北京市东城区-2025-2026学年高二下学期数学期中考试复习卷

2026年北京市东城区期中考试复习卷 复习范围：数列+导数+立体几何+概率 一、单选题（本大题共10小题，共40分） 1．数列的第8项为（    ） A． B． C． D． 2．已知是等差数列前项和，，，当取得最小值时（    ）． A．2 B．14 C．7 D．6或7 3．数列的前n项和，则（    ） A．70 B．120 C．40 D．14 4．在等差数列中，，则（   ） A．6 B．10 C．12 D．18 5．公比不为零的等比数列中，，，（    ） A．2 B．4 C．9 D．8 6．设函数，则（    ） A．1 B．2 C． D．0 7．若函数在是单调减函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数的图象如图所示，则其导函数图象可以是（   ） A． B． C．D． 9．已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．已知函数有两个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5个小题。共25分） 11．已知数列的首项，满足，则________. 12．设等差数列的前项和分别为，且，则__________. 13．在等比数列中，，，则公比_____． 14．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______． 15．设是可导函数，且，则__________. 三、解答题（本大题共6个小题，共85分） 16（13分）．记数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和为，证明：． 17（14分）．如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值． 18（14分）．研究机构对某省内所有“985工程”院校专业毕业十年的毕业生的年薪情况进行调研，所得数据统计如图所示，已知. (1)求，的值； (2)以频率估计概率，若在所有被调研的毕业生中随机抽取4人，记年薪在万元的人数为，求的分布列以及数学期望. 19（14分）．某商店举办促销活动，顾客消费后可参与抽奖．盒子中有个大小､形状完全相同的小球，其中红球个，白球个．顾客从中一次性抽取个小球，若抽到两个小球中有红球，则获得一份纪念品． (1)求一位顾客获得纪念品的概率； (2)若某家庭个人到店消费，均独立获得抽奖资格并参加抽奖活动，记三人获得纪念品的份数为，求的分布列与数学期望． 20（15分）．已知函数 (1)求函数的单调区间； (2)求函数在上的最大值和最小值． 21（15分）．已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)试讨论函数的单调性. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A C D A D C B C 11．. 12． 13． 14．或0 15．1 16．（1）当时，， 故，即， 所以， 故是以为首项，2为公差的等差数列， 所以． （2）由（1）得， 所以， 所以 ， 因为，所以． 17．（1）因为且，所以四边形为平行四边形，则， 又平面平面，所以平面； （2）由平面平面，得， 连接，由且，所以四边形为平行四边形，又， 所以平行四边形为正方形，所以， 又，， 又平面，平面， 由平面，所以平面平面； （3）由平面，平面，所以，又，，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 故为二面角的平面角，即 设，在中，，作，垂足为， 由（2）知，平面平面，平面平面平面，所以平面， 则为直线在平面上的投影，所以为直线与平面所成的角， 在中，， 所以， 在中，， 即直线与平面所成角的正弦值为. 18．（1）依题意可知组距为，则， 解得. （2）依题意可知年薪在万元之间的概率为，随机变量服从二项分布，即； 则， ， ， ， . 分布列如下表所示. 0 1 2 3 4 故. 19．（1）设一位顾客抽到红球的个数为；当时，顾客获得纪念品． ， ， ． （2）由已知可得：， 则． 所以的分布列为： ． 20．（1）， 令，解得， 由得或，此时函数单调递增， 由得，此时函数单调递减， 所以函数在、上单调递增，在上单调递减； （2）当时，函数与的变化如下表： 0       0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由表格可知：当时，函数取得极大值，， 当时，函数取得极小值， ， 又， 可知函数的最大值为9，最小值为. 21．（1）由函数，所以函数的定义域为，又， 所以，， 所以函数在点处的切线方程为：，即. （2）因为函数的定义域为，且， 令，得，即. 若，，为常数函数； 若，由，得，由，得； 若，由，得，由，得； 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，为常数函数； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $