 题型6：直线与平面所成角 37 题型7：空间中的距离问题 44 题型8：面面垂直的证明 56 题型9：面面垂直证明线面垂直 60 题型10：求空间二面角 65 1. 直线与直线垂直 (1) 异面直线所成的角 如图，已知两条异面直线，，经过空间任一点分别作直线，，我们把直线与所成的角叫做异面直线与所成的角（或夹角）． 如果两条异面直线，所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，记作． (2) 空间两条直线所成角 当两条直线，相互平行时，我们规定它们所成的角为.所以空间两条直线所成角的取值范围是. 提醒 异面直线所成的角的取值范围：． 2. 直线与平面垂直 (1) 直线与平面垂直的定义 一般地，如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作．直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面,垂线和平面的唯一公共点叫做垂足． 可以发现，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条. 垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离． (2) 直线与平面垂直的判定定理 文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直． 图形语言： 符号语言： (3) 直线与平面垂直的性质定理 文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行． 图形语言： 符号语言：//. (4) 直线与平面垂直的其他性质和结论 ①；②//；③//； ④//；⑤//. 3. 直线与平面所成的角 (1) 直线与平面所成角的定义 如图，一条直线和一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足。过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角． (2) 线面角的范围 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是.直线与平面所成的角的范围是． 4. 三垂线定理及其逆定理 (1) 三垂线定理 在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. (2) 三垂线定理的逆定理 平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直. 5. 空间几何体的距离 点到直线的距离 自点向直线引垂线，垂足叫做点在直线上的射影．点到垂足的距离叫点到直线的距离． 点到平面的距离 已知点是平面外的任意一点，过点作，垂足为，则是点到平面的距离．即：一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离. 异面直线的距离 夹在两条异面直线间的公垂线线段的长度，叫做两条异面直线间的距离．两条异面直线的公垂线有且只有一条． 直线与平面的距离 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离． 两个平行平面间的距离 如果两个平面平行，那么其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离． 6. 二面角 (1) 二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面． 如图，这个二面角记作二面角或或． (2) 二面角的平面角 如图，在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角． 平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角的取值范围是. 7. 平面与平面垂直 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 平面与垂直，记作． 如图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直． (1) 平面与平面垂直的判定定理 文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直． 图形语言： 符号语言： (2) 平面与平面垂直的性质定理 文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直． 图形语言： 符号语言： (3) 性质定理的推论 ①或；②； ③；④； ⑤. 8. 垂直关系的转化 题型1：异面直线所成的角 方法提炼 1. 平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角,具体步骤如下： (1) 平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； (2) 认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； (3) 计算：求该角的值，常利用解三角形； (4) 取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 2. 设两条异面直线所成的角为，则过空间一点与直线所成的角都等于的直线的条数有如下规律： (1) 当时，直线不存在，即0条. (2) 当时，若，则，此时只存在1条直线（是和所在平面的角平分线）；若，则，此时存在2条直线（两条相互垂直的角平分线）. (3) 当时，存在2条直线(一条在内角平分线方向，一条在外角平分线方向). (4) 当时，存在3条直线(一条在内角平分线方向，一条在外角平分线方向,还有一条是与和所在平面垂直的直线). (5) 当时，存在4条直线(除了两条在角平分线方向（一内一外）外，还有两条在与它们分别关于和所在平面对称的方向). (6) 当时，存在1条直线（一条与和所在平面垂直的直线）. 【例1.1.】 已知在正方体中，为棱的中点，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】求异面直线所成的角 【详解】因为，所以即为直线与所成的角， 设正方体的棱长为， 则，， 在中，， 所以， 即直线与所成角的余弦值为. 【例1.2.】 已知点P为空间一定点，过P且与两异面直线a、b所成角都为70°的直线共有3条，则异面直线a、b所成角为（    ）度 A．40 B．40或70 C．40或140 D．90 【答案】A 【难度】0.51 【知识点】由异面直线所成的角求其他量 【分析】根据条件先将直线平移得到，使得经过点，再根据直线所成的角以及直线所在平面的垂线分析与直线所成角均为的直线的情况即可得答案. 【详解】分别将直线平移得到，使得经过点，如图所示， 设所成角的角平分线为，过点垂直于所在平面的直线为， 因为异面直线、所成角为，所以直线所成角为， 所以，当直线经过点且直线在直线所在平面内，垂直于直线时， 直线与直线所成角相等，为时，成角为，即； 当直线在直线平面内时，若直线绕着点旋转，此时直线与直线所成角相等， 且所成角从变化到，再从变化到，此时满足条件的直线有三条， 所以，解得. 所以过空间定点与、成角的直线共有3条时，. 【例1.3.】 在棱长为2的正四面体中，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、求异面直线所成的角 【分析】连接MD，取其中点Q，连接，由得到是直线AM和CN的夹角或补角，接着在中由余弦定理求出即可求解. 【详解】连接MD，取其中点Q，连接， 由题意可得， ，且， 所以是直线AM和CN的夹角或补角，， 所以. 所以，即直线AM和CN夹角的正弦值为. 故选：A 【例1.4.】 如图，在圆柱中，轴截面是正方形，C在圆O的圆周上，，则异面直线与所成角的余弦值为__________. 【答案】/0.7 【难度】0.7 【知识点】求异面直线所成的角 【详解】如图，设圆O的半径为r，延长BA至点D，使， 连接，CD，AC，则，， 所以四边形是平行四边形， 所以，， 则或其补角为异面直线与所成的角， 因为，， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. 【例1.5.】 如图所示，已知空间四边形中，与所成角为，且，，分别为，的中点，则________． 【答案】1或 【难度】0.65 【知识点】由异面直线所成的角求其他量 【分析】取一边中点构造中位线，将已知的两条异面直线所成角转化为三角形中的角，再利用余弦定理分两种情况求出所求线段的长度. 【详解】如图，取的中点，连接，，由题可知，，， ，．因为与所成的角为， 所以或，当时，为等边三角形，所以； 当时，由余弦定理得，， 所以．综上，或． 故答案为：或. 【例1.6.】 空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则__________. 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】由异面直线所成的角求其他量 【分析】连接，由中位线定理可得为异面直线所成角或所成角补角，据此可得答案. 【详解】如图，连接，由题设及中位线定理可得， 则为异面直线所成角或所成角补角，则或. 故答案为：或. 【例1.7.】 在正方体中，点是棱的中点，点在四边形内部运动包括边界设直线与直线所成的角为，则当平面时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角、证明线面平行 【分析】通过确定点的位置，找出角，表示出的正切值，求解取值范围. 