专题02 整式及其因式分解（十大考点）-【重难突破】2026中考数学总复习考点强化讲与练

专题02 整式及其因式分解（十大考点）-【重难突破】2026中考数学总复习・考点强化讲与练 （一）整式的相关概念 （1）单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也叫单项式，所有字母指数的和叫做单项式的次数，单项式中的数字因数叫做单项式的系数． （2）多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数就是这个多项式的次数，不含字母的项叫做常数项． （3）整式：单项式和多项式统称为整式． （4）同类项：多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项． （5）代数式及求值 ①概念：用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式； ②列代数式：找出数量关系，用表示数的字母将它数学化的过程； ③代数式的值：用具体数代替代数式中的字母，按运算顺序计算出的结果叫代数式的值； ④代数式求值的步骤：a.代入数值(注意利用整体代入思想，简化运算)；b.计算． （二）整式运算 （1）整式加减 ①合并同类项：①字母和字母的指数不变；②同类项的系数相加减作为新的系数． ②添（去）括号，括号前面是“＋”，把括号去掉，括号里各项符号不变；括号前面是“－”，把括号去掉，括号里各项加号变减号，减号变加号． （2）幂的运算法则 ①同底数幂相乘：am·an＝am＋n（m，n都是整数，a≠0）． ②幂的乘方：（am）n＝amn（m，n都是整数，a≠0）． ③积的乘方：（ab）n＝an·bn（n是整数，a≠0，b≠0）． ④同底数幂相除：am÷an＝am－n（m，n都是整数，a≠0）． （3）整式乘除 ①单项式×单项式：①系数和同底数幂分别相乘；②只有一个字母的照抄． ②单项式×多项式： m(a+b)=ma+mb. ③多项式×多项式: (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb. ④单项式÷单项式：将系数、同底数幂分别相除. ⑤多项式÷单项式：①多项式的每一项除以单项式；②商相加． （4）乘法公式 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2. 完全平方公式的变式：a2+b2=(a±b)22ab ab=[(a+b)2－（a2+b2）]÷2 （三）因式分解 （1）提公因式法：ma+mb+mc= m(a+b+c). （2）公式法：①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b); ②完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2 （3）分组分解法：通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式，分组方式一般分为“1+3”式分组和“2+2”式分组。 （4）十字相乘法：x2+（p+q）x+pq=(x+p)(x+q) 因式分解的一般步骤： 一“提”（取公因式），二“套”（公式），三“分”（分组），四“查”（检查） （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式． （2）如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式法来分解； （3）如果项数较多或无法直接分解时，要分组分解． （4）分解因式必须分解到不能再分解为止．每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式需写成幂的形式. 易错知识辨析： （1）注意因式分解与整式乘法的区别； （2）完全平方公式、平方差公式中字母，不仅表示一个数，还可以表示单项式、多项式 典例1： 1．从n个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示，（，n、m为正整数）；例如：，，则（　　） A． B． C． D． 【变式1】 2．已知，则的值为（　　） A．13 B．8 C．－3 D．5 【变式2】 3．若一元二次方程的两根为m，n，则的值为　 ． 【变式3】 4．已知实数满足，则代数式的值等于　 　． 典例2： 5．已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中有5个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个； ③满足条件的整式共有16个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】 6．下列整式中，是二次单项式的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】 7．按规律排列的单项式：，，，，，…，则第20个单项式是　 　． 【变式3】 8．观察a，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为　 　． 典例3： 9．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】 10．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】 11．若x，y均为实数，，，则　 　；　 　． 【变式3】 12．计算的结果是　 　． 典例4： 13．