双变量中的任意与存在问题 课件-2026届高三数学三轮复习

双变量中的任意与存在问题 [－5，－2] C [－4，ln 3] [0，＋∞) (－8，＋∞) 1.已知f(x)，g(x)的值域分别为A，B. (1)(“任意＝存在”型)∀x1∈D，∃x2∈E，使得f(x1)＝g(x2)成立，则A⊆B； (2)(“存在＝存在”型)∃x1∈D，∃x2∈E，使得f(x1)＝g(x2)成立，则A∩B≠∅. 2．不等问题： (1)(“任意≥(≤、>、<)任意”型)∀x1∈D，∀x2∈E，f(x1)>g(x2)恒成立，则f(x)min>g(x)max. 注：为防止误将∀x∈D，f(x)>g(x)恒成立，转化为f(x)min>g(x)max，一般作差构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，转化为F(x)min>0. (2)(“任意≥(≤、>、<)存在”型)∀x1∈D，∃x2∈E，使得f(x1)>g(x2)成立，则f(x)min>g(x)min. (3)(“存在≥(≤、>、<)存在”型)∃x1∈D，∃x2∈E，使得f(x1)>g(x2)成立，则f(x)max>g(x)min. 注：为防止误将∃x∈D，使得f(x)>g(x)成立，转化为f(x)max>g(x)min，一般作差构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，转化为F(x)max>0. 探究点1　形如“对任意x1∈A，总存在x2∈B，使得f(x1)＝g(x2)成立” 【例1】已知f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，且当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1，函数g(x)＝x2－2x＋m.如果对于任意的x1∈[－2，2]，都存在x2∈[－2，2]，使得g(x2)＝f(x1)，那么实数m的取值范围是 ． 【解析】当x∈(0，2]时，函数f(x)＝2x－1为增函数，值域为(0，3].因为f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，所以f(x)在[－2，2]上的值域为[－3，3]，易知函数g(x)＝x2－2x＋m在[－2，2]上的值域为[m－1，m＋8].因为对任意的x1∈[－2，2]，都存在x2∈[－2，2]，使得g(x2)＝f(x1)，所以f(x)在[－2，2]上的值域是g(x)＝x2－2x＋m在[－2，2]上的值域的子集，所以解得－5≤m≤－2，即实数m的取值范围是[－5，一2]. 【变式】(2024·西安铁一中期中)已知函数f(x)＝2x-1，g(x)＝ ，若对任意x1∈[1，＋∞)，总存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围是( ). A．　　　 B． C．[1，2]　　　 D．∪ 【解析】对任意x1∈[1，＋∞)，f(x1)＝2x1－1≥20＝1，即函数f(x1)的值域为[1，＋∞).若对任意x1∈[1，＋∞)，总存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)，设函数g(x)的值域为A，则只需满足[1，＋∞)⊆A.当x＜0时，函数g(x)＝x2＋2a为减函数，此时g(x)的值域为(2a，＋∞)；当x≥0时，g(x)＝a cos x＋2∈[2－a，2＋a].当a≥时，2a≥1，要使[1，＋∞)⊆A成立，需满足得得1≤a≤2.综上，实数a的取值范围为[1，2]. 探究点2　形如“存在x1∈A，存在x2∈B，使得f(x1)＝g(x2)成立” 【例2】已知函数f(x)＝2x，x∈，函数g(x)＝kx－2k＋2(k>0)，x∈，若存在x1∈，存在x2∈，使得f(x1)＝g(x2)成立，则实数k的取值范围是 ． 