【详解】取的中点分别为，连接， 可以证明平面平面， 故当点在线段上运动时，平面. 因为，所以直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，所以，连接，显然. 令正方体的棱长为2，，， 则，又， 所以，所以. 故选：B 题型2：直线与直线垂直 方法提炼 证明两直线垂直的常用方法： (1) 利用平面几何知识，如矩形、等腰三角形的三线合一、勾股定理逆定理、菱形对角线、圆周角定理等. (2) 定义法：证明两条直线夹角是. (3) 利用一些事实：两条平行直线，若其中一条直线垂直另一条直线，则其平行线也垂直此直线． (4) 利用线面垂直的性质. 【例2.1.】 在正方体中，为棱的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】证明异面直线垂直 【详解】解析 如图：在平面的投影为，由于不垂直，所以不垂直； 在平面的投影为，由于不垂直，所以不垂直； 在平面的投影为，由于， 所以，同理不垂直．故选：C． 【例2.2.】 直三棱柱中，，在三棱柱所有的棱中，与AC垂直且异面的有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】证明异面直线垂直 【分析】由已知直三棱柱的结构特征，列举与AC垂直且异面的棱即可. 【详解】直三棱柱中，， 则与AC垂直且异面的直线有和. 故选：B. 【例2.3.】 如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【难度】0.65 【知识点】证明异面直线垂直 【分析】由异面直线夹角的定义逐个判断即可. 【详解】对于A：如图：连接，    由正方体的性质可得：，在矩形中，显然不成立， 所以不成立，故错误； 对于B：    如图取中点，连接， 由正方体的结构特点，结合，可得平面， 又平面， 所以， 在正方形中，因为， 所以， 又为平面内两条相交直线， 所以平面，又平面， 所以，故B正确； 对于C：    如图，取的中点，连接， 在正方体中可知：， 所以为平行四边形， 所以， 在正方形中，可知， 所以不成立，即不成立，故C错误， 对于D：    如图，取的中点，连接， 由中位线可知， 又在正方体中可知：， 所以， 设正方体的棱长为2，可得：， 则，所以不成立， 即不成立，故D错误. 故选：B. 【例2.4.】 （多选）如图，在正方体中，点是线段（含端点）上的动点，则下列结论正确的是（   ） A．存在点，使 B．异面直线与所成的角最小值为 C．无论点在线段的什么位置，都有 D．无论点在线段的什么位置，都有平面 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】证明异面直线垂直、求异面直线所成的角、面面平行证明线面平行、空间位置关系的向量证明 【详解】解析 如图：根据投影的性质：当点与点重合时，， 因为，所以，所以选项A正确； 如图：设边长为1，作， 则异面直线与所成的角即，且易证得， 故异面直线与所成的角最小值即最小， 即，，B错； 由投影：，，，平面， 即，故C正确； 对于D：易知平面平面，平面， 所以平面，故D正确．故选：ACD． 题型3：线面、面面关系有关命题的判断 【例3.1.】 设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列说法中正确的个数为（    ） ①若，，则，为异面直线 ②若，，则 ③若，，，则 ④若，，，则 ⑤若，，，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断面面是否垂直、判断面面平行、面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断 【分析】根据直线、平面位置关系的判定及性质定理逐项分析即可. 【详解】对于①，由，得平面中存在直线与直线n平行，所以，有可能平行，所以①错误； 对于②，由平面平行的性质可判断②正确； 对于③，若，，则，因为，所以，所以③正确； 对于④，若，，所以，又，所以，所以④错误； 对于⑤，若，，则，又，所以，所以⑤正确. 故正确的个数是3. 故选：C. 【例3.2.】 已知平面平面，，下列结论中正确的是（    ） A．若直线平面，； B．若平面平面，则； C．若平面直线l，则； D．若直线直线，则. 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断面面是否垂直、判断线面是否垂直、判断面面平行、判断线面平行 【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定与性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由平面平面，且， 对于A，若平面，可得或，所以A不正确； 对于B，若平面平面，则或与相交或与重合，所以B不正确； 对于C，若平面，且，所以，所以C正确； 对于D，如图所示，直线直线，则可能与相交或或，所以D不正确. 故选：C. 【例3.3.】 （多选）已知m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、判断线面是否垂直 【分析】根据平面的基本性质，线面垂直、面面平行的性质判断选项即可. 【详解】对于选项A，若，则与相交或平行，所以A错误； 对于选项B，由两个相交平面都和第三个平面垂直，那么它们的交线与这个平面垂直，所以B正确； 对于选项C，若有可能在内，故C错误； 对于选项D，若，根据线面平行的性质定理和判定定理， 可以判断，所以D正确. 故选：BD 【例3.4.】 已知，表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】线面关系有关命题的判断、判断线面平行、判断线面是否垂直、判断面面是否垂直 【分析】以正方体的线面关系为例，说明ABC是错误的. 【详解】如图，在正方体中：    因为平面，平面，且与为异面直线，故A错误； 因为平面，，但平面，而非平面，故B错误； 因为平面，平面平面，但平面，而非平面，故C错误； 对D：若，，则，故D正确. 故选：D 【例3.5.】 （多选）设为两个不同的平面，为两条不同的直线，且，则下列说法正确的是（   ） A．若或，则 B．若，则或 C．若或，则 D．若，则或 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、判断线面是否垂直、线面平行的性质 【详解】对于A项，若或，此时与平面的交线的位置关系不确定 ， 可能与异面或平行，故A项错误； 对于B项，若，可能在平面或内，但是一定有或，故B项正确； 对于C项，若，因为，所以，由直线与平面垂直的性质，可得； 若，因为，同理可得，故C项正确； 对于D项，若，与平面的位置关系不确定，不一定垂直于或，故D项错误． 【例3.6.】 （多选）已知直线、和平面、，且，，则下列四个选项中正确的有（　　） A．若，则过可作唯一平面与垂直 B．若与所成角为，则过可作唯一平面与垂直 C．若，则过可作唯一平面与垂直 D．若，则过可作唯一平面与平行 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、判断面面是否垂直 【分析】A选项，当时，过可以作无数个平面与垂直，故A错误；B选项，推出与不垂直，所以过可作唯一平面与垂直，故B正确；CD选项，或，所以过可作唯一平面与垂直，故C正确；D选项可举出反例. 【详解】对于A选项，，，当时， 因为，所以，则过可以作无数个平面与垂直，故A错误； 对于B选项，因为与所成角为，，如下图所示： 若，设直线交平面于点， 在直线上取异于点的点，过点作交平面于点，连接， 则，线面角的定义可知，故， 从而可知直线、所成角为，这与矛盾，故与不垂直，所以与不垂直， 故与平面不垂直，而过直线上一点，有且只有一条过点且垂直于平面的直线， 记这条直线为，直线和直线确定的平面， 由面面垂直的判定定理可知平面平面， 若还有另一个平面，且，则平面与平面的交线即也垂直于， 这与与平面不垂直矛盾，故平面即为平面，故存在唯一平面与垂直， 而，故存在唯一平面，使得该平面与垂直，故B正确； 对于CD选项，由，，，得与的关系是或， 所以过可作唯一平面与垂直，故C项正确； 当时，过的平面与相交或重合，故D项错误. 题型4：线面垂直的证明 方法提炼 证明线面垂直的常用方法： ①判定定理；②垂直于平面的传递性；③面面平行的性质；④面面垂直的性质. 【例4.1.】 如图，在平行四边形中，，，为的中线，将沿折叠，使点到点的位置，连接，且. 求证：平面. 【答案】证明见解析 【知识点】证明线面垂直 【分析】用勾股定理证明，再用等腰三角形中线得，进而再由折叠可得，再用线面垂直的判定定理可得； 【详解】因为，且，所以，. 又为的中线，所以. 因为，所以，所以. 由题意知，为的中线，所以. 而是沿折叠到点的位置，所以 因为，，且，且平面， 所以平面. 【例4.2.】 如图，等腰梯形中，，为边上一点，且，，为中点，为中点将沿折起到的位置，如图．证明：平面； 【答案】证明见解析 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、证明线面垂直 【分析】根据垂直关系的转化，结合平行线的性质，转化为证明，，即可证明线面垂直. 【详解】在等腰梯形中，，， 则四边形是平行四边形，则， 因为，所以为等边三角形，则 因为为中点，所以， 在等腰梯形中，可得 连接，在中， 由余弦定理可得：， 则，所以，则． 因为、分别是、中点，所以，所以， 从而可得，， 因为，、平面，所以平面. 【例4.3.】 已知三棱锥中，与底面所成角相等，，为中点，点在上且截面.    