甘肃渭源县第三高级中学2025-2026学年高二第二学期期中考试数学试卷

**基本信息** 高二数学期中卷聚焦核心知识，解答题梯度分明，如函数导数题综合零点讨论与恒成立，考查推理能力与运算能力；概率题结合掷骰子抽球情境，体现数据意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|5/77|数列、概率、立体几何、解析几何、函数导数|立体几何题结合翻折与空间向量，考查空间观念；双曲线题关联渐近线与焦点，体现几何直观|

2025-2026年第二学期甘肃省渭源县第三高级中学期中考试试卷学校 班级 姓名 学号 ------------密------------封------------线------------内------------不-----------准------- --答------------题---------- ------- 高二 数学 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（   ） A． B． C． D． 3．若正数满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 4．已知向量，．若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 5．已知为锐角，，则（） A． B． C．或 D． 6．钝角的内角，，的对边分别为，，，满足，则的取值范围为（    ） A．（0，1） B． C． D． 7．双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的离心率是（    ） A． B． C．2 D． 8．若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题（每题6分，共18分） 9．如图1，与是两个等腰三角形，，.将沿着翻折到，如图2，设二面角的平面角为，，分别为和的中点，则（    ） A． B．四面体体积的最大值为1 C．时，过直线且与平行的平面截四面体所得截面面积为 D．时，四面体外接球表面积为 10．已知函数关于下列说法正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．直线是函数的一条对称轴 C．将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数的图象 D．的导函数的值域为 11．已知曲线：，则（   ） A．曲线上任一点到原点的距离的最小值为 B．曲线恰有八条对称轴 C．过点的任意一条直线与曲线的公共点个数均为偶数 D．曲线所围成的封闭图形的面积满足 三、填空题（每题5分，共15分） 12．在二项式的展开式中，的系数为___________． 13．一场三月三晚会有歌曲、舞蹈、小品、朗诵、魔术、戏曲6个节目，各表演一次排成节目单.若要求歌曲和舞蹈之间最多间隔1个节目，则不同的节目单排法总数有_____（用数字作答） 14．设函数在上存在导数，对任意，都有，在上，若，则实数m的取值范围为______. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分） 15（13分）已知数列的首项，且满足． (1)求的通项公式； (2)证明：． 16（15分）．甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球． (1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率； (2)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，则从甲箱随机抽出1个球；如果点数大于等于5，则从乙箱中随机抽出1个球， （i）求抽到的是红球的概率； （ii）若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率． 17（15分）．如图，在四棱锥P-ABCD中，已知平面，底面为直角梯形，，.已知，. (1)若为棱的中点，求证：平面PAB； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点A到平面的距离. 18（17分）．已知双曲线的渐近线方程为和，右焦点为． (1)求的方程； (2)过的直线交的右支于两点，与两渐近线交于两点． （i）求的取值范围； （ii）过作的平行线交于点，过作的平行线交于点，求证：． 19．（17分）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的零点个数； (3)若恒成立，求实数的取值范围 第5页共6页 第6页共6页 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 题号 1 2 4 6 6 8 9 10 答案 C A D A A B B ABD BCD 题号 11 答案ABD 12.-40 13.432 14.[1,+0) 15.(1)当n≥2时，an-an-1=n, 则a2-a1=2,a3-a2=3,,an-an-1=n, 所以a2-a1)+(a3-a2）+…+(an-a.-)=2+3+…+n,即an-a1=2+3+…+n 所以a,=a+2+3+…+m=1+2+3+…+n=nm+l 2 当n=1时，a=1满足上式， 故a,的通项公式为a,=nn+ 2 a由a,则时品2日 所女…女rg日】- 41a2 因为neN,所以0，则1-1，因t小水2， 救++<2 16.