空间几何体的外接球和内切球问题课件-2026届高三数学三轮冲刺

空间几何体的外接球和内切球问题 B A C A C A 1.“墙角模型”(三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径) 方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式(2R)2＝a2＋b2＋c2，即2R＝，求出R. 2．“汉堡模型”(直棱柱的外接球、圆柱的外接球) 如图7­1，直三棱柱ABC­A1B1C1内接于球(同时直棱柱ABC­A1B1C1也内接于圆柱O1O2，棱柱的上、下底面可以是任意三角形) 图7­1 方法：第一步，确定球心O的位置，O1是△ABC的外心，则OO1⊥平面ABC； 第二步，算出圆O1的半径AO1＝r，OO1＝AA1＝h(h是圆柱的高)； 第三步，利用勾股定理，求得OA2＝O1A2＋O1O2⇒R2＝r2＋⇒R＝，解出R. 3．“垂面模型”(一条直线垂直于一个平面) 如图7­2，PA⊥平面ABC，求三棱锥P­ABC的外接球的半径． 　 图7­2 方法：第一步，作出△ABC的外接圆⊙O1，以A为⊙O1直径的一个端点，作⊙O1的直径AD，连接PD，则PD必过球心O； 第二步，O1为△ABC的外心，所以OO1⊥平面ABC，算出⊙O1的半径O1D＝r； 第三步，利用勾股定理求三棱锥外接球的半径： ①(2R)2＝PA2＋(2r)2⇔2R＝；②R2＝r2＋OO⇔R＝. 4．内切球等体积法 如图7­3，在四棱锥P­ABCD中，内切球为球O，求球O的半径r.方法如下： 图7­3 VP­ABCD＝VO­ABCD＋VO­PCB＋VO­PCD＋VO­PAD＋VO­PAB，即VP­ABCD＝S四边形ABCD·r＋S△PBC·r＋S△PCD·r＋S△PAD·r＋S△PAB·r，可求出r. 5．内切球独立截面法 (1)画出过球心和切点的大圆的截面图； (2)在截面中，找到和球半径相关的直角三角形； (3)利用相似、全等、勾股定理等平面几何知识求出内切球半径． 探究点1　能还原成长方体的锥体的外接球 【例1】(1)表面积为8的正四面体的外接球的表面积为( ). A．4π　　　 B．12π C．8π　　　 D．4π 【解析】设正四面体的棱长为a，则根据题意可得a2×4＝8，解得a＝2.该正四面体的外接球的半径与棱长为2的正方体的外接球的半径相等，又正方体的外接球半径为，故该正四面体外接球的表面积S＝4π×＝12π. (2)如图7­4，在四面体ABCD中，若AB＝CD＝5，AC＝BD＝，AD＝BC＝，则四面体ABCD外接球的表面积为( ). 图7­4 A．50π　　　 B．100π C．150π　　　 D．200π 【解析】如答图7­1，将四面体ABCD“补形”为一个长、宽、高分别为a，b，c的长方体，且a2＋b2＝25，b2＋c2＝34，a2＋c2＝41.设外接球的半径为R，则(2R)2＝a2＋b2＋c2＝50，所以4R2＝50，所以外接球的表面积S＝4πR2＝50π. 答图7­1 探究点2　一般锥体的外接球 【例2】已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤3，则该正四棱锥体积的取值范围是( ). A．　　　 B． C．　　　 D．[18，27] 【解析】如答图7­2，因为球的体积为36π，所以球的半径R＝3，设正四棱锥的底面边长为2a，高为h，则l2＝2a2＋h2，R2＝2a2＋(h－R)2，所以6h＝l2，2a2＝l2－h2， 答图7­2 所以正四棱锥的体积V＝Sh＝×4a2×h＝××＝，所以V′＝＝l3·，当3≤l≤2时，V′>0，当2<l≤3时，V′<0，所以当l＝2时，正四棱锥的体积V取最大值，最大值为.又当l＝3时，V＝，当l＝3时，V＝，所以正四棱锥的体积V的最小值为，所以该正四棱锥体积的取值范围是. 探究点3　棱柱(台)的外接球 【例3】已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ). A．100π　　　 B．128π C．144π　　　 D．192π 【解析】设正三棱台上、下底面外接圆的半径分别为r1，r2，所以2r1＝，2r2＝，即r1＝3，r2＝4，设球心到上、下底面的距离分别为d1，d2，球的半径为R，所以d1＝，d2＝，故|d1－d2|＝1或d1＋d2＝1，即|－|＝1或＋＝1，解得R2＝25，符合题意，所以球的表面积S＝4πR2＝100π. 探究点4　空间几何体的内切球 【例4】(1)(等体积法)在正四棱锥P­ABCD中，PA＝5，AB＝6，则该正四棱锥内切球的表面积是( ). A．　　　 B． C．　　　 D． 【解析】如答图7­3，过点P作PO⊥平面ABCD于点O，则O为正方形ABCD的中心，连接OA．因为AB＝6，所以OA＝3，所以OP＝＝＝， 答图7­3 所以正四棱锥P­ABCD的体积V＝×62×＝12，正四棱锥P­ABCD的表面积S＝6×6＋×6××4＝84.设正四棱锥P­ABCD的内切球的半径为r，内切球的球心为O′，由V＝VO′­ABP＋VO′­BCP＋VO′­CDP＋VO′­ADP＋VO′­ABCD，可得V＝S·r，即12＝×84r，解得r＝，故正四棱锥P­ABCD内切球的表面积是4πr2＝. (2)(独立截面法)已知球与圆台的上、下底面和侧面都相切，若圆台的侧面积为16π，上、下底面的面积之比为1∶9，则球的表面积为( ). A．12π　　　 B．14π C．16π　　　 D．18π 【解析】球与圆台的轴截面如答图7­4所示，球的截面为圆，圆台的轴截面为等腰梯形ABCD．过点B作CD的垂线，垂足为E.设球的半径为R，则BE＝2R，设圆台的母线长为l，即BC＝l.由圆台的上、下底面的面积之比为1∶9，可得＝＝，可得r2＝3r1.由圆的切线长定理可知r1＋r2＝l，可得l＝4r1.圆台的侧面积为π(r1＋r2)l＝4πr1l＝16πr＝16π，解得r1＝1，则2R＝BE＝＝2，解得R＝，故球的表面积S＝4πR2＝12π. $