求证：平面； 【答案】证明见解析 【知识点】证明线面垂直 【分析】设在面上射影为，先证明是的外心，再证明点和点重合，由此证明结论； 【详解】与底面成相等的角，设点在平面上射影为， 则有， ∴ 且， ∴是的外心. 是直角三角形，且是斜边的中点， ∴点和点重合， ∴平面. 【例4.4.】 如图，在圆锥PO中，AB为底面圆O的直径，C，D为圆O上不与A，B重合的点，且，，.求证：平面POC； 【答案】证明见解析 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】利用线面垂直的性质判定推理得证. 【详解】连接，延长交于点，由为底面圆的直径，得， 由，得，， 又，则平分，， 又，则为正三角形，是其中心， 于是是中点，， 而平面，平面，则， 又,且,平面，所以平面. 【例4.5.】 如图，已知空间四边形的边，，作于点，作于点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】通过证明，，可得平面，进而可得，又，所以平面，所以，又因为，所以平面． 【详解】连接，取的中点，连接，，如图所示， 因为，为的中点，所以， 同理，，为的中点，所以， 又因为，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，且，平面平面， 所以平面． 题型5：线面垂直的性质 方法提炼 · 线面垂直证明线线平行 【例5.1.】 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面是的中点，分别在上，且．则与的位置关系为________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】线面垂直证明线线平行、证明线面垂直 【详解】平面，平面， ，又， ． ，是的中点， ，，平面， 平面． ，， ． ，，平面， 平面． ． 【例5.2.】 如图所示，在正方体中，与，都垂直相交，垂足分别是点、点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线平行 【分析】（1）首先证明，即可得到，再由，即可得证； （2）首先证明平面，即可得到，同理可证，即可得到平面，结合（1）的结论，即可得证． 【详解】（1）在正方体中，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为，所以， 因为，，平面，平面． 所以平面． （2）因为平面，平面， 所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 同理可证， 又，平面，平面． 所以平面． 又平面，所以． 【例5.3.】 如图，已知直四棱柱的底面是边长为4的正方形，点M为CG的中点，点P为底面上的动点，若存在唯一的点P满足，则________. 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】线面垂直证明线线平行、多面体与球体内切外接问题 【分析】由球面的性质结合已知可得线段为直径的球与平面相切，取线段中点，在直角梯形中计算求解. 【详解】直四棱柱的底面是边长为4的正方形， 以线段为直径构造球，则点与球上任意一点（除外）均能构成直角， 因此该球与平面相切时存在唯一P点，使得， 取线段中点，连接，则平面，而平面， 于是，则，， 在直角梯形中，,，， 则，所以. 故答案为：4. · 线面垂直证明线线垂直 【例5.4.】 如图，在四棱锥中，底面，，，. (1)若平面，证明：； (2)若平面平面，，证明：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即证平面，再利用线面平行的性质定理证明，进而得证； （2）过点作于点，利用面面垂直的性质定理即证平面，再利用线面垂直的判定定理得平面，进而得证. 【详解】（1）在中，， 由余弦定理得， 即，解得， ，， 底面，平面，， 平面，平面， 平面，平面，平面平面， ，平面， 平面，； （2）如图： 过点作于点， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 平面，， 又平面，平面，， ，平面，平面， 平面，. 【例5.5.】 如图，梯形中，，于点，，且．沿把折起到的位置，使．若为的中点，为上一点，证明． 【答案】证明见解析 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】先得到平面，，由余弦定理和勾股定理逆定理可得，从而得到平面，，结合，可得平面，故. 【详解】∵，∴， 又，，∴， 由勾股定理逆定理可得. 又，即，，平面， ∴平面. ∵平面， ，，，∴，故为等腰直角三角形， ， ，， 由余弦定理得， ，. ，、平面，平面， ∵平面，. 又，为的中点， ， ，、平面，平面， 平面，. 【例5.6.】 已知在平面内，点，，，，垂足分别为，，．．求证：． 【答案】借助线面垂直性质定理可得，结合，可得平面，则有，同理可得，再利用线面垂直性质定理及勾股定理计算可得，则可得点到与的距离相等，即可得证. 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【详解】由，，则， 又，，、平面， 故平面，又平面，故； 由，，则， 又，，、平面， 故平面，又平面，故； 由，、，故、， 又，故， 故点到与的距离相等，故为的角平分线， 即有. 【例5.7.】 如图所示，在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，点是棱上的动点，则点为______时平面. 【答案】的中点 【难度】0.62 【知识点】证明线面垂直、补全线面垂直的条件、线面垂直证明线线垂直 【分析】连接，证明当点是的中点时，平面. 【详解】如图，连接，则， 因为平面，又平面，所以. 又，平面. 所以平面，又平面，所以. 于是若平面，平面，则， 平面，又平面，所以. 又，平面，所以平面， 平面，所以，所以，， 所以， 因为是正方形，是的中点， 所以当且仅当是的中点时，， 即当点是的中点时，平面. 【例5.8.】 如图，在直三棱柱中，，，是的中点，点在上，记，若平面，则实数________． 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】先证明平面，得​，再结合平面的条件，推导出，利用正方形性质确定为中点，求解． 【详解】由题意可得，，，，平面， 所以平面. 又平面， 所以，作交于点（如图）， 连接，，此时平面， 在矩形中，，所以四边形是正方形， 所以，. 又为的中点，所以为的中点，， 因为，所以． 故答案为：1． · 线面垂直证明面面平行 【例5.9.】 设是两个平面，是两条直线，则的一个充分条件是（ ） A． B． C．与相交 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】充分条件、判断面面平行、线面垂直证明面面平行 【分析】通过举反例可判定ABC，利用线面垂直的判定定理及面面平行的判定定理可判定D. 【详解】对于A：当满足时，可能相交， 如图：用四边形代表平面，用四边形代表平面，故A错误； 对于B：当满足时，可能相交， 如图：用四边形代表平面，用四边形代表平面，故B错误； 对于C：当满足与相交时，可能相交， 如图：用四边形代表平面，用四边形代表平面，故C错误； 对于D:  因为，又，所以， 故是的一个充分条件，故D正确； 故选：D 题型6：直线与平面所成角 方法提炼 1. 当直线和平面斜交时，求直线与平面所成角的一般步骤： (1) 确定斜线与平面的交点（斜足）； (2) 通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影（注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关），则斜线和射影所成的锐角即为所求的角； (3) 求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形． 2. 三余弦定理 如图所示，为平面内一点，直线是平面的一条过点的斜线，为在平面内的投影，为平面内任一直线，则． 证明 ：如图所示，作于点D，连接AD．因为为在平面内的投影，所以平面，所以．又，，所以平面，所以，所以． 【例6.1.】 如图，在正三棱柱中，，D 为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、求线面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】过点作，垂足为，由线面角的定义可得就是直线与平面所成的角，计算得解. 【详解】如图， 过点作，垂足为， 因为是的中点，所以，又平面，平面， 所以， 平面，，所以平面， 所以， 又平面，，所以平面， 连接，则就是直线与平面所成的角. 设，则，， 由，则，得， 在中，. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【例6.2.】 如图，在正四棱锥中，，则直线与平面所成角的正弦值为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】空间垂直的转化、线面垂直证明线线垂直、求线面角、证明线面垂直 【分析】连结，分别取的中点，连结，利用线面、面面垂直的判定及性质得到，设求出点到平面的距离，结合为的中点及线面角的定义求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】如图，连结，分别取的中点，连结，则， 因为四棱锥为正四棱锥，所以，故，． 又，从而，，且平面， 所以平面，平面，故平面平面， 过点作交于点，平面平面， 又平面，则平面． 由平面，平面，得， 结合，，平面，得平面， 由平面，所以， 设，则，，， 所以点到平面的距离． 因为为的中点，所以点到平面的距离， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 故答案为： 【例6.3.】 已知正三棱锥的底面的边长为6，直线与底面所成角的余弦值为，则正三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由线面角的大小求值、锥体体积的有关计算 【分析】作平面，因为三棱锥为正三棱锥，所以是正三角形的中心，由，求出,即可由体积公式求解. 【详解】 如图所示，作平面，因为三棱锥为正三棱锥， 所以是正三角形的中心，连接， 正三棱锥的底面的边长为6，所以， 因为直线与底面所成角的余弦值为，即， 所以， 故, 故选：B 【例6.4.】 如图，在平面内，是的斜线，若，，，则与平面所成角是___________． 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】证明线面垂直、求线面角 【分析】根据线面角的定义，结合线面垂直找出线面角对应的平面角，在三角形中求解即可. 【详解】取中点，连接，. 因为，，所以为等边三角形，所以. 同理可得，. 因为，，所以，所以为等腰直角三角形， 且，. 又，，所以，所以为等腰直角三角形， 且. 在中，，所以. 又，平面， 所以平面，所以即为与平面所成的角. 在中，，所以. 【例6.5.】 在四棱柱中，平面平面，设，，（，，均不为），则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】面面垂直证线面垂直、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】利用面面垂直的性质，找到线面垂直关系，进而在直角三角形中建立三角函数之间的联系. 【详解】如图，设为上一点，过点作于，过点作交于， 不妨设在线段上， 因为平面平面，平面平面，，又平面， 所以平面，又平面，所以． 在中，由余弦定理得①， 在中，有②， 由①－②得， 所以，所以， 由四棱柱的性质可知， 又知，， 所以． 故选：C.    【例6.6.】 在四棱锥中，底面为正方形，且，记直线与底面所成的角为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求和的最小值、求线面角 【分析】分别取、中点、，过点在平面内作，垂足为点，连接，推导出平面，可知，设，，利用线面角的定义结合基本不等式可求得的最大值. 【详解】分别取、中点、，因为，则， 在矩形中，且， 因为、分别为、的中点，所以且， 故四边形为平行四边形，故， 因为，所以， 因为，、平面，所以平面， 过点在平面内作，垂足为点，连接， 因为平面，平面，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 所以直线与平面所成角为， 设，， 因为，所以，故， 又因为为的中点，所以， 则，， 所以， 令，所以， 当且仅当，即时，的最大值为. 故选：B. 题型7：空间中的距离问题 方法提炼 1. 求点面距的常用方法： (1) 直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解． (2) 如果条件中具有中点（等分点）条件，将一个点到平面的距离，借助中点（等分点），转化为另一点到平面的距离． (3) 等体积法：将点面距转化成求几何体的高 2. 求点线距可以转化为求三角形的高，用等面积法求解. 【例7.1.】 在三棱柱中，侧棱底面，且三棱柱的体积为，的面积为．则点到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算、求点面距离 【分析】本题利用等体积法求解，先用直三棱柱体积为，得出三棱锥的体积为，设点到平面的距离为，结合的面积为，根据三棱锥体积公式即可得出结果． 【详解】 设点到平面的距离为， 因为,, 所以， 因为，所以， 即点到平面的距离为． 【例7.2.】 已知长方体中，，直线与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求点面距离、求线面角 【分析】由条件结合线面角的定义求，再利用等体积法求点到平面的距离. 【详解】连接交于，连接， 、 因为平面，所以与平面所成角为， 所以，则， 可得， 由长方体中，，得：平面， 所以， 在中，边长 ，， 得 ， 则 ， 设点 到平面 的距离为 ， 则体积 ， 由，得， 解得： . 故选：A 【例7.3.】 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，平面经过直线且平行于直线，则点到平面的距离为______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求点面距离、空间垂直的转化 【分析】如图，取的中点，连接，，，过作，垂足为点，可证平面，从而可求点到平面的距离. 【详解】如图，取的中点，连接，，，则，， 所以四边形是平行四边形，所以，同理. 又，所以，所以，确定一个平面，即为平面. 过作，垂足为点，因为平面，平面， 所以，又，平面, 所以平面，即. 在中， ，所以. 【例7.4.】 如图，正方体的棱长为1，则异面直线与的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求异面直线的距离、证明线面平行、证明线面垂直 【分析】先证明平面，故问题可转化为求直线与平面的距离，再证明平面，由此可求结论. 【详解】因为，平面，平面，所以平面， 所以异面直线与的距离与直线与平面的距离相等， 即点到平面的距离，如图连接，交于，则， 因为平面，平面，所以    又因为，平面， 所以平面，所以线段长为点到平面的距离， 又因为，所以异面直线的距离为，则C正确. 故选：C 【例7.5.】 已知四棱锥中，底面为边长为2的正方形，，，则直线到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求直线与平面的距离、余弦定理解三角形 【分析】取的中点M，的中点N，连接，由已知，可得平面平面，平面，则直线到平面的距离为点N到平面的距离，则利用余弦定理求得，进而得，则直线到平面的距离为，可得答案. 【详解】 根据题意，如图， 因为，，则，， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面， 因为底面为边长为2的正方形， 则，平面，平面， 所以平面， 则直线到平面的距离为点N到平面的距离， 即点N到直线的距离， 又， ，， 在中，， 则， 所以点N到直线的距离为. 故选：A． 【例7.6.】 已知棱长为1的正方体中，分别为和的中点，则到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求直线与平面的距离 【分析】在正方体中，连接，交于，连接，交于，过作于，由已知可证平面，即为到平面的距离，求解即可. 【详解】在正方体中，连接，交于， 连接，交于，过作于， 因为分别为和的中点，所以， 又在正方体中，且， 所以四边形是平行四边形，从而可得， 所以，又因为平面，平面， 所以平面，所以到平面的距离即为点到平面的距离， 由正方形可得， 又由正方体，可得平面，又平面， 所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面， 又平面平面，，所以平面， 所以为点到平面的距离， 在中，可得， 所以， 又易求得， 所以. 故选：C. 【例7.7.】 正方体的棱长为，则平面到平面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求面面距离、证明线面垂直 【分析】证明平面，平面，等体积法求点到平面的距离和点到平面的距离，可得平面到平面的距离. 【详解】连接，正方体中，平面，平面，则， 正方形中，有， 平面，，所以平面， 平面，则有， 同理有，平面，， 所以平面，同理有平面， 正方体棱长为，则，， 设点到平面的距离为，由，    有，解得， 即点到平面的距离为2，同理点到平面的距离为2， ， 则平面到平面的距离为. 故选：B. 【例7.8.】 如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有棱长均相同，数学上我们称之为半正多面体（semiregular solid），亦称为阿基米德多面体，如图2，设，则平面与平面之间的距离是____. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、求点面距离、求面面距离 【分析】不妨记正方体为，设对角线分别交平面和平面于点，，可推出即为平面与平面的距离，结合等体积法求得，结合对称性求得即可． 【详解】如图，不妨记正方体为，，， 故四边形是平行四边形，所以， 又，分别为，的中点， 所以，同理， 所以，又平面，平面， 所以平面，同理平面， 又，，平面， 所以平面平面， 设对角线分别交平面和平面于点，， 因为平面，平面， 所以， 连接，因为分别为的中点， 故，又，平面，， 所以平面，又平面， 所以，同理， 又，，平面， 所以平面， 又平面平面， 所以平面， 即为平面与平面的距离， 则， 由正方体棱长为得， 由题意得，为等边三角形且边长为1， 故， 根据， 得， 解得， 根据对称性知， 所以， 则平面与平面的距离为． 【例7.9.】 已知三棱锥的四个顶点在球O的表面上，，，，点 P 在底面的射影在直线上，则当球O的体积最小时，点 P 到底面距离的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【难度】0.64 【知识点】多面体与球体内切外接问题、求点面距离 【分析】根据球的性质，结合直角三角形的性质、勾股定理进行求解即可. 