(1)记事件A表示“从甲箱中抽出的2个球中有红球”，事件B表示“从甲箱中抽出的2 个球都是红球”， 则P(A=1-S-9 10P(4B)= =3 c101 3 故P(B|A)= P(AB)_10-1 P(A93 10 (2)()设事件C表示“从乙箱中抽球”，则事件C表示“从甲箱中抽球”，事件D表示“抽到 答案第1页，共2页 红球”， 则PC-名P@-号rD1q-D1O- 则o=rcm+rm=RDI+qroG-号号 14 (i)若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率为P(CD)= P(C)P(DIC)-35_2 P(D 25 3 17.(1)取棱PB的中点N,连接AN,MN. 在△PBC中，M,N分别为PC,PB的中点， 所以NIBC,且MN=)BC因为BC=2,所以MN=1 又因为底面ABCD中ADIIBC,且AD=1,所以MN∥AD,且MN=AD 所以四边形ADMN为平行四边形，从而DM∥AN. 又因为ANc平面PAB,DM4平面PAB,所以DMI∥平面PAB. ZA M y >0 D B (2)因为PA⊥平面ABCD,AB⊥AD, 所以以A为原点，分别以AB,AD,AP的方向为，y,2轴正方向， 建立空间直角坐标系A-z 由已知条件可得各点坐标A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,1,0),P(0,0,2). 因为AD/BC且AB⊥AD,所以点C的坐标为2,2,0). 对于平面PCD DC=（2,1,0),DP=(0,-1,2): 设平面PCD的法向量为=(x,,), 则 m·DC=0∫2x+y=0 2Dp=0-y+23=0' 令3=1，则y=2,x=-1 答案第1页，共2页 所以平面PCD的一个法向量为n,=(-1,2,) 对于平面PBD,DB=(2,-1,0),DP=(0,-1,2 设平面PBD的法向量为n2=(x2,2,z2), 测区D丽=025-为=0 °n2·Dp=0-y2+2z2=0' 令x2=1,则y2=2,22=1 所以平面PBD的一个法向量为n2=(1,2,1). 设平面PCD与平面PBD的夹角为O, 7n1·n2 -1×1+2×2+1×14_2 则cos0= V1+4+1V1+4+163' 故这两个平面夹角的余弦雀为号 (3)由(2)可知，平面PCD的一个法向量为n=(-1,2,, 因为点D(0,1,0)在平面PCD上，且点A坐标为(0,0,0)，所以AD=(0,1,0) 则点A到平面PCD的距离d为d= AD:月_0x-+1x2+0x刘_2-6 √6 V63 所以点A到平面PCD的距离为y6 18.(1)由渐近线方程知，a=b, 由焦点坐标可知，a2+b2=4, 联立46二4解得a=6=反，：双曲线c的方程为号-号 a=b 221 (2)(i)经分析可知，直线1的斜率不为0，故可设直线：x=y+2, 由于直线1与双曲线C的右支交于两点，故m<1, x2 y2 =1 设Ax,y),B(x2,y2,联立22 ,整理得到(m2-1y2+4my+2=0, x=y+2 -4m 则y+=m4m-' 故AB=V1+m2以-2=V1+m2V+y2)}2-4yy 答案第1页，共2页 =v1+m -4m28221+m2) m2-1m2-11-m2 (r y =0 设P(x,(x4,y4,联立220，整理得到(m2-1y2+4my+4=0, x=y+2 -4m 4 则+》4 m2-'= m2-1 PO=+m2 y;-y =1+m2y+y)'-4y3y 12 =V+m2 -4m 16 4V1+m2 Vm2-1 m2-11-m2 4V1+m2 PO =1-m2 2 则A822+m) V1+m2, 1-m m<1,故1+m2∈[L,2), 品，改儡回， 2 (i)过A(x,y)且与（平行的直线可写为y-y=x-x, 联立 y=-x y-y=x-x 过B(x2,y2且与平行的直线可写为y-y,=-(x-x2), 联立 y=x 当m=0时，x=2,y2=-,此时xM=xw,则直线MN斜率不存在， 又：此时直线AB的斜率也不存在，且M,N,A,B四点不共线， 答案第1页，共2页 :MN∥AB, x2+2_出-x 当m≠0时，kw=,2.2=名+少-乃+五-my,+2+y-当+my+2 x2+2_-yx2+y2-x+片my2+2+y2-my-2+ 22 -4 =m(出+片)+为-y+4 m-*⅓-为 1 m(2-)+y+2-4m」 m2-1 +m(x-y)m .k4B =kMN M,N,A,B四点不共线， MN∥AB. 19.(1)当a=e时，则f(x=x-enx,f'(x=l-e 可得f1)=1,f'1=1-e, 所以曲线y=f(x)在(1，f(1)处的切线方程为y-1=(1-e)(x-1,即(e-1)x+y-e=0 (2)因为fx)=xna-alnx(a>0,x>0), 令f(x=0,可得nr_na x a 令g()=(x>0,则转化为y=gx)与y=0的交点个数， 因为g(x)=1-r 2, 当0<x<e时，g'(x>0;当x>e时，g'(x<0; 可知g(x)在(0，e)内单调递增，在e,+o)内单调递减，则g(x)≤ge=】, e 当x趋近于0时，gx)趋近于-0；当x趋近于+oo时，gx趋近于0： y e v=g(x) 且a>0,可得： 答案第1页，共2页 当s0或la=,即0<a≤1或a=e时，y=gx到与y=有1个交点： a a e d 当0cg<尽即0<8<e或a>e时、y=g国与y=有2个交点： a e 综上所述：当0<a≤1或a=e时，1个零点；当1<a<e或a>e时，2个零点 (3)因为fa=alna-alna>lnxr-axlna恒成立，即a'lna>lnr恒成立， 当0<a≤1时，a1na≤0，因为lnr<0不恒成立，所以不满足题意： 当a>1时，由a'lna>lnr得lna>lnr,即a>x恒成立， 等价于a>logx恒成立， 因为曲线y=a与y=logx关于直线y=r对称，所以a>log。x台a>x, 等价于xlna>nx,可得na>血x, 由2)可得：na>,则a>e e 综上可得：a的取值范围是 答案第1页，共2页