设有边长分别为a和b()的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要C类纸片的张数为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 【变式1】 14．下列运算正确的是（　　） A．(a＋b)(a－2b)=a2－2b2 B． C．－2(3a－1)=－6a＋1 D．(a＋3)(a－3)=a2－9 【变式2】 15．如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n个网格所有线段的和为　 　．(用含n的代数式表示) 【变式3】 16． 1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”． 观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为　 　． 典例5： 17．已知，则的值是（　　） A．6 B． C． D．4 【变式1】 18．已知，且，则的值是（　　） A． B． C． D． 【变式2】 19．计算： 　 　． 【变式3】 20．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为　 　． 典例6： 21．我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式： ①② ③④ 其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】 22．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 【变式2】 23．现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）． （1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为　 　； （2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片　 　块． 【变式3】 24．如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是　 　． 典例7： 25．已知，求的值． 【变式1】 26．先化简，再求值： ，其中． 【变式2】 27．先化简，再求值： ，其中，． 【变式3】 28．先化简，再求值：，其中，． 典例8： 29．若k为任意整数，则的值总能（　　） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 【变式1】 30．下列分解因式正确的一项是（　　） A．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3） B．2xy+4x＝2（xy+2x） C．x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2 D．x2+y2＝（x+y）2 【变式2】 31．多项式因式分解为（　　） A． B． C． D． 【变式3】 32．下列分解因式正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式4】 33．若，，则代数式的值是　 　． 【变式5】 34．长和宽分别为，的矩形的周长为，面积为，则的值为　 　． 【变式6】 35．若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是　 　． 【变式7】 36．因式分解：　 　． 典例9： 37．以下因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】 38．下列式子变形是因式分解的是（　　） A．x2－5x＋6＝x(x－5)＋6 B．x2－5x＋6＝(x－2)(x－3) C．(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6 D．x2－5x＋6＝(x＋2)(x＋3) 【变式2】 39．分解因式：2x3﹣6x2+4x=　 　． 【变式3】 40．分解因式：a4﹣3a2﹣4＝　 　. 典例10： 41．已知实数满足． （1）求证：为非负数； （2）若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由． 【变式1】 42．如果一个自然数的个位数字不为，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，个位数字之和为，则称数为“合和数”，并把数分解成的过程，称为“合分解”． 例如，和的十位数字相同，个位数字之和为， 是“合和数”． 又如，和的十位数相同，但个位数字之和不等于， 不是“合和数”． （1）判断，是否是“合和数”？并说明理由； （2）把一个四位“合和数”进行“合分解”，即．的各个数位数字之和与的各个数位数字之和的和记为；的各个数位数字之和与的各个数位数字之和的差的绝对值记为．令，当能被整除时，求出所有满足条件的． 【变式2】 43．我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：（m，n是正整数，且），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称是x的最佳分解．并规定：． 例如：18可以分解成，或，因为，所以是18的最佳分解，所以． （1）填空：；； （2）一个两位正整数t（，，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求的最大值； （3）填空： ①； ②； ③； ④． 【变式3】 44． 