【详解】因为，，， 所以是直角三角形，斜边， 所以的外接圆的半径为， 因此球心O在平面的射影是的中点，设为， 设，球的半径为，于是有， 即， 要想球O的体积最小，只需，此时，O重合，， 因为点 P 在底面的射影在直线上， 所以设射影为，连接， 显然， 所以， 当最小时，有最大值， 显然当时，最小，因为，O是的中点 所以且， 所以的最大值为. 题型8：面面垂直的证明 方法提炼 证明面面垂直的四种方法： (1) 定义法：若两个平面所成的二面角是直二面角，则这两个平面垂直. (2) 平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. (3) 若一个平面与另一个平面的垂线平行，则这两个平面垂直. (4) 若两个平行平面中的一个平面垂直于第三个平面，则另一个平面也垂直于第三个平面. 【例8.1.】 （多选）如图，四边形是矩形，平面，则下列结论正确的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】判断图形中的面面关系、判断线面是否垂直、证明面面垂直 【分析】直接用面面垂直的判定定理判断ABD选项，对C可反证法，如果平面平面成立，则可得平面，而不垂直平面，故C错误. 【详解】因为平面，平面，所以平面平面，故A项正确; 因为平面，平面，所以， 因为四边形为矩形，所以，因为，平面， 所以平面，因为平面，所以平面平面， 同理可证得平面平面，故B项正确， 对于C，若平面平面，由B选项分析知平面平面， 所以平面平面平面，显然不垂直平面，所以C错误; 因为平面，平面，所以，因为四边形为矩形， 所以，因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面，故D项正确. 【例8.2.】 四面体中，若，，则（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】证明面面垂直 【分析】根据三棱锥的几何性质，作出三棱锥的高，根据侧棱相等，判断底面中心的位置，进而说明面面垂直，判断结果. 【详解】如图，过点作平面，垂足为， ，，即为的外心． 又，为的中点． ，， 平面，平面， ∴平面平面． 故选：B． 【例8.3.】 如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，，．证明：平面平面 【答案】证明见解析 【难度】0.75 【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直 【分析】取AB中点O，连接PO，CO，证得，即可利用线面垂直的判定定理证明平面，进而利用面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】如图， 取AB中点O，连接PO，CO. 因为，，所以， 即，且，. 又因为四边形是菱形，， 所以，. 因为，所以，即， 因为平面，平面ABCD，， 所以平面， 又平面，所以平面平面. 【例8.4.】 在中，，，，，分别是，上的点，满足，且.将沿折起到的位置，使，如图所示.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【难度】0.85 【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】根据给定条件，利用线面垂直判定性质、面面垂直的判定推理得证. 【详解】在中，由，得，而，则， 将沿折起到的位置，始终有， 又平面，则平面， 又平面，则， 又，，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面. 【例8.5.】 如图，在五面体中，平面平面，，，，. (1)证明：； (2)证明：平面平面. 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【难度】0.65 【知识点】线面平行的性质、证明面面垂直、证明线面垂直、证明线面平行 【分析】（1）由线面平行的判定定理可得平面，再根据线面平行的性质定理得证； （2）由题可证平面，，则平面，得，又，利用线面垂直的判定定理证得平面，再利用面面垂直的判定定理得证. 【详解】（1），平面，平面， 平面， 又平面平面，平面，所以. （2）由（1），又，则， 又，所以， 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面， 又，，所以四边形为平行四边形，所以， 所以平面， 又平面，则， 而平面，，故平面， 又平面， 所以平面平面. 题型9：面面垂直证明线面垂直 【例9.1.】 如图，在四棱锥中，底面为正方形，，平面平面．求证：平面； 【答案】证明见解析 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】由线面垂直的判定定理及性质可得，由面面垂直的性质及线面垂直的性质可得，再由线面垂直的判定定理即可证明. 【详解】因为底面为正方形，所以， 又，且，平面，所以平面， 又平面，所以， 连接，易知， 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 又平面，则， 又因为，平面，所以平面． 【例9.2.】 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是线段的中点，是线段的中点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【难度】0.85 【知识点】面面垂直证线面垂直 【详解】利用面面垂直的性质定理得平面，再根据，即可证明答案． 因为底面为正方形， 所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面， 又因为是线段的中点，是线段的中点， 所以， 所以平面． 【例9.3.】 点D是斜边上一动点，，，将沿着翻折，翻折后的三角形为，且平面平面，则翻折后的最小值是_____． 【答案】 【难度】0.42 【知识点】余弦定理解三角形、面面垂直证线面垂直 【分析】过点作， 设，中，利用余弦定理得的值，然后利用面面垂直证明平面，即得，在中，由勾股定理得与的关系式，可得当时，取得最小值． 【详解】解：过点作于点E，连接，如图所示． 设，由 则，，． 在中，由余弦定理得， ． ∵平面平面，平面平面，，平面， ∴平面． 又平面，∴． 在中，由勾股定理得， ∴当时，取得最小值，为． 【例9.4.】 如图所示，已知平面平面BCD，且，，则点C到平面ABD的距离是__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、求点面距离、面面垂直证线面垂直 【分析】作，连接，根据面面垂直的性质可得平面BCD，求相关长度，利用等体积法求点到面的距离. 【详解】作，垂足为，连接， 由题意可知：，则， 因为，平面平面BCD，平面平面，平面， 则平面BCD，且平面BCD，可得， 根据对称性可得，，则， 可得， 设点C到平面ABD的距离为， 因为，则，解得， 所以点C到平面ABD的距离是. 故答案为：. 【例9.5.】 已知三棱台中，， ，则______.若平面平面，则三棱台的体积为______. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】台体体积的有关计算、面面垂直证线面垂直 【分析】根据余弦定理求线段长度，结合三棱锥的体积进而计算三棱台的体积； 【详解】在中，，，， 则， 所以，且，所以， 在中，由余弦定理可得 . 设直线，，交于点， 过作于，过作于， 因为平面平面，平面平面， ，平面，所以平面，平面， 由知，，分别为，，的中点， 所以，，所以， 在中，，，，， 所以，所以，所以， 在中，，，， 则，所以 所以， 因为，所以三棱台的体积占三棱锥的体积的， 所以所求体积为. 故答案为：①②. 题型10：求空间二面角 方法提炼 1. 作二面角的常用方法： (1) 定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则为二面角的平面角． 2. 垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面各有一条交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，为二面角的平面角． 3. 垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点向另一个平面作垂线，垂足为点，由点向二面角的棱作垂线，垂足为，连接，则为二面角的平面角或其补角．如图③，为二面角的平面角． 4. 投影法求二面角：（指一个平面在另一个平面上的投影面积，指平面的原面积）,这个方法对于无棱二面角的求解很简便. 下面以三角形为例证明： 如图，平面内的在平面的射影为，作于，连接. 于，， 在内的射影为． 又， （三垂线定理的逆定理）． 为二面角的平面角． 设和的面积分别为和，， 则． . 【例10.1.】 如图，点在二面角的棱上，分别在内引射线，使得,若，，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.54 【知识点】二面角的概念及辨析、求二面角 【分析】过点作，证得，得到，得出为二面角的平面角，设，求得，结合勾股定理得到，即可求解. 【详解】如图所示，过点作于点，连接， 因为，，且， 所以，所以，所以， 所以即为二面角的平面角， 设，在等腰直角和中，可得， 又因为，所以为等边三角形，所以， 所以，所以， 所以二面角的大小为. 【例10.2.】 在四棱锥中，为正方形，平面，，求平面与平面所成二面角的大小． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、求二面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】利用线面垂直及正方形的性质得、且，再由线面垂直的判定和性质得垂直于平面，最后由投影与三垂线定理及二面角的定义有二面角的余弦值为，即可得. 【详解】由平面，平面，则， 由为正方形，则，且， 而，平面， 所以平面，则平面， 故是在平面上的投影， 由平面，则， 由题意知，且， 由，平面， 所以平面，平面，则， 设平面与平面所成二面角大小为， 由，则， 则． 【例10.3.】 如图，斜三棱柱的底面是边长为2的正三角形，且． (1)证明：； (2)求二面角的余弦值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】求二面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）根据正棱锥的定义，结合正三棱锥的几何性质、线面垂直的判定定理和性质进行证明即可； （2）根据全等三角形的判定定理，结合全等三角形的性质、二面角的定义、余弦定理、同角的三角函数关系式进行求解即可； 【详解】（1）因为棱柱的底面是边长为2的正三角形，且， 所以三棱锥是正三棱锥， 因此顶点在底面的射影是正三角形的中心， 如图： 设点为边的中点，连接， 显然在上，且，平面， 因为平面， 所以，又因为平面， 所以平面，而平面， 所以，又因为， 所以； （2）因为棱柱的底面是边长为2的正三角形，且， 所以，在中，过作，垂足为，连接， 由全等三角形的性质可知，所以就是二面角的平面角， ， 所以， 因为， 同理可得， 由余弦定理可得， 所以二面角的余弦值. 【例10.4.】 如图，在三棱台中，平面平面，，，，．求二面角的平面角的余弦值． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求二面角、面面垂直证线面垂直 【分析】利用补形法可以将三棱台补形为三棱锥，并进一步补形为三棱柱，结合正三棱柱可以发现二面角即为截面与侧面的夹角，然后再经过翻转作辅助线求出二面夹角，从而可求解. 【详解】由题知几何体是底面为直角三角形的台体，显然，可以将三棱台补形为三棱锥，并进一步补形为三棱柱．如图． 因为平面平面，，且平面平面， 所以平面． 又因为，， 所以为等边三角形，即补形后的三棱柱为正三棱柱. 由正三棱柱可发现二面角即为截面与侧面的夹角． 如图，将正三棱柱翻转，使得平面成为底面，进一步将问题简化为求截面与底面的夹角问题． 取的中点，连结，则平面， 由平面，所以 过点作，连结， 因，平面，所以平面， 又平面，所以， 则是二面角的平面角． 因为，，， 则得，所以， 又，，且结合图形可得为锐角， 则求得， 故二面角的平面角的余弦值为． 【例10.5.】 类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图，由不共面的三条射线，，构成的图形称为三面角，记，，，二面角的大小为，则.已知平行六面体的底面为菱形，，，，则二面角的余弦值为___________.    【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】求二面角、立体几何新定义 【分析】根据已知及定义列方程求二面角的余弦值. 【详解】    如图，连接AC， 因为，则. 因为是菱形，且, 所以. 因为， 所以，. 因为，所以. 设二面角为， 由三面角定理得， 即， 即，所以. 故答案为:. 【例10.6.】 已知圆锥的顶点为S，O为底面圆心，母线SA，SB互相垂直且的面积为3，直线SA与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为____. 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】求线面角、求二面角 【分析】 根据二面角的平面角的概念，做出二面角的平面角，求出各边长，在求出二面角的平面角的正弦值，可求得二面角的大小. 【详解】取的中点，连接， 因为，为的中点，则， 由垂径定理可得，所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，则， 因为，，则为等腰直角三角形， 所以，则，，， 因为平面，则为直线SA与圆锥底面所成角，即， 则在中，，故， 所以， 因为，故，即二面角的大小为. 【例10.7.】 把正方形ABCD沿对角线AC折成大小为的二面角，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为______. 【答案】/0.75 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角、由二面角大小求线线角或线面角 【分析】设的中点为，连接，根据题意易得即为二面角的平面角，故，设分别为的中点，连接，可得（或其补角）为异面直线AB与CD所成角，进而求解即可. 【详解】设的中点为，连接， 在正方形中，， 因此折叠后，即为二面角的平面角，故， 设分别为的中点，连接， 则，即（或其补角）为异面直线AB与CD所成角， 设正方形的边长为2，则， 又，，则，则， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为. 故答案为：. 【例10.8.】 已知正三棱台，，且侧面与底面的夹角的余弦值为，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】正棱台及其有关计算、求线面角、求二面角 【分析】取正中心，记，，交点为，求解的长度，记与面的夹角为，利用等面积法求，由求解，解三角形求结论. 【详解】如图，取正中心，的中点为， 记，，交于点，作于，    则面，，，， 所以为侧面与底面的夹角， 可知， 设，，， 则，， 作于， 因为，，平面，， 所以平面，平面，故， 又，平面， 所以面，记与面的夹角为，如图，   ，解得， 因为，， 所以，所以，所以. 故选：A. 【例10.9.】 已知二面角为，动点，分别在平面，内，到的距离为，到的距离为，则，两点之间距离的最小值为____________，此时直线与平面所成的角为____________． 【答案】 / 【难度】0.65 【知识点】由二面角大小求线段长度或距离 【分析】分别作，，连接PC，，，连接BD，再利用勾股定理得到PQ的值，放缩后并验证最小值成立的条件即可，且根据此时空间的位置关系可直接得到直线与平面所成角的大小． 【详解】如图，分别作，，连接PC，，，连接BD， 则，因为，所以， 当点与点重合时，取最小值，又此时成立， 所以、两点之间距离的最小值是， 由于此时点与点重合，且，也即，所以PQ与平面所成的角为． 故答案为：；． 【例10.10.】 如图，在三棱锥中，，，平面平面．若为线段上的动点（不含端点），记与平面所成角为，锐二面角的平面角为，则的最大值为______． 【答案】 【难度】0.32 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、求线面角、求二面角 【分析】先根据已知条件得出为等腰直角三角形，为一个角为的直角三角形，再通过作垂线构造出与平面所成角以及锐二面角的平面角，然后利用几何关系得到，从而将转为关于的表达式，最后利用基本不等式得出最大值. 【详解】因为，所以为等腰直角三角形，取中点， 则，， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以， 故是直角三角形，为直角，又，可得， 作，垂足为，因为平面平面，平面平面， 所以平面， 则即为与平面所成角，再作，因为平面， 所以，又，故平面，于是有， 从而即为锐二面角的平面角，而由及 可得，所以，即， 得，因为为线段上的动点且不含端点， 可知，所以， 等号在即时取得，所以的最大值为. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §8.6 空间直线、平面的垂直 目录 题型1：异面直线所成的角 7 题型2：直线与直线垂直 9 题型3：线面、面面关系有关命题的判断 10 题型4：线面垂直的证明 12 题型5：线面垂直的性质 13  线面垂直证明线线平行 13  线面垂直证明线线垂直 14  线面垂直证明面面平行 16 题型6：直线与平面所成角 16 题型7：空间中的距离问题 18 题型8：面面垂直的证明 20 题型9：面面垂直证明线面垂直 22 题型10：求空间二面角 23 1. 直线与直线垂直 (1) 异面直线所成的角 如图，已知两条异面直线，，经过空间任一点分别作直线，，我们把直线与所成的角叫做异面直线与所成的角（或夹角）． 如果两条异面直线，所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，记作． (2) 空间两条直线所成角 当两条直线，相互平行时，我们规定它们所成的角为.所以空间两条直线所成角的取值范围是. 提醒 异面直线所成的角的取值范围：． 2. 直线与平面垂直 (1) 直线与平面垂直的定义 一般地，如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作．直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面,垂线和平面的唯一公共点叫做垂足． 可以发现，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条. 垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离． (2) 直线与平面垂直的判定定理 文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直． 