圆的方程知识点总结 课件-2026届高三数学三轮冲刺

圆的方程知识点总结 定点 定长 (a，b) r D2＋E2－4F>0 C C B (1，2) (x－2)2＋(y－1)2＝5 B C (x－2)2＋y2＝9 x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0 AD A [知识梳理] 1．圆的定义、方程 定义 平面内到 的距离等于 的点的轨迹叫做圆 标准 方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心： 半径： 一般 方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 条件： 圆心： 半径： 2.点与圆的位置关系 圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，圆心C的坐标为(a，b)，半径为r，设点M的坐标为(x0，y0). 位置关系 几何法 代数法 点M(x0，y0)在圆外 |MC|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点M(x0，y0) 在圆上 |MC|＝r (x0－a)2＋(y0－ b)2＝r2 点M(x0，y0)在圆内 |MC|<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 3.常用结论 (1)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，且D2＋E2－4F>0. (2)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. [热身训练] 1．以点P(2，－3)为圆心，与y轴相切的圆的方程是( ). A．(x＋2)2＋(y－3)2＝4 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝9 C．(x－2)2＋(y＋3)2＝4 D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9 2．过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( ). A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 3．若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是( ). A．(－∞，－)∪(，＋∞) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－∞，－)∪(，＋∞) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 4．过点P(－1，1)作圆x2＋y2－ax－2y＋a2－2＝0的切线有两条，则a的取值范围是 ． 5．若直线＋＝1与x轴、y轴分别交于点A，B，则AB＝ ，以线段AB为直径的圆的方程为 ． 2 题型1　圆的方程 【例1】(1)(2024·杭州学军中学高三期末)在平面直角坐标系中，圆E与两坐标轴交于A(－2，0)，B(0，－3)，C，D四点，其中点C在x轴正半轴上，点D在y轴的正半轴上，圆E的内接四边形ABCD的面积为，则圆E的方程为( ). A．x2＋y2＋x＋y＝2 B．x2＋y2－x＋y＝6 C．x2＋y2－4x－y＝12 D．x2＋y2＋x＋2y＝3 (2)已知圆C经过点(－1，1)和点B(1，3)，且圆心在y轴上，则圆C的方程为( ). A．(x＋2)2＋y2＝2 B．(x－2)2＋y2＝10 C．x2＋(y－2)2＝2 D．x2＋(y＋2)2＝10 【变式】(1)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为 ． (2)已知圆C经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，则圆C的方程为 ． 题型2　与圆有关的最值问题 【例2】(1)(多选)(2025·海南模拟)在平面直角坐标系Oxy中，A(－2，0)，B(4，0)，点P满足＝，设点P的轨迹为曲线C，则下列说法正确的有( ). A．C的方程为(x＋4)2＋y2＝16 B．在C上存在点D，使得点D到点(1，1)的距离为10 C．在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA| D．C上的点到直线3x－4y－13＝0的距离的最大值为9 【解析】设点P的坐标为(x，y)，由A(－2，0)，B(4，0)，＝，得＝，化简得x2＋y2＋8x＝0，即(x＋4)2＋y2＝16，故A正确；点(1，1)到圆C上的点的最大距离为＋4＝＋4，且＋4<10，故不存在点D符合题意，故B错误；设M(x0，y0)，由|MO|＝2|MA|，得＝2，联立方程组无解，故C错误；C的圆心(－4，0)到直线3x－4y－13＝0的距离d＝＝5，且曲线C的半径为4，所以C上的点到直线3x－4y－13＝0的最大距离为d＋r＝5＋4＝9，故D正确． (2)已知实数x，y满足x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，求下列各式的最大值和最小值． ①； ②3x－4y； ③x2＋y2. 【解析】①令＝k，则kx－y－4k＝0(x≠4).因为x，y满足x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，所以圆心(－1，2)到直线kx－y－4k＝0的距离不大于圆的半径2，即≤2，解得－≤k≤0，所以的最大值为0，最小值为－. ②设3x－4y＝k，则3x－4y－k＝0，圆心(－1，2)到直线3x－4y－k＝0的距离不大于圆的半径2，即≤2，解得－21≤k≤－1，所以3x－4y的最大值为－1，最小值为－21. ③原点(0，0)与圆心(－1，2)之间的距离d＝＝，再根据x2＋y2的几何意义，知x2＋y2的最大值为(＋2)2＝9＋4，最小值为(－2)2＝9－4. 【变式】已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q的坐标为(－2，3). (1)求|MQ|的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求y－x的最大值和最小值． 【解析】(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，所以圆心C的坐标为(2，7)，半径r＝2.又|QC|＝＝4，所以|MQ|max＝4＋2＝6，|MQ|min＝4－2＝2. (2)可知表示直线MQ的斜率k.设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.因为直线MQ与圆C有交点，所以≤2，可得2－≤k≤2＋，所以的最大值为2＋，最小值为2－. (3)设y－x＝b，则x－y＋b＝0.当直线y＝x＋b与圆C相切时，截距b取到最值，所以＝2，所以b＝9或b＝1.所以y－x的最大值为9，最小值为1. 题型3　与圆有关的轨迹和过定点问题 【例3】(2025·南京、盐城调研)已知圆C的圆心在x轴上，且过A(1，3)，B(3，3)两点． (1)求圆C的方程； (2)若P为圆C上任意一点，定点M(8，0)，点Q满足＝3，求点Q的轨迹方程． 【解析】(1)由题意可知，线段AB的中点为(2，3)，kAB＝0，所以线段AB的中垂线方程为x＝2，直线x＝2与x轴的交点为圆心C(2，0)，又半径r＝|AC|＝，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10. (2)设P(x0，y0)，Q(x，y)，由＝3，得(8－x0，－y0)＝3(8－x，－y)，所以又点P在圆C上，所以(x0－2)2＋y＝10，所以(3x－18)2＋(3y)2＝10，化简得点Q的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝. 求与圆有关的轨迹问题的方法 直接法 直接根据题设给定的条件列出方程(组)求解 定义法 根据圆(或直线)的定义列方程(组)求解 几何法 利用圆的几何性质，列方程(组)求解 代入法 (相关点法) 找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解 【变式】阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k>0，k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足＝，则PA2＋PB2的最小值为( ). A．36－24　　　 B．48－24 C．36　　　 D．24 【解析】以经过点A，B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，则A(－1，0)，B(1，0)，设P(x，y)，因为＝，所以＝，两边平方并整理得x2＋y2－6x＋1＝0，得(x－3)2＋y2＝8，所以点P的轨迹是以(3，0)为圆心，2为半径的圆，所以PA2＋PB2＝2(x2＋y2)＋2＝2OP2＋2，易知当点P为圆(x－3)2＋y2＝8与x轴的交点(靠近原点)时，OP长取最小值，此时OP＝3－2，所以PA2＋PB2≥2×(3－2)2＋2＝36－24，故选A． 圆的参数方程及其应用 圆的参数方程为其中θ为参数．在有关圆的最值、范围等问题中，如果能合理利用圆的参数方程，可以降低难度，简化运算． 【例题】(1)已知点(x，y)在圆x2＋y2＝1上，求x2＋2xy＋3y2的最大值和最小值． (2)已知点P(x，y)是圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点，若不等式x＋y＋c≥0恒成立，求c的取值范围． (1)【解析】圆x2＋y2＝1可表示为则x2＋2xy＋3y2＝cos2θ＋2sinθcos θ＋3sin2θ＝＋sin 2θ＋3×＝2＋sin 2θ－cos 2θ＝2＋sin ，则当θ＝kπ＋(k∈Z)时，x2＋2xy＋3y2有最大值2＋；当θ＝kπ－(k∈Z)时，x2＋2xy＋3y2有最小值2－. (2)【解析】圆x2＋(y－1)2＝1的参数方程为则x＋y＝1＋sin θ＋cos θ＝1＋sin ，－(x＋y)＝－1－sin ，－(x＋y)的最大值为－1＋.因为x＋y＋c≥0恒成立，所以c≥[－(x＋y)]max，即c≥－1＋. (1)将恒成立问题，转化为最值问题，利用圆的参数方程求最值简便易算． (2)将比值问题转化为斜率问题是解析几何中常用的策略，将三角函数与圆的方程结合会给问题的解决带来方便． 【变式】函数f (θ)＝的最大值和最小值分别为 ． ，0 【解析】函数f (θ)＝的值可以看成以原点为圆心的单位圆上的点(cos θ，sin θ)与点(2，1)的连线的斜率，最值在切线处取得，易求得最大值为，最小值为0. $