由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式： 示例：分解因式： （1） 尝试：分解因式： (x+　 　）(x+　 　）； （2）应用：请用上述方法解方程：. 答案解析部分 1．【答案】C 2．【答案】A 【解析】【解答】解：∵ ∴ ∴ 故答案为：A． 【分析】根据平方差公式“（a-b）（a+b）=a2-b2”可将已知的等式变形得x2-2x=5，然后将所求代数式变形得，再整体代入计算即可求解． 3．【答案】6 根据根与系数的关系得，，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可． 4．【答案】9 【解析】【解答】 解：∵， ∴， ∴ = = = = = = =9． 故答案为：9． 【分析】由题意，先将已知的等式变形得，然后将m2的值代入所求代数式计算即可求解. 5．【答案】D 【解析】【解答】解：∵为自然数，为正整数，且， ∴， 当时，则， ∴，， 满足条件的整式有， 当时，则， ∴，，，， 满足条件的整式有：，，，， 当时，则， ∴，，，，，， 满足条件的整式有：，，，，，； 当时，则， ∴，，，， 满足条件的整式有：，，，； 当时，， 满足条件的整式有：； ∴满足条件的单项式有：，，，，，故①符合题意； 不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个；故②符合题意； 满足条件的整式共有个．故③符合题意； 故答案为：D 【分析】本题考查的是整式的规律探究，分类讨论思想的应用，由条件可得，再分类讨论得到答案即可． 6．【答案】B 【解析】【解答】 ∵是二次两项式，是二次单项式，三次单项式，一次单项式， ∴选项ACD都不符合题意，选项B符合题意， 故答案为：B。 【分析】此题考察整式的基础知识，难度较低。 7．【答案】 【解析】【解答】解：，，，，，…， 由偶数个单项式的系数为： 所以第20个单项式的系数为 第1个指数为： 第2个指数为： 第3个指数为： 指数为 所以第20个单项式是： 故答案为： 【分析】观察一列单项式发现偶数个单项式的系数为：奇数个单项式的系数为：而单项式的指数是奇数，从而可得答案． 8．【答案】 【解析】【解答】解：观察得：第n个式子为：an， 故第100个式子为：. 故答案为：. 【分析】观察发现第n个式子的次数为n，即可得到答案. 9．【答案】C 10．【答案】D 11．【答案】2021；1 【解析】【解答】解：∵， ∴，， ， 故答案为：2021； ∵， 即， ∴， ∴， 故答案为：1． 【分析】根据同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方等计算法则进行等量代换即可． 12．【答案】 【解析】【解答】解： 故答案为：． 【分析】本题考查了幂的乘方运算的逆用及积的乘方运算的逆用，根据幂的乘方运算的逆用及积的乘方运算的逆用进行运算，即可求得． 13．【答案】C 14．【答案】D 【解析】【解答】A、原式＝ ，故此选项不符合题意； B、原始＝ ，根据完全平方公式可以做出判断，故此选项不符合题意； C、原式＝ ，根据乘法分配律可以做出判断，故此选项不符合题意； D、原式＝a2－9，故此选项符合题意． 故答案为：D． 【分析】本题根据代数式运算法则及公式即可做出选择． 15．【答案】2n2+2n 16．【答案】 17．【答案】D 【解析】【解答】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：D. 【分析】先化简多项式，再整体代入变形后代数式的值，进行计算即可. 18．【答案】B 【解析】【解答】解： ， ∵， ∴， ∴， ∵a>b>0， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵a>b>0， ∴， ∴原式= ， 故答案为：B． 【分析】先将分式进件化简为，然后利用完全平方公式得出，，代入计算即可得出结果． 19．【答案】 【解析】【解答】解： = = = ． 故答案为 ． 【分析】先将乘方展开，然后用平方差公式计算即可． 20．【答案】7 【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， 则， ∴ ， 故答案为：7. 【分析】先利用一元二次方程根的定义和根与系数的关系得到 即可得到 5m=-2，n=5-m，则 可化为 m+n+2，然后利用整体代入的方法计算. 21．【答案】D 22．【答案】B 23．【答案】（1） （2）4 24．【答案】a+6 25．【答案】解：原式 ． ∵， ∴． ∴原式 ． 【解析】【分析】先将代数式化简，根据可得，整体代入即可求解． 26．【答案】；． 【解析】【解答】解： 原式 当时， 原式 . 【解析】【分析】利用完全平方公式将原式化简，然后再代入计算即可． 27．【答案】解： ， 当，时， 原式． 【解析】【分析】先将原式利用多项式乘以多项式，以及平方差公式化简，去括号合并同类项得到最简结果，再把x与y的值代入计算即可求出结果． 此题考查了整式的混合运算及化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 28．【答案】解： ， 当，时，原式． 【解析】【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式去小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可． 29．【答案】B 30．【答案】A 【解析】【解答】解：A、原式＝（x+3）（x﹣3），符合题意； B、原式＝2x（y+2），不符合题意； C、原式不能分解，不符合题意； D、原式不能分解，不符合题意. 故答案为：A. 