数列中常见的裂项技巧 课件-2026届高三数学三轮复习

数列中常见的裂项技巧 1．若{an}是等差数列，d是公差，则＝，＝. 特别地，＝，当k＝1时，＝－. 2．＝(－)，特别地，当k＝1时，＝－. 3．an＝＝＝1＋＝1＋. 4．an＝＝. 5．an＝·＝·＝－. 探究点1　型的裂项技巧 【例1】已知正项等差数列{an}中，a1＝2，且a1，a2－1，a3成等比数列，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝2bn－2(n∈N*). (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)设cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn. 【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，由a1＝2，且a1，a2－1，a3成等比数列，得(1＋d)2＝2(2＋2d)，即(1＋d)2＝4(1＋d)，由已知得d>0，解得d＝3，所以an＝3n－1.由Sn＝2bn－2，得Sn＋1＝2bn＋1－2，两式相减得Sn＋1－Sn＝bn＋1＝2bn＋1－2bn，得bn＋1＝2bn，又S1＝2b1－2，所以b1＝2，所以数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，所以bn＝2n. (2)cn＝＝＝，所以Tn＝＝＝－. 探究点2　型的裂项技巧 【例2】记Sn为数列{an}的前n项和，且a1＝2，2Sn＝(n＋1)an. (1)求Sn； (2)若bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<. (1)【解析】由2Sn＝(n＋1)an＝(n＋1)(Sn－Sn－1)(n≥2，n∈N*)，整理得(n－1)Sn＝(n＋1)Sn－1，即Sn＝Sn－1，所以Sn＝Sn－1＝·Sn－2＝··Sn－3＝…＝···…·××·S1＝a1＝n(n＋1)(n≥2).因为S1＝a1＝2，所以S1也满足Sn＝n(n＋1)，所以Sn＝n(n＋1)(n∈N*). (2)【证明】bn＝＝＝－＝－＝－，Tn＝＋＋＋…＋＋＝－＝－<. 探究点3　型的裂项技巧 【例3】数列{an}满足a1＝1，＝an＋1(n∈N*). (1)证明数列{a}是等差数列，并求出{an}的通项公式； (2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和． 【解析】(1)由＝an＋1得a－a＝2，且a＝1，所以数列{a}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以a＝1＋(n－1)×2＝2n－1，易知an＞0，所以an＝(n∈N*). (2)bn＝＝＝－，故数列{bn}的前n项和Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1. 探究点4　型的裂项技巧 【例4】(2025·广东联考)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，nSn＋1＝(n＋2)Sn. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝2an，若数列{cn}满足cn＝，求{cn}的前n项和． 【解析】(1)因为nSn＋1＝(n＋2)Sn，且n∈N*，所以＝，所以数列为常数列，且＝＝，所以＝，即Sn＝.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n，又a1＝1也符合上式，所以an＝n，n∈N*. (2)由(1)可得bn＝2n，则cn＝＝＝－.设{cn}的前n项和为Tn，所以Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝－＋－＋…＋－＝1－，所以{cn}的前n项和为1－. 探究点5　型的裂项技巧 【例5】已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn＝anan＋1＋1，a1＝1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 【解析】(1)因为4Sn＝an·an＋1＋1，a1＝1，所以4S1＝a1a2＋1，所以a2＝3.当n≥2时，4Sn－1＝anan－1＋1，所以4Sn－4Sn－1＝anan＋1－an－1an，所以4an＝an(an＋1－an－1).因为an≠0，所以an＋1－an－1＝4.所以数列{an}的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列．因为a2－a1＝2，所以{an}为等差数列，通项公式为an＝2n－1. (2)因为bn＝＝＝－，所以Tn＝＋＋…＋＝1－. 探究点6　型的裂项技巧 【例6】已知数列{an}满足an＋1－＝an＋(n∈N*)，且a2＝4. (1)求数列{an}的通项公式； (2)记bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn. 【解析】(1)因为an＋1－＝an＋，所以an＋1－an＝＋，所以－＝1.因为a2＝4，所以＝1，所以数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以＝1＋n－1＝n，所以an＝n2. (2)因为bn＝＝＝，所以Sn＝＝＝. $