进阶点9 导数中常见的放缩技巧(专题微讲PPT)-【赢在微点·考前顶层设计】2026年高考数学大二轮专题复习

该高中数学高考复习课件聚焦导数中常见放缩技巧，覆盖指数、对数、三角放缩三大核心考点，对接高考评价体系，分析近五年真题中不等式恒成立、参数范围等常考题型，明确指数切线不等式等高频考点权重，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题精讲+技巧提炼+素养提升”，如以2023全国甲卷三角放缩题为例，解析“切线不等式转化法”，培养学生数学思维（推理能力）和数学语言（模型观念）。特设“易错点警示”和“母题变式训练”，帮助学生掌握放缩策略，教师可据此精准教学，提升复习效率。

9　导数中常见的放缩技巧 高考试题中的函数与导数的综合应用中，涉及函数或方程中的不等式恒成立以及综合应用问题，特别是与之相关的指数切线不等式ex≥x＋1、对数切线不等式ln x≤x－1及三角不等式sin x<x<tan x等，成为解题中非常有用的放缩技巧，对于问题的快捷切入、解题的思路优化、过程的简化精减等都非常有效果． 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 证明 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 证明 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 方法提炼 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 证明 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 方法提炼 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 方法提炼 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 本部分内容讲解结束 把握高考微点，实现素能提升，完成微练（三十七） 1．指数放缩 (1)放缩成一次函数：ex≥x＋1，ex>x，ex≥ex. (2)放缩成反比例函数：ex≤(x<1)，ex<－(x<0). 2．对数放缩 (1)放缩成一次函数：ln x≤x－1，ln x<x，ln (1＋x)≤x. (2)放缩成反比例函数：ln x≥1－，ln (1＋x)≥. 3．三角放缩 sin x<x(x>0)，x<tan x；sin x≥x－x2；1－x2≤cos x≤1－sin2x. 类型一　指数放缩 例1　(2025·上饶二模)已知函数f(x)＝ex－x－1. (1)求证：f(x)≥0； 依题意得，f′(x)＝ex－1.当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x<0时，f′(x)<0，f(x)单调递减．所以f(x)min＝f(0)＝0，即ex－x－1≥0，当且仅当x＝0时取等号，所以f(x)≥0. (2)当m≤1时，求证：不等式ex－mx＋cosx－2≥0在x∈[0，＋∞)上恒成立． 令函数g(x)＝ex－mx＋cos x－2，则g′(x)＝ex－m－sin x.由(1)可得ex－x－1≥0，即ex≥x＋1.又因为m≤1，所以g′(x)≥x＋1－1－sin x＝x－sin x．令函数h(x)＝x－sin x，则h′(x)＝1－cos x．当x≥0时，h′(x)≥0，所以h(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以当x∈[0，＋∞)时，h(x)≥h(0)＝0.所以g′(x)≥0，则g(x)在x∈[0，＋∞)上单调递增，所以当x∈[0，＋∞)时，g(x)≥g(0)＝0，即ex－mx＋cos x－2≥0.所以当m≤1时，不等式ex－mx＋cos x－2≥0在x∈[0，＋∞)上恒成立． 指数切线不等式ex≥x＋1(当且仅当x＝0时取等号)及其对应的变形不等式，是函数与导数的综合应用中指数放缩的一大重要方向．此类问题往往基于指数式ex的应用场景，结合不等式的构建，合理放缩成一次函数或类反比例函数等形式，给问题的深入与应用创造条件． 类型二　对数放缩 例2　已知函数f(x)＝ex－ax的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝(e－1)x. (1)求a的值； f(x)＝ex－ax，则f′(x)＝ex－a，f′(1)＝e－a＝e－1.解得a＝1. (2)当x>0且x≠1时，求证：f(x)>. 要证f(x)>，即证ex－x>.令h(x)＝x－1－ln x(x>0)，则h′(x)＝(x>0).当x∈(0，1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增．所以h(x)≥h(1)＝1－1－ln 1＝0恒成立，即x－1≥ln x，当且仅当x＝1时等号成立．当x∈(0，1)时，由x－1>ln x， 得<1.易知f′(x)＝ex－1，f′(x)>0在(0，1)上恒成立，所以f(x)在(0，1)上单调递增，所以f(x)>e0－0＝1(x>0).所以f(x)>在(0，1)上成立．当x∈(1，＋∞)时，由x－1>ln x，可得－1>ln ，即ln x>1－，可得<x.令g(x)＝ex－x－x，则g′(x)＝ex－2，g′(x)>0在(1，＋∞)上恒成立，所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增，可得g(x)＝ex－x－x>e－2>0，即ex－x>x(x∈(1，＋∞)).所以f(x)>在(1，＋∞)上成立．综上所述，f(x)>在x>0且x≠1时成立． 对数切线不等式ln x≤x－1(当且仅当x＝1时取等号)及其对应的变形不等式是函数与导数的综合应用中对数放缩的一大重要方向．此类问题往往基于对数式ln x的应用场景，结合不等式的构建，合理放缩成一次函数或类反比例函数等形式，实现问题的切入与深入应用． 类型三　三角放缩 例3　(2023·全国甲卷)已知函数f(x)＝ax－，x∈. (1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性； (cos2x)′＝(cosx cos x)′＝－sin x cos x＋cos x·(－sin x)＝－2sin x cos x，f′(x)＝a－＝a－＝a－＝a－.当a＝1时，f′(x)＝1－＝＝.因为x∈，所以cosx∈(0，1)，故f′(x)<0，故当a＝1时，f(x)在上单调递减． (2)若f(x)＋sinx<0，求a的取值范围． 依题意，f(x)＋sin x＝ax－＋sinx＝ax＋sin x(1－)，x∈. ①当a≤0时，易知f(x)＋sinx<0；②当a>0时，先证x∈时，sin x<x，令g(x)＝x－sin x，则g′(x)＝1－cos x>0，g(x)在上单调递增，所以g(x)>g(0)＝0，故有当x∈时，x>sin x成立．所以f(x)＋sin x＝ax＋sin x>a sinx＋sin x＝sinx(a＋1－)，因为函数y＝的值域为(1，＋∞)，a＋1>1，所以对于任意大于 0的参数a，一定存在x0∈，使得<a＋1，即存在x0∈，使得f(x0)＋sinx0>0，故a>0不能确保f(x)＋sin x<0，与题意矛盾，故a>0不成立．综上，a的取值范围为(－∞，0]. 三角不等式sin x<x<tan x及其对应的变形不等式是函数与导数的综合应用中三角放缩的一大重要方向．此类问题往往基于三角函数式的应用场景，结合三角恒等变形及对应的三角关系式，借助不等式的构建，合理放缩成与之对应的其他函数等形式，从而完成不等式的证明或转化． $