图形语言： 符号语言： (3) 直线与平面垂直的性质定理 文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行． 图形语言： 符号语言：//. (4) 直线与平面垂直的其他性质和结论 ①；②//；③//； ④//；⑤//. 3. 直线与平面所成的角 (1) 直线与平面所成角的定义 如图，一条直线和一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足。过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角． (2) 线面角的范围 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是.直线与平面所成的角的范围是． 4. 三垂线定理及其逆定理 (1) 三垂线定理 在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. (2) 三垂线定理的逆定理 平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直. 5. 空间几何体的距离 点到直线的距离 自点向直线引垂线，垂足叫做点在直线上的射影．点到垂足的距离叫点到直线的距离． 点到平面的距离 已知点是平面外的任意一点，过点作，垂足为，则是点到平面的距离．即：一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离. 异面直线的距离 夹在两条异面直线间的公垂线线段的长度，叫做两条异面直线间的距离．两条异面直线的公垂线有且只有一条． 直线与平面的距离 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离． 两个平行平面间的距离 如果两个平面平行，那么其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离． 6. 二面角 (1) 二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面． 如图，这个二面角记作二面角或或． (2) 二面角的平面角 如图，在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角． 平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角的取值范围是. 7. 平面与平面垂直 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 平面与垂直，记作． 如图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直． (1) 平面与平面垂直的判定定理 文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直． 图形语言： 符号语言： (2) 平面与平面垂直的性质定理 文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直． 图形语言： 符号语言： (3) 性质定理的推论 ①或；②； ③；④； ⑤. 8. 垂直关系的转化 题型1：异面直线所成的角 方法提炼 1. 平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角,具体步骤如下： (1) 平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； (2) 认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； (3) 计算：求该角的值，常利用解三角形； (4) 取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 2. 设两条异面直线所成的角为，则过空间一点与直线所成的角都等于的直线的条数有如下规律： (1) 当时，直线不存在，即0条. (2) 当时，若，则，此时只存在1条直线（是和所在平面的角平分线）；若，则，此时存在2条直线（两条相互垂直的角平分线）. (3) 当时，存在2条直线(一条在内角平分线方向，一条在外角平分线方向). (4) 当时，存在3条直线(一条在内角平分线方向，一条在外角平分线方向,还有一条是与和所在平面垂直的直线). (5) 当时，存在4条直线(除了两条在角平分线方向（一内一外）外，还有两条在与它们分别关于和所在平面对称的方向). (6) 当时，存在1条直线（一条与和所在平面垂直的直线）. 【例1.1.】 已知在正方体中，为棱的中点，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【例1.2.】 已知点P为空间一定点，过P且与两异面直线a、b所成角都为70°的直线共有3条，则异面直线a、b所成角为（    ）度 A．40 B．40或70 C．40或140 D．90 【例1.3.】 在棱长为2的正四面体中，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【例1.4.】 如图，在圆柱中，轴截面是正方形，C在圆O的圆周上，，则异面直线与所成角的余弦值为__________. 【例1.5.】 如图所示，已知空间四边形中，与所成角为，且，，分别为，的中点，则________． 【例1.6.】 空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则__________. 【例1.7.】 在正方体中，点是棱的中点，点在四边形内部运动包括边界设直线与直线所成的角为，则当平面时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型2：直线与直线垂直 方法提炼 证明两直线垂直的常用方法： (1) 利用平面几何知识，如矩形、等腰三角形的三线合一、勾股定理逆定理、菱形对角线、圆周角定理等. (2) 定义法：证明两条直线夹角是. (3) 利用一些事实：两条平行直线，若其中一条直线垂直另一条直线，则其平行线也垂直此直线． (4) 利用线面垂直的性质. 【例2.1.】 在正方体中，为棱的中点，则（   ） A． B． C． D． 【例2.2.】 直三棱柱中，，在三棱柱所有的棱中，与AC垂直且异面的有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【例2.3.】 如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足的是（    ） A．   B．   C．   D．   【例2.4.】 （多选）如图，在正方体中，点是线段（含端点）上的动点，则下列结论正确的是（   ） A．存在点，使 B．异面直线与所成的角最小值为 C．无论点在线段的什么位置，都有 D．无论点在线段的什么位置，都有平面 题型3：线面、面面关系有关命题的判断 【例3.1.】 设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列说法中正确的个数为（    ） ①若，，则，为异面直线 ②若，，则 ③若，，，则 ④若，，，则 ⑤若，，，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【例3.2.】 已知平面平面，，下列结论中正确的是（    ） A．若直线平面，； B．若平面平面，则； C．若平面直线l，则； D．若直线直线，则. 【例3.3.】 （多选）已知m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【例3.4.】 已知，表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【例3.5.】 （多选）设为两个不同的平面，为两条不同的直线，且，则下列说法正确的是（   ） A．若或，则 B．若，则或 C．若或，则 D．若，则或 【例3.6.】 （多选）已知直线、和平面、，且，，则下列四个选项中正确的有（　　） A．若，则过可作唯一平面与垂直 B．若与所成角为，则过可作唯一平面与垂直 C．若，则过可作唯一平面与垂直 D．若，则过可作唯一平面与平行 题型4：线面垂直的证明 方法提炼 证明线面垂直的常用方法： ①判定定理；②垂直于平面的传递性；③面面平行的性质；④面面垂直的性质. 【例4.1.】 如图，在平行四边形中，，，为的中线，将沿折叠，使点到点的位置，连接，且. 求证：平面. 【例4.2.】 如图，等腰梯形中，，为边上一点，且，，为中点，为中点将沿折起到的位置，如图．证明：平面； 【例4.3.】 已知三棱锥中，与底面所成角相等，，为中点，点在上且截面.    求证：平面； 【例4.4.】 如图，在圆锥PO中，AB为底面圆O的直径，C，D为圆O上不与A，B重合的点，且，，.求证：平面POC； 【例4.5.】 如图，已知空间四边形的边，，作于点，作于点．求证：平面． 题型5：线面垂直的性质 方法提炼 · 线面垂直证明线线平行 【例5.1.】 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面是的中点，分别在上，且．则与的位置关系为________． 【例5.2.】 如图所示，在正方体中，与，都垂直相交，垂足分别是点、点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【例5.3.】 如图，已知直四棱柱的底面是边长为4的正方形，点M为CG的中点，点P为底面上的动点，若存在唯一的点P满足，则________. · 线面垂直证明线线垂直 【例5.4.】 