【分析】将一个多项式化为几个整式的乘积形式的恒等变形就是因式分解，因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止，从而即可一一判断得出答案. 31．【答案】C 【解析】【解答】解：， ． 故答案为：C． 【分析】确定公因式，然后用提取公因式法进行因式分解即可． 32．【答案】C 【解析】【解答】A. ，故A不符合题意； B. ，故B不符合题意； C. ，故C符合题意； D. =（x-2）2，故D不符合题意， 故答案为：C. 【分析】根据提公因式法的技巧，可对A、B、C作出判断；根据平方差公式和完全平方公式的特点，可对D作出判断；从而可得出答案。 33．【答案】2 【解析】【解答】解：∵，， ， 故答案为：2． 【分析】把代数式因式分解，然后整体代入计算解题． 34．【答案】 35．【答案】 【解析】【解答】解：∵多项式能用完全平方公式因式分解， ∴， ∴， 故答案为：． 【分析】根据完全平方公式的结构特征直接将原多项式化为，据此即可求出的值. 36．【答案】 【解析】【解答】解： 故答案为：． 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，先按照多项式乘以多项式展开，然后利用完全平方公式分解因式即可． 37．【答案】B 【解析】【解答】解：；故A不正确，不符合题意． ；故B正确，符合题意． ；故C，D不正确，不符合题意． 故选：B． 【分析】根据因式分解的定义和方法逐项判断即可解题． 38．【答案】B 【解析】【解答】本题考查的是因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式,只有B、D符合因式分解的意义，但x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)， 故选B 39．【答案】2x（x﹣1）（x﹣2） 【解析】【解答】解：2x3﹣6x2+4x =2x（x2﹣3x+2） =2x（x﹣1）（x﹣2）． 故答案为：2x（x﹣1）（x﹣2）． 【分析】先利用提公因式法分解因式，再利用十字相乘法分解到每一个因式都不能再分解为止。 40．【答案】（a2+1）（a+2）（a﹣2） 【解析】【解答】解：a4﹣3a2﹣4 ＝（a2+1）（a2﹣4） ＝（a2+1）（a+2）（a﹣2）， 故答案为：（a2+1）（a+2）（a﹣2）. 【分析】首先利用十字相乘法分解可得原式=(a2+1)(a2-4)，然后对后面括号中的式子利用平方差公式分解即可. 41．【答案】（1）证明：因为， 所以b=a（3m+n），c=amn， 则 ． 因为a，m，n是实数， 所以， 所以为非负数． （2）解：不可能都为整数． 理由如下：若都为整数，其可能情况有：①都为奇数；②为整数，且其中至少有一个为偶数． ①当都为奇数时，则必为偶数． 又，所以． 因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾． ②当为整数，且其中至少有一个为偶数时，则必为偶数． 又因为，所以． 因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾． 综上所述，不可能都为整数． 【解析】【分析】（1）根据题意，可得 b=a（3m+n），c=amn，将其代入原式进行因式分解，可得原式=a2（3m-n）2，结合a，m，n是实数，即可证明； （2）根据若m，n都为整数的情况：①m，n都为奇数、②m，n为整数，且其中至少有一个为偶数、分别进行分析即可求解. 42．【答案】（1）解： 不是“合和数”，是“合和数”． ，， 不是“合和数”， ，十位数字相同，且个位数字， 是“合和数”． （2）解：设的十位数字为，个位数字为（，为自然数，且，）， 则． ∴． ∴（是整数）． ， ， 是整数， 或， ①当时， 或， 或． ②当时， 或， 或． 综上，满足条件的有，，，． 【解析】【分析】（1）首先根据题目内容，理解“合和数”的定义：如果一个自然数的个位数字不为，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，个位数字之和为，则称数为“合和数”，再判断，是否是“合和数”； （2）首先根据题目内容，理解“合分解”的定义．引进未知数来表示个位及十位上的数，同时也可以用来表示．然后整理出：，根据能被4整除时，通过分类讨论，求出所有满足条件的． 43．【答案】（1）|1 （2）解：由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为： 10b＋a−10a−b＝9（b−a）＝54， ∴b−a＝6， ∵1≤a≤b≤9， ∴b＝9，a＝3或b＝8，a＝2或b＝7，a＝1， ∴t为39，28，17； ∵39＝1×39＝3×13， ∴＝； 28＝1×28＝2×14＝4×7， ∴＝； 17＝1×17， ∴； ∴的最大值． （3）||| 【解析】【解答】解：（1）6＝1×6＝2×3， ∵6−1＞3−2， ∴＝； 9=1×9=3×3， ∵9−1＞3−3， ∴=1， 故答案为：；1； （3）①∵=20×21 ∴； ②=28×30 ∴； ③∵=40×42 ∴； ④∵=56×60 ∴， 故答案为：． 【分析】（1）6＝1×6＝2×3，由已知可求＝；9=1×9=3×3，由已知可求=1； （2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：10b＋a−10a−b＝9（b−a）＝54，得到b−a＝6，可求t的值，故可得到的最大值； （3）根据的定义即可依次求解． 44．【答案】（1）2；4 （2）解： ， ， 【分析】(1)把8分解成2×4，且2+4=6，类比例题即可求解； （2）把-4分解成1×（-4），且1+（-4）=-3，类比例题分解因式，利用因式分解法解方程即可. 学科网（北京）股份有限公司 $