【解析】由题意得函数f(x)的值域为[0，1]，g(x)的值域为，且两个函数的值域有公共部分．当两个函数的值域没有公共部分时，2－2k>1或2－k<0，解得k<或k>，所以要使两个函数的值域有公共部分，实数k的取值范围是. 【变式】已知函数f(x)＝x2＋x，g(x)＝ln (x＋1)－a，若存在x1，x2∈[0，2]，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围是 ． 【解析】f(x)的值域A＝[0，4]，g(x)的值域B＝[－a，ln 3－a].由存在x1，x2∈[0，2]，使得f(x1)＝g(x2)，知A∩B≠∅.由A∩B＝∅，得4<－a或ln 3－a<0，解得a<－4或a>ln 3，故当A∩B≠∅时，－4≤a≤ln 3，所以a的取值范围是[－4，ln 3]. 探究点3　形如“对任意x1∈A，任意x2∈B，使得f(x1)>g(x2)成立” 【例3】已知函数f(x)＝x2＋4x－5，g(x)＝m·4x-1－m＋8.若对任意的x1，x2∈[1，2]，f(x1)≤g(x2)恒成立，则实数m的取值范围为 ． 【解析】由题意，函数f(x)在[1，2]上的最大值小于或等于函数g(x)在[1，2]上的最小值．f(x)＝x2＋4x－5＝(x＋2)2－9，易知函数f(x)在[1，2]上的最大值为f(2)＝(2＋2)2－9＝7.当m>0时，函数g(x)＝m·4x-1－m＋8在[1，2]上单调递增，则g(x)min＝g(1)＝8>7，符合题意；当m<0时，函数g(x)＝m·4x-1－m＋8在[1，2]上单调递减，则g(x)min＝g(2)＝3m＋8≥7，解得－≤m<0；当m＝0时，g(x)＝8>7，符合题意．综上，实数m的取值范围为. 【变式】(2024·衡水二中期中)已知函数f(x)＝ax－x2＋3，g(x)＝4x－2，若对任意x1，x2∈(0，1]，都有f(x1)≥g(x2)成立，则实数a的取值范围为 ． 【解析】由题意，f(x)＝ax－x2＋3，g(x)＝4x－2，且对任意x1，x2∈(0，1]，都有f(x1)≥g(x2)成立，则f(x1)min≥g(x2)max.因为g(x)＝4x－2在(0，1]上单调递增，所以g(x2)max＝g(1)＝2，所以ax－x2＋3≥2对任意x∈(0，1]恒成立，即a≥x－对任意x∈(0，1]恒成立．设h(x)＝x－，x∈(0，1]，易知h(x)在区间(0，1]上单调递增，所以h(x)max＝h(1)＝0，所以a≥0，则实数a的取值范围为[0，＋∞). 探究点4　形如“对任意x1∈A，总存在x2∈B，使得f(x1)>g(x2)成立” 【例4】已知函数f(x)＝x2－2ax－3，g(x)＝，其中a>0.对任意的x1∈[－2，－1]，存在x2∈[1，2]，使得f(x1)>g(x2)恒成立，则实数a的取值范围为 ． 【解析】由题意知f(x1)min>g(x2)min，f(x1)min＝f(－1)＝2a－2，g(x2)min＝g(2)＝，所以2a－2>，所以a的取值范围是. 【变式】已知f(x)＝x2，g(x)＝－m，若对任意x1∈[－1，3]，存在x2∈[0，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是 ． 【解析】因为对任意x1∈[－1，3]，存在x2∈[0，2]，使得f(x1)≥g(x2)，所以只需f(x1)min≥g(x2)min.因为f(x)＝x2，g(x)＝－m，所以f(x1)min＝f(0)＝0，g(x2)min＝g(2)＝－m，由0≥－m，得m≥. 探究点5　形如“存在x1∈A，存在x2∈B，使得f(x1)>g(x2)成立” 【例5】已知函数f(x)＝x2＋2x，g(x)＝ln (x＋1)－a，若存在x1，x2∈[0，2]，使得f(x1)>g(x2)，则实数a的取值范围是 ． 【解析】问题可转化为f(x1)max>g(x2)min，易得f(x1)max＝8，g(x2)min＝－a，由f(x1)max>g(x2)min，得8>－a，所以a>－8. $