如图，在四棱锥中，底面，，，. (1)若平面，证明：； (2)若平面平面，，证明：； 【例5.5.】 如图，梯形中，，于点，，且．沿把折起到的位置，使．若为的中点，为上一点，证明． 【例5.6.】 已知在平面内，点，，，，垂足分别为，，．．求证：． 【例5.7.】 如图所示，在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，点是棱上的动点，则点为______时平面. 【例5.8.】 如图，在直三棱柱中，，，是的中点，点在上，记，若平面，则实数________． · 线面垂直证明面面平行 【例5.9.】 设是两个平面，是两条直线，则的一个充分条件是（ ） A． B． C．与相交 D． 题型6：直线与平面所成角 方法提炼 1. 当直线和平面斜交时，求直线与平面所成角的一般步骤： (1) 确定斜线与平面的交点（斜足）； (2) 通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影（注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关），则斜线和射影所成的锐角即为所求的角； (3) 求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形． 2. 三余弦定理 如图所示，为平面内一点，直线是平面的一条过点的斜线，为在平面内的投影，为平面内任一直线，则． 证明 ：如图所示，作于点D，连接AD．因为为在平面内的投影，所以平面，所以．又，，所以平面，所以，所以． 【例6.1.】 如图，在正三棱柱中，，D 为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【例6.2.】 如图，在正四棱锥中，，则直线与平面所成角的正弦值为______． 【例6.3.】 已知正三棱锥的底面的边长为6，直线与底面所成角的余弦值为，则正三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【例6.4.】 如图，在平面内，是的斜线，若，，，则与平面所成角是___________． 【例6.5.】 在四棱柱中，平面平面，设，，（，，均不为），则（   ） A． B． C． D． 【例6.6.】 在四棱锥中，底面为正方形，且，记直线与底面所成的角为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 题型7：空间中的距离问题 方法提炼 1. 求点面距的常用方法： (1) 直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解． (2) 如果条件中具有中点（等分点）条件，将一个点到平面的距离，借助中点（等分点），转化为另一点到平面的距离． (3) 等体积法：将点面距转化成求几何体的高 2. 求点线距可以转化为求三角形的高，用等面积法求解. 【例7.1.】 在三棱柱中，侧棱底面，且三棱柱的体积为，的面积为．则点到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【例7.2.】 已知长方体中，，直线与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【例7.3.】 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，平面经过直线且平行于直线，则点到平面的距离为______. 【例7.4.】 如图，正方体的棱长为1，则异面直线与的距离为（    ）    A． B． C． D． 【例7.5.】 已知四棱锥中，底面为边长为2的正方形，，，则直线到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【例7.6.】 已知棱长为1的正方体中，分别为和的中点，则到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【例7.7.】 正方体的棱长为，则平面到平面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例7.8.】 如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有棱长均相同，数学上我们称之为半正多面体（semiregular solid），亦称为阿基米德多面体，如图2，设，则平面与平面之间的距离是____. 【例7.9.】 已知三棱锥的四个顶点在球O的表面上，，，，点 P 在底面的射影在直线上，则当球O的体积最小时，点 P 到底面距离的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 题型8：面面垂直的证明 方法提炼 证明面面垂直的四种方法： (1) 定义法：若两个平面所成的二面角是直二面角，则这两个平面垂直. (2) 平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. (3) 若一个平面与另一个平面的垂线平行，则这两个平面垂直. (4) 若两个平行平面中的一个平面垂直于第三个平面，则另一个平面也垂直于第三个平面. 【例8.1.】 （多选）如图，四边形是矩形，平面，则下列结论正确的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【例8.2.】 四面体中，若，，则（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【例8.3.】 如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，，．证明：平面平面 【例8.4.】 在中，，，，，分别是，上的点，满足，且.将沿折起到的位置，使，如图所示.求证：平面平面. 【例8.5.】 如图，在五面体中，平面平面，，，，. (1)证明：； (2)证明：平面平面. 题型9：面面垂直证明线面垂直 【例9.1.】 如图，在四棱锥中，底面为正方形，，平面平面．求证：平面； 【例9.2.】 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是线段的中点，是线段的中点．求证：平面． 【例9.3.】 点D是斜边上一动点，，，将沿着翻折，翻折后的三角形为，且平面平面，则翻折后的最小值是_____． 【例9.4.】 如图所示，已知平面平面BCD，且，，则点C到平面ABD的距离是__________. 【例9.5.】 已知三棱台中，， ，则______.若平面平面，则三棱台的体积为______. 题型10：求空间二面角 方法提炼 1. 作二面角的常用方法： (1) 定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则为二面角的平面角． 2. 垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面各有一条交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，为二面角的平面角． 3. 垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点向另一个平面作垂线，垂足为点，由点向二面角的棱作垂线，垂足为，连接，则为二面角的平面角或其补角．如图③，为二面角的平面角． 4. 投影法求二面角：（指一个平面在另一个平面上的投影面积，指平面的原面积）,这个方法对于无棱二面角的求解很简便. 下面以三角形为例证明： 如图，平面内的在平面的射影为，作于，连接. 于，， 在内的射影为． 又， （三垂线定理的逆定理）． 为二面角的平面角． 设和的面积分别为和，， 则． . 【例10.1.】 如图，点在二面角的棱上，分别在内引射线，使得,若，，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【例10.2.】 在四棱锥中，为正方形，平面，，求平面与平面所成二面角的大小． 【例10.3.】 如图，斜三棱柱的底面是边长为2的正三角形，且． (1)证明：； (2)求二面角的余弦值； 【例10.4.】 如图，在三棱台中，平面平面，，，，．求二面角的平面角的余弦值． 【例10.5.】 类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图，由不共面的三条射线，，构成的图形称为三面角，记，，，二面角的大小为，则.已知平行六面体的底面为菱形，，，，则二面角的余弦值为___________.    【例10.6.】 已知圆锥的顶点为S，O为底面圆心，母线SA，SB互相垂直且的面积为3，直线SA与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为____. 【例10.7.】 把正方形ABCD沿对角线AC折成大小为的二面角，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为______. 【例10.8.】 已知正三棱台，，且侧面与底面的夹角的余弦值为，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【例10.9.】 已知二面角为，动点，分别在平面，内，到的距离为，到的距离为，则，两点之间距离的最小值为____________，此时直线与平面所成的角为____________． 【例10.10.】 如图，在三棱锥中，，，平面平面．若为线段上的动点（不含端点），记与平面所成角为，锐二面角的平面角为，则的最大值为______． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $