2026年四川省成都中考数学一轮基础知识专项训练题7二次函数

2026届成都中考数学一轮基础知识专项训练题7二次函数 A卷（100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1．当二次函数的解析式为时，的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 2．抛物线的开口方向、顶点坐标分别是（    ） A．开口向上，顶点坐标是 B．开口向上，顶点坐标是 C．开口向下，顶点坐标是 D．开口向下，顶点坐标是 3．将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 4．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（    ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 5．已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 m 3 … ①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴为直线；③m的值为0；④图像不经过第三象限；⑤抛物线在y轴右侧的部分是上升的．上述结论中正确的是（    ） A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤ 6．已知点A（﹣2，），B（1，）在抛物线y＝3x2+bx+1上，若3＜b＜4，则下列判断正确的是（　 　） A．1＜＜ B．＜1＜ C．1＜＜ D．＜1＜ 7．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y＝﹣x2+2x+（x＞0），则水流喷出的最大高度是（　 　） A．3m B．2.75m C．2m D．1.75m 8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（n，0），有下列结论：①abc＜0；②4a+c＞2b；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝n；④．其中正确的有（　 ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．抛物线y＝3x2向下平移两个单位所得的抛物线解析式为　 　 ． 10．已知二次函数的图像与x轴有两个交点，则a的取值范围是 ． 11．若二次函数的顶点在轴上，则的值为 ． 12．将抛物线绕原点旋转后，所得新抛物线的解析式为 ． 13．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（c，0），但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是 　 ．（写出一个即可） 三、解答题（14-15每小题9分，16-18每小题10分，共48分） 14．已知二次函数y＝x2+2（a+1）x+3a2-2a+3，a为常数． （1）若该二次函数的图象与直线y＝2a2有两个交点，求a的取值范围； （2）若该二次函数的图象与x轴有交点，求a的值； 15．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx过点（-1，3），且对称轴为直线x＝1，直线y＝kx-k与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当k＝1时，直线AB与y轴交于点D，与直线x＝2交于点E．若抛物线y＝(x+h)2-1与线段DE有公共点，求h的取值范围； （3）过点C与AB垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N分别是AB，PQ的中点．试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得TC总是平分∠MTN？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． 16．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点O和点A（3，3a）． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点P（t，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y＝ax于点N． ①若a＝1，t＝4，求MN的长； ②已知在点P从点O运动到点B（2a，0）的过程中，MN的长随OP的长的增大而增大，求a的取值范围． ②首先确定MN＝|at2﹣3at|，再分a＞0和a＜0两种情况分析求解即可． 17．如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为（3，﹣4）． （1）求b与c的值． （2）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积与△ABC的面积相等．若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 18．2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． （1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ （2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ （3）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价a（60≤a≤100）元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． B卷（20分） 一、填空题（每小题5分，共10分） 19．如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则 ． 20．二次函数满足以下条件：当时，它的图象位于x轴的下方；当时，它的图象位于x轴的上方，那么的解集是 ． 二、解答题（10分） 21．某游乐园有一个直径16m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3m处达到最高，高度为5m，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系． （1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式； （2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8m的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？ （3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32m，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度． 参考答案 A卷（100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D D C C A B C 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．y＝3x2﹣2 10．且 11．13 12． 13．y＝﹣x2+x+2（答案不唯一） 三、解答题（14-15每小题9分，16-18每小题10分，共48分） 14．（1）解：∵二次函数y＝x2+2（a+1）x+3a2﹣2a+3中，1＞0， ∴二次函数的图象开口向上， ∵二次函数的图象与直线y＝2a2有两个交点， ∴函数的最小值小于2a2， 则， 即2a2﹣4a+2＜2a2， 解得； （2）解：∵二次函数的图象与x轴有交点， ∴Δ＝4（a+1）2﹣4×1×（3a2﹣2a+3）＝﹣8a2+16a﹣8＝﹣8（a﹣1）2≥0， ∴8（a﹣1）2≤0， 又∵8（a﹣1）2≥0， ∴8（a﹣1）2＝0， 解得a＝1； （3）证明：∵当x＝0时，， ∴二次函数的图象不经过原点． 15．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx过点（﹣1，3），且对称轴为直线x＝1， ∴， 解得， 则该抛物线解析式为：y＝x2﹣2x； （2）当k＝1时，则y＝x﹣1， ∴当x＝0，y＝﹣1，当x＝2时，y＝1， ∴D（0，﹣1），E（2，1）， ∵y＝（x﹣h）2﹣1， ∴顶点坐标在直线y＝﹣1上移动， ∵y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE有公共点， ∴联立， 整理，得x2﹣（2h+1）x+h2＝0， ∴当Δ＝（2h+1）2﹣4h2＝0， 即时，满足题意， 将开始向右移动， 直至抛物线与线段DE只有一个交点为E（2，1）时，y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE均有公共点， ∴当y＝（x﹣h）2﹣1过点E（2，1）时，（2﹣h）2﹣1＝1， 解得：， ∴当时，抛物线y＝（x﹣h）2﹣1与线段DE有公共点； （3）存在， ∵y＝kx﹣k， ∴当y＝0时，x＝1， ∴C（1，0），抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴点C在抛物线的对称轴上， ∵PQ过点C，且与直线AB垂直， ∴直线PQ的解析式为：，即：， 联立，整理，得x2﹣（k+2）x+k＝0， ∴xA+xB＝k+2，， ∵M为AB的中点， ∴M， 联立， 同理可得：N， 作MH⊥CT，NF⊥CT， ∵TC 平分∠MTN， ∴∠NTF＝∠MTH， ∴tan∠NTF＝tan∠MTH， ∴， 设T（1，t），则， 解得：， ∴抛物线的对称轴上存在，使得TC 总是平分∠MTN． 16．解：（1）将点O（0，0）代入，抛物线y＝ax2+bx+c， 可得c＝0， ∴该抛物线解析式为y＝ax2+bx， 将点A（3，3a）代入，抛物线y＝ax2+bx， 可得3a＝9a+3b，解得b＝﹣2a； （2）①若 a＝1，则该抛物线及直线解析 分别为y＝x2﹣2x，y＝x， 当t＝4时，可有点P（4，0），如下图， ∵PM⊥x轴， ∴xM＝xN＝4， 将x＝4代入y＝x2﹣2x，可得y＝42﹣2×4＝8，即M（4，8）， 将x＝4代入y＝x，可得y＝4，即N（4，4）， ∴MN＝8﹣4＝4； ②当点P从点O运动到点B（2a，0）的过程中， ∵PM⊥x轴，P（t，0）， ∴xM＝xN＝t， 将x＝t代入y＝ax2﹣2ax， 可得y＝at2﹣2at，即M（t，at2﹣2at）， 将x＝t代入y＝ax，可得y＝at，即N（t，at）， ∴MN＝|at2﹣2at﹣at|＝|at2﹣3at|， 令MN＝0，即at2﹣3at＝0，解得t＝0或t＝3， 若a＞0，可有2a＞0，即点B在y轴右侧，如右图， 当0＜t≤3时，可有MN＝﹣at2+3at，其图象开口向下，对称轴为直线， 若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的增大而增大，则， 解得， 当t＞3时，可有MN＝at2﹣3at其图象开口向上， 对称轴为直线，不符合题意； 若a＜0，可有2a＜0，即点B在y轴左侧，如右图， 当t＜0时，可有MN＝﹣at2+3at，其图象开口向上，对称轴为直线， 若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的减小而增大， 则，解得， ∴a＜0， 综上所述，a的取值范围为． 17．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c的顶点坐标为（3，﹣4）， ∴y＝（x﹣3）2﹣4＝x2﹣6x+5， ∴b＝﹣6，c＝5； （2）存在，理由如下：对于抛物线y＝x2﹣6x+5， 当y＝0，x2﹣6x+5＝0，解得：x1＝1，x2＝5， 当x＝0，y＝5， ∴OB＝OC＝5，AB＝5﹣1＝4， ∵∠COB＝90°， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， 过点B作x轴的垂线，在x轴上方的垂线上截取BD＝BA＝4， 连接AD与BC交于点E，则D（5，4）， ∴∠DBC＝90°﹣∠OBC＝45°＝∠OBC， ∴BC⊥AD，ED＝EA， 过点D作BC平行线与抛物线交点即为点P，， ∴S△BCA＝S△BCP， 设直线BC：y＝mx+n， 则， ∴， ∴直线BC：y＝﹣x+5， ∵BC∥PD， ∴设直线PD：y＝﹣x+q，代入D（5，4）得：﹣5+q＝4， 解得：q＝9， ∴直线PD：y＝﹣x+9，与抛物线解析联立得：， 整理得：x2﹣5x﹣4＝0， 解得：或， ∴点P的横坐标为或． 18．解：（1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元， 由题意得， 解得， 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； （2）设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品 （400﹣m）个， 由题意得，40（400﹣m）+20m≤12000， 解得m≥200， ∴m的最小值为200， 答：至少需要购进B款纪念品200个； （3）由题意得，W＝（a﹣40）[200﹣5（a﹣60）] ＝（a﹣40）（200﹣5a+300） ＝（a﹣40）（500﹣5a） ＝500a﹣20000﹣5a2+200a ＝﹣5（a﹣70）2+4500， ∵﹣5＜0，60≤a≤100， ∴当a﹣70＝0，即a＝70时，W最大，最大值为4500． B卷（20分） 一、填空题（每小题5分，共10分） 19． 20． 二、解答题（10分） 21.解：（1）若开设3条安检通道，安检时间为x分钟，则已入场人数为（用x表示）18x，若排队人数为w，则w与x的函数表达式为w＝y﹣18x＝﹣x2+42x+100； 故答案为：18x，w＝﹣x2+42x+100； （2）w＝﹣x2+42x+100＝﹣（x﹣21）2+541， ∴当x＝21时，Wmax＝541； 答：排队人数在第21分钟达到最大值，最大人数为541人； （3）设开了m条通道， 则：w＝y﹣6mx＝﹣x2+60x+100﹣6mx＝﹣x2+6（10﹣m）x+100， ∴对称轴为x＝3（10﹣m）， ∵排队人数10分钟（包括10分钟）内减少， ∴0≤3（10﹣m）≤10，即：， 又∵最多开通9条， ∴， ∵m为正整数， ∴m最小值为7， ∴最少开7条通道． 2 学科网（北